गुणनफल नियम: मूल्य, खपत, आय और क्षेत्रफल

गुणनफल नियम: एक बात, कई प्रश्न

SSC में प्रतिशत के बहुत-से प्रश्न असल में एक ही प्रश्न होते हैं, बस हर बार कहानी अलग होती है। इन सबमें जो राशि पूछी जाती है, वह दो राशियों का गुणनफल होती है। ऐसे प्रश्नों में गुणनफल नियम (product rule) काम आता है।

कुछ उदाहरण देखिए।

प्रश्न में गुणनफल पहचान लिया, तो हर प्रश्न इन दो प्रकारों में से किसी एक का निकलता है।

प्रकार 1, दोनों राशियाँ बदल जाएँ। इसमें पूछा जाता है कि गुणनफल कितना बदला। इसके लिए दोनों राशियों के गुणक (multiplier) आपस में गुणा कर दीजिए। जैसे एक राशि 20% बढ़ी और दूसरी 10% घटी। 1.2 × 0.9 = 1.08, तो गुणनफल 1.08 गुना हो गया और उसमें 8% की वृद्धि हुई।

क्रमिक परिवर्तन (successive change) वाले सूत्र $a + b + \frac{ab}{100}$ से भी यही आता है। यह सूत्र "प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन" वाले खंड में आ चुका है। 20 − 10 − 2 = 8, नतीजा वही है।

प्रकार 2, गुणनफल स्थिर रहे। तब दोनों राशियाँ उलटी दिशा में बदलती हैं। एक बढ़ेगी, तो दूसरी को घटना ही पड़ेगा। एक राशि x% बढ़े, तो दूसरी में इतनी कमी करनी होगी।

$$\frac{x}{100 + x} \times 100\%$$

और एक राशि x% घटे, तो दूसरी में इतनी वृद्धि होगी।

$$\frac{x}{100 - x} \times 100\%$$

भिन्न में सोचें तो काम और जल्दी होता है। मान लीजिए मूल्य 25% बढ़ा, तो मूल्य $\frac{5}{4}$ गुना हो गया। व्यय वही रखना है, इसलिए खपत $\frac{4}{5}$ गुना करनी होगी। मतलब खपत में $\frac{1}{5}$ की कमी, जो 20% है।

$\frac{1}{n}$ की वृद्धि की भरपाई $\frac{1}{n + 1}$ की कमी से होती है, और $\frac{1}{n}$ की कमी की भरपाई $\frac{1}{n - 1}$ की वृद्धि से। इसी नियम से ये जोड़ियाँ निकलती हैं।

प्रतिशत किसी आसान भिन्न के बराबर न हो, तब सूत्र लगाइए। जैसे एक राशि 30% बढ़े, तो दूसरी में $\frac{30}{130} \times 100\% = 23\frac{1}{13}\%$ की कमी करनी होगी।

[SSC टिप] गुणनफल वही रखना हो, तो दोनों राशियों के प्रतिशत कभी बराबर नहीं होते। मूल्य 20% घटे, तो उतनी ही रकम में 25% अधिक सामान आता है, 20% नहीं। SSC के पेपर में बराबर प्रतिशत वाला उत्तर लगभग हमेशा विकल्पों में दिया होता है। उसी से बचना है।

मूल्य, खपत और व्यय

किसी चीज़ पर जितना व्यय होता है, वह उसके मूल्य और खपत का गुणनफल होता है। व्यय = मूल्य × खपत। मूल्य वाले प्रश्न चार रूपों में आते हैं।

1. व्यय में कोई बदलाव नहीं। इसके लिए ऊपर वाली तालिका ही काफ़ी है। जैसे चीनी $12\frac{1}{2}\%$ महँगी हुई, यानी $\frac{1}{8}$। तो परिवार को अपनी खपत $\frac{1}{9}$ कम करनी होगी, जो $11\frac{1}{9}\%$ है।

दूसरा उदाहरण लीजिए। खाने का तेल $37\frac{1}{2}\%$ सस्ता हुआ, मतलब $\frac{3}{8}$। अब उसका मूल्य पहले का $\frac{5}{8}$ रह गया। तो उतने ही पैसों में पहले से $\frac{8}{5}$ गुना तेल आएगा, जो 60% अधिक है।

2. व्यय को तय प्रतिशत तक बदलने की छूट हो। ऐसे में व्यय के गुणक को मूल्य के गुणक से भाग दीजिए।

$$\text{नई खपत} = \frac{\text{व्यय का गुणक}}{\text{मूल्य का गुणक}} \times \text{पुरानी खपत}$$

मान लीजिए पेट्रोल 25% महँगा हुआ, और परिवार ने तय किया कि पेट्रोल का बिल केवल 10% तक ही बढ़ने देगा। तब खपत $\frac{1.10}{1.25} = 0.88$ गुना होगी, इसलिए खपत में 12% की कटौती करनी होगी।

अब उलटा देखिए। चावल 20% सस्ता हुआ और परिवार चाहता है कि चावल पर उसका व्यय 8% कम हो जाए। तो खपत $\frac{0.92}{0.80} = 1.15$ गुना होगी। परिवार 15% अधिक चावल ले सकता है।

3. दोनों बदल जाएँ और नया व्यय पूछा जाए। यहाँ गुणकों का गुणा कीजिए। जैसे मूल्य 15% बढ़ा और खपत 15% घटी। 1.15 × 0.85 = 0.9775, तो व्यय में 2.25% की कमी हुई। ध्यान रखिए, बराबर प्रतिशत की वृद्धि और कमी एक-दूसरे को कभी नहीं काटतीं। नतीजा हमेशा $\frac{x^2}{100}\%$ की कमी होता है।

4. असली मात्राएँ दी हों। मान लीजिए कोई परिवार महीने में 30 किग्रा चावल लेता है, ₹40 प्रति किग्रा के भाव से। तो महीने का व्यय ₹1,200 हुआ। अब मूल्य ₹48 हो गया। उसी ₹1,200 में 1200 ÷ 48 = 25 किग्रा चावल आएगा, पहले से 5 किग्रा कम। 30 किग्रा में से 5 किग्रा की कमी $16\frac{2}{3}\%$ है, और मूल्य 20% बढ़ा था। यह फिर वही तालिका वाली जोड़ी है।

आमदनी और कर में भी यही नियम चलता है। आमदनी = दर × बिकी हुई मात्रा, इसलिए यहाँ भी गुणक ही लगते हैं।

• किसी सिनेमा हॉल ने टिकट का मूल्य 20% घटाया और टिकट 30% अधिक बिके। 0.8 × 1.3 = 1.04, तो आमदनी 4% बढ़ी।
• किसी वस्तु पर कर 25% घटाया गया और उसकी बिक्री 20% बढ़ गई। 0.75 × 1.2 = 0.9, तो कर की वसूली 10% घट गई।

क्रय शक्ति। वेतन से कितनी चीज़ें ख़रीदी जा सकती हैं, इसे क्रय शक्ति (purchasing power) कहते हैं। यह वेतन ÷ मूल्य स्तर के बराबर होती है। जैसे वेतन 20% बढ़ा और कीमतें 25% बढ़ीं। तो क्रय शक्ति $\frac{1.2}{1.25} = 0.96$ गुना रह गई। उसमें 4% की कमी आई। यहाँ सीधे 20 − 25 = −5% लिख देना सबसे आम गलती है।

लगातार दो बार मूल्य बढ़े। मान लीजिए मूल्य पहले 10% बढ़ा और फिर 20%। तो मूल्य 1.1 × 1.2 = 1.32 गुना हो गया। व्यय वही रखना है, तो खपत $\frac{1}{1.32} = \frac{25}{33}$ गुना करनी होगी। यानी खपत में $\frac{8}{33}$ की कटौती, जो $24\frac{8}{33}\%$ है।

जनसंख्या × प्रति व्यक्ति खपत। यह भी वही गुणनफल है। किसी कस्बे की जनसंख्या 10% बढ़ी और हर व्यक्ति ने पानी 10% कम इस्तेमाल किया। तो पानी की कुल खपत पहले जितनी नहीं रही, 1% घट गई।

उतनी ही रकम में अधिक या कम किलोग्राम

प्रश्न कुछ ऐसा आता है, "दाल का मूल्य 20% घट गया, जिससे अब ₹1,200 में 4 किग्रा अधिक दाल मिलती है। दाल का प्रति किग्रा मूल मूल्य क्या था?"

इसे ऐसे समझिए। मूल्य घटने के बाद जितनी दाल पहले आती थी, वह अब ₹1,200 के केवल 80% में आ जाती है। तो ₹1,200 का 20% बच गया, जो ₹240 है। इन्हीं ₹240 से नए मूल्य पर 4 किग्रा अतिरिक्त दाल आई है। इसलिए सूत्र यह है।

$$\text{नया मूल्य} = \frac{M \text{ का } x\%}{k}$$

यहाँ M ख़र्च की गई रकम है, और k बताता है कि कितने किग्रा अधिक मिले। हमारे प्रश्न में नया मूल्य = 240 ÷ 4 = ₹60 प्रति किग्रा है। मूल मूल्य = 60 ÷ 0.8 = ₹75 प्रति किग्रा। जाँच कर लीजिए। पहले ₹1,200 में 1200 ÷ 75 = 16 किग्रा दाल आती थी, और अब 1200 ÷ 60 = 20 किग्रा।

मूल्य बढ़े तो। जैसे, "सेब का मूल्य 25% बढ़ने से ₹600 में 3 किग्रा कम सेब मिलते हैं।" यहाँ भी वही सूत्र लगता है, और इससे फिर नया मूल्य ही निकलता है। सोचिए, पहले जितने सेब अब नए मूल्य पर लेने हों, तो 25% अधिक रकम लगेगी, यानी ₹150 अतिरिक्त। नए मूल्य पर यही ₹150 उन 3 किग्रा सेबों का दाम है जो अब कम मिलते हैं। तो नया मूल्य = 150 ÷ 3 = ₹50 प्रति किग्रा, और मूल मूल्य = 50 ÷ 1.25 = ₹40 प्रति किग्रा। जाँच के लिए देखिए, पहले 600 ÷ 40 = 15 किग्रा सेब आते थे और अब 600 ÷ 50 = 12 किग्रा।

याद रखिए, दोनों हालतों में (M का x%) ÷ k से नया मूल्य निकलता है। मूल मूल्य उसके बाद एक और कदम में निकलता है। ज़्यादातर गलत उत्तर यहीं से आते हैं। कोई एक कदम पहले रुक जाता है, तो कोई एक कदम आगे निकल जाता है।

प्रति दर्जन और प्रति नग। केले 20% सस्ते हुए और ₹48 में 12 केले अधिक मिलने लगे। ₹48 का 20% बचा, जो ₹9.60 है, और इससे 12 केले आए। तो घटा हुआ मूल्य ₹9.60 प्रति दर्जन है, मतलब एक केला 80 पैसे का। मूल मूल्य = 9.60 ÷ 0.8 = ₹12 प्रति दर्जन।

रकम न दी हो तो। ऐसे में गुणनफल नियम सीधे मात्रा पर लगाइए। जैसे, "मूल्य 10% घटने से उसी रकम में 3 किग्रा अधिक सामान आता है। पहले कितना सामान ख़रीदा जाता था?" मूल्य में $\frac{1}{10}$ की कमी हुई, तो मात्रा में $\frac{1}{9}$ की वृद्धि होगी। पुरानी मात्रा का $\frac{1}{9}$ = 3 किग्रा, तो पुरानी मात्रा 27 किग्रा थी। अब 30 किग्रा आता है।

इसी तरह मूल्य 20% बढ़े, तो मात्रा $\frac{1}{6}$ घटेगी। अगर यह कमी 5 किग्रा है, तो पुरानी मात्रा 30 किग्रा थी।

[Tier 2] कमी रुपयों में हो, प्रतिशत में नहीं। जैसे, "पेन ₹2 सस्ता हो जाए, तो ₹240 में 4 पेन अधिक आते हैं। एक पेन का मूल्य कितना है?" यहाँ कोई प्रतिशत नहीं है, तो पेन का मूल्य p मानकर समीकरण लिखिए।

$$\frac{240}{p - 2} - \frac{240}{p} = 4$$

इसे सरल करने पर $p(p - 2) = 120$ आता है, और p = 12 मिलता है। पर अक्सर विकल्प रखकर देखना इससे जल्दी हो जाता है। ₹12 पर 240 ÷ 12 = 20 पेन आते हैं, और ₹10 पर 240 ÷ 10 = 24 पेन। अंतर 4 पेन का है, तो मूल्य ₹12 ही है।

आय, व्यय, बचत: मूल तालिका

पूरा हिसाब एक ही बात पर चलता है, आय = व्यय + बचत। CGL के 2023 से 2025 तक के पेपरों में इस तरह के प्रश्न बार-बार आए हैं, इसलिए इसका तरीका पक्का कर लीजिए।

तरीका। आय 100 मान लीजिए, या प्रश्न में अनुपात दिया हो तो वही ले लीजिए। फिर एक छोटी तालिका बनाइए, जिसमें एक पंक्ति "पहले" की हो और एक "बाद में" की। हर पंक्ति में कोई भी दो संख्याएँ पता हों, तो तीसरी अपने आप निकल आती है।

जैसे प्रश्न है, "एक व्यक्ति अपनी आय का 20% बचाता है। उसकी आय 25% और व्यय 15% बढ़ा। उसकी बचत कितने प्रतिशत बढ़ी?"

नया व्यय 80 + 80 का 15% = 92 है, और नई बचत 125 − 92 = 33। बचत 20 से 33 हुई, यानी $\frac{13}{20}$ की वृद्धि, जो 65% है।

यही तालिका प्रश्न के हर रूप में काम आती है।

• आय और बचत का परिवर्तन पता हो, व्यय का चाहिए। मान लीजिए बचत 25% है, आय 20% बढ़ी और बचत 50%। पहले 100, 75, 25 और बाद में 120, ?, 37.5। तो नया व्यय 82.5 है, जो 75 पर 7.5 अधिक है। मतलब व्यय 10% बढ़ा।
• बचत रुपयों में उतनी ही रहे। बचत 30% है और आय 21% बढ़ी। पहले 100, 70, 30 और बाद में 121, 91, 30। व्यय 70 पर 21 बढ़ा, तो व्यय में 30% की वृद्धि हुई।
• बचत घट भी सकती है। बचत 25% है, आय 10% बढ़ी और व्यय 20%। बाद में 110, 90, 20 आता है। बचत 25 से 5 कम हुई, तो उसमें 20% की कमी आई।
• नई आय में नई बचत का प्रतिशत। पहली तालिका में नई आय 125 है और नई बचत 33। तो अब बचत आय का 26.4% है।
• रुपयों में कोई आँकड़ा दिया हो। मान लीजिए पहली तालिका वाले व्यक्ति की बचत ₹2,600 बढ़ी। तालिका में बचत 13 इकाई बढ़ी थी, तो 13 इकाई = ₹2,600 और 1 इकाई = ₹200। उसकी आय 100 × 200 = ₹20,000 थी।

भारित औसत वाला शॉर्टकट। आय = व्यय + बचत है, इसलिए आय का प्रतिशत परिवर्तन बाकी दोनों प्रतिशत परिवर्तनों का औसत होता है। पर यह सादा औसत नहीं, भारित औसत (weighted average) है। इसमें व्यय और बचत जितने बड़े होते हैं, उसी हिसाब से उनका भार होता है।

$$I \times i = E \times e + S \times s$$

यहाँ I, E और S आय, व्यय और बचत हैं, और i, e, s इनके प्रतिशत परिवर्तन। पहली तालिका पर लगाकर देखिए। 100 × 25 = 80 × 15 + 20 × s, तो 20s = 1300 और s = 65। वही 65% आ गया।

यह तरीका सबसे ज़्यादा तब काम आता है जब पूछा जाए कि बचत आय का कितना प्रतिशत है। जैसे, "आय 16% बढ़ी, व्यय 10% और बचत 40%। वह अपनी आय का कितना प्रतिशत बचाता है?" 16, 10 और 40 के बीच में है, तो एलीगेशन (alligation) लगाइए। E : S = (40 − 16) : (16 − 10) = 24 : 6 = 4 : 1। तो बचत आय का $\frac{1}{5}$ है, यानी 20%।

[SSC टिप] तीनों प्रतिशत परिवर्तन तीन अलग-अलग आधारों पर निकलते हैं। व्यय 15% बढ़ा, इसका मतलब यह नहीं कि बचत 15% घटी। हर बार असली संख्याएँ लेकर हिसाब कीजिए।

आय और बचत: दो साल, अनुपात और घटती आय

"दो साल का कुल व्यय = पहले साल के व्यय का दोगुना" इस पंक्ति का मतलब है कि साल 1 से साल 2 तक व्यय बदला ही नहीं। तो आय में जितनी बढ़त हुई, वह पूरी की पूरी बचत में गई।

प्रश्न देखिए, "रवि की आय दूसरे साल 20% बढ़ी और उसकी बचत 80% बढ़ी। दोनों साल का कुल व्यय पहले साल के व्यय का दोगुना है। पहले साल वह अपनी आय का कितना प्रतिशत बचाता था?" आय 100 और बचत S मान लीजिए। दोनों साल व्यय बराबर है, तो

$$100 - S = 120 - 1.8S$$

इससे 0.8S = 20 और S = 25 आता है। मतलब रवि पहले साल 25% बचाता था।

इसका छोटा तरीका भी है। जितनी आय बढ़ी, उतनी ही बचत बढ़ी। तो I का i% = S का s%, यानी $\frac{S}{I} = \frac{i}{s}$। यहाँ $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$, तो फिर से 25% आया।

आय और व्यय का अनुपात दिया हो। जैसे आय : व्यय = 5 : 3 है, आय 20% बढ़ी और व्यय 10%। अनुपात को 100 से गुणा करके आय 500 और व्यय 300 ले लीजिए। इससे दशमलव नहीं आते।

बचत 200 पर 70 बढ़ी, तो उसमें 35% की वृद्धि हुई।

बचत व्यय के हिस्से के रूप में दी हो। कोई व्यक्ति "अपने व्यय का $\frac{1}{4}$ बचाता है", तो S : E = 1 : 4 है। मतलब बचत आय का $\frac{1}{5}$ है, यानी 20%। नियम सीधा है। बचत व्यय का $\frac{1}{n}$ हो, तो वह आय का $\frac{1}{n + 1}$ होगी।

आय घटे तो। मान लीजिए आय 20% घटी, व्यय 25% घटा और बचत 5% घटी। पूछा है कि वह आय का कितना प्रतिशत बचाता था। आय 100 और बचत S लीजिए। नई आय 80 है, नया व्यय 0.75(100 − S) और नई बचत 0.95S, तो

$$80 - 0.75(100 - S) = 0.95S$$

इससे 5 + 0.75S = 0.95S, और S = 25 आता है। तो वह आय का 25% बचाता था।

रुपयों में मासिक आँकड़े। प्रश्न ऐसा हो सकता है, "सुरेश हर महीने ₹4,500 बचाता है, जो उसके वेतन का 18% है। उसका वेतन 12% और व्यय 10% बढ़ा। अब उसकी बचत कितनी है?" वेतन = 4500 ÷ 0.18 = ₹25,000, और व्यय ₹20,500। अब वेतन ₹28,000 और व्यय ₹22,550 है, तो बचत ₹5,450 हुई।

दो साल वाली दूसरी पंक्ति। कभी लिखा होता है, "दोनों साल की कुल बचत पहले साल की बचत की दोगुनी है।" इसका मतलब है कि बचत नहीं बदली, और आय की पूरी बढ़त व्यय में चली गई। दोनों पंक्तियाँ देखने में एक जैसी लगती हैं, इसलिए तालिका बनाने से पहले प्रश्न की यह आख़िरी पंक्ति दो बार पढ़ लीजिए।

दो व्यक्ति: आय, व्यय, बचत

जब दो लोग कमाते हैं, तो हर एक की बचत निकालने के लिए 100 में से उसके व्यय का प्रतिशत घटा दीजिए। फिर प्रश्न में एक बात ऐसी दी होती है जो दोनों को जोड़ती है। उसी से समीकरण लिख लीजिए।

बचत बराबर, व्यय अलग। प्रश्न ऐसा आता है, "A और B की कुल मासिक कमाई ₹72,000 है। A अपने वेतन का 80% ख़र्च करता है और B 70%। दोनों की बचत बराबर है। दोनों के वेतन बताइए।" A की बचत 20% है और B की 30%। तो A का 20% = B का 30%, और A : B = 30 : 20 = 3 : 2। A का वेतन ₹72,000 का $\frac{3}{5}$ है, जो ₹43,200 हुआ, और B का ₹28,800। जाँच कर लीजिए, 43,200 का 20% और 28,800 का 30%, दोनों ₹8,640 हैं।

आय का अनुपात और व्यय का अनुपात दिया हो। जैसे, "A और B की आय 3 : 2 में है और व्यय 5 : 3 में। हर एक की बचत ₹2,000 है। दोनों की आय क्या है?" आय 3x और 2x लीजिए, व्यय 5y और 3y। बचत बराबर है, तो 3x − 5y = 2x − 3y, जिससे x = 2y आता है। A की बचत = 3(2y) − 5y = y, और यही 2000 है। तो y = 2000 और x = 4000। दोनों की आय ₹12,000 और ₹8,000 है, और व्यय ₹10,000 और ₹6,000।

ऐसे प्रश्नों में विकल्प जाँचना भी अच्छा तरीका है। कोई विकल्प तभी सही है जब उससे दोनों की बचत दी गई रकम के बराबर आए।

एक की कमाई दूसरे से x% अधिक हो। प्रश्न देखिए, "आशा की कमाई बीना से 25% अधिक है। आशा अपने वेतन का 20% बचाती है और बीना 30%। दोनों की कुल बचत ₹22,000 है। बीना का वेतन कितना है?" बीना का वेतन B मान लीजिए। तब आशा का वेतन 1.25B है और उसकी बचत 0.2 × 1.25B = 0.25B। अब 0.25B + 0.3B = 0.55B = 22,000, तो B = ₹40,000। आशा का वेतन ₹50,000 है।

बचत किसकी अधिक है? इसी उदाहरण में आशा की कमाई अधिक है, पर उसकी बचत ₹10,000 है, जबकि बीना की ₹12,000। मतलब बीना की बचत आशा से 20% अधिक है, और आशा की बचत बीना से $16\frac{2}{3}\%$ कम। इसलिए यह मानकर न चलिए कि जिसकी आय ज़्यादा है, उसकी बचत भी ज़्यादा होगी।

वेतन बढ़ने के बाद अनुपात। मान लीजिए दो लोगों की आय 3 : 2 में है, और उनके वेतन 20% और 25% बढ़े। तो नया अनुपात 3.6 : 2.5 = 36 : 25 होगा।

[SSC टिप] व्यय के प्रतिशत दिए हों और लिखा हो कि "बचत बराबर है", तो यह असल में प्रतिशत और अनुपात का प्रश्न है। A का a% = B का b% हो, तो A : B = b : a। बस अनुपात में बचत वाले प्रतिशत लगाइए, व्यय वाले नहीं।

भुजाएँ बदलने पर क्षेत्रफल और परिमाप

क्षेत्रफल भी एक गुणनफल है। इसलिए क्षेत्रफल वाला हर प्रश्न गुणनफल नियम से ही हल होता है।

आयत। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। लंबाई a% और चौड़ाई b% बदले, तो क्षेत्रफल में $a + b + \frac{ab}{100}$ प्रतिशत का परिवर्तन होता है।

• लंबाई 20% बढ़े और चौड़ाई 10% घटे, तो 1.2 × 0.9 = 1.08। क्षेत्रफल 8% बढ़ जाएगा।
• लंबाई 10% बढ़े और चौड़ाई 10% घटे, तो 1.1 × 0.9 = 0.99। क्षेत्रफल 1% घट जाएगा।

क्षेत्रफल स्थिर रहे। यह ठीक मूल्य और खपत जैसा है। लंबाई 25% बढ़े, तो चौड़ाई 20% घटानी होगी। लंबाई 20% घटे, तो चौड़ाई 25% बढ़ानी होगी।

वर्ग। क्षेत्रफल = भुजा × भुजा, तो यहाँ दोनों राशियाँ एक ही x% से बदलती हैं। क्षेत्रफल में परिवर्तन $2x + \frac{x^2}{100}$ प्रतिशत होता है।

• भुजा 10% बढ़े तो क्षेत्रफल 21% बढ़ता है, 20% बढ़े तो 44%, और 50% बढ़े तो 125%।
• भुजा 10% घटे तो क्षेत्रफल 19% घटता है, और 20% घटे तो 36%।

वृत्त। क्षेत्रफल = $\pi r^2$, इसलिए त्रिज्या के हिसाब से वृत्त वर्ग जैसा ही है। त्रिज्या, व्यास या परिधि में से कोई भी x% बदले, तो क्षेत्रफल में $2x + \frac{x^2}{100}$ प्रतिशत का परिवर्तन होगा। वजह यह है कि ये तीनों r के साथ एक ही अनुपात में बदलते हैं।

त्रिभुज। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई। यहाँ आधार और ऊँचाई को लंबाई और चौड़ाई की तरह लीजिए। $\frac{1}{2}$ का कोई असर नहीं पड़ता। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल भुजा × भुजा के साथ बदलता है, इसलिए वह वर्ग की तरह हल होता है।

उलटी दिशा, क्षेत्रफल से भुजा। क्षेत्रफल का परिवर्तन दिया हो और भुजा का पूछा जाए, तो क्षेत्रफल के गुणक का वर्गमूल लीजिए।

परिमाप जोड़ है, गुणनफल नहीं। हर भुजा x% बदले, तो परिमाप भी ठीक x% बदलता है। वर्ग का क्षेत्रफल 21% बढ़ा हो, तो परिमाप केवल 10% बढ़ा है। पर आयत की केवल लंबाई बदले, तो भुजाओं की असली लंबाई चाहिए। जैसे 20 मीटर × 10 मीटर का भूखंड है और उसकी लंबाई 10% बढ़ी। नया परिमाप 2(22 + 10) = 64 मीटर है, जो पहले 60 मीटर था। तो परिमाप में $6\frac{2}{3}\%$ की वृद्धि हुई।

वर्ग का विकर्ण। विकर्ण भी भुजा के साथ एक ही अनुपात में बदलता है। तो "विकर्ण 20% बढ़ा" का मतलब है कि क्षेत्रफल 44% बढ़ा।

माप बदलने पर आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

ठोस में एक तीसरी राशि भी आ जाती है। आयतन तीन लंबाइयों का गुणनफल होता है और पृष्ठीय क्षेत्रफल दो का।

घन। आयतन = $a^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6a^2$। तो किनारे के गुणक का घन लेने से आयतन का गुणक मिलता है, और वर्ग लेने से पृष्ठीय क्षेत्रफल का।

गोले में भी यही तालिका चलती है। उसका आयतन $r^3$ के साथ बदलता है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $r^2$ के साथ।

घनाभ। आयतन = l × b × h, तो यहाँ तीन क्रमिक परिवर्तन होते हैं। जैसे लंबाई 10% बढ़ी, चौड़ाई 20% बढ़ी और ऊँचाई 25% घटी। 1.1 × 1.2 × 0.75 = 0.99, तो आयतन 1% घटा।

बेलन और शंकु। आयतन = $\pi r^2 h$ है। शंकु में $\frac{1}{3}$ अलग से आता है, पर उसका कोई असर नहीं पड़ता। तो त्रिज्या के गुणक का वर्ग लेकर उसे ऊँचाई के गुणक से गुणा कीजिए। बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area) $2\pi rh$ है, इसलिए वहाँ दोनों गुणकों का सीधा गुणा कीजिए।

• त्रिज्या 10% बढ़े और ऊँचाई 20% घटे, तो आयतन 1.21 × 0.8 = 0.968 गुना होगा, जो 3.2% की कमी है। वक्र पृष्ठ 1.1 × 0.8 = 0.88 गुना होगा, तो उसमें 12% की कमी आएगी।
• त्रिज्या 20% घटे और ऊँचाई 20% बढ़े, तो आयतन 0.64 × 1.2 = 0.768 गुना रह जाएगा, जो 23.2% की कमी है।

आयतन स्थिर रहे। बेलन की त्रिज्या 25% बढ़े, तो $r^2$ बढ़कर $\frac{25}{16}$ गुना हो जाता है। आयतन वही रखना है, तो ऊँचाई $\frac{16}{25}$ गुना करनी होगी, जो 36% की कमी है। त्रिज्या 20% घटे, तो $r^2$ घटकर $\frac{16}{25}$ गुना रह जाता है। अब ऊँचाई में $\frac{9}{16}$ की वृद्धि चाहिए, जो 56.25% है।

उलटी दिशा। घन का आयतन 33.1% बढ़ा हो, तो किनारे का गुणक $\sqrt[3]{1.331} = 1.1$ है, यानी किनारा 10% बढ़ा। गोले का आयतन 8 गुना हो जाए, तो उसकी त्रिज्या दोगुनी हुई है। तब पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना होगा, मतलब 300% की वृद्धि।

[Tier 2] दो माप बदल जाएँ, तो तीसरे से भरपाई। जैसे, "किसी डिब्बे की लंबाई 50% बढ़ाई गई और चौड़ाई 20% घटाई गई। आयतन वही रखने के लिए ऊँचाई में कितने प्रतिशत परिवर्तन करना होगा?" लंबाई × चौड़ाई = 1.5 × 0.8 = 1.2 = $\frac{6}{5}$ गुना हो गया। तो ऊँचाई $\frac{5}{6}$ गुना करनी होगी, यानी $16\frac{2}{3}\%$ की कमी।

चाल-समय, मज़दूर-दिन, भिन्न

चाल और समय। दूरी तय हो, तो चाल × समय स्थिर रहता है। इसलिए नया समय गुणनफल नियम से निकल आता है।

• चाल 25% बढ़े, यानी $\frac{1}{4}$, तो समय $\frac{1}{5}$ कम लगेगा, जो 20% है।
• चाल सामान्य की 75% रह जाए, यानी $\frac{1}{4}$ की कमी, तो समय $\frac{1}{3}$ अधिक लगेगा।

इन प्रश्नों में एक पेच अक्सर होता है। प्रतिशत की जगह यह दिया होता है कि कितने मिनट बचे या कितने मिनट की देर हुई। जैसे, "कार सामान्य से 25% तेज़ चली और 10 मिनट पहले पहुँच गई। सामान्य समय कितना है?" समय में कमी सामान्य समय का $\frac{1}{5}$ है, और यही 10 मिनट है। तो सामान्य समय 50 मिनट है।

एक और प्रश्न, "कोई व्यक्ति अपनी सामान्य चाल के $\frac{3}{4}$ पर चला और 20 मिनट देर से पहुँचा।" यहाँ समय में वृद्धि सामान्य समय का $\frac{1}{3}$ है, जो 20 मिनट है। तो सामान्य समय 60 मिनट है, और आज 80 मिनट लगे।

मज़दूर और दिन। काम तय हो, तो मज़दूर × दिन स्थिर रहता है। मज़दूर 25% बढ़ें, तो दिन 20% कम लगेंगे। 20% मज़दूर हट जाएँ, तो दिन 25% अधिक लगेंगे।

भिन्न के अंश और हर दोनों बदल जाएँ। भिन्न = अंश ÷ हर, तो यहाँ अंश के गुणक को हर के गुणक से भाग दीजिए। जैसे, "अंश 20% बढ़ाया गया और हर 25% घटाया गया, तो नई भिन्न $\frac{8}{15}$ हो गई। मूल भिन्न क्या थी?" भिन्न का गुणक $\frac{1.2}{0.75} = \frac{6}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{5}$ है। तो मूल भिन्न = $\frac{8}{15} \times \frac{5}{8} = \frac{1}{3}$। आगे की दिशा में जाँच कर लीजिए, $\frac{1 \times 1.2}{3 \times 0.75} = \frac{1.2}{2.25} = \frac{8}{15}$।

दो संख्याओं का गुणनफल और भागफल। यहाँ भी गुणक ही लगते हैं।

• एक संख्या 30% बढ़े और दूसरी 30% घटे, तो गुणनफल 1.3 × 0.7 = 0.91 गुना होगा, जो 9% की कमी है।
• x 20% बढ़े और y 20% घटे, तो $\frac{x}{y}$ बदलकर $\frac{1.2}{0.8} = 1.5$ गुना हो जाता है, मतलब 50% वृद्धि।
• $\frac{x}{y}$ स्थिर रहे और x 15% बढ़े, तो y भी 15% बढ़ेगा।

प्रति इकाई मूल्य भी भागफल है। किसी पैकेट का मूल्य 10% बढ़ा और उसका वज़न 25% बढ़ा। तो प्रति ग्राम मूल्य $\frac{1.1}{1.25} = 0.88$ गुना हुआ। प्रति ग्राम के हिसाब से पैकेट 12% सस्ता पड़ा।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

यदि प्याज़ का मूल्य 60% बढ़ जाए, तो एक परिवार को प्याज़ की खपत कितने प्रतिशत घटानी चाहिए, जिससे प्याज़ पर उसका खर्च पहले जितना ही रहे?

उत्तर: 60% मतलब $\frac{3}{5}$, तो मूल्य $\frac{8}{5}$ गुना हो गया। खर्च वही रखना है, इसलिए खपत $\frac{5}{8}$ गुना करनी होगी। मतलब खपत में $\frac{3}{8}$ की कमी करनी होगी, और $\frac{3}{8}$ = 37.5%। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{60}{160} \times 100 = 37.5$।

प्रश्न 2

पेट्रोल का मूल्य 30% बढ़ गया है, जबकि एक परिवार पेट्रोल पर अपना व्यय केवल 17% तक ही बढ़ने देता है। परिवार को पेट्रोल का उपयोग कितने प्रतिशत कम करना होगा?

उत्तर: व्यय = मूल्य × खपत है, तो खपत = व्यय ÷ मूल्य। नई खपत $\frac{1.17}{1.30} = 0.9$ गुना होगी, यानी परिवार को 10% की कटौती करनी होगी। जल्दबाज़ी में कई लोग 30 − 17 = 13% लिख देते हैं, जो गलत है। खपत निकालने के लिए व्यय को मूल्य से भाग देना होता है, घटाना नहीं।

प्रश्न 3

किरण का वेतन 26% बढ़ता है, और जिन वस्तुओं को वह खरीदती है, उन सभी के मूल्य 20% बढ़ जाते हैं। उसकी क्रय शक्ति में क्या परिवर्तन होता है? (a) 6% की वृद्धि (b) 5% की वृद्धि (c) 5% की कमी (d) 4.8% की वृद्धि

उत्तर: किरण कितना ख़रीद पाती है, यह वेतन को कीमतों से भाग देकर पता चलता है। $\frac{1.26}{1.20} = 1.05$, यानी उसकी क्रय शक्ति पहले से 5% अधिक है। कुछ लोग 26 में से 20 सीधा घटाकर विकल्प (a) चुन लेते हैं, जो गलत है। उत्तर (b) 5% की वृद्धि है।

प्रश्न 4

चीनी का मूल्य 15% घटने पर एक दुकानदार ₹1,020 में 6 किग्रा चीनी अधिक खरीद पाता है। चीनी का मूल मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मूल्य घटने से ₹1,020 का 15% बच गया, जो 0.15 × 1020 = ₹153 है। इन्हीं ₹153 से नए मूल्य पर 6 किग्रा अधिक चीनी आई। तो नया मूल्य = 153 ÷ 6 = ₹25.50 प्रति किग्रा। यह मूल मूल्य का 85% है, इसलिए मूल मूल्य = 25.50 ÷ 0.85 = ₹30 प्रति किग्रा। जाँच कर लेते हैं। पहले 1020 ÷ 30 = 34 किग्रा चीनी आती थी और अब 1020 ÷ 25.50 = 40 किग्रा, मतलब 6 किग्रा अधिक।

प्रश्न 5

संतरे 20% महँगे होने पर एक व्यक्ति को ₹240 में पहले से 8 संतरे कम मिलते हैं। मूल्य बढ़ने से पहले उसे ₹240 में कितने संतरे मिलते थे?

उत्तर: पहले जितने संतरे अब नए मूल्य पर लें, तो 20% अधिक रकम लगेगी, यानी ₹48 अतिरिक्त। यही ₹48 उन 8 संतरों का दाम है जो अब कम मिलते हैं। तो नया मूल्य = 48 ÷ 8 = ₹6 प्रति संतरा, और पुराना मूल्य 6 ÷ 1.2 = ₹5। वृद्धि से पहले 240 ÷ 5 = 48 संतरे मिलते थे। अब ₹6 के भाव से 240 ÷ 6 = 40 मिलते हैं। दूसरा रास्ता भी है। मूल्य में $\frac{1}{5}$ की वृद्धि हुई, तो संतरे $\frac{1}{6}$ कम मिलेंगे। पुरानी संख्या का $\frac{1}{6}$ = 8, तो पुरानी संख्या 48 थी।

प्रश्न 6

किसी वस्तु पर कर 20% घटा दिया जाता है, जिसके कारण उसकी खपत 15% बढ़ जाती है। उस वस्तु से मिलने वाले कुल कर में कितना परिवर्तन होगा?

उत्तर: कुल कर = प्रति इकाई कर × बिकी इकाइयाँ। तो 0.8 × 1.15 = 0.92 गुना, मतलब कुल कर 8% घटा। सूत्र से भी देख लीजिए, −20 + 15 − $\frac{20 \times 15}{100}$ = −20 + 15 − 3 = −8।

प्रश्न 7

अनिल अपनी आय का 30% बचा लेता है। यदि उसकी आय 20% और व्यय 10% बढ़ जाए, तो उसकी बचत कितने प्रतिशत बढ़ेगी?

उत्तर: आय 100 मान लीजिए, तो व्यय 70 और बचत 30 है। बाद में आय 120 हो गई और व्यय 70 × 1.1 = 77। तो बचत 120 − 77 = 43 हुई। पहले बचत 30 थी और अब 43 है। 30 पर 13 की बढ़त $\frac{13}{30}$ = $43\frac{1}{3}\%$ है।

प्रश्न 8

प्रिया अपनी आय का 20% बचाती है। उसकी आय 15% और बचत 35% बढ़ जाती है। उसका व्यय कितने प्रतिशत बढ़ता है?

उत्तर: आय 100 लें, तो व्यय 80 और बचत 20। बाद में आय 115 हुई और बचत 20 × 1.35 = 27। तो व्यय = 115 − 27 = 88। व्यय 80 से 88 हो गया। 80 पर 8 की बढ़त 10% है।

प्रश्न 9

राजू हर महीने अपनी आय का 25% बचाता है। आय 20% और व्यय 10% बढ़ने पर उसकी मासिक बचत में ₹2,500 की बढ़ोतरी होती है। शुरू में उसकी मासिक आय कितनी थी?

उत्तर: आय 100 लें, तो व्यय 75 और बचत 25। बाद में आय 120, व्यय 82.5 और बचत 37.5 हो गई। बचत 12.5 इकाई बढ़ी, और यही ₹2,500 है। तो 1 इकाई = ₹200, और शुरू में आय 100 × 200 = ₹20,000 थी।

प्रश्न 10

किसी व्यक्ति की आय दूसरे वर्ष 30% और बचत 75% बढ़ जाती है। दोनों वर्षों में उसका कुल व्यय, पहले वर्ष के व्यय का दोगुना है। पहले वर्ष में वह अपनी आय का कितना प्रतिशत बचाता था?

उत्तर: "कुल व्यय पहले साल के व्यय का दोगुना" का मतलब है कि दोनों साल व्यय बराबर रहा। तो आय में जितनी बढ़त हुई, वह पूरी बचत में गई। इसलिए आय का 30% = बचत का 75%। बचत ÷ आय = 30 ÷ 75 = $\frac{2}{5}$, यानी 40%। जाँच के लिए आय 100 लीजिए। बचत 40 और व्यय 60 है। अगले साल आय 130 और बचत 70, तो व्यय फिर 60 ही रहा।

प्रश्न 11

सुनील की आय और व्यय 7 : 5 के अनुपात में हैं। आय में 15% और व्यय में 9% की वृद्धि होने पर उसकी बचत में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

उत्तर: आय 700 और व्यय 500 ले लीजिए, तो बचत 200 है। नई आय 805 और नया व्यय 545, तो नई बचत 260 हुई। बचत 200 पर 60 बढ़ी, तो वृद्धि 30% की हुई।

प्रश्न 12

एक महिला की आय 10% कम हो जाती है और उसका व्यय 20% कम हो जाता है। उसकी बचत 30% बढ़ जाती है। आरंभ में वह अपनी आय का कितना प्रतिशत बचाती थी?

उत्तर: आय 100 और बचत S मान लीजिए, तो व्यय 100 − S है। बाद में आय 90 हो गई और व्यय 0.8(100 − S) = 80 − 0.8S। नई बचत = 90 − 80 + 0.8S = 10 + 0.8S। यह पुरानी बचत का 1.3 गुना है, इसलिए 10 + 0.8S = 1.3S, और 0.5S = 10। तो S = 20, और शुरू में वह अपनी आय का 20% बचाती थी।

प्रश्न 13

A और B की आय 5 : 4 के अनुपात में है और उनका व्यय 3 : 2 के अनुपात में। यदि दोनों में से हर एक की मासिक बचत ₹8,000 है, तो A की मासिक आय कितनी है?

उत्तर: आय 5x और 4x, और व्यय 3y और 2y मान लीजिए। बचत बराबर है, तो 5x − 3y = 4x − 2y, जिससे x = y आता है। A की बचत = 5x − 3x = 2x = 8000, तो x = 4000। A की आय = 5 × 4000 = ₹20,000। साथ में B की आय ₹16,000 निकलती है, और दोनों के व्यय ₹12,000 और ₹8,000।

प्रश्न 14

X और Y की कुल मासिक आय ₹60,000 है। X अपने वेतन का 85% खर्च करता है, जबकि Y अपने वेतन का 75%। यदि दोनों बराबर बचत करते हैं, तो X का वेतन कितना है?

उत्तर: X की बचत 15% है और Y की 25%। बचत बराबर है, तो X का 15% = Y का 25%, और X : Y = 25 : 15 = 5 : 3। X का वेतन = $\frac{5}{8}$ × 60,000 = ₹37,500। मिलाकर देखिए, 37,500 का 15% = ₹5,625 और 22,500 का 25% भी ₹5,625 है।

प्रश्न 15

मीना को रीना से 20% अधिक वेतन मिलता है। मीना अपने वेतन का 30% बचाती है, जबकि रीना 25%। दोनों की कुल मासिक बचत ₹14,640 है। रीना का वेतन कितना है?

उत्तर: रीना का वेतन R मान लीजिए, तो उसकी बचत 0.25R है। मीना का वेतन 1.2R है, तो उसकी बचत 0.3 × 1.2R = 0.36R। कुल बचत 0.61R = 14,640, तो R = ₹24,000। मीना का वेतन ₹28,800 हुआ और उसकी बचत ₹8,640। रीना की बचत ₹6,000 है।

प्रश्न 16

किसी आयत की लंबाई 40% बढ़ा दी जाती है। (i) क्षेत्रफल न बदले, इसके लिए चौड़ाई कितने प्रतिशत घटानी होगी? (ii) यदि चौड़ाई को इसके स्थान पर 25% घटाया जाए, तो क्षेत्रफल में क्या परिवर्तन होगा?

उत्तर: (i) 40% मतलब $\frac{2}{5}$, तो लंबाई $\frac{7}{5}$ गुना हो गई। क्षेत्रफल वही रखना है, तो चौड़ाई $\frac{5}{7}$ गुना करनी होगी। यानी $\frac{2}{7}$ की कमी, जो $28\frac{4}{7}\%$ है। (ii) अगर चौड़ाई 25% घटाई जाए, तो क्षेत्रफल 1.4 × 0.75 = 1.05 गुना होगा, मतलब 5% वृद्धि।

प्रश्न 17

किसी वृत्त का क्षेत्रफल 69% बढ़ जाता है। उसकी त्रिज्या कितने प्रतिशत बढ़ी है, और उसकी परिधि में क्या परिवर्तन हुआ है?

उत्तर: क्षेत्रफल $r^2$ के साथ बदलता है। तो त्रिज्या का गुणक $\sqrt{1.69} = 1.3$ है, यानी त्रिज्या 30% बढ़ी। परिधि $2\pi r$ है, जो त्रिज्या के साथ एक ही अनुपात में बदलती है। इसलिए परिधि भी 30% बढ़ी। परिधि में 69% की वृद्धि लिख देना गलत है।

प्रश्न 18

किसी बेलन की त्रिज्या 20% बढ़ाई जाती है और ऊँचाई 25% घटाई जाती है। उसके (i) आयतन तथा (ii) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (i) आयतन = $\pi r^2 h$, तो 1.2 × 1.2 × 0.75 = 1.08। आयतन में 8% वृद्धि हुई। (ii) वक्र पृष्ठ = $2\pi rh$, तो 1.2 × 0.75 = 0.9, यानी 10% कमी। त्रिज्या में बदलाव तो एक ही है, फिर भी आयतन बढ़ा और वक्र पृष्ठ घटा। वजह यह है कि आयतन में त्रिज्या दो बार आती है।

प्रश्न 19

किसी घन का हर किनारा 30% बढ़ा दिया जाता है। उसके संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

उत्तर: किनारा 1.3 गुना हो गया। पृष्ठीय क्षेत्रफल $a^2$ के साथ बदलता है, तो 1.3 × 1.3 = 1.69 गुना, यानी 69% वृद्धि। आयतन $a^3$ के साथ बदलता है, तो $1.3^3$ = 2.197 गुना, और वृद्धि 119.7% की हुई।

प्रश्न 20

चाल सामान्य से 20% कम होने के कारण एक रेलगाड़ी 30 मिनट देर से पहुँचती है। उसका सामान्य यात्रा-समय कितना है?

उत्तर: दूरी तय है, तो चाल × समय स्थिर रहेगा। चाल $\frac{4}{5}$ गुना हुई, तो समय $\frac{5}{4}$ गुना होगा। मतलब सामान्य समय का $\frac{1}{4}$ अतिरिक्त लगा। यही $\frac{1}{4}$ = 30 मिनट है, तो सामान्य समय 30 × 4 = 120 मिनट, यानी 2 घंटे।

प्रश्न 21

एक भिन्न के अंश को 25% बढ़ाने और हर को 10% घटाने पर भिन्न $\frac{25}{27}$ हो जाती है। मूल भिन्न क्या है?

उत्तर: भिन्न का गुणक $\frac{1.25}{0.9} = \frac{5}{4} \times \frac{10}{9} = \frac{25}{18}$ है। मूल भिन्न निकालने के लिए इसे पलटकर गुणा कीजिए। $\frac{25}{27} \times \frac{18}{25} = \frac{18}{27}$ = $\frac{2}{3}$। उलटा चलकर देख लीजिए, $\frac{2 \times 1.25}{3 \times 0.9} = \frac{2.5}{2.7} = \frac{25}{27}$।