त्वरित पुनरावृत्ति

याद रखने लायक भिन्न-प्रतिशत

प्रतिशत की जगह उसकी भिन्न लगाइए। तब "y का x%" निकालने में ज़्यादातर बस एक भाग करना पड़ता है।

• 50% = $\frac{1}{2}$, 25% = $\frac{1}{4}$, 20% = $\frac{1}{5}$, 12.5% = $\frac{1}{8}$, 10% = $\frac{1}{10}$, 5% = $\frac{1}{20}$ और 4% = $\frac{1}{25}$।
• $33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}$, $16\frac{2}{3}\% = \frac{1}{6}$, $14\frac{2}{7}\% = \frac{1}{7}$, $11\frac{1}{9}\% = \frac{1}{9}$, $9\frac{1}{11}\% = \frac{1}{11}$, $8\frac{1}{3}\% = \frac{1}{12}$ और 6.25% = $\frac{1}{16}$।
• इनके गुणज भी याद रखिए। 37.5% = $\frac{3}{8}$, 62.5% = $\frac{5}{8}$, 87.5% = $\frac{7}{8}$, $83\frac{1}{3}\% = \frac{5}{6}$ और $28\frac{4}{7}\% = \frac{2}{7}$।
• बाकी सबके लिए एक ही नियम है, $\frac{1}{n} = \frac{100}{n}\%$।

"का प्रतिशत" और "कितना प्रतिशत"

• अदला-बदली का नियम याद रखिए, y का x% = x का y%। जैसे 75 का 4% निकालना हो, तो 4 का 75% निकाल लीजिए, 3 आ जाएगा।
• "A, B का कितना प्रतिशत है?" पूछा जाए, तो $\frac{A}{B} \times 100\%$ निकालिए।
• प्रतिशत का प्रतिशत निकालना हो, तो गुणा कीजिए। जैसे 500 का 30% = 150, और 150 का 20% = 30।
• "किसी संख्या का a%, उसी संख्या के b% से k अधिक है", ऐसा दिया हो, तो सीधे लिखिए कि उस संख्या का (a − b)% = k।
• पहले दोनों ओर की इकाइयाँ एक जैसी कर लीजिए। जैसे 2.5 किग्रा का 6% चाहिए, तो 2.5 किग्रा को 2,500 ग्राम लिखिए। उसका 6% = 150 ग्राम।
• 8% से 10% होने पर वृद्धि 2 प्रतिशत अंक (percentage points) की है, पर प्रतिशत वृद्धि 25% है, क्योंकि 8 पर 2 की बढ़त 25% होती है।

प्रतिशत से अनुपात

• A का a% = B का b% हो, तो क्रॉस नियम से A : B = b : a, यानी दोनों प्रतिशतों की अदला-बदली कर दीजिए। जैसे A का 30% = B का 45% हो, तो A : B = 45 : 30 = 3 : 2।
• प्रतिशत की जगह भिन्न दी हो, तो पहले उसे प्रतिशत में बदल लीजिए। जैसे $\frac{3}{4}$ = 75%।
• तीन राशियाँ हों, जैसे A का 25% = B का 40% = C का $\frac{1}{5}$ = k, तो A = 4k, B = 2.5k और C = 5k।
• समूहों का आकार अलग हो, तो भारित औसत (weighted average) लीजिए। जैसे 150 लड़कों का 60% और 100 लड़कियों का 75% मिलाकर 90 + 75 = 165 होते हैं, यानी कुल 250 में से 165, जो 66% है। सीधा औसत लेकर 67.5% लिखना गलत है।

से अधिक, से कम

• A, B से x% अधिक हो, तो B, A से $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ कम होगा।
• A, B से x% कम हो, तो B, A से $\frac{x}{100 - x} \times 100\%$ अधिक होगा।
• आधार हमेशा वह राशि होती है जिसके ठीक बाद "से" आता है। उसी को 100 मानिए।
• ये जोड़ियाँ याद रखिए। 25% अधिक का उलटा 20% कम है, 20% अधिक का $16\frac{2}{3}\%$ कम, 50% अधिक का $33\frac{1}{3}\%$ कम और 60% अधिक का 37.5% कम।
• "से 150% अधिक" का मतलब है 2.5 गुना, पर "का 150%" का मतलब है 1.5 गुना।

प्रतिशत परिवर्तन और मूल मान

• प्रतिशत परिवर्तन = $\frac{\text{परिवर्तन}}{\text{पुराना मान}} \times 100\%$। भाग हमेशा पुराने मान से दीजिए, नए मान से कभी नहीं।
• x% वृद्धि के बाद पुराना मान = नया मान × $\frac{100}{100 + x}$। कमी के बाद 100 + x की जगह 100 − x रखिए।
• 15% वृद्धि के बाद मान ₹2,300 हो गया, तो पुराना मान 2,300 ÷ 1.15 = ₹2,000 था। ₹2,300 में से उसी का 15% घटा देना गलत है।
• पुराने मान पर लौटना हो, तो x% वृद्धि के बाद $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ की कमी चाहिए, और x% कमी के बाद $\frac{x}{100 - x} \times 100\%$ की वृद्धि।

क्रमिक परिवर्तन

• a% और b% के दो क्रमिक परिवर्तन (successive change) मिलकर $\left(a + b + \frac{ab}{100}\right)\%$ के एक परिवर्तन के बराबर होते हैं। कमी को ऋण चिह्न के साथ रखिए।
• दूसरा तरीका यह है कि हर परिवर्तन का गुणक (multiplier) लिखिए और सबका गुणा कर दीजिए। जैसे +10%, +20% और −25% के लिए 1.1 × 1.2 × 0.75 = 0.99, यानी कुल 1% कमी। तीन या ज़्यादा परिवर्तन हों, तो यही तरीका सबसे अच्छा रहता है।
• मान पहले x% बढ़े और फिर x% घटे, या पहले घटे और फिर बढ़े, दोनों हालत में $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि ही होती है।
• अंतिम मान दिया हो, तो उसे कुल गुणक से भाग दीजिए, शुरुआती मान आ जाएगा।

[SSC टिप] प्रतिशतों को कभी सीधे मत जोड़िए।

गणना में त्रुटि

• त्रुटि % = $\frac{\text{गलत} - \text{सही}}{\text{सही}} \times 100\%$। इसमें केवल मान देखिए, चिह्न नहीं, और आधार हमेशा सही परिणाम रखिए।
• कोई आसान संख्या मान लीजिए। जैसे $\frac{5}{4}$ से गुणा करना था और भाग दे दिया। संख्या 20 मानें, तो सही परिणाम 25 होना चाहिए था, पर निकला 16। त्रुटि 36% है।
• k से भाग देना था और गुणा कर दिया, तो त्रुटि = $(k^2 - 1) \times 100\%$। गुणा करना था और भाग दे दिया, तो त्रुटि = $\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \times 100\%$।
• अंक आपस में उलट जाएँ, जैसे 45% को 54% पढ़ लिया, तो दोनों का अंतर, यानी संख्या का 9%, प्रश्न में दिए गए अंतर के बराबर रखिए।
• दशमलव की चूक हो, जैसे 0.72 की जगह 7.2 से गुणा कर दिया, तो अंतर संख्या का 6.48 गुना होता है।

जनसंख्या और मूल्यह्रास

• हर साल r% वृद्धि हो, तो n साल बाद मान $P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$ होता है। मूल्यह्रास (depreciation) में यह $P\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$ हो जाता है।
• हर साल दर अलग हो, तो हर साल के गुणकों का गुणा कीजिए। जैसे 64,000 × 1.05 × 1.10 × 0.95 = 70,224।
• पीछे जाना हो, तो अंतिम मान को इन्हीं गुणकों से भाग दीजिए।
• जन्म, मृत्यु और आवागमन, सब दिए हों, तो कुल दर निकालने के लिए जन्म दर में से मृत्यु दर और बाहर जाने वालों की दर घटाइए, और बाहर से आने वालों की दर जोड़िए।
• हर साल का परिवर्तन उसी साल के शुरुआती मान पर लगता है। इसलिए दो साल तक हर साल 10% वृद्धि हो, तो कुल वृद्धि 21% होती है, 20% नहीं।
• चक्रवृद्धि ब्याज भी ठीक इसी तरह चलता है। उसका अपना अलग अध्याय है।

गुणनफल नियम

जब A = B × C हो और A स्थिर रहे, तब गुणनफल नियम (product rule) लगता है।

• B, x% बढ़े, तो C को $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ घटना होगा। B, x% घटे, तो C, $\frac{x}{100 - x} \times 100\%$ बढ़ेगा।
• यह मूल्य × खपत, चाल × समय और लंबाई × चौड़ाई में लगता है।
• दोनों बदलें, एक a% और दूसरा b%, तो गुणनफल में $\left(a + b + \frac{ab}{100}\right)\%$ का परिवर्तन होता है।
• मूल्य x% घटने से ₹M में k किग्रा ज़्यादा मिले, तो नया मूल्य = (M का x%) ÷ k।
• किसी भिन्न का अंश a% बढ़े और हर b% घटे, तो नई भिन्न = पुरानी भिन्न × $\frac{100 + a}{100 - b}$।

आय, व्यय और बचत

• आय = व्यय + बचत। आय 100 मान लीजिए और व्यय व बचत उसी के हिसाब से लिखिए।
• परिवर्तन के बाद नई बचत = नई आय − नया व्यय। जैसे आय 100, व्यय 80 और बचत 20 है। आय 15% और व्यय 10% बढ़े, तो आय 15 बढ़ी और व्यय 8। बचत में वृद्धि (15 − 8) ÷ 20 = 35% हुई।
• बचत स्थिर रहे, तो आय की पूरी बढ़त व्यय में जाती है।
• दो व्यक्तियों की आय a : b में और व्यय c : d में हो, और बचत बराबर हो, तो ax − cy = bx − dy हल कीजिए।
• "15% बचाता है और ₹25,500 खर्च करता है" का मतलब है कि आय का 85% = ₹25,500।

क्षेत्रफल और आयतन में परिवर्तन

• आयत की भुजाएँ a% और b% बढ़ें, तो क्षेत्रफल में $\left(a + b + \frac{ab}{100}\right)\%$ का परिवर्तन होता है।
• वर्ग की भुजा या वृत्त की त्रिज्या x% बदले, तो क्षेत्रफल में $\left(2x + \frac{x^2}{100}\right)\%$ का परिवर्तन होता है। जैसे त्रिज्या 30% घटे, तो क्षेत्रफल 51% घटता है।
• घन का किनारा 10% बढ़े, तो आयतन 1.331 गुना हो जाता है, यानी 33.1% अधिक।
• बेलन ($\pi r^2 h$) में त्रिज्या का असर दो बार पड़ता है। जैसे त्रिज्या 20% बढ़े और ऊँचाई 25% घटे, तो 1.44 × 0.75 = 1.08, यानी आयतन 8% बढ़ा।
• क्षेत्रफल स्थिर रहे और एक भुजा x% बढ़े, तो दूसरी को $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ घटना होगा।
• परिमाप उसी प्रतिशत से बदलता है जिससे भुजा बदलती है।

चुनाव

• दो उम्मीदवार हों और विजेता को वैध मतों का w% मिले, तो जीत का अंतर वैध मतों का (2w − 100)% होता है। जैसे 58% और 42% हों, तो अंतर 16% है।
• वैध मत, डाले गए मतों का (100 − अवैध%) होते हैं।
• डाले गए मत, मतदाता सूची के मतदाताओं का (100 − अनुपस्थित%) होते हैं।
• उलटे क्रम में एक-एक कदम चलिए। अंतर से वैध मत निकालिए, वैध मत से डाले गए मत, और फिर मतदाता सूची के मतदाता।
• तीन उम्मीदवार हों, तो तीसरे का हिस्सा = 100 − बाकी दोनों के हिस्से।

[SSC टिप] वैध मतों का प्रतिशत और डाले गए मतों का प्रतिशत, दोनों अलग चीज़ें हैं। प्रश्न में देखिए कि प्रतिशत किसका दिया है।

परीक्षा और उत्तीर्ण अंक

• उत्तीर्ण अंक = मिले अंक + जितने अंक कम पड़े। या फिर, उत्तीर्ण अंक = मिले अंक − उत्तीर्ण अंक से जितने ज़्यादा मिले।
• अधिकतम अंक = उत्तीर्ण अंक × 100 ÷ उत्तीर्ण प्रतिशत।
• दो विद्यार्थी हों, तो उनके अंकों का अंतर उनके प्रतिशतों के अंतर के बराबर रखिए। जैसे एक को 30% मिले और वह 15 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ, जबकि दूसरे को 42% मिले और उसे उत्तीर्ण अंक से 21 अंक ज़्यादा मिले। तो 12% = 15 + 21 = 36, और अधिकतम अंक 300 हैं।
• विषयवार प्रश्न में A पहले विषय में और B दूसरे विषय में अनुत्तीर्ण हों, तो कम से कम एक में अनुत्तीर्ण = A + B − दोनों में अनुत्तीर्ण। केवल एक में अनुत्तीर्ण = A + B − 2 × दोनों में अनुत्तीर्ण।
• कुल प्रतिशत = कुल मिले अंक ÷ कुल अधिकतम अंक। प्रतिशतों का औसत मत लीजिए।

क्रम से खर्च और मिश्रण

• "बचे हुए का x%" लिखा हो, तो बचे हुए भागों का गुणा कीजिए। जैसे वेतन का 30% किराए में गया और फिर बाकी का 25% किसी और मद में, तो 0.7 × 0.75 = 0.525 बचा, यानी 52.5%।
• अलग-अलग आधार वाले प्रतिशत कभी मत जोड़िए। हाँ, बजट के सारे प्रतिशत एक ही कुल रकम के हों, तो उन्हें सीधे जोड़ सकते हैं।
• मिश्रण में वह भाग पकड़िए जो नहीं बदलता। पानी मिलाने पर दूध स्थिर रहता है, और उबालने पर घुला हुआ पदार्थ।
• नई कुल मात्रा = स्थिर भाग ÷ उसका नया हिस्सा। जैसे 32 लीटर दूध नए मिश्रण का 64% हो, तो कुल मात्रा 50 लीटर है।
• दो विलयन मिलाने हों, तो दोनों में मौजूद पदार्थ के असली लीटर जोड़िए, फिर कुल मात्रा से भाग दीजिए।