प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन

प्रतिशत परिवर्तन का मूल सूत्र

किसी राशि का मान पुराने से बदलकर नया हो जाए, तो उसका प्रतिशत परिवर्तन (percentage change) इस सूत्र से निकालते हैं।

$$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\text{नया मान} - \text{पुराना मान}}{\text{पुराना मान}} \times 100\%$$

उत्तर धनात्मक आए तो वृद्धि हुई, ऋणात्मक आए तो कमी।

आधार हमेशा पुराना मान होता है, यानी वह मान जिससे शुरुआत हुई थी।

इसे दो उदाहरणों से समझिए।

• किसी चीज़ का मूल्य ₹40 से ₹50 हो गया। परिवर्तन 10 का है, तो $\frac{10}{40}$ × 100 = 25%, यानी 25% वृद्धि हुई।
• अब वही मूल्य ₹50 से वापस ₹40 पर आ गया। परिवर्तन अब भी 10 का है, पर $\frac{10}{50}$ × 100 = 20%, यानी 20% कमी हुई।

दोनों बार परिवर्तन ₹10 का ही है, फिर भी एक बार 25% आया और दूसरी बार 20%, क्योंकि आधार बदल गया। तो भाग देने से पहले तय कर लीजिए कि पुराना मान कौन-सा है।

गुणक: वृद्धि हो या कमी, उसके लिए बस एक गुणा करना पड़ता है। r% वृद्धि हो तो मान को $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$ से गुणा कीजिए, और r% कमी हो तो $\left(1 - \frac{r}{100}\right)$ से। जिस संख्या से गुणा करते हैं, उसे गुणक (multiplier) कहते हैं। गुणक को भिन्न में लिख लें, तो ज़्यादातर हिसाब बिना झंझट के हो जाता है।

जैसे ₹4,500 में 20% की वृद्धि हुई, तो 4500 × $\frac{6}{5}$ = ₹5,400 हो गए। ₹5,600 में 12.5% की कटौती हुई, तो 5600 × $\frac{7}{8}$ = ₹4,900 रह गए।

अनुपात से परिवर्तन: नए मान को पुराने मान से भाग दीजिए, परिवर्तन तुरंत दिख जाएगा। नया ÷ पुराना = 1.35 हो, तो 35% वृद्धि हुई। नया ÷ पुराना = 0.92 हो, तो 8% कमी हुई।

जब राशि खुद प्रतिशत हो: कभी बदलने वाली राशि खुद एक प्रतिशत होती है, जैसे साक्षरता दर। तब प्रतिशत अंक (percentage points) और प्रतिशत का फ़र्क ध्यान में रखिए, ये दोनों एक चीज़ नहीं हैं। मान लीजिए साक्षरता दर 60% से बढ़कर 75% हो गई। यह 15 प्रतिशत अंक की बढ़त है, जबकि प्रतिशत वृद्धि $\frac{15}{60}$ = 25% है। यह अंतर "प्रतिशत की मूल बातें और रूपांतरण" वाले खंड में विस्तार से समझाया गया है।

[SSC टिप] "75, 60 से कितने प्रतिशत अधिक है?" का उत्तर 25% है, पर "60, 75 से कितने प्रतिशत कम है?" का उत्तर 20% है। दोनों प्रश्नों में भाग उसी संख्या से दीजिए जिसके साथ "से" लगा है, क्योंकि तुलना उसी से हो रही है। पहले में 60 से भाग देंगे और दूसरे में 75 से।

"से अधिक" और "से कम" में बदलता आधार

अगर A, B से x% अधिक है, तो B, A से कम तो होगा, पर उतना नहीं। कमी का प्रतिशत x% से छोटा आएगा। वजह यह है कि अंतर तो वही है, पर अब उसकी तुलना बड़ी संख्या A से हो रही है।

$$\text{B, A से इतना कम है: } \frac{x}{100 + x} \times 100\%$$

इसी तरह A, B से x% कम हो, तो B, A से अधिक होगा, और यह प्रतिशत x% से बड़ा आएगा।

$$\text{B, A से इतना अधिक है: } \frac{x}{100 - x} \times 100\%$$

जैसे A, B से 25% अधिक है। B = 100 मानें तो A = 125, और अंतर 25 है। A के हिसाब से यह $\frac{25}{125}$ = 20% है। मतलब B, A से 20% कम है।

भिन्न से: 25% अधिक का मतलब है A = $\frac{5}{4}$B। भिन्न को पलटिए, तो B = $\frac{4}{5}$A। अब परिवर्तन सीधे दिख जाता है। $\frac{4}{5}$ मतलब 1 से पाँचवाँ भाग कम, तो B, A से 20% कम है।

"का" और "से अधिक" का फ़र्क: "A, B का 150% है" का मतलब है कि A, B से 50% अधिक है, 150% अधिक नहीं। इसी तरह "A, B से 250% अधिक है" का मतलब है कि A, B का 350% है। SSC के प्रश्नों में दोनों तरह की भाषा आती है, इसलिए प्रश्न ध्यान से और धीरे पढ़िए।

तीसरी संख्या से तुलना: जैसे A, C से 20% अधिक है और B, C से 50% अधिक। C = 100 मान लीजिए, तो A = 120 और B = 150। अब जो भी पूछा जाए, सीधे निकल आएगा।

• A, B से $\frac{30}{150}$ = 20% कम है।
• B, A से $\frac{30}{120}$ = 25% अधिक है।
• A, B का $\frac{120}{150}$ = 80% है।

"से कम" वाले प्रश्नों में भी यही तरीका चलता है। मान लीजिए A और B, C से क्रमशः 10% और 25% कम हैं। C = 100 लें, तो A = 90 और B = 75। अब B, A से $\frac{15}{90} = 16\frac{2}{3}\%$ कम है, और A, B से $\frac{15}{75}$ = 20% अधिक है।

कड़ी वाली तुलना: कभी तुलना एक कड़ी में दी होती है। A, B से 25% अधिक है और B, C से 20% कम। तो A = $\frac{5}{4} \times \frac{4}{5}$C = C, यानी A और C बराबर हैं। यहाँ सीधे 25 − 20 = 5 करके A को C से 5% अधिक लिख देना गलत है।

मूल मान निकालना

कोई मान r% बढ़कर V हो गया, तो V मूल मान का (100 + r)% है। इसलिए मूल मान ऐसे निकलता है।

$$\text{मूल मान} = V \times \frac{100}{100 + r}$$

r% कमी के बाद V बचा हो, तो मूल मान = $V \times \frac{100}{100 - r}$।

जैसे किसी का वेतन 20% बढ़कर ₹27,000 हो गया। नया वेतन पुराने का 120% है, तो पुराना वेतन = 27000 × $\frac{100}{120}$ = ₹22,500।

जहाँ छात्र चूकते हैं: कई छात्र ₹27,000 का ही 20% घटा देते हैं और 27000 − 5400 = ₹21,600 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 20% पुराने वेतन पर लगा था, ₹27,000 पर नहीं। उत्तर जाँचना हो, तो निकले हुए मान पर वही परिवर्तन दोबारा लगाकर देखिए कि दिया हुआ मान आता है या नहीं। 22500 + 22500 का 20% = 22500 + 4500 = 27000, तो उत्तर ठीक है।

कमी में भी यही बात है। 20% कटौती के बाद मूल्य ₹1,600 रह गया, तो मूल मूल्य = 1600 × $\frac{100}{80}$ = ₹2,000 था। 1600 में उसी का 20% जोड़कर 1600 + 320 = ₹1,920 लिखना गलत है।

एक बदले मान से दूसरा बदला मान: कोई संख्या 12% बढ़कर 1008 हो गई। पूछा गया है कि अगर वही संख्या 8% घटती, तो कितनी रह जाती। पहले मूल संख्या निकालिए, 1008 × $\frac{100}{112}$ = 900। फिर 900 का 92% = 828। दोनों कदम एक पंक्ति में भी हो जाते हैं।

$$1008 \times \frac{92}{112} = 828$$

दो परिवर्तनों का अंतर: किसी संख्या को 20% बढ़ाने पर जो आता है, वह उसी संख्या को 15% घटाने पर आने वाले नतीजे से 105 अधिक है। दोनों नतीजे संख्या के 120% और 85% हैं, यानी दोनों में 35 प्रतिशत अंक का अंतर है। तो संख्या का 35% = 105, और संख्या = 300।

परिवर्तन रुपयों में दिया हो: मूल्य 15% गिरने से एक फ़ोन पहले से ₹2,250 सस्ता हो गया। अब उसका नया मूल्य निकालना है। यहाँ 15% = ₹2,250, तो 1% = ₹150 और पुराना मूल्य ₹15,000 था। नया मूल्य = 15000 − 2250 = ₹12,750।

शुरुआती मान पर वापसी

किसी मान में जितने प्रतिशत की वृद्धि हुई, उतने ही प्रतिशत की कमी कर दें, तो वह फिर कभी पहले जितना नहीं होता। वजह यह है कि कमी अब बड़ी संख्या पर लगती है। ठीक शुरुआती मान पर लौटाने के लिए ये प्रतिशत चाहिए।

• x% वृद्धि के बाद $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ की कमी।
• x% कमी के बाद $\frac{x}{100 - x} \times 100\%$ की वृद्धि।

ये वही दो सूत्र हैं जो "से अधिक" और "से कम" वाली तुलना में आए थे। वजह भी वही है कि अब आधार बदला हुआ मान है।

पहले कमी और फिर वृद्धि वाली पंक्तियों पर ख़ास ध्यान दीजिए, क्योंकि ज़्यादातर अंक यहीं कटते हैं। किसी शेयर का मूल्य आधा हो जाए, तो वापस आने के लिए उसे दोगुना होना पड़ेगा।

भिन्न से: 20% कमी का मतलब × $\frac{4}{5}$ है। वापस आने के लिए × $\frac{5}{4}$ करना होगा, यानी 25% वृद्धि। इसी तरह $16\frac{2}{3}\%$ वृद्धि का मतलब × $\frac{7}{6}$ है। वापसी के लिए × $\frac{6}{7}$ चाहिए, यानी $\frac{1}{7}$ की कमी, जो $14\frac{2}{7}\%$ है।

पहले जितना नहीं, किसी और मान तक: कोई संख्या 20% बढ़ी, और अब नई संख्या को इतना घटाना है कि नतीजा मूल से 4% अधिक रहे। मूल संख्या 100 मान लीजिए। वृद्धि के बाद 120 हुआ और हमें 104 तक जाना है। तो 120 में से 16 की कमी चाहिए, जो $13\frac{1}{3}\%$ है।

एक और उदाहरण लीजिए। किसी चीज़ का मूल्य 40% घटा, और अब उसे इतना बढ़ाना है कि वह मूल से 5% ऊपर पहुँच जाए। मूल्य 100 मानें तो वह घटकर 60 हुआ, और पहुँचना 105 तक है। यानी 60 पर 45 बढ़ाने हैं, जो 75% की वृद्धि है।

[SSC टिप] वृद्धि के बाद पहले जितना करने के लिए जो कमी चाहिए, वह हमेशा उस वृद्धि से छोटी होती है। कमी के बाद पहले जितना करने के लिए जो वृद्धि चाहिए, वह हमेशा उस कमी से बड़ी होती है। अकेले इसी बात से कई प्रश्नों में दो विकल्प तुरंत हट जाते हैं।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

जब एक परिवर्तन के बाद दूसरा परिवर्तन होता है, तो इसे क्रमिक परिवर्तन (successive change) कहते हैं। यहाँ दूसरा परिवर्तन मूल मान पर नहीं, पहले परिवर्तन के बाद आए नए मान पर लगता है। इसलिए दोनों प्रतिशत सीधे जोड़ देना गलत है। पहले a% और फिर b% का परिवर्तन हो, तो कुल परिवर्तन (net change) यह होता है।

$$\text{कुल परिवर्तन} = \left(a + b + \frac{ab}{100}\right)\%$$

वृद्धि को धन चिह्न के साथ रखिए और कमी को ऋण चिह्न के साथ। चार उदाहरण देखिए।

• 20% वृद्धि के बाद 10% वृद्धि हो, तो 20 + 10 + $\frac{20 \times 10}{100}$ = 32% वृद्धि।
• 20% वृद्धि के बाद 10% कमी हो, तो 20 − 10 − 2 = 8% वृद्धि।
• 20% कमी के बाद 10% कमी हो, तो −20 − 10 + 2 = −28%, यानी 28% कमी।
• 25% वृद्धि के बाद 20% कमी हो, तो 25 − 20 − 5 = 0, यानी कोई परिवर्तन नहीं।

गुणक विधि: यही काम गुणकों का गुणा करके भी होता है। 20% वृद्धि के बाद 10% कमी हो, तो 1.2 × 0.9 = 1.08, यानी 8% वृद्धि। तीन या ज़्यादा परिवर्तन हों, तो यही सबसे साफ़ तरीका है। जैसे पहले 10% वृद्धि हुई, फिर 20% कमी और फिर 25% वृद्धि।

$$\frac{11}{10} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{11}{10}$$

तो कुल 10% वृद्धि हुई।

तीन परिवर्तन, सूत्र से: सूत्र से करना हो, तो पहले दो परिवर्तनों को मिलाइए, फिर उस नतीजे को तीसरे से मिलाइए। जैसे तीन बार 10% वृद्धि हुई। पहले 10 और 10 से 21% आया। फिर 21 और 10 से 21 + 10 + 2.1 = 33.1% आया। तीनों का पूरा सूत्र $a + b + c + \frac{ab + bc + ca}{100} + \frac{abc}{10000}$ है, पर दो कदम वाला तरीका याद रखना आसान है।

वही प्रतिशत ऊपर, फिर नीचे: x% वृद्धि और x% कमी हो, क्रम चाहे जो हो, तो अंत में हमेशा हानि ही होती है।

$$x - x - \frac{x \times x}{100} = -\frac{x^2}{100}$$

10% ऊपर और 10% नीचे जाने पर 1% हानि होती है। 30% ऊपर और 30% नीचे जाने पर 9% हानि। और 50% नीचे जाकर फिर 50% ऊपर जाने पर 25% हानि।

क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता: गुणा किसी भी क्रम में कीजिए, नतीजा एक ही आता है। 20% वृद्धि के बाद 10% कमी हो, या 10% कमी के बाद 20% वृद्धि, बात एक ही है। प्रश्न में पूछा जाए कि कौन-सा क्रम बेहतर है, तो उत्तर यही है कि दोनों बराबर हैं। क्रमिक बट्टे में भी ठीक यही हिसाब लगता है, और हर वर्ष एक ही दर से होने वाली वृद्धि में भी।

[SSC टिप] $\frac{ab}{100}$ के चिह्न पर ध्यान दीजिए। दो वृद्धि हों तो यह पद धनात्मक होता है। दो कमी हों तब भी यह धनात्मक ही रहता है, क्योंकि ऋण × ऋण = धन। इसीलिए कुल कमी दोनों कमियों के सीधे जोड़ से कम आती है। एक वृद्धि और एक कमी हो, तब यह ऋणात्मक होता है।

क्रमिक परिवर्तन में नतीजे से पीछे लौटना

कुल गुणक पता हो, तो "मूल मान निकालिए" वाला हर प्रश्न बस एक भाग का रह जाता है।

अंतिम मान दिया हो: किसी चीज़ का मूल्य 25% बढ़ा, फिर 10% घटा, और अब ₹5,625 है। शुरू में मूल्य कितना था, यह निकालना है। कुल परिवर्तन 25 − 10 − 2.5 = 12.5% है, तो गुणक 1.125 = $\frac{9}{8}$ हुआ। शुरुआती मूल्य = 5625 × $\frac{8}{9}$ = ₹5,000।

परिवर्तन की रकम दी हो: वेतन पहले 10% बढ़ा और फिर 20%, और कुल बढ़त ₹4,800 की हुई। मूल वेतन निकालना है। कुल वृद्धि 10 + 20 + 2 = 32% है। वेतन का 32% = ₹4,800, तो वेतन = 4800 × $\frac{100}{32}$ = ₹15,000।

वही x% ऊपर, फिर नीचे: मूल्य 20% बढ़ा और फिर 20% घटा, और अब शुरुआत से ₹96 कम है। हानि = $\frac{20^2}{100}$ = मूल का 4%। तो 4% = ₹96, और मूल मूल्य ₹2,400 था।

उलटा प्रश्न भी आता है। मूल्य किसी प्रतिशत से बढ़ा और फिर उसी प्रतिशत से घटा, और अंत में 16% कम रह गया। वह प्रतिशत निकालना है। $\frac{x^2}{100}$ = 16, तो $x^2$ = 1600 और x = 40।

दो व्यक्ति, दो परिवर्तन: A का वेतन 25% बढ़ा और B का 20% घटा। अब दोनों बराबर कमाते हैं। तो 1.25A = 0.8B, यानी $\frac{A}{B} = \frac{0.8}{1.25} = \frac{16}{25}$। मूल वेतनों का अनुपात A : B = 16 : 25 है।

ऊपर-नीचे के बाद नतीजा दिया हो: कोई संख्या पहले 30% बढ़ी, फिर 30% घटी, और 182 पर आ गई। कुल गुणक 1.3 × 0.7 = 0.91 है, तो संख्या = 182 ÷ 0.91 = 200।

दोनों परिवर्तन मूल मान पर हों: कभी प्रश्न में साफ़ लिखा होता है कि दोनों परिवर्तन मूल मान पर हुए हैं, जैसे "मूल्य, मूल मूल्य का 20% बढ़ा, फिर मूल मूल्य का 5% घटा"। तब प्रतिशत सच में सीधे जुड़ते हैं, और कुल परिवर्तन 20 − 5 = 15% होता है। ऐसी भाषा कम आती है, पर आती है। सीधा जोड़ना केवल इसी एक हालत में सही है।

गणना में त्रुटि

कभी प्रश्न में बताया जाता है कि किसी ने हिसाब करते समय गलत क्रिया कर दी, और पूछा जाता है कि उसके उत्तर में प्रतिशत त्रुटि (percentage error) कितनी है। यहाँ आधार हमेशा सही परिणाम होता है।

$$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\left|\text{गलत परिणाम} - \text{सही परिणाम}\right|}{\text{सही परिणाम}} \times 100\%$$

छात्र ने किस संख्या पर हिसाब किया, इसका उत्तर पर कोई असर नहीं पड़ता। इसलिए अपनी सुविधा की संख्या मान लीजिए, जैसे 1 या हरों का ल.स. (LCM)।

उलटी भिन्न से गुणा: $\frac{4}{3}$ से गुणा करना था, पर $\frac{3}{4}$ से कर दिया। संख्या 12 मान लीजिए। सही परिणाम 16 है और गलत 9, तो त्रुटि $\frac{7}{16}$ = 43.75% हुई। ऐसी हर भिन्न के लिए एक सूत्र भी है। सही गुणक $\frac{p}{q}$ था और छात्र ने $\frac{q}{p}$ ले लिया, तो त्रुटि इस सूत्र से निकलेगी।

$$\text{त्रुटि} = \frac{\left|p^2 - q^2\right|}{p^2} \times 100\%$$

इसे $\frac{4}{3}$ पर लगाकर देखिए। $\frac{16 - 9}{16}$ = 43.75% आता है, यानी वही उत्तर जो ऊपर आया था।

गुणा की जगह भाग: k से गुणा करना था, पर k से भाग कर दिया। संख्या 1 मान लीजिए। सही परिणाम k है और गलत $\frac{1}{k}$, तो त्रुटि $\frac{k^2 - 1}{k^2} \times 100\%$ होगी। जैसे k = 8 हो, तो $\frac{63}{64}$ = 98.4375%।

भाग की जगह गुणा: k से भाग करना था, पर गुणा कर दिया। अब सही परिणाम $\frac{1}{k}$ है और गलत k, तो त्रुटि $(k^2 - 1) \times 100\%$ होगी। k = 3 हो, तो 800%। इससे चौंकिए नहीं, त्रुटि 100% से ज़्यादा भी हो सकती है।

कमी की जगह वृद्धि: मूल्य x% घटाना था, पर x% बढ़ा दिया। 100 से चलें, तो सही परिणाम 100 − x है और गलत 100 + x। त्रुटि $\frac{2x}{100 - x} \times 100\%$ होगी। x = 10 हो, तो $\frac{20}{90} = 22\frac{2}{9}\%$। उलटी चूक हो, यानी वृद्धि की जगह कमी कर दी, तो त्रुटि $\frac{2x}{100 + x} \times 100\%$ होगी, जो x = 10 पर $18\frac{2}{11}\%$ आती है।

संख्या गलत पढ़ ली या गलत लिख ली: यहाँ गलत संख्या की तुलना सीधे सही संख्या से कीजिए। 36 की जगह 63 लिख दिया, तो अंतर 27 है और त्रुटि $\frac{27}{36}$ = 75%। किसी संख्या के दोनों अंक आपस में बदल जाएँ, तो अंतर हमेशा दोनों अंकों के अंतर का 9 गुना होता है। इससे भिन्न का अंश तुरंत मिल जाता है।

[SSC टिप] भाग हमेशा सही मान से दीजिए, गलत मान से कभी नहीं। गलत मान से भाग देने पर जो उत्तर आता है, वह SSC लगभग हर बार विकल्पों में रखता है।

जनसंख्या वृद्धि और मूल्यह्रास

किसी जनसंख्या में हर वर्ष r% की वृद्धि हो, तो हर वर्ष उसे $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$ से गुणा कीजिए। n वर्ष बाद की जनसंख्या यह होगी।

$$P_n = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$$

मशीन, कार या फ़ोन जैसी चीज़ का मूल्य हर वर्ष r% घटता हो, तब भी यही नियम है, बस चिह्न ऋण हो जाता है। इसे मूल्यह्रास (depreciation) कहते हैं।

$$V_n = V\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$$

हर वर्ष का परिवर्तन उसी वर्ष के शुरुआती मान पर लगता है। इसीलिए कुल परिवर्तन सीधे r × n प्रतिशत नहीं होता।

आगे का हिसाब: किसी शहर की जनसंख्या 64,000 है और हर वर्ष 12.5% बढ़ती है। 12.5% = $\frac{1}{8}$, तो गुणक $\frac{9}{8}$ है। 2 वर्ष बाद की जनसंख्या यह होगी।

$$64000 \times \frac{9}{8} \times \frac{9}{8} = 81000$$

3 वर्ष बाद यह 81000 × $\frac{9}{8}$ = 91,125 हो जाएगी।

पीछे का हिसाब: n वर्ष पहले का मान चाहिए, तो गुणा की जगह भाग दीजिए।

$$P_{\text{पहले}} = \frac{P}{\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n}$$

जैसे एक कार का मूल्य आज ₹4,05,000 है, और पिछले 2 वर्षों में उसका मूल्य हर वर्ष 10% घटा है। 2 वर्ष पहले उसका मूल्य = 405000 ÷ (0.9 × 0.9) = 405000 ÷ 0.81 = ₹5,00,000 था।

हर वर्ष अलग दर: हर वर्ष की दर अलग हो, तो हर वर्ष का अपना गुणक लेकर सबका गुणा कीजिए। मान लीजिए जनसंख्या 20,000 है। पहले वर्ष 10% वृद्धि हुई, दूसरे वर्ष 5% कमी और तीसरे वर्ष 20% वृद्धि। तीन वर्ष बाद की जनसंख्या यह होगी।

$$20000 \times 1.1 \times 0.95 \times 1.2 = 25080$$

किसी एक वर्ष का परिवर्तन: एक मशीन ₹80,000 में खरीदी गई और हर वर्ष 15% मूल्यह्रास होता है। पूछा है कि दूसरे वर्ष में मूल्य कितना घटा। पहले वर्ष के बाद मूल्य 80000 × 0.85 = ₹68,000 रहा। दूसरे वर्ष की कमी ₹68,000 का 15% है, यानी ₹10,200। यहाँ ₹80,000 का 15% लेना गलत है।

10%, 20% या 25% जैसी दरों में भिन्न से हिसाब आसान रहता है, जैसे $\left(\frac{11}{10}\right)^2 = \frac{121}{100}$, $\left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$ और $\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$। विकल्पों के मान ज़्यादातर ऐसे रखे जाते हैं कि ये भिन्नें साफ़ कट जाएँ। जनसंख्या वृद्धि का यह सूत्र वही है जो चक्रवृद्धि ब्याज में लगता है।

जन्म, मृत्यु, प्रवास और जनसंख्या

जन्म और मृत्यु: जन्म दर b% प्रति वर्ष हो और मृत्यु दर d% प्रति वर्ष, तो जनसंख्या हर वर्ष (b − d)% बढ़ती है। ये दरें अक्सर "प्रति हज़ार" में दी होती हैं। 1000 पर 45 जन्म का मतलब 4.5% है, और 1000 पर 20 मृत्यु का मतलब 2%। तो शुद्ध वृद्धि 2.5% प्रति वर्ष हुई। अब किसी शहर में 32,000 लोग हैं और जनसंख्या इसी दर से बढ़ती है, तो 2 वर्ष बाद वहाँ इतने लोग होंगे।

$$32000 \times 1.025 \times 1.025 = 33620$$

प्रवास प्रतिशत में हो: मान लीजिए जनसंख्या हर वर्ष 6% बढ़ती है, पर हर वर्ष 1% लोग बाहर जाकर बस जाते हैं। तो शुद्ध दर 5% प्रति वर्ष है। ऐसे प्रश्नों में दोनों प्रतिशत उस वर्ष की एक ही जनसंख्या पर माने जाते हैं, इसलिए सीधे 6 − 1 कर लेना ठीक है।

प्रवास गिनती में हो: यहाँ क्रम से फ़र्क पड़ता है। लोग कब जाते हैं, यह प्रश्न में लिखा होता है, उसे ध्यान से देखिए। जैसे किसी शहर की जनसंख्या 50,000 है, जो हर वर्ष 8% बढ़ती है, और हर वर्ष के अंत में 2,000 लोग बाहर चले जाते हैं।

• वर्ष 1 में 50000 × 1.08 = 54000, और 54000 − 2000 = 52000।
• वर्ष 2 में 52000 × 1.08 = 56160, और 56160 − 2000 = 54160।

यहाँ घात वाला सूत्र नहीं चलेगा, क्योंकि 2,000 कोई प्रतिशत नहीं है। इसलिए हर वर्ष का हिसाब अलग-अलग कीजिए।

अलग दरें, पीछे की ओर: जनसंख्या पहले वर्ष 20% बढ़ी, दूसरे वर्ष 25% घटी और तीसरे वर्ष 10% बढ़ी, और अब 39,600 है। शुरू में कितनी थी, यह निकालना है। कुल गुणक 1.2 × 0.75 × 1.1 = 0.99 है, तो शुरुआती जनसंख्या = 39600 ÷ 0.99 = 40,000। यहाँ तीनों वर्षों का क्रम कुछ भी हो, कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

बढ़े हुए लोगों की गिनती से पीछे: किसी गाँव की जनसंख्या 2 वर्ष तक 10% प्रति वर्ष की दर से बढ़ी, और इन दो वर्षों में 1,680 लोग बढ़े। 10% की दर से 2 वर्ष में कुल वृद्धि 10 + 10 + 1 = 21% होती है। तो जनसंख्या का 21% = 1,680, यानी गाँव में शुरू में 8,000 लोग थे।

[Tier 2] कितने वर्ष लगेंगे: कभी पूछा जाता है कि जनसंख्या किसी तय संख्या को पहली बार कब पार करेगी। तब हर वर्ष का गुणक लगाते जाइए। 20% प्रति वर्ष हो, तो $1.2^2 = 1.44$, $1.2^3 = 1.728$ और $1.2^4 = 2.0736$। मतलब 20% प्रति वर्ष से बढ़ने वाली जनसंख्या 4 वर्ष बाद पहली बार दोगुनी से अधिक होती है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

एक किग्रा दाल का मूल्य पहले ₹96 से ₹120 हुआ और बाद में घटकर दोबारा ₹96 हो गया। इसमें प्रतिशत वृद्धि और प्रतिशत कमी क्रमशः कितनी है? (a) 25% और 20% (b) 20% और 25% (c) 25% और 25% (d) 24% और 24%

उत्तर: दोनों बार मूल्य ₹24 ही बदला। मूल्य बढ़ते समय आधार पुराना मूल्य ₹96 है, तो वृद्धि $\frac{24}{96}$ = 25% हुई। घटते समय आधार ₹120 है, तो कमी $\frac{24}{120}$ = 20% हुई। यानी (a) 25% और 20%।

प्रश्न 2

रवि को सुनीता से 40% अधिक वेतन मिलता है। सुनीता का वेतन रवि से कितने प्रतिशत कम है? (a) 40% (b) 60% (c) $28\frac{4}{7}\%$ (d) $71\frac{3}{7}\%$

उत्तर: सुनीता का वेतन 100 मान लीजिए, तो रवि का 140 होगा। सुनीता का वेतन 40 कम है, पर यह कमी रवि के 140 के हिसाब से देखनी है। $\frac{40}{140} = \frac{2}{7}$, जो $28\frac{4}{7}\%$ है, यानी (c) $28\frac{4}{7}\%$। $71\frac{3}{7}\%$ तो यह बताता है कि सुनीता का वेतन रवि के वेतन का कितना प्रतिशत है। प्रश्न में "कितना कम" पूछा गया है, इसलिए वह विकल्प गलत है।

प्रश्न 3

पिछले वर्ष की तुलना में इस वर्ष एक विद्यालय में 37.5% कम छात्र हैं। अगले वर्ष छात्रों की संख्या कितने प्रतिशत बढ़नी चाहिए, ताकि वह फिर से पिछले वर्ष जितनी हो जाए? (a) 37.5% (b) 60% (c) 62.5% (d) $27\frac{3}{11}\%$

उत्तर: पिछले वर्ष के छात्र 100 मान लीजिए, तो इस वर्ष 62.5 हैं। 100 तक वापस पहुँचने के लिए 37.5 बढ़ाने होंगे, और आधार अब 62.5 है। $\frac{37.5}{62.5}$ = 0.6, यानी 60% की वृद्धि चाहिए, जो विकल्प (b) 60% है। भिन्न से यह और जल्दी होता है। 37.5% कम होने पर पुरानी संख्या का $\frac{5}{8}$ बचा, और $\frac{5}{8}$ से वापस 1 तक जाने के लिए × $\frac{8}{5}$ करना होगा, जो फिर से 60% की वृद्धि है।

प्रश्न 4

दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या से क्रमशः 20% और 50% अधिक हैं। पहली संख्या दूसरी से कितने प्रतिशत कम है? (a) 30% (b) 25% (c) 80% (d) 20%

उत्तर: तीसरी संख्या 100 मान लेते हैं। तब पहली 120 है और दूसरी 150। पहली संख्या 30 कम है, और तुलना दूसरी संख्या 150 से हो रही है। तो $\frac{30}{150}$ = 20%, यानी (d) 20%।

प्रश्न 5

यदि A, B से 20% अधिक हो और B, C से 25% कम हो, तो A, C का कितना प्रतिशत है? (a) 95% (b) 90% (c) 110% (d) 105%

उत्तर: यहाँ दोनों गुणकों का गुणा कर दीजिए। A = 1.2B और B = 0.75C, तो A = 1.2 × 0.75 × C = 0.9C। मतलब A, C का 90% है, यानी (b) 90%। कुछ लोग सीधे 20 − 25 = −5 करके 95% लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि दोनों प्रतिशत अलग-अलग आधार पर लगे हैं।

प्रश्न 6

एक स्कूटर का मूल्य 15% बढ़ने के बाद ₹74,750 हो गया। बढ़ने से पहले स्कूटर का मूल्य कितना था? (a) ₹63,537.50 (b) ₹62,500 (c) ₹64,000 (d) ₹65,000

उत्तर: 15% बढ़ने के बाद नया मूल्य पुराने का 115% है। तो पुराना मूल्य = 74750 × $\frac{100}{115}$ = ₹65,000। जाँच कर लीजिए, 65,000 का 15% = 9,750, और 65,000 + 9,750 = 74,750। तो विकल्प (d) ₹65,000 ठीक है। जल्दी में कई लोग ₹74,750 में से ही 15% घटाकर ₹63,537.50 लिख देते हैं, जो विकल्प (a) है। यह गलत है, क्योंकि 15% पुराने मूल्य पर जुड़ा था, नए पर नहीं।

प्रश्न 7

किसी संख्या को 15% बढ़ाने पर वह 920 बन जाती है। यदि इसके बजाय उसे 15% घटाया जाता, तो परिणाम क्या होता? (a) 782 (b) 690 (c) 680 (d) 800

उत्तर: पहले संख्या निकालिए, 920 × $\frac{100}{115}$ = 800। अब 800 में 15% कमी करें, तो 800 × 0.85 = 680, यानी (c) 680। चाहें तो दोनों कदम एक साथ कर लीजिए, 920 × $\frac{85}{115}$ = 680।

प्रश्न 8

किसी संख्या को 18% बढ़ाने पर मिलने वाली संख्या, उसी संख्या को 12% घटाने पर मिलने वाली संख्या से 75 अधिक है। वह संख्या कितनी है? (a) 250 (b) 125 (c) 500 (d) 375

उत्तर: पहला नतीजा संख्या का 118% है और दूसरा 88%। दोनों में अंतर संख्या का 30% है, और यही 75 है। तो संख्या = 75 × $\frac{100}{30}$ = 250, यानी (a) 250। जाँच भी कर लेते हैं। 250 का 118% = 295 और 250 का 88% = 220, और 295 − 220 = 75।

प्रश्न 9

एक महीने में किसी कंपनी के शेयर का मूल्य 44% घट गया। अब शेयर के मूल्य में कितने प्रतिशत की वृद्धि हो कि वह फिर से शुरुआती मूल्य पर आ जाए? (a) 44% (b) 56% (c) $78\frac{4}{7}\%$ (d) $30\frac{5}{9}\%$

उत्तर: शुरुआती मूल्य 100 मान लीजिए। 44% घटने पर शेयर 56 पर आ गया। वापस 100 पर पहुँचने के लिए 56 पर 44 बढ़ाने होंगे। $\frac{44}{56} = \frac{11}{14}$, जो $78\frac{4}{7}\%$ है। तो विकल्प (c) $78\frac{4}{7}\%$ ठीक है।

प्रश्न 10

एक संख्या को 25% बढ़ाया गया। अब इस नई संख्या में कितने प्रतिशत की कमी की जाए, ताकि परिणाम मूल संख्या से 10% कम रहे? (a) 28% (b) 35% (c) 30% (d) 25%

उत्तर: मूल संख्या 100 मान लीजिए। 25% बढ़ने के बाद यह 125 हो गई। हमें मूल से 10% कम, यानी 90 पर पहुँचना है। तो 125 में से 35 घटाने हैं, और $\frac{35}{125}$ = 28%। मतलब (a) 28% की कमी करनी होगी। 35% लिखना गलत है। वह तभी सही होता जब आधार 100 होता, पर यहाँ कमी 125 पर हो रही है।

प्रश्न 11

एक वस्तु का मूल्य पहले 20% बढ़ाया गया और उसके बाद 15% और बढ़ाया गया। मूल्य में कुल कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 35% (b) 38% (c) 37% (d) 32%

उत्तर: a% और b% की दो वृद्धि हों, तो कुल वृद्धि a + b + $\frac{ab}{100}$ होती है। यहाँ 20 + 15 + $\frac{20 \times 15}{100}$ = 20 + 15 + 3 = 38%। तो मूल्य कुल (b) 38% बढ़ा।

प्रश्न 12

किसी कर्मचारी का वेतन पहले 30% बढ़ाया गया और फिर 30% घटा दिया गया। इससे वेतन पर कुल क्या प्रभाव पड़ा? (a) कोई परिवर्तन नहीं (b) 9% की वृद्धि (c) 9% की कमी (d) 3% की कमी

उत्तर: जब उतना ही प्रतिशत पहले बढ़े और फिर घटे, तो हमेशा $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि होती है। यहाँ $\frac{30 \times 30}{100}$ = 9%। गुणक से भी देख लीजिए, 1.3 × 0.7 = 0.91, यानी वेतन का केवल 91% बचा। मतलब वेतन में (c) 9% की कमी हुई।

प्रश्न 13

किसी राशि को पहले 10% बढ़ाया गया, फिर 20% बढ़ाया गया और अंत में 25% घटाया गया। राशि में कुल परिवर्तन क्या हुआ? (a) 1% की कमी (b) 5% की वृद्धि (c) 1% की वृद्धि (d) 5% की कमी

उत्तर: तीनों गुणकों का गुणा करना है, 1.1 × 1.2 × 0.75। पहले 1.1 × 1.2 = 1.32, फिर 1.32 × 0.75 = 0.99। राशि का 99% बचा, तो वह 1% घट गई। उत्तर है (a) 1% की कमी।

प्रश्न 14

एक संख्या में पहले 25% की कमी और फिर 40% की वृद्धि करने पर 1260 मिलता है। मूल संख्या क्या है? (a) 1200 (b) 1071 (c) 1323 (d) 1260

उत्तर: कुल गुणक 0.75 × 1.4 = 1.05 है। तो संख्या × 1.05 = 1260, यानी संख्या = 1260 ÷ 1.05 = 1200, जो विकल्प (a) 1200 है। जाँच कर लीजिए, 1200 में 25% कमी से 900 आता है, और 900 में 40% वृद्धि से 1260।

प्रश्न 15

अनिल का वेतन पहले 25% और फिर 20% बढ़ाया गया। इन दोनों बढ़ोतरियों के बाद उसका वेतन पहले से ₹4,500 अधिक हो गया। अनिल का मूल वेतन कितना था? (a) ₹10,000 (b) ₹6,000 (c) ₹11,250 (d) ₹9,000

उत्तर: 25% और 20% की दो वृद्धि का मतलब है कुल 25 + 20 + 5 = 50% वृद्धि। वेतन का 50% = ₹4,500 है, तो पूरा वेतन (d) ₹9,000 था।

प्रश्न 16

A का वेतन 10% बढ़ाने और B का वेतन 10% घटाने पर दोनों का वेतन बराबर हो जाता है। A और B के मूल वेतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (a) 11 : 9 (b) 9 : 11 (c) 1 : 1 (d) 10 : 11

उत्तर: परिवर्तन के बाद 1.1 × A = 0.9 × B। तो $\frac{A}{B} = \frac{0.9}{1.1} = \frac{9}{11}$, यानी A : B = 9 : 11, और विकल्प (b) 9 : 11 है। सोचकर देखिए तो भी यही ठीक लगता है। A का वेतन बढ़ा और B का घटा, तब जाकर दोनों बराबर हुए। तो A का वेतन शुरू में कम ही रहा होगा।

प्रश्न 17

किसी संख्या को $\frac{5}{3}$ से गुणा करना था, पर एक छात्र ने गलती से उसे $\frac{3}{5}$ से गुणा कर दिया। छात्र के उत्तर में कितने प्रतिशत की त्रुटि है? (a) 64% (b) 36% (c) 40% (d) $177\frac{7}{9}\%$

उत्तर: संख्या 15 मान लीजिए। सही परिणाम 15 × $\frac{5}{3}$ = 25 है और गलत परिणाम 15 × $\frac{3}{5}$ = 9। त्रुटि 16 है, और इसे सही परिणाम 25 से भाग देंगे। $\frac{16}{25}$ = 64%, यानी (a) 64%। अगर किसी ने गलत परिणाम 9 से भाग दे दिया, तो $177\frac{7}{9}\%$ आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 18

एक संख्या को 4 से गुणा करना था, पर छात्र ने उसे 4 से भाग दे दिया। उसके परिणाम में प्रतिशत त्रुटि कितनी है? (a) 1500% (b) 75% (c) 6.25% (d) 93.75%

उत्तर: संख्या 4 मान लीजिए। तब सही परिणाम 16 है और गलत परिणाम 1। त्रुटि 15 है, और इसे सही परिणाम 16 से भाग देने पर $\frac{15}{16}$ = 93.75% आता है। तो विकल्प (d) 93.75% ठीक है।

प्रश्न 19

किसी छात्र के 45 अंक थे, पर शिक्षक ने गलती से 54 अंक लिख दिए। इसमें प्रतिशत त्रुटि कितनी है? (a) $16\frac{2}{3}\%$ (b) 9% (c) 20% (d) 25%

उत्तर: अंक 54 − 45 = 9 ज़्यादा लिखे गए। यह गलती सही अंक 45 के हिसाब से देखनी है, तो $\frac{9}{45}$ = 20%, यानी (c) 20%।

प्रश्न 20

किसी शहर की वर्तमान जनसंख्या 1,76,400 है, जो प्रति वर्ष 5% की दर से बढ़ रही है। शहर की 2 वर्ष बाद की तथा 2 वर्ष पहले की जनसंख्या क्रमशः ज्ञात कीजिए। (a) 1,94,481 और 1,60,000 (b) 1,94,040 और 1,58,760 (c) 1,94,481 और 1,58,760 (d) 1,94,040 और 1,60,000

उत्तर: 5% प्रति वर्ष का मतलब है हर वर्ष × $\frac{21}{20}$। 2 वर्ष बाद की जनसंख्या 176400 × $\frac{21}{20} \times \frac{21}{20}$ = 441 × 441 = 1,94,481 होगी। 2 वर्ष पहले की जनसंख्या के लिए उलटी भिन्न से गुणा कीजिए, 176400 × $\frac{20}{21} \times \frac{20}{21}$ = 400 × 400 = 1,60,000। दोनों संख्याएँ विकल्प (a) 1,94,481 और 1,60,000 में हैं। दो वर्ष के लिए सीधे 10% लगा देना गलत है, क्योंकि उसमें वृद्धि पर हुई वृद्धि छूट जाती है।

प्रश्न 21

एक मशीन का मूल्य ₹2,50,000 है। पहले वर्ष में इसका मूल्य 20% कम होता है और उसके बाद प्रत्येक वर्ष 10% कम होता है। 3 वर्ष बाद मशीन का मूल्य क्या होगा? (a) ₹1,50,000 (b) ₹1,62,000 (c) ₹1,60,000 (d) ₹1,44,000

उत्तर: 3 वर्ष बाद मूल्य = 250000 × 0.8 × 0.9 × 0.9। पहले 250000 × 0.8 = 2,00,000, फिर × 0.9 करने पर 1,80,000, और एक बार फिर × 0.9 करने पर 1,62,000 आता है। तो 3 वर्ष बाद मशीन का मूल्य (b) ₹1,62,000 रह जाएगा।

प्रश्न 22

40,000 की जनसंख्या वाले एक शहर में हर वर्ष 10% की वृद्धि होती है, परंतु प्रत्येक वर्ष के अंत में 1,000 लोग शहर से बाहर चले जाते हैं। 2 वर्ष बाद शहर की जनसंख्या कितनी होगी? (a) 48,400 (b) 46,400 (c) 46,090 (d) 46,300

उत्तर: यहाँ 1,000 एक तय गिनती है, प्रतिशत नहीं, इसलिए हर वर्ष का हिसाब अलग-अलग करना होगा। वर्ष 1 में 40000 × 1.1 = 44000, और 44000 − 1000 = 43000। वर्ष 2 में 43000 × 1.1 = 47300, और 47300 − 1000 = 46300, यानी (d) 46,300। कुछ लोग दोनों वर्षों के 2,000 लोगों को अंत में एक साथ घटाकर 46,400 लिख देते हैं। यह 46,300 के बहुत पास है, पर गलत है।