अनुप्रयोग: चुनाव, परीक्षा, खर्च और मिश्रण

चुनाव: सूची से जीत का अंतर

चुनाव वाले प्रश्न देखने में लंबे लगते हैं, पर हर प्रश्न में मतों की एक ही सीढ़ी होती है, जिस पर हम ऊपर से नीचे उतरते हैं। प्रश्न में जो भी प्रतिशत दिया हो, वह इसी सीढ़ी के किसी एक पायदान का होता है। ज़्यादातर गलती तब होती है जब छात्र किसी प्रतिशत को गलत पायदान पर लगा देते हैं।

एक बात याद रखिए। उम्मीदवार को जो हिस्सा मिलता है, वह वैध मतों का ही माना जाता है, जब तक प्रश्न में कोई दूसरा आधार न दिया हो।

दो उम्मीदवार: विजेता को वैध मतों का w% मिला, तो हारने वाले को (100 − w)% मिला। दोनों में अंतर यह हुआ।

$$w - (100 - w) = \text{वैध मतों का } (2w - 100)\%$$

जैसे विजेता को वैध मतों का 57% मिला और वह 4,200 मतों से जीता। हारने वाले को 43% मिला, तो वैध मतों के 57 − 43 = 14% का अंतर 4,200 मतों के बराबर है। अब वैध मत = 4200 ÷ 0.14 = 30,000।

सीढ़ी पर नीचे उतरना: मान लीजिए किसी निर्वाचन क्षेत्र की मतदाता सूची में 1,20,000 मतदाता हैं। इनमें से 25% ने मत नहीं डाला, और डाले गए मतों में से 4% अवैध निकले। मुकाबला दो उम्मीदवारों में था और विजेता को वैध मतों का 55% मिला। हमें हारने वाले के मत निकालने हैं। सीढ़ी पर एक-एक पायदान नीचे उतरिए।

• डाले गए मत = 1,20,000 का 75% = 90,000
• वैध मत = 90,000 का 96% = 86,400
• हारने वाले के मत = 86,400 का 45% = 38,880

सीढ़ी पर वापस ऊपर: कभी प्रश्न उलटा आता है। नीचे वाला आँकड़ा दिया होता है और ऊपर वाला पूछा जाता है। तब हर कदम के लिए एक गुणक (multiplier) लिखिए और अंत में केवल एक बार भाग दीजिए। ऊपर वाला प्रश्न ही उलटकर देखिए। हारने वाले के 38,880 मत दिए हैं और सूची के मतदाता पूछे गए हैं। तो सूची के मतदाता = 38,880 ÷ (0.75 × 0.96 × 0.45) = 38,880 ÷ 0.324 = 1,20,000।

डाले गए मतों का हिस्सा: कुछ प्रश्नों में हर उम्मीदवार का हिस्सा कुल डाले गए मतों के प्रतिशत में दिया होता है। तब जो प्रतिशत बचता है, वह अवैध मतों का होता है। जैसे A को डाले गए मतों का 45% मिला, B को 40%, और बाकी मत अवैध रहे। तो अवैध मत 15% हुए, और A की जीत का अंतर डाले गए मतों का 5% है। इसलिए हर आँकड़ा पढ़ते समय देखिए कि वह किसका प्रतिशत है।

"बहुमत" यानी अंतर: प्रश्न में लिखा हो कि कोई उम्मीदवार "1,200 मतों के बहुमत (majority) से चुना गया", तो इसका मतलब है कि उसे दूसरे स्थान वाले उम्मीदवार से 1,200 मत अधिक मिले। यहाँ बहुमत का अर्थ "आधे से अधिक मत" नहीं है।

तीन उम्मीदवार, न्यूनतम हिस्सा, पाला-बदल

तीन उम्मीदवार: तीनों उम्मीदवारों के हिस्से मिलाकर वैध मतों का 100% होते हैं। मान लीजिए वैध मतों में से A को 42%, B को 33% और बाकी C को मिले, और A ने C को 6,800 मतों से हराया। वैध मत निकालने हैं। C को 100 − 42 − 33 = 25% मिला। तो A और C में वैध मतों के 17% का अंतर है। 17% = 6,800 मत, इसलिए वैध मत 40,000 हैं।

यहाँ ध्यान से पढ़िए कि अंतर किन दो उम्मीदवारों के बीच दिया है। इस प्रश्न में अंतर A और C का है। जो A − B ले लेगा, उसका उत्तर गलत आएगा।

"x% मिले, k से हारा": दो उम्मीदवार हों और हारने वाले को x% मिला हो, तो विजेता को (100 − x)% मिला होगा और अंतर (100 − 2x)% होगा। जैसे किसी उम्मीदवार को 35% मत मिले और वह 9,000 मतों से हार गया। विजेता को 65% मिले, तो यह उम्मीदवार 30% पीछे रहा, और यही 9,000 मत हैं। तो कुल मत 30,000 थे।

जीत का न्यूनतम हिस्सा: मान लीजिए जीत के लिए डाले गए मतों का कम से कम 40% ज़रूरी है। एक उम्मीदवार को 31% मिला और वह जीत से 2,700 मत पीछे रह गया। उसकी कमी डाले गए मतों के 40 − 31 = 9% की है, यानी 9% = 2,700 मत। तो डाले गए मत = 2700 ÷ 0.09 = 30,000।

हिस्सा पूरी सूची का: टियर 1 में चुनाव वाले प्रश्नों का सबसे लंबा रूप यही है। इसमें दो पायदान आपस में मिला दिए जाते हैं। मान लीजिए सूची के 5% मतदाताओं ने मत नहीं डाला और 200 मत अवैध निकले। मुकाबला दो उम्मीदवारों में था। विजेता को जितने मत मिले, वे सूची के सभी मतदाताओं के 50% के बराबर थे, और वह 1,200 मतों से जीता। सूची के मतदाता निकालने हैं। इसके लिए सूची में N मतदाता मान लीजिए।

• डाले गए मत = 0.95N, और वैध मत = 0.95N − 200
• विजेता को 0.5N मिले, तो हारने वाले को (0.95N − 200) − 0.5N = 0.45N − 200 मिले
• अंतर = 0.5N − (0.45N − 200) = 0.05N + 200 = 1,200

तो 0.05N = 1,000 और N = 20,000। जाँच कर लीजिए। विजेता को 10,000 मत मिले और हारने वाले को 8,800।

[Tier 2] पाला बदलने वाले मत: कोई मतदाता A को छोड़कर B को मत दे, तो A का एक मत घटता है और B का एक मत बढ़ता है। इसलिए ऐसे हर मतदाता से दोनों का अंतर 2 बदल जाता है।

उदाहरण के लिए, A ने B को डाले गए मतों के 8% से हराया। अगर 900 मतदाता A की जगह B को मत देते, तो B डाले गए मतों के 4% से जीत जाता। डाले गए मत निकालने हैं। पहले A 8% आगे था, और पाला बदलने पर B 4% आगे हो जाता। यानी अंतर में डाले गए मतों के 8 + 4 = 12% का बदलाव होता। दूसरी ओर, 900 मतदाताओं के पाला बदलने से अंतर 2 × 900 = 1,800 मत बदलता है। तो 12% = 1,800, और डाले गए मत 15,000 हैं। जाँच कर लीजिए। पहले A को 8,100 और B को 6,900 मत मिले थे। पाला बदलने के बाद A के 7,200 और B के 7,800 हो जाते।

नतीजा बदलने के लिए कितने मत: अब इसी चुनाव में देखते हैं कि मुकाबला ठीक बराबर करने के लिए कितने मतदाताओं को पाला बदलना पड़ेगा। A 1,200 मतों से आगे है, और हर मतदाता के पाला बदलने से यह अंतर 2 घटता है। इसलिए 600 मतदाताओं के पाला बदलने से मुकाबला बराबर हो जाएगा।

[SSC टिप] पाला-बदल वाले प्रश्नों में पहले देखिए कि विजेता बदला या नहीं। विजेता बदल जाए, तो दोनों अंतर जोड़िए, जैसे यहाँ 8% + 4%। वही उम्मीदवार फिर भी जीते, तो घटाइए। और यह न भूलिए कि हर पाला-बदल से अंतर 2 बदलता है।

परीक्षा: उत्तीर्ण और अधिकतम अंक

परीक्षा वाले हर प्रश्न में एक ही संबंध काम आता है। उत्तीर्ण अंक = उत्तीर्ण प्रतिशत × अधिकतम अंक। बाकी सारा हिसाब इन दो तरह के वाक्यों से निकल आता है।

• "m अंक मिले, फिर भी f अंकों से अनुत्तीर्ण", तो उत्तीर्ण अंक = m + f
• "m अंक मिले, जो उत्तीर्ण अंक से k अधिक हैं", तो उत्तीर्ण अंक = m − k

जैसे उत्तीर्ण होने के लिए अधिकतम अंकों का 33% चाहिए। एक छात्रा को 185 अंक मिले और वह 46 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गई। तो उत्तीर्ण अंक = 185 + 46 = 231, और यही अधिकतम अंकों का 33% है। इसलिए अधिकतम अंक = 231 ÷ 0.33 = 700।

दो छात्र, एक उत्तीर्ण अंक: A को 32% अंक मिले और वह 24 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ। B को 41% मिले, जो उत्तीर्ण अंक से 30 अधिक हैं। मन में एक संख्या-रेखा बना लीजिए। A उत्तीर्ण अंक से 24 नीचे है और B 30 ऊपर। दोनों के बीच 9% का अंतर है, और यह 24 + 30 = 54 अंकों के बराबर है। तो अधिकतम अंक = 54 ÷ 0.09 = 600। उत्तीर्ण अंक = 600 का 32% + 24 = 192 + 24 = 216, जो 36% है।

अगर दोनों छात्र उत्तीर्ण अंक के एक ही ओर हों, तो जोड़ने की जगह घटाइए। जैसे A को 30% मिले और वह 30 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ, जबकि B को 40% मिले और वह 10 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ। यहाँ 10% का अंतर 30 − 10 = 20 अंक है। तो अधिकतम अंक 200 हैं और उत्तीर्ण अंक = 200 का 30% + 30 = 60 + 30 = 90।

कृपांक: कभी सब छात्रों को कृपांक (grace marks) दिए जाते हैं। ये सीधे छात्र के अंकों में जुड़ते हैं। मान लीजिए उत्तीर्ण होने के लिए 40% चाहिए। एक छात्र को 170 अंक मिले और वह 30 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ। फिर हर छात्र को अधिकतम अंकों का 5% कृपांक के रूप में मिला। देखना है कि अब वह उत्तीर्ण हुआ या नहीं। उत्तीर्ण अंक 170 + 30 = 200 हैं, तो अधिकतम अंक = 200 ÷ 0.4 = 500। इसका 5% यानी 25 कृपांक मिले, तो उसके अंक 195 हो गए। यह 200 से 5 कम है, तो वह अब भी अनुत्तीर्ण है।

कई प्रश्नपत्रों के अंक: कई प्रश्नपत्रों का कुल प्रतिशत चाहिए, तो कुल अंकों को कुल अधिकतम अंकों से भाग दीजिए। प्रतिशतों का औसत तभी चलता है जब हर प्रश्नपत्र के अधिकतम अंक बराबर हों। जैसे तीन प्रश्नपत्र 50, 100 और 150 अंकों के हैं, और एक छात्रा को इनमें 80%, 70% और 60% मिले। उसके अंक 40, 70 और 90 हुए, यानी 300 में से 200। तो कुल प्रतिशत $66\frac{2}{3}\%$ है। 80, 70 और 60 का सीधा औसत लेने पर 70% आता है, जो यहाँ गलत है।

आख़िरी प्रश्नपत्र में ज़रूरी अंक: मान लीजिए पाँच प्रश्नपत्र हैं, हर एक 100 अंकों का, और कुल 75% लाने हैं। पहले चार में 70, 68, 82 और 79 अंक आए। 500 का 75% यानी 375 अंक चाहिए, और अब तक 299 मिल चुके हैं। तो पाँचवें में 76 अंक लाने होंगे।

एक या दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण

ऐसे प्रश्नों में पूरी कक्षा को 100% मान लीजिए और समावेशन-अपवर्जन (inclusion-exclusion) का नियम लगाइए।

$$\text{कम से कम एक में अनुत्तीर्ण} = \text{A में अनुत्तीर्ण} + \text{B में अनुत्तीर्ण} - \text{दोनों में अनुत्तीर्ण}$$

इसके बाद दोनों में उत्तीर्ण = 100% − कम से कम एक में अनुत्तीर्ण।

जैसे गणित में 35%, अंग्रेज़ी में 25% और दोनों में 12% छात्र अनुत्तीर्ण हुए। कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण = 35 + 25 − 12 = 48%, तो दोनों में उत्तीर्ण 52% हुए। अब अगर दोनों में उत्तीर्ण छात्र 1,300 हों, तो 52% = 1,300 और कक्षा में 2,500 छात्र हैं।

सबको चार समूहों में बाँटकर देखें, तो बात और साफ़ हो जाती है।

इस तालिका से ठीक एक विषय में अनुत्तीर्ण छात्र 23 + 13 = 36% निकलते हैं, और गणित में उत्तीर्ण 100 − 35 = 65%।

उत्तीर्ण के आँकड़े दिए हों तब: यही तरीका उत्तीर्ण छात्रों पर भी चलता है। जैसे गणित में 80%, विज्ञान में 75% और दोनों में 65% छात्र उत्तीर्ण हुए। तो कम से कम एक में उत्तीर्ण = 80 + 75 − 65 = 90%, और बाकी 10% दोनों में अनुत्तीर्ण हैं।

बाकी आँकड़ों से "दोनों": कभी "दोनों" वाला आँकड़ा पहले निकालना पड़ता है। मान लीजिए अंग्रेज़ी में 75% और गणित में 60% उत्तीर्ण हुए, दोनों में 15% अनुत्तीर्ण रहे, और दोनों में उत्तीर्ण होने वाले 1,000 हैं। कुल परीक्षार्थी निकालने हैं। कम से कम एक में उत्तीर्ण = 100 − 15 = 85%। फिर दोनों में उत्तीर्ण = 75 + 60 − 85 = 50%। 50% = 1,000, तो कुल 2,000 परीक्षार्थी थे।

एक और उदाहरण लीजिए। विज्ञान में 15% और गणित में 20% छात्र अनुत्तीर्ण हुए, और दोनों में उत्तीर्ण 70% रहे। तो बाकी 30% कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हैं, और दोनों में अनुत्तीर्ण = 15 + 20 − 30 = 5%।

वही विचार, दूसरे रूप में: दो अख़बारों के पाठक, चाय और कॉफ़ी पसंद करने वाले, हिंदी और अंग्रेज़ी बोलने वाले, ऐसे सब प्रश्न इसी तरह हल होते हैं। इनमें "दोनों में से कोई नहीं" वाले समूह को "दोनों में उत्तीर्ण" (या "दोनों में अनुत्तीर्ण") वाले समूह की जगह रख दीजिए। सूत्र वही रहता है।

[Tier 2] तीन विषय: तीन विषय हों, तो कम से कम एक में = A + B + C − (हर जोड़ी वाले) + (तीनों वाले)। जैसे A में 20%, B में 15% और C में 10% छात्र अनुत्तीर्ण हुए। A और B दोनों में 5%, B और C में 4%, C और A में 3%, और तीनों में 2% अनुत्तीर्ण हुए। तीनों विषयों के प्रतिशत जोड़ें तो 45 आता है, और जोड़ियों वाले जोड़ें तो 12। तो कम से कम एक में अनुत्तीर्ण = 45 − 12 + 2 = 35%, और तीनों में उत्तीर्ण 65% हैं।

[SSC टिप] "दोनों में उत्तीर्ण" निकालने के लिए दोनों उत्तीर्ण प्रतिशतों का गुणा कभी न कीजिए। दोनों विषयों का आपसी संबंध "दोनों" वाले आँकड़े से ही पता चलता है। वह दिया हो तो सीधे लगाइए, न दिया हो तो पहले उसे निकालिए।

वेतन से खर्च की कड़ी

ये सारे प्रश्न एक ही बात पर टिके हैं। "वेतन का x%" पूरे वेतन पर लगता है। "शेष का x%" उस समय तक बची रकम पर लगता है। इसलिए "शेष का" वाले हर कदम में बची रकम को $\left(1 - \frac{x}{100}\right)$ से गुणा करते चलिए।

मान लीजिए कोई व्यक्ति वेतन का 20% किराए में देता है। फिर शेष का 25% भोजन पर और उसके बाद बचे का 10% यात्रा पर खर्च करता है।

तो बचत वेतन का 54% है। एक पंक्ति में लिखें तो 0.8 × 0.75 × 0.9 = 0.54। अगर बचत ₹21,600 हो, तो वेतन = 21,600 ÷ 0.54 = ₹40,000।

बीच की कोई रकम: किसी एक मद पर कितना खर्च हुआ, यह पूछा जाए तो पहले वेतन निकालिए, फिर वह मद। ऊपर वाले उदाहरण में भोजन = ₹40,000 का 20% = ₹8,000।

मिली-जुली कड़ी: कुछ मद वेतन के प्रतिशत में हों और कुछ शेष के, तो पहले "वेतन का" वाले सारे मद जोड़ लीजिए। जैसे किराया वेतन का 25% है और भोजन वेतन का 15%। शेष का $\frac{1}{3}$ कर्ज़ की किस्त में जाता है, और बचत ₹12,000 है। किराया और भोजन मिलाकर 40% हुए, तो 60% बचा। बचत इसका $\frac{2}{3}$ है, जो वेतन का 40% हुआ। तो वेतन = 12,000 ÷ 0.4 = ₹30,000।

छात्र अक्सर "वेतन का" और "शेष का" वाले प्रतिशतों में घालमेल कर देते हैं। अगर भोजन "शेष का 15%" होता, तो बचत 0.75 × 0.85 × $\frac{2}{3}$ = 42.5% होती, और उत्तर बदल जाता।

दान और हिस्से: कोई अपना धन बाँटे या दान करे, तब भी यही तरीका है। एक व्यक्ति ने अपने धन का $\frac{1}{4}$ बेटे को दिया, बचे का $\frac{1}{3}$ बेटी को, और उसके बाद बचे का 10% मंदिर को। अंत में उसके पास ₹36,000 बचे। हर बार बचा भाग लीजिए, तो धन का $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times 0.9$ = 0.45 बचा। पूरा धन = 36,000 ÷ 0.45 = ₹80,000।

बचत पहले हो तब: कोई पहले वेतन का 10% बचाता है, फिर शेष का 30% किराए में देता है। यहाँ शेष वेतन का 90% है, तो किराया 90% का 30% = वेतन का 27% हुआ। क्रम बदलने से बस यह बदलता है कि "शेष" किस रकम को कहा गया है।

बजट, पाई चार्ट, सरल तालिकाएँ

बजट का बँटवारा: परिवार का सारा खर्च और बचत मिलाकर आय का 100% होता है। किसी मद पर कितने रुपये गए, यह जानने के लिए उस मद का प्रतिशत आय पर लगाइए। दो मदों का अंतर चाहिए, तो दोनों प्रतिशतों का अंतर आय पर लगाइए।

मान लीजिए मासिक आय ₹50,000 है। शिक्षा पर 15% जाता है, यानी ₹7,500। भोजन का हिस्सा बचत से (30 − 12)% = 18% ज़्यादा है, यानी ₹9,000 ज़्यादा।

प्रश्न उलटा भी आता है। केवल एक मद के रुपये दिए हों, तो उसी से आय निकल आती है। जैसे किराया ₹9,600 है, तो आय = 9,600 ÷ 0.2 = ₹48,000।

पाई चार्ट: पूरा वृत्त 360° का होता है, और यही 100% है। तो 1% = 3.6° और 1° = $\frac{5}{18}$%। ऊपर की तालिका में शिक्षा का भाग 15 × 3.6 = 54° होगा। उलटा देखें तो 72° वाला भाग 72 ÷ 3.6 = 20% है।

तालिका से कुल प्रतिशत: केंद्र A पर 600 परीक्षार्थी बैठे और 70% उत्तीर्ण हुए। केंद्र B पर 400 बैठे और 85% उत्तीर्ण हुए। कुल उत्तीर्ण प्रतिशत निकालने के लिए कुल उत्तीर्ण परीक्षार्थियों को कुल बैठे परीक्षार्थियों से भाग दीजिए।

उत्तर 76% है, दोनों का सीधा औसत 77.5% नहीं। जिस केंद्र पर ज़्यादा परीक्षार्थी हों, वह कुल प्रतिशत को अपने प्रतिशत की ओर खींच लेता है।

एक साल से अगले साल तक बदलाव: किसी स्कूल में उत्तीर्ण छात्र 320 से बढ़कर 368 हो गए। यह 320 पर 48 की बढ़त है, यानी 15%। आँकड़ा निर्वचन (data interpretation) के प्रश्नों में तालिकाएँ बड़ी होती हैं, पर कदम यही रहते हैं। दो संख्याएँ पढ़िए, उनका अंतर निकालिए और पुरानी संख्या से भाग दीजिए।

कुल का कितना %: स्कूल के 1,250 छात्रों में से 450 सीनियर विंग में हैं। तो सीनियर विंग में 450 ÷ 1,250 × 100 = 36% छात्र हैं। पाई चार्ट के लिए डिग्री चाहिए, तो एक गुणा और कीजिए, 36 × 3.6 = 129.6°।

कुल प्रतिशत वाले प्रश्नों में विकल्प अक्सर पास-पास होते हैं। तब एक जाँच कर लीजिए। उत्तर दोनों समूहों के प्रतिशतों के बीच होना चाहिए, और बड़े समूह के ज़्यादा पास। ऐसा न हो, तो कहीं चूक हुई है।

जनसंख्या के समूह: पुरुष-महिला, साक्षरता

शहर के पुरुष और महिलाएँ हों, कक्षा के लड़के और लड़कियाँ हों या किसी कंपनी के कर्मचारी, तरीका एक ही है। कुल को समूहों में बाँटिए, हर समूह पर उसका प्रतिशत लगाइए और फिर जोड़ दीजिए।

मान लीजिए किसी शहर में 50,000 लोग हैं और इनमें 60% पुरुष हैं। पुरुषों में 70% और महिलाओं में 55% साक्षर हैं। शहर की साक्षरता दर निकालनी है।

• पुरुष 30,000 हैं, और इनमें 70% यानी 21,000 साक्षर हैं।
• महिलाएँ 20,000 हैं, और इनमें 55% यानी 11,000 साक्षर हैं।
• 50,000 में से कुल 32,000 साक्षर हैं, तो साक्षरता दर 64% है।

यही काम एक पंक्ति में भी हो जाता है। कुल दर दोनों दरों का भारित औसत (weighted average) होती है। 0.6 × 70 + 0.4 × 55 = 42 + 22 = 64%।

एलीगेशन से उलटी दिशा: कभी कुल दर और दोनों समूहों की दरें दी होती हैं, और समूहों का बँटवारा पूछा जाता है। तब एलीगेशन (alligation) लगाइए। जैसे कुल साक्षरता 64% हो, पुरुषों में 70% और महिलाओं में 55%, तो पुरुष : महिलाएँ = (64 − 55) : (70 − 64) = 9 : 6 = 3 : 2। यानी पुरुष 60% हैं।

समूह का दूसरा हिस्सा: इसी शहर में निरक्षर महिलाएँ 20,000 का 45%, यानी 9,000 हैं। और सभी साक्षरों में साक्षर पुरुषों का हिस्सा 21,000 ÷ 32,000 है, जो 65.625% होता है।

अलग-अलग दर से बढ़ते समूह: किसी शहर में 8,000 लोग थे। पुरुष 6% बढ़े और महिलाएँ 10%, तो जनसंख्या 8,600 हो गई। शुरू में पुरुष कितने थे, यह निकालना है। मान लीजिए सब 6% ही बढ़ते, तो बढ़त 480 होती। असली बढ़त 600 है। बाकी 120 इसलिए आए कि महिलाएँ 4% ज़्यादा बढ़ीं। तो महिलाएँ = 120 ÷ 0.04 = 3,000, और पुरुष 5,000। पुरुष m मानकर समीकरण 0.06m + 0.1(8000 − m) = 600 बनाइए, तो भी यही आता है।

समूहवार छात्रवृत्ति, नौकरी, मत: किसी कॉलेज में 40% लड़कियाँ हैं। लड़कियों में 30% को और लड़कों में 20% को छात्रवृत्ति मिलती है। हमें यह निकालना है कि कितने प्रतिशत छात्रों को कोई छात्रवृत्ति नहीं मिलती। छात्रवृत्ति पाने वाले = 0.4 × 30 + 0.6 × 20 = 12 + 12 = 24%। तो बाकी 76% को छात्रवृत्ति नहीं मिलती।

प्रतिशत के अंतर से गिनती: किसी कक्षा में 60% लड़के हैं, और वे लड़कियों से 12 अधिक हैं। लड़कियाँ 40% हैं, तो दोनों में 20% का अंतर है, और यही 12 छात्र हैं। तो कक्षा में 60 छात्र हैं, यानी 36 लड़के और 24 लड़कियाँ।

एक गलती से बचिए। ऊपर वाले शहर में दोनों समूहों की दरों का सीधा औसत (70 + 55) ÷ 2 = 62.5% लेना गलत है। हर प्रतिशत को उसके समूह के आकार के हिसाब से भार देना पड़ता है।

प्रतिशत से मिश्रण और मिश्रधातु

मिश्रण में सांद्रता = भाग ÷ पूरा × 100 होती है। हर प्रश्न में सबसे पहले वह भाग पहचानिए जो नहीं बदल रहा। पूरा हल उसी से निकलता है।

पानी मिलाना (या कोई एक भाग): पानी मिलाने पर दूसरा भाग उतना ही रहता है। जैसे 40 लीटर दूध-पानी के मिश्रण में 10% पानी है, और पानी 20% करना है। दूध 36 लीटर है और यह नहीं बदलेगा। नए मिश्रण में दूध 80% होगा, तो नया कुल = 36 ÷ 0.8 = 45 लीटर। यानी 5 लीटर पानी मिलाना है।

वाष्पीकरण: पानी उड़ता है, पर जो चीज़ घुली है वह उतनी ही रहती है। जैसे 50 किग्रा नमकीन पानी में 6% नमक है, और नमक 10% करना है। नमक 3 किग्रा है। यह 3 किग्रा तब 10% होगा जब कुल भार 30 किग्रा हो। तो 20 किग्रा पानी उड़ाना पड़ेगा।

ताज़ा और सूखा फल: सुखाने पर केवल पानी निकलता है, ठोस भाग स्थिर रहता है। मान लीजिए ताज़े फल में 75% पानी है और सूखे फल में 10%। 18 किग्रा ताज़े फल से कितना सूखा फल मिलेगा, यह देखना है। ठोस भाग = 18 का 25% = 4.5 किग्रा। सूखे फल में यही ठोस भाग उसके भार का 90% है। तो सूखा फल = 4.5 ÷ 0.9 = 5 किग्रा।

अगर आपका उत्तर 13.5 किग्रा जैसा कुछ आए, तो समझ लीजिए कि आपने पानी के प्रतिशत सीधे लगा दिए हैं और ठोस भाग को स्थिर नहीं रखा।

मिश्रधातु में शुद्ध धातु: 30 किग्रा मिश्रधातु में 20% जस्ता है। इसमें इतना ताँबा मिलाना है कि जस्ता 15% रह जाए। जस्ता 6 किग्रा है और यह नहीं बदलेगा। 6 किग्रा जस्ता 15% हो, तो कुल भार 40 किग्रा होगा। यानी 10 किग्रा ताँबा मिलाना है।

दो मिश्रणों का मेल: दो मिश्रण मिलाने हों, तो दोनों के भाग आपस में जोड़िए और दोनों की कुल मात्राएँ आपस में। जैसे 30% अम्ल वाले 20 लीटर मिश्रण में 10% अम्ल वाला 30 लीटर मिश्रण मिलाया गया। अम्ल 6 + 3 = 9 लीटर हुआ और कुल 50 लीटर, तो सांद्रता 18% है।

यह असल में भारित औसत ही है। इसलिए किसी तय प्रतिशत के लिए दोनों को किस अनुपात में मिलाएँ, यह एलीगेशन से निकलता है। जैसे 30% और 10% वाले मिश्रणों से 15% वाला मिश्रण बनाना हो, तो अनुपात (15 − 10) : (30 − 15) = 5 : 15 = 1 : 3 होगा।

बाल्टी वाला प्रश्न: खाली बाल्टी का भार, पानी से भरी बाल्टी के भार का 20% है। कुछ पानी फेंक दिया गया, और अब बचे पानी समेत बाल्टी का भार भरी बाल्टी के भार का 60% है। कितने प्रतिशत पानी फेंका गया, यह निकालना है। भरी बाल्टी का भार 100 मान लीजिए। बाल्टी 20 है और पानी 80। अब कुल 60 है, तो पानी 40 बचा। यानी आधा पानी, मतलब 50%, फेंका गया।

कभी मिश्रण का कुछ भाग निकालकर उतना ही पानी भरा जाता है, और यह कई बार दोहराया जाता है। ऐसे प्रश्नों का तरीका अलग है, जो "मिश्रण और एलीगेशन" वाले अध्याय में मिलेगा।

कमीशन, कर, GST, रोज़मर्रा के प्रतिशत

कमीशन: विक्रेता का कमीशन उसकी बिक्री का प्रतिशत होता है। जैसे 6% कमीशन वाला एजेंट ₹1,25,000 की बिक्री करे, तो उसकी कमाई ₹7,500 होगी।

स्लैब वाले कमीशन में हर दर बिक्री के केवल उसी हिस्से पर लगती है जिसके लिए वह तय है। मान लीजिए पहले ₹10,000 की बिक्री पर 5% कमीशन है और उससे ऊपर की बिक्री पर 4%। विक्रेता ने अपना कमीशन रखकर कंपनी को ₹47,900 भेजे। कुल बिक्री निकालनी है। बिक्री S मान लीजिए। कमीशन = 500 + 0.04(S − 10,000) = 0.04S + 100। कंपनी को उसने S − 0.04S − 100 = 0.96S − 100 भेजे, और यह 47,900 है। तो 0.96S = 48,000 और S = ₹50,000।

GST और बिक्री कर: GST सहित मूल्य = मूल्य × $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$। उलटा चलना हो, तो GST से पहले का मूल्य = GST सहित मूल्य × $\frac{100}{100 + r}$।

• ₹2,400 की वस्तु पर 12% GST लगे, तो 2,400 × 1.12 = ₹2,688 देने होंगे।
• ₹5,900 के बिल में 18% GST शामिल है, तो आधार मूल्य = 5,900 × $\frac{100}{118}$ = ₹5,000, और GST ₹900 है।
• कर की दर $4\frac{1}{2}\%$ से घटकर 4% हो जाए, तो ख़रीदार को मूल्य का 0.5% बचता है। ₹9,600 की चीज़ पर ₹48 बचेंगे।

आयकर के स्लैब: आयकर भी कमीशन के स्लैब की तरह ही निकलता है। समझने के लिए एक काल्पनिक स्लैब लेते हैं। पहले ₹3,00,000 पर कर शून्य है, अगले ₹4,00,000 पर 5% है, और ₹7,00,000 से ऊपर की आय पर 10%। किसी की आय ₹9,00,000 है, तो कर = 0 + 20,000 + 20,000 = ₹40,000। यह आय का लगभग 4.44% ही है, जबकि सबसे ऊँची दर 10% है। असली स्लैब हर साल बदलते हैं, इसलिए परीक्षा के प्रश्न में स्लैब हमेशा दिए होते हैं।

रन और दूसरे स्कोर: एक बल्लेबाज़ ने 150 रन बनाए, जिनमें 8 चौके और 6 छक्के थे। उसने विकेटों के बीच दौड़कर कितने प्रतिशत रन बनाए, यह निकालना है। चौके-छक्कों से 32 + 36 = 68 रन आए। तो दौड़कर 82 रन बने, और 82 ÷ 150 × 100 = $54\frac{2}{3}\%$।

उपस्थिति, अनुपस्थिति आदि: किसी दिन 250 कर्मचारियों में से 12% अनुपस्थित थे। तो 30 अनुपस्थित और 220 उपस्थित थे। रोज़मर्रा का कोई भी "कितना प्रतिशत" वाला प्रश्न हो, वह एक गुणा या एक भाग से हो जाता है।

[SSC टिप] बिल में GST पहले से जुड़ा हो, तो अंतिम बिल का r% निकालकर कभी न घटाइए। ₹5,900 का 18% = ₹1,062 होता है, पर इस बिल में GST केवल ₹900 है, क्योंकि कर ₹5,000 पर लगा था।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक चुनाव में केवल दो उम्मीदवार थे। विजयी उम्मीदवार को 58% वैध मत मिले और वह 3,520 मतों से जीता। कुल कितने वैध मत पड़े?

उत्तर: विजेता को 58% मिले, तो हारने वाले को 42% मिले। दोनों का अंतर वैध मतों का 58 − 42 = 16% है। 16% = 3,520 मत, तो 1% = 220, और कुल वैध मत 22,000 हैं।

प्रश्न 2

किसी चुनाव में मतदाता सूची के 15% मतदाताओं ने मतदान नहीं किया, और जितने मत डाले गए उनमें 4% अवैध घोषित हुए। मुकाबला दो उम्मीदवारों के बीच था। विजेता को 55% वैध मत मिले, जबकि पराजित उम्मीदवार को 29,376 मत मिले। मतदाता सूची में मतदाताओं की संख्या कितनी थी?

उत्तर: विजेता को 55% मिले, तो हारने वाले को वैध मतों का 45% मिला, और उसके मत 29,376 हैं। इसलिए वैध मत = 29,376 ÷ 0.45 = 65,280। ये डाले गए मतों के 96% हैं, तो डाले गए मत = 65,280 ÷ 0.96 = 68,000। डाले गए मत सूची के 85% हैं, इसलिए सूची में 68,000 ÷ 0.85 = 80,000 मतदाता थे। चाहें तो पूरा हिसाब एक पंक्ति में कर लीजिए, 29,376 ÷ (0.85 × 0.96 × 0.45)।

प्रश्न 3

एक चुनाव में मतदाता सूची के 12% लोगों ने मत नहीं डाला तथा 84 मत अवैध पाए गए। दो उम्मीदवारों के इस मुकाबले में विजेता को मिले मत सूची के कुल मतदाताओं के 46% के बराबर थे, और उसने अपने प्रतिद्वंद्वी से 552 मत अधिक पाए। मतदाता सूची में कितने मतदाता थे?

उत्तर: सूची में N मतदाता मान लेते हैं। डाले गए मत 0.88N हुए और वैध मत 0.88N − 84। विजेता को 0.46N मिले, तो हारने वाले को 0.88N − 84 − 0.46N = 0.42N − 84 मिले। अंतर = 0.46N − (0.42N − 84) = 0.04N + 84, और यह 552 है। तो 0.04N = 468 और N = 11,700। जाँच कर लेते हैं। विजेता को 5,382 मत मिले और हारने वाले को 4,830, तो अंतर 552 ही है।

प्रश्न 4

तीन उम्मीदवारों वाले एक चुनाव में कुल डाले गए मतों का 10% अवैध रहा। वैध मतों का 45% A को, 35% B को तथा बाकी C को मिला। यदि A ने C को 9,000 मतों से हराया, तो कुल कितने मत डाले गए थे?

उत्तर: C को वैध मतों का 100 − 45 − 35 = 20% मिला। जीत का अंतर A और C के बीच का है, यानी वैध मतों का 45 − 20 = 25%। 25% = 9,000 मत, तो वैध मत 36,000 हुए। वैध मत डाले गए मतों के 90% हैं, इसलिए डाले गए मत = 36,000 ÷ 0.9 = 40,000।

प्रश्न 5

किसी चुनाव में विजयी होने के लिए डाले गए मतों का न्यूनतम 40% पाना आवश्यक है। एक उम्मीदवार को 32% मत मिले और वह जीत के आँकड़े से 2,400 मत दूर रह गई। कुल कितने मत डाले गए थे? (a) 6,000 (b) 7,500 (c) 24,000 (d) 30,000

उत्तर: जीत के लिए 40% चाहिए थे और उसे 32% मिले। यानी डाले गए मतों के 40 − 32 = 8% कम पड़े, और यही 2,400 मत हैं। तो 1% = 300, और डाले गए मत 30,000 हैं। कुछ छात्र 2,400 को 8% की जगह 40% से भाग दे देते हैं। तब 6,000 आता है और वे विकल्प (a) चुन लेते हैं, जो गलत है। उत्तर (d) 30,000 है।

प्रश्न 6

[Tier 2] दो उम्मीदवारों A और B के बीच हुए चुनाव में A ने डाले गए मतों के 12% के अंतर से जीत दर्ज की। अगर 1,800 मतदाता A के स्थान पर B के पक्ष में मतदान करते, तो B डाले गए मतों के 8% के अंतर से विजयी होता। कुल कितने मत डाले गए थे?

उत्तर: जो मतदाता A को छोड़कर B को मत देता है, उससे A का एक मत घटता है और B का एक बढ़ता है। इसलिए 1,800 मतदाताओं के पाला बदलने से अंतर में 2 × 1,800 = 3,600 मतों का बदलाव आता है। पहले A 12% आगे था और बाद में B 8% आगे हो जाता, यानी अंतर में डाले गए मतों के 12 + 8 = 20% का बदलाव होता। 20% = 3,600, तो डाले गए मत 18,000 हैं। जाँच कर लेते हैं। पहले A को 10,080 और B को 7,920 मत मिले, और अंतर 2,160 रहा, जो 12% है। पाला बदलने के बाद A के 8,280 और B के 9,720 होते, और अंतर 1,440 होता, जो 8% है।

प्रश्न 7

किसी परीक्षा में उत्तीर्ण होने के लिए अधिकतम अंकों के 36% अंक लाने होते हैं। 247 अंक पाने वाला एक छात्र 23 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया। परीक्षा के अधिकतम अंक कितने हैं?

उत्तर: छात्र 247 अंक लाकर भी 23 अंकों से रह गया, तो उत्तीर्ण अंक = 247 + 23 = 270। यही अधिकतम अंकों का 36% है, इसलिए अधिकतम अंक = 270 ÷ 0.36 = 750।

प्रश्न 8

एक परीक्षा में 28% अंक लाने वाला अजय 42 अंकों से अनुत्तीर्ण रहा, जबकि 43% अंक लाने वाले विजय ने उत्तीर्ण अंक से 48 अंक अधिक प्राप्त किए। परीक्षा के अधिकतम अंक तथा उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: उत्तीर्ण अंक अजय और विजय के अंकों के बीच में है। अजय उससे 42 नीचे है और विजय 48 ऊपर। दोनों के प्रतिशतों में 15% का अंतर है, और यह 42 + 48 = 90 अंक है। तो 1% = 6 अंक, और अधिकतम अंक 600 हैं। उत्तीर्ण अंक = 600 का 28% + 42 = 168 + 42 = 210। प्रतिशत में यह 210 ÷ 600 = 35% है। जाँच के लिए देखिए, 600 का 43% = 258, जो 210 + 48 के बराबर है।

प्रश्न 9

एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने के लिए 33% अंक आवश्यक हैं। नेहा 240 अंक पाकर 24 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गई। बाद में बोर्ड ने सभी छात्रों को अधिकतम अंकों के 4% जितने कृपांक दिए। क्या अब नेहा उत्तीर्ण हुई, और कितने अंकों से?

उत्तर: उत्तीर्ण अंक = 240 + 24 = 264, और यह अधिकतम अंकों का 33% है। इसलिए अधिकतम अंक = 264 ÷ 0.33 = 800। कृपांक 800 का 4%, यानी 32 अंक मिले। अब नेहा के अंक 272 हो गए, जो 264 से 8 ज़्यादा हैं। तो वह 8 अंकों से उत्तीर्ण हो गई।

प्रश्न 10

100, 150 और 250 अधिकतम अंकों वाले तीन प्रश्नपत्रों में एक छात्रा ने क्रमशः 68%, 72% और 80% अंक प्राप्त किए। तीनों प्रश्नपत्रों को मिलाकर उसका कुल प्रतिशत कितना रहा?

उत्तर: हर प्रश्नपत्र के अंक अलग-अलग निकालिए। उसे 68, 108 और 200 अंक मिले, यानी कुल 500 में से 376। कुल प्रतिशत = 376 ÷ 500 × 100 = 75.2%। कुछ लोग 68, 72 और 80 का सीधा औसत $73\frac{1}{3}\%$ लिख देते हैं। यह यहाँ गलत है, क्योंकि तीनों प्रश्नपत्रों के अधिकतम अंक बराबर नहीं हैं।

प्रश्न 11

किसी परीक्षा में गणित में 32%, विज्ञान में 26% तथा दोनों विषयों में 12% छात्र अनुत्तीर्ण रहे। यदि दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या 1,080 है, तो परीक्षा में कुल कितने छात्र बैठे?

उत्तर: कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण = 32 + 26 − 12 = 46%। तो दोनों में उत्तीर्ण 100 − 46 = 54% हुए। यही 54% 1,080 छात्र हैं, तो 1% = 20, और परीक्षा में कुल 2,000 परीक्षार्थी बैठे।

प्रश्न 12

एक कक्षा में अंग्रेज़ी में 70%, हिंदी में 60% और दोनों विषयों में 45% छात्र उत्तीर्ण हुए। दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए। साथ ही बताइए कि कितने प्रतिशत छात्र ठीक एक विषय में अनुत्तीर्ण हुए।

उत्तर: कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण = 70 + 60 − 45 = 85%। तो 15% दोनों में अनुत्तीर्ण हुए। अब ठीक एक विषय में अनुत्तीर्ण छात्र देखिए। केवल अंग्रेज़ी में उत्तीर्ण = 70 − 45 = 25%, और ये हिंदी में अनुत्तीर्ण हैं। केवल हिंदी में उत्तीर्ण = 60 − 45 = 15%, और ये अंग्रेज़ी में अनुत्तीर्ण हैं। तो ठीक एक विषय में अनुत्तीर्ण 25 + 15 = 40% हुए। जाँच कर लीजिए, 45 + 25 + 15 + 15 = 100।

प्रश्न 13

राहुल अपने वेतन का 25% किराए में देता है, बची राशि का 20% भोजन पर तथा उसके बाद शेष राशि का 15% यात्रा पर व्यय करता है। अंत में उसके पास ₹15,300 की बचत रहती है। राहुल का वेतन कितना है?

उत्तर: भोजन और यात्रा, दोनों "शेष का" वाले खर्च हैं, तो हर कदम पर बचे हुए भाग से गुणा करते चलिए। किराए के बाद 0.75 बचा। भोजन के बाद 0.75 × 0.8 = 0.6, और यात्रा के बाद 0.6 × 0.85 = 0.51। यानी वेतन का 51% बचत है, जो ₹15,300 है। तो वेतन = 15,300 ÷ 0.51 = ₹30,000।

प्रश्न 14

मोहन के वेतन का 30% किराए पर तथा वेतन का ही 20% भोजन पर खर्च होता है। इसके बाद बची राशि का 40% वह यात्रा पर लगाता है और शेष ₹10,800 बचा लेता है। मोहन का वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: किराया और भोजन, दोनों "वेतन का" हैं, तो ये मिलकर 50% हुए और 50% बचा। बचे हुए का 40% यात्रा में गया और 60% बचत में। 50% का 60% यानी वेतन का 30% बचत है। यही 30% ₹10,800 है, तो वेतन ₹36,000 है। भोजन को शेष का 20% मान लेना गलत है, क्योंकि प्रश्न में साफ़ "वेतन का ही 20%" लिखा है।

प्रश्न 15

एक व्यक्ति ने अपनी कुल राशि का 20% पत्नी को दिया, बची राशि का 30% बेटे को दिया और उसके बाद शेष राशि का 25% एक धर्मार्थ संस्था को दान कर दिया। अब उसके पास ₹25,200 रह गए। आरंभ में उसके पास कितनी राशि थी?

उत्तर: हर बार बचा भाग लेते हैं। 0.8 × 0.7 × 0.75 = 0.42, यानी अंत में धन का 42% बचा। 42% = ₹25,200, तो शुरू का धन = 25,200 ÷ 0.42 = ₹60,000। साथ में यह भी निकल आता है कि पत्नी को ₹12,000, बेटे को ₹14,400 और संस्था को ₹8,400 मिले।

प्रश्न 16

किसी परिवार के मासिक बजट में भोजन का हिस्सा 35%, किराए का 20%, शिक्षा का 15%, परिवहन का 8%, अन्य का 10% तथा बचत का 12% है। (i) इस बजट के पाई चार्ट में शिक्षा वाले भाग का केंद्रीय कोण कितना होगा? (ii) मासिक आय ₹45,000 हो, तो भोजन पर होने वाला खर्च बचत से कितना अधिक है?

उत्तर: (i) पाई चार्ट में 1% = 3.6° होता है। तो शिक्षा का भाग 15 × 3.6 = 54° है। (ii) भोजन का हिस्सा 35% है और बचत का 12%। दोनों में आय के 35 − 12 = 23% का अंतर है, और ₹45,000 का 23% = ₹10,350।

प्रश्न 17

एक परीक्षा में स्कूल A के 480 छात्र शामिल हुए और उनमें 75% उत्तीर्ण हुए, जबकि स्कूल B के 320 छात्रों में से 60% उत्तीर्ण हुए। दोनों स्कूलों का मिला-जुला उत्तीर्ण प्रतिशत कितना है?

उत्तर: पहले दोनों स्कूलों के उत्तीर्ण छात्र गिन लेते हैं। 480 का 75% = 360 और 320 का 60% = 192। कुल 800 में से 552 उत्तीर्ण हुए। कुल प्रतिशत = 552 ÷ 800 × 100 = 69%। 75 और 60 का सीधा औसत 67.5% आता है, पर वह गलत है। स्कूल A बड़ा है, इसलिए मिला-जुला प्रतिशत 75 के ज़्यादा पास रहता है।

प्रश्न 18

64,000 जनसंख्या वाले एक शहर में 58% पुरुष हैं। पुरुषों में 45% तथा महिलाओं में 30% साक्षर हैं। शहर की साक्षरता दर तथा कुल साक्षर व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पुरुष 58% हैं, तो महिलाएँ 42%। साक्षरता दर दोनों दरों का भारित औसत होगी। 0.58 × 45 + 0.42 × 30 = 26.1 + 12.6 = 38.7%। तो साक्षर = 64,000 का 38.7% = 24,768। अलग-अलग देखें तो पुरुष 37,120 हैं, जिनमें 16,704 साक्षर हैं। महिलाएँ 26,880 हैं, जिनमें 8,064 साक्षर हैं।

प्रश्न 19

60 लीटर दूध-पानी के मिश्रण में पानी की मात्रा 15% है। इसमें और कितना पानी डाला जाए, ताकि मिश्रण में पानी 25% हो जाए?

उत्तर: पानी डालने से दूध नहीं बदलता। दूध = 60 का 85% = 51 लीटर। नए मिश्रण में दूध 75% रहेगा, तो नया कुल = 51 ÷ 0.75 = 68 लीटर। यानी 68 − 60 = 8 लीटर पानी और डालना है।

प्रश्न 20

ताज़े अंगूरों में 85% और किशमिश में 10% पानी होता है। 36 किग्रा ताज़े अंगूरों को सुखाकर कितने किग्रा किशमिश बनेगी?

उत्तर: सुखाने पर केवल पानी उड़ता है, ठोस भाग उतना ही रहता है। ताज़े अंगूरों में ठोस भाग = 36 का 15% = 5.4 किग्रा। किशमिश में यही ठोस भाग उसके भार का 90% है। तो किशमिश = 5.4 ÷ 0.9 = 6 किग्रा।

प्रश्न 21

30 लीटर के एक मिश्रण में 20% अम्ल है। इसमें 20 लीटर का ऐसा मिश्रण मिलाया जाता है जिसमें 45% अम्ल है। अब बने मिश्रण में अम्ल का प्रतिशत क्या है?

उत्तर: दोनों मिश्रणों का अम्ल अलग-अलग निकालकर जोड़ लेते हैं। 30 का 20% = 6 लीटर और 20 का 45% = 9 लीटर। तो 50 लीटर में 15 लीटर अम्ल है, और 15 ÷ 50 × 100 = 30%।

प्रश्न 22

किसी विक्रेता को ₹20,000 तक की बिक्री पर 5% कमीशन मिलता है, और ₹20,000 से अधिक की बिक्री पर 4%। अपना कमीशन घटाकर उसने कंपनी को ₹76,600 भेजे। विक्रेता ने कुल कितने रुपये की बिक्री की थी?

उत्तर: बिक्री S मान लेते हैं, जो ₹20,000 से अधिक है। कमीशन = 20,000 का 5% + (S − 20,000) का 4% = 1,000 + 0.04S − 800 = 0.04S + 200। कंपनी को उसने S − (0.04S + 200) = 0.96S − 200 भेजे, और यह 76,600 है। तो 0.96S = 76,800 और S = ₹80,000। जाँच कर लेते हैं। कमीशन = 1,000 + 2,400 = ₹3,400, और 80,000 − 3,400 = 76,600।