प्रतिशत की मूल बातें और रूपांतरण

प्रतिशत का अर्थ

प्रतिशत यानी सौ में से कितना। यह शब्द "प्रति" और "शत" से मिलकर बना है। प्रति मतलब हर, और शत मतलब सौ। तो 35% का मतलब है 100 में से 35 भाग।

इसे भिन्न और दशमलव में ऐसे लिखते हैं।

$$35\% = \frac{35}{100} = 0.35$$

यानी प्रतिशत भी एक भिन्न ही है, बस इसका हर हमेशा 100 होता है।

जब हर हमेशा 100 ही है, तो दो चीज़ों की तुलना करना आसान हो जाता है। मान लीजिए एक छात्र ने 25 में से 17 प्रश्न सही किए, और दूसरे ने 50 में से 33। ऐसे ही देखकर बताना मुश्किल है कि किसने ज़्यादा अच्छा किया। दोनों को प्रतिशत में बदलिए, तो पहले छात्र के 68% प्रश्न सही हैं और दूसरे के 66%। अब तुरंत दिख जाता है कि पहला छात्र आगे है।

अब प्रतिशत को भिन्न में बदलना सीखते हैं। संख्या के नीचे 100 लिखिए और फिर भिन्न को सरल कर दीजिए।

• 45% = $\frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
• 2.5% = $\frac{2.5}{100} = \frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$
• 0.4% = $\frac{0.4}{100} = \frac{4}{1000} = \frac{1}{250}$
• $12\frac{1}{2}\% = \frac{25}{2} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{8}$
• 150% = $\frac{150}{100} = \frac{3}{2}$

उलटा करना हो, यानी भिन्न को प्रतिशत में बदलना हो, तो भिन्न को 100 से गुणा कर दीजिए। $\frac{7}{20} \times 100 = 35$, इसलिए $\frac{7}{20}$ = 35%। इसी तरह $\frac{3}{8}$ = 37.5% होता है।

दशमलव को प्रतिशत में बदलना, या प्रतिशत को दशमलव में, और भी आसान है। बस दशमलव बिंदु को दो स्थान खिसकाना होता है। दशमलव से प्रतिशत बनाना हो, तो बिंदु दाईं ओर खिसकाइए। जैसे 0.06 = 6%, 1.35 = 135% और 0.005 = 0.5%। प्रतिशत से वापस दशमलव में जाना हो, तो बिंदु बाईं ओर खिसकाइए, जैसे 7.5% = 0.075।

प्रतिशत 100 से ज़्यादा भी हो सकता है और 1 से कम भी। इसमें कोई गड़बड़ नहीं है। 60 का 250% = 2.5 × 60 = 150, जो 60 से भी ज़्यादा है। वहीं 3000 का 0.5% केवल 15 है। 100 से ऊपर के प्रतिशत का मतलब बस इतना है कि मात्रा पूरे से ज़्यादा है।

एक बात हमेशा याद रखिए, पूरा 100% होता है। किसी कक्षा में 35% लड़कियाँ हैं, तो लड़के 100% − 35% = 65% हैं। कई प्रश्नों में केवल एक हिस्सा दिया होता है, और दूसरा हिस्सा आपको इसी तरह ख़ुद निकालना होता है।

प्रतिशत और प्रतिशत अंक में अंतर

जब कोई प्रतिशत ख़ुद घटता या बढ़ता है, तो उस बदलाव को दो तरह से बताया जाता है। एक, प्रतिशत अंक (percentage points) में, और दूसरा, प्रतिशत में। मान लीजिए किसी स्कूल का उत्तीर्ण प्रतिशत 40% से बढ़कर 50% हो गया।

• वृद्धि 10 प्रतिशत अंक की हुई, क्योंकि 50 − 40 = 10।
• वृद्धि 25 प्रतिशत की हुई, क्योंकि 10 की बढ़त पुराने 40 का एक-चौथाई है।

कर और ब्याज की दरों में भी यही हिसाब चलता है। जैसे GST 12% से बढ़कर 18% हो गया। दर में 6 प्रतिशत अंक की वृद्धि हुई, पर कर ख़ुद 50% बढ़ गया, क्योंकि 6, 12 का आधा है।

प्रश्न में पूछा जाए कि दर कितने प्रतिशत बढ़ी, तो दूसरी तरह वाला उत्तर चाहिए। यानी बढ़त की तुलना पुराने मान से कीजिए। प्रतिशत परिवर्तन (percentage change) का पूरा हिसाब "प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन" वाले खंड में है।

मुख्य बात: x% का मतलब है किसी चीज़ का $\frac{x}{100}$। इसलिए हर बार ख़ुद से पूछिए, "किसका प्रतिशत?" जिस पूरे का 10% ले रहे हैं, वह बदल जाए, तो 10% का मान भी बिल्कुल अलग आएगा।

1/2 से 1/20 तक भिन्नों के प्रतिशत

यह तालिका ज़बानी याद कर लीजिए। इस अध्याय में सबसे ज़्यादा समय इसी से बचता है। तालिका की हर पंक्ति एक ही नियम से निकलती है।

$$\frac{1}{n} = \frac{100}{n}\%$$

तालिका के अलावा ये मान भी याद रख लीजिए। $\frac{1}{25}$ = 4%, $\frac{1}{40}$ = 2.5%, $\frac{1}{50}$ = 2% और $\frac{1}{100}$ = 1%।

इसे याद करने का एक आसान तरीका है। ज़्यादातर पंक्तियाँ छोटे-छोटे परिवारों में बँट जाती हैं। एक परिवार में हर मान पिछले मान का आधा होता है।

• $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$ और $\frac{1}{32}$ के प्रतिशत 50%, 25%, 12.5%, 6.25% और 3.125% हैं।
• $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$ और $\frac{1}{24}$ के प्रतिशत $33\frac{1}{3}\%$, $16\frac{2}{3}\%$, $8\frac{1}{3}\%$ और $4\frac{1}{6}\%$ हैं।
• $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{20}$ और $\frac{1}{40}$ के प्रतिशत 20%, 10%, 5% और 2.5% हैं।
• $\frac{1}{7}$ और $\frac{1}{14}$ के प्रतिशत $14\frac{2}{7}\%$ और $7\frac{1}{7}\%$ हैं।

तालिका को उलटी ओर से पढ़ने की आदत भी डालिए। प्रश्न में 288 का $16\frac{2}{3}\%$ दिखे, तो वह असल में 288 का $\frac{1}{6}$ है, यानी 48। इसी तरह 352 का $9\frac{1}{11}\%$ निकालना हो, तो बस 352 ÷ 11 = 32 करना है।

ऐसे अटपटे प्रतिशत वाले प्रश्न इस तरह बनाए जाते हैं कि भाग पूरा-पूरा हो जाए। प्रश्न में ऐसा प्रतिशत दिखे, तो समझ लीजिए कि प्रश्न बनाने वाले के मन में भिन्न वाला रास्ता ही है।

$\frac{1}{13}$, $\frac{1}{17}$ और $\frac{1}{19}$ के सटीक मान प्रश्नों में कम ही आते हैं। विकल्पों में 7.69% या 5.26% जैसा कुछ दिखे, तो समझिए कि प्रश्न इन्हीं पंक्तियों से बना है। तब गोल किया हुआ मान ही सही विकल्प चुनने के लिए काफ़ी है।

आठवें, छठे, सातवें, नौवें और ग्यारहवें भाग के गुणज

$\frac{1}{n}$ का प्रतिशत पता हो, तो कोई भी $\frac{k}{n}$ सीधे उसका k गुना होता है। जैसे $\frac{3}{8}$ = 3 × 12.5% = 37.5%। इसी तरह $\frac{5}{7}$ के लिए $5 \times 14\frac{2}{7}\% = 71\frac{3}{7}\%$।

तालिका की अटपटी पंक्तियाँ भी दो पैटर्न जान लेने से आसान हो जाती हैं।

• नौवाँ भाग: $\frac{k}{9}$ के प्रतिशत में अंक k ही बार-बार आता है। जैसे $\frac{4}{9} = 44\frac{4}{9}\%$ और $\frac{7}{9} = 77\frac{7}{9}\%$।
• ग्यारहवाँ भाग: $\frac{k}{11}$ का प्रतिशत 9k होता है, और साथ में $\frac{k}{11}$ लगा रहता है। जैसे $\frac{7}{11} = 63\frac{7}{11}\%$, क्योंकि 9 × 7 = 63।

अब देखिए कि हिसाब में ये परिवार कैसे काम आते हैं।

• 488 का 62.5% = $\frac{5}{8}$ × 488 = 61 × 5 = 305।
• 3200 का 87.5% = 3200 − 400 = 2800, क्योंकि 87.5% पूरे से एक-आठवाँ कम है।
• 726 का $83\frac{1}{3}\%$ = $\frac{5}{6}$ × 726 = 121 × 5 = 605।
• 1316 का $71\frac{3}{7}\%$ = 188 × 5 = 940, क्योंकि 1316 ÷ 7 = 188।
• 1199 का $27\frac{3}{11}\%$ = 109 × 3 = 327, क्योंकि 1199 ÷ 11 = 109।

उलटी दिशा में भी सोचिए। कोई अटपटा प्रतिशत दिखे, तो पहचानिए कि वह किस परिवार का है। 56.25% के अंत में .25 है, तो यह सोलहवें भाग वाला है, यानी $\frac{9}{16}$। $58\frac{1}{3}\%$ में एक-तिहाई है, तो यह बारहवें भाग वाला है, यानी $\frac{7}{12}$।

भिन्नों की तुलना करनी हो, तो उन्हें प्रतिशत में बदल लीजिए। उन्हें क्रम में रखने का यह एक तेज़ तरीका है। जैसे $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{12}$ और $\frac{4}{9}$ लगभग 42.9%, 41.7% और 44.4% हैं। तो सबसे बड़ी $\frac{4}{9}$ है और सबसे छोटी $\frac{5}{12}$।

y का x% निकालना

मूल सूत्र एक पंक्ति का है।

$$y \text{ का } x\% = \frac{x \times y}{100}$$

पर असल हिसाब में इस सूत्र की ज़रूरत कम ही पड़ती है। प्रतिशत को आसान टुकड़ों में तोड़ लीजिए।

• 10% के लिए दशमलव बिंदु एक स्थान बाईं ओर खिसका दीजिए। 840 का 10% = 84।
• 1% के लिए बिंदु दो स्थान खिसकाइए। 840 का 1% = 8.4।
• 5% तो 10% का आधा है। 50% संख्या का आधा है, और 25%, 50% का आधा।

अब इन टुकड़ों को जोड़कर कोई भी प्रतिशत निकाल लीजिए। 840 का 35% चाहिए, तो 30% और 5% अलग-अलग निकालकर जोड़िए, 252 + 42 = 294। इसी तरह 600 का 17% = 10% + 7% = 60 + 42 = 102।

अब अदला-बदली का नियम (swap rule) देखिए। y का x% और x का y%, दोनों का मान $\frac{xy}{100}$ है। इसलिए ये हमेशा बराबर होते हैं। जो आसान लगे, वही निकालिए।

• 25 का 16% = 16 का 25% = 4
• 75 का 48% = 48 का 75% = 36
• 300 का 7% = 7 का 300% = 21

इससे एक बात और निकलती है। y का x% और x का y% जोड़ें, तो किसी एक का दोगुना आता है। जैसे 50 का 12% + 12 का 50% = 6 + 6 = 12।

कभी प्रतिशत का भी प्रतिशत पूछा जाता है, जैसे "c के b% का a%"। तब पहले c का b% निकालिए, फिर उसका a%। सूत्र यह है।

$$c \text{ के } b\% \text{ का } a\% = \frac{a \times b \times c}{100 \times 100}$$

जैसे 1600 के 25% का 40% चाहिए। 1600 का 25% = 400, और 400 का 40% = 160।

यही एक कदम में भी हो सकता है। 25% का 40% = $\frac{40 \times 25}{100}$ = 10%, और 1600 का 10% = 160।

यहाँ कई छात्र प्रतिशत जोड़ देते हैं। 25% का 40% तो 10% है, 65% नहीं। जब प्रतिशत "का" से जुड़े हों, तो उनका गुणा होता है।

भिन्न और प्रतिशत साथ आएँ, तब भी यही करना है। 2000 के 45% का $\frac{3}{5}$ चाहिए, तो 2000 का 45% = 900, और 900 का $\frac{3}{5}$ = 540। जिस कदम में संख्याएँ सबसे आसानी से कट जाएँ, उसे पहले कर लीजिए। क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता।

100 से ऊपर और 1 से नीचे के प्रतिशत भी ऐसे ही निकलते हैं। 96 का 125% = $\frac{5}{4}$ × 96 = 120। और 4800 का 0.25% = 4800 ÷ 400 = 12, क्योंकि 0.25% = $\frac{1}{400}$ है।

लंबे व्यंजक में हर पद अलग से निकालिए। जैसे 640 का 37.5% + 50 का 14% − 414 का $16\frac{2}{3}\%$। पहला पद 640 का $\frac{3}{8}$ = 240 है। दूसरे पद में अदला-बदली कीजिए, 50 का 14% = 14 का 50% = 7। तीसरा पद 414 का $\frac{1}{6}$ = 69 है। कुल 240 + 7 − 69 = 178।

हिस्सा पता हो तो पूरा निकालना

कभी प्रश्न में बताया जाता है कि किसी संख्या का कुछ प्रतिशत कितना है, और पूरी संख्या पूछी जाती है। मान लीजिए N का x% = P है। तब

$$N = \frac{P \times 100}{x}$$

यही बात ऐकिक विधि (unitary method) से भी समझ सकते हैं। किसी संख्या का 35% = 84 है। तो 1% = 84 ÷ 35 = 2.4, और 100% = 240। सूत्र से यही एक कदम में आ जाता है, 84 × 100 ÷ 35 = 240।

कई बार संख्या निकालने की ज़रूरत ही नहीं होती। मान लीजिए किसी संख्या का 15% = 63 है और उसका 40% पूछा गया है। तब सीधे लिखिए

$$N \text{ का } 40\% = 63 \times \frac{40}{15} = 168$$

जाँच के लिए देखिए, संख्या 420 है, और 420 का 40% सच में 168 है। इसी तरह किसी संख्या का 20% = 120 हो, तो उसका 120% इसका 6 गुना होगा, यानी 720।

जहाँ हो सके, भिन्न लगाइए। संख्या का $16\frac{2}{3}\%$ = 45 है, मतलब संख्या का $\frac{1}{6}$ = 45, तो संख्या 270 है। संख्या का 2.5% = 18 हो, तो उसका $\frac{1}{40}$ = 18, और संख्या 720 है।

कभी दिया हुआ हिस्सा "बाकी" वाला होता है। किसी कक्षा में 45% लड़कियाँ हैं और लड़के 66 हैं। लड़के कक्षा का बाकी 55% हैं। तो 1% = 66 ÷ 55 = 1.2, और कक्षा में 120 विद्यार्थी हैं। इनमें लड़कियाँ 54 हैं।

यहाँ कई छात्र 66 को ही 45% मान लेते हैं। तब लगभग 146.7 विद्यार्थी आते हैं। विद्यार्थी भिन्न में तो हो नहीं सकते, इसलिए यह पक्का संकेत है कि कहीं गलती हुई है।

कभी एक प्रतिशत दूसरे प्रतिशत के बराबर दिया होता है, जैसे A का 24% = 450 का 36%। पहले वह पक्ष निकालिए जो पूरा पता है। 450 का 36% = 162। अब A का 24% = 162, तो A = 162 × 100 ÷ 24 = 675।

उत्तर निकल आए, तो उसे वापस प्रश्न में रखकर देख लीजिए। 675 का 24% निकालिए। 20% = 135 और 4% = 27, तो कुल 135 + 27 = 162। इसमें बस दस सेकंड लगते हैं, और ज़्यादातर गलतियाँ इसी से पकड़ में आ जाती हैं।

एक जाँच और भी है। प्रतिशत 100 से कम हो, तो पूरी संख्या दिए गए हिस्से से बड़ी ही होगी। फिर भी आपकी पूरी संख्या हिस्से से छोटी आए, तो समझिए कि भाग उलटा कर दिया है।

एक संख्या दूसरी का कितना प्रतिशत है

A को B के प्रतिशत में लिखना हो, तो यह सूत्र लगाइए।

$$\frac{A}{B} \times 100\%$$

ध्यान रखिए, "का" से ठीक पहले जो संख्या आती है, वही हर में जाती है।

जैसे "18, 72 का कितना प्रतिशत है?" यहाँ "का" 72 के साथ है, तो $\frac{18}{72}$ × 100 = 25%। अब इसका उलटा पूछा जाए, "72, 18 का कितना प्रतिशत है?" तब $\frac{72}{18}$ × 100 = 400%। संख्याएँ वही दो हैं, पर उत्तर बिल्कुल अलग। SSC के प्रश्नों में ये दोनों उत्तर विकल्पों में दिए होते हैं।

अब पलटने का नियम (flip rule) देखिए। A = B का p% हो, तो B = A का $\frac{100}{p} \times 100\%$ होगा। जैसे A = B का 25% है, तो B = A का 400% है। A = B का 80% हो, तो B = A का 125%।

पूरे में से किसी हिस्से का प्रतिशत भी ऐसे ही निकलता है। कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 27 अनुत्तीर्ण हुए, तो $\frac{27}{60}$ × 100 = 45% अनुत्तीर्ण हुए। बाकी 55% उत्तीर्ण हुए।

संख्याओं में दशमलव या भिन्न हो, तो पहले उसे हटा लीजिए। "2.5 का कितना प्रतिशत 0.15 है?" दोनों को 100 से गुणा कर दीजिए, दशमलव हट जाएगा। अब $\frac{15}{250}$ × 100 = 6%। इसी तरह "$\frac{3}{4}$ का कितना प्रतिशत 0.6 है?" यहाँ 0.6 ÷ 0.75 = 0.8, तो उत्तर 80% है।

अनुपात से प्रतिशत

A : B = 3 : 5 हो, तो इससे तीन बातें सीधे निकलती हैं।

• A, B का $\frac{3}{5}$ है, यानी 60%।
• B, A का $\frac{5}{3} = 166\frac{2}{3}\%$ है।
• A कुल का $\frac{3}{8}$ = 37.5% है, और B कुल का $\frac{5}{8}$ = 62.5%।

उलटी ओर से भी चल सकते हैं। "A = B का 40%" हो, तो A : B = 40 : 100 = 2 : 5।

तीन हिस्से हों, तब भी यही तरीका है। अनुपात 4 : 5 : 11 हो, तो कुल 20 भाग हुए। तीनों हिस्से $\frac{4}{20}$ = 20%, $\frac{5}{20}$ = 25% और $\frac{11}{20}$ = 55% हैं।

तीसरी संख्या के ज़रिए दो संख्याओं की तुलना

मान लीजिए A = C का 20% और B = C का 50% है। तो A : B = 20 : 50, यानी A = B का 40% है और B = A का 250%। यहाँ C कट जाता है, इसलिए उसका मान जानने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

इसका "से अधिक" वाला रूप, जैसे A, C से 20% अधिक हो, "प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन" वाले खंड में है।

इकाइयों के साथ प्रतिशत

प्रतिशत में एक ही तरह की दो राशियों की तुलना होती है। इसलिए भाग देने से पहले देख लीजिए कि दोनों एक ही इकाई में हों। ये रूपांतरण काम आएँगे।

अब कुछ छोटे उदाहरण देखिए।

• 2 किग्रा में 250 ग्राम का हिस्सा $\frac{250}{2000}$ × 100 = 12.5% है।
• ₹3 में 45 पैसे का हिस्सा $\frac{45}{300}$ × 100 = 15% है।
• 3 घंटे में 27 मिनट का हिस्सा $\frac{27}{180}$ × 100 = 15% है।
• पूरे दिन में 7 घंटे 12 मिनट का हिस्सा $\frac{432}{1440}$ × 100 = 30% है।
• 1.5 किमी में 75 मीटर का हिस्सा $\frac{75}{1500}$ × 100 = 5% है।
• 2.4 लीटर में 300 मिली का हिस्सा $\frac{300}{2400}$ × 100 = 12.5% है।

हर उदाहरण में बड़ी इकाई को छोटी में बदला गया है। इससे संख्याएँ पूरी-पूरी रहती हैं और दशमलव में उलझना नहीं पड़ता।

उलटी दिशा में भी यही करना है। "₹5 का 12% कितने पैसे हैं?" ₹5 = 500 पैसे, और 500 पैसे का 12% = 60 पैसे। "दिन का 15% कितने मिनट है?" 1440 का 15% = 216 मिनट, यानी 3 घंटे 36 मिनट।

यहाँ एक जाल है। "40 पैसे, ₹2 का कितना प्रतिशत है?" कोई सीधे 40 को 2 से भाग देकर 2000% लिख दे, तो यह बेतुका उत्तर है। 40 पैसे तो ₹2 से कम हैं, इसलिए उत्तर 100% से नीचे ही होना चाहिए। सही हिसाब में ₹2 = 200 पैसे लीजिए। तब $\frac{40}{200}$ × 100 = 20% आता है।

इसलिए हिसाब से पहले अंदाज़ा लगा लीजिए कि उत्तर 100% से ऊपर आएगा या नीचे। इकाई की लगभग हर गलती इसी से पकड़ में आ जाती है।

जब एक ही राशि दो इकाइयों में दी हो, तो पहले पूरी राशि को छोटी इकाई में बदलिए। 1 घंटा 48 मिनट = 108 मिनट होता है, 1.48 घंटे नहीं। पूरे दिन के हिस्से के रूप में यह $\frac{108}{1440}$ = 7.5% है। गलती से 1.48 घंटे ले लिए, तो लगभग 6.17% आएगा, और ठीक यही गलत उत्तर विकल्पों में दिया होगा।

[SSC टिप] इन प्रश्नों में समय की इकाइयाँ अक्सर आती हैं। 1 दिन = 1440 मिनट पहले से याद रखिए। दिन का 1% = 14.4 मिनट होता है।

"से अधिक", "जोड़ने पर" और "से कम" वाले समीकरण

कई प्रश्नों में संख्या सीधे नहीं दी जाती, उसके प्रतिशतों के ज़रिए बताई जाती है। ऐसे में प्रश्न की हर बात को एक ही संख्या N के प्रतिशत में लिखिए। फिर एक छोटा-सा समीकरण बचता है, जो एक कदम में हल हो जाता है।

पहला रूप है, "किसी संख्या का a%, उसके b% से k अधिक है।" यहाँ दोनों प्रतिशतों का अंतर N का (a − b)% है, और यही k के बराबर है। तो

$$N = \frac{k \times 100}{a - b}$$

जैसे किसी संख्या का 65%, उसके 40% से 120 अधिक है। तो N का 25% = 120, और N = 480।

भिन्न दी हो, तो पहले उसे प्रतिशत में बदल लीजिए। मान लीजिए "संख्या का $\frac{3}{5}$, उसके 45% से 36 अधिक है।" $\frac{3}{5}$ = 60% है, तो N का 15% = 36, और N = 240।

अब "जोड़ने पर" और "घटाने पर" वाले प्रश्न देखते हैं। "किसी संख्या का 75%, 75 में जोड़ने पर वही संख्या मिलती है।" इसे ऐसे लिखिए, N का 75% + 75 = N। मतलब जो 25% कम पड़ रहा था, उसे 75 ने पूरा किया। तो N का 25% = 75, और N = 300।

इसी तरह, "91 में से संख्या का 30% घटाने पर वही संख्या मिलती है।" तो 91 − N का 30% = N, यानी N का 130% = 91, और N = 70। जाँच कर लीजिए, 70 का 30% = 21, और 91 − 21 = 70।

"संख्या से कम" वाले प्रश्न भी ऐसे ही होते हैं। "किसी संख्या के 40% और 35% का योग, उस संख्या से 90 कम है।" तो N का 75% = N − 90, यानी N का 25% = 90, और N = 360।

कभी दो अज्ञात संख्याएँ होती हैं। जैसे "दो संख्याओं का योग 280 है, और पहली का 40%, दूसरी के 30% के बराबर है।" A का 40% = B का 30% लिखिए। इससे A : B = 30 : 40 = 3 : 4 मिलता है। प्रतिशत आपस में जगह क्यों बदल लेते हैं, यह आगे "प्रतिशत और अनुपात" में समझेंगे। अब 280 को 3 : 4 में बाँटिए, तो 120 और 160 आते हैं। जाँच कर लीजिए, 120 का 40% = 48, और 160 का 30% भी 48 ही है।

एक ही संख्या के कई प्रतिशत दिए हों, तो पहले प्रतिशतों को जोड़ या घटा लीजिए, संख्या बाद में निकालिए। "संख्या का 20% + उसी का 35% = 154" हो, तो N का 55% = 154, और N = 280।

[SSC टिप] "से अधिक" वाले प्रश्नों के विकल्पों में अक्सर जाल के तौर पर k × 100 ÷ a और k × 100 ÷ b वाले उत्तर भी रखे होते हैं। ऊपर के पहले उदाहरण में ये लगभग 184.6 और 300 आते हैं। याद रखिए, हर में केवल अंतर (a − b) आता है।

प्रतिशत और अनुपात

पहले क्रॉस नियम (cross rule) समझ लीजिए। अगर A का a% = B का b% है, तो

$$\frac{A}{B} = \frac{b}{a}, \quad \text{यानी } A : B = b : a$$

मतलब प्रतिशत उलटे पक्ष में चले जाते हैं। A का 40% = B का 60% हो, तो A : B = 60 : 40 = 3 : 2। इसे ऐसे समझिए। A का छोटा हिस्सा ही B के बड़े हिस्से के बराबर हो जाता है, इसलिए A ही बड़ी संख्या है।

भिन्न के साथ भी यही चलता है। "A का $\frac{2}{3}$ = B का 40%" हो, तो $\frac{2}{3}$A = $\frac{2}{5}$B। इससे $\frac{A}{B} = \frac{2}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{5}$, यानी A : B = 3 : 5 और A = B का 60%।

तीन राशियाँ हों, जैसे "A का 20% = B का 30% = C का $\frac{1}{6}$", तो इस साझा मान को k मान लीजिए।

$$A = 5k, \quad B = \frac{10k}{3}, \quad C = 6k$$

k = 3 रखते ही भिन्न हट जाती है। A = 15, B = 10 और C = 18, तो A : B : C = 15 : 10 : 18।

कुल दिया हो, तब भी यह आसान है। "A और B के पास मिलाकर ₹2,250 हैं। A के पैसों का 30%, B के पैसों के 45% के बराबर है। B के पास कितने रुपये हैं?" क्रॉस नियम से A : B = 45 : 30 = 3 : 2। तो B = ₹2,250 का $\frac{2}{5}$ = ₹900, और A = ₹1,350।

दोनों ओर कोष्ठक हों, तो कोष्ठक खोल लीजिए। "(x − y) का 50% = (x + y) का 30% है। y, x का कितना प्रतिशत है?"

$$0.5x - 0.5y = 0.3x + 0.3y$$

x वाले पद एक ओर और y वाले दूसरी ओर लाइए। $0.2x = 0.8y$, तो $y = \frac{x}{4}$। मतलब y, x का 25% है, और x : y = 4 : 1।

जहाँ "कितना प्रतिशत" पूछा हो, वहाँ अनुपात मिलते ही बस एक भाग करना है। A : B = 3 : 5 हो, तो A = B का 60% और B = A का $166\frac{2}{3}\%$। एक और उदाहरण लीजिए। A का $\frac{1}{4}$ = B का 35% हो, तो A = 1.4B, यानी A = B का 140%।

[SSC टिप] ऐसे प्रश्नों के विकल्पों में बिना पलटा अनुपात a : b अक्सर रखा होता है। उसमें मत फँसिए, ठीक अनुपात b : a है। जल्दी जाँचने के लिए याद रखिए, जिसका प्रतिशत छोटा है, वही संख्या बड़ी है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

2.5% को भिन्न में बदलने पर क्या मिलेगा? (a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{400}$ (c) $\frac{1}{40}$ (d) $\frac{2}{5}$

उत्तर: प्रतिशत मतलब 100 में से, तो 2.5% = $\frac{2.5}{100}$। दशमलव हटाने के लिए ऊपर और नीचे दोनों को 10 से गुणा कर देते हैं। $\frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$ आता है, यानी (c) $\frac{1}{40}$।

प्रश्न 2

$\frac{5}{16}$ का प्रतिशत रूप क्या होगा? (a) 32.5% (b) 31.25% (c) 3.125% (d) 31.5%

उत्तर: तालिका से याद है कि $\frac{1}{16}$ = 6.25%। तो $\frac{5}{16}$ इसका 5 गुना होगा। 5 × 6.25% = 31.25% आया, जो विकल्प (b) 31.25% है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित में से कौन-सा मान सबसे बड़ा है? (a) $\frac{3}{7}$ (b) 42% (c) 0.43 (d) $\frac{5}{12}$

उत्तर: सबको प्रतिशत में बदल लेते हैं, फिर तुलना आसान है। $\frac{3}{7} = 42\frac{6}{7}\%$, जो लगभग 42.86% है। 42% तो वैसा ही है। 0.43 = 43% और $\frac{5}{12} = 41\frac{2}{3}\%$। इनमें सबसे बड़ा 43% है, यानी (c) 0.43। $\frac{3}{7}$ बहुत पास दिखती है, पर वह 43% से ज़रा नीचे रह जाती है।

प्रश्न 4

1638 का $14\frac{2}{7}\%$ कितना होगा? (a) 273 (b) 224 (c) 234 (d) 243

उत्तर: $14\frac{2}{7}\%$ मतलब $\frac{1}{7}$, तो बस 7 से भाग देना है। 1638 ÷ 7 = 234, यानी (c) 234। जो इसे $16\frac{2}{3}\% = \frac{1}{6}$ वाली पंक्ति से मिला देता है, वह 6 से भाग देकर 273 लिख बैठता है।

प्रश्न 5

1452 का $83\frac{1}{3}\%$ + 1600 का 37.5% − 1001 का $9\frac{1}{11}\%$ = ? (a) 1729 (b) 1791 (c) 1701 (d) 1719

उत्तर: हर पद को तालिका वाली भिन्न में बदल लेते हैं। $83\frac{1}{3}\% = \frac{5}{6}$, तो पहला पद 1452 ÷ 6 × 5 = 242 × 5 = 1210 है। 37.5% = $\frac{3}{8}$, तो दूसरा पद 1600 ÷ 8 × 3 = 600 है। $9\frac{1}{11}\% = \frac{1}{11}$, तो तीसरा पद 1001 ÷ 11 = 91 है। कुल 1210 + 600 − 91 = 1719 हुआ, तो विकल्प (d) 1719 है।

प्रश्न 6

एक वस्तु पर लगने वाली GST की दर 12% से बढ़कर 18% हो गई। कौन-सा कथन सही है? (a) दर 6% बढ़ी (b) दर 50 प्रतिशत अंक बढ़ी (c) दर 6 प्रतिशत अंक बढ़ी, अर्थात 50% की वृद्धि (d) दर 6 प्रतिशत अंक बढ़ी, अर्थात $33\frac{1}{3}\%$ की वृद्धि

उत्तर: दर 12 से 18 हुई, तो वृद्धि 6 प्रतिशत अंक की है। पुरानी दर के हिसाब से देखें, तो $\frac{6}{12}$ × 100 = 50%, यानी कर अब पहले से 50% अधिक है। आख़िरी विकल्प में 6 को नई दर 18 से भाग दिया गया है, जबकि आधार हमेशा पुराना मान होता है। इसलिए (c) दर 6 प्रतिशत अंक बढ़ी, अर्थात 50% की वृद्धि वाला कथन सही है।

प्रश्न 7

75 का 48% + 48 का 75% = ? (a) 72 (b) 36 (c) 54 (d) 64

उत्तर: पहले पद में अदला-बदली कर लेते हैं, 75 का 48% = 48 का 75%। 75% मतलब $\frac{3}{4}$, और 48 का $\frac{3}{4}$ = 36। दोनों पद 36 हैं, तो योग 36 + 36 = 72 हुआ। विकल्प (a) 72 है।

प्रश्न 8

8000 के 25% के 40% का 30% = ? (a) 7600 (b) 2400 (c) 24 (d) 240

उत्तर: 8000 से शुरू करके एक-एक कदम चलते हैं। 8000 का 25% = 2000, 2000 का 40% = 800, और 800 का 30% = 240। तो (d) 240 मिला। कुछ लोग 30 + 40 + 25 = 95% जोड़कर 8000 का 95%, यानी 7600 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि "का" वाले प्रतिशतों का गुणा होता है, जोड़ नहीं।

प्रश्न 9

2500 के 36% का $\frac{2}{3}$ + 640 का 12.5% = ? (a) 680 (b) 980 (c) 600 (d) 720

उत्तर: 2500 का 36% = 900, क्योंकि 2500 का 1% = 25 है और 36 × 25 = 900। अब 900 का $\frac{2}{3}$ = 600। 12.5% मतलब $\frac{1}{8}$, तो 640 ÷ 8 = 80। कुल 600 + 80 = 680, यानी (a) 680।

प्रश्न 10

किसी संख्या का 35% यदि 168 हो, तो उसी संख्या का 85% कितना होगा? (a) 480 (b) 398 (c) 408 (d) 418

उत्तर: 35% = 168 है, तो 1% = 168 ÷ 35 = 4.8। अब 85% = 4.8 × 85 = 408, जो विकल्प (c) 408 है।

प्रश्न 11

किसी विद्यालय के 38% विद्यार्थी लड़कियाँ हैं, जबकि लड़के 434 हैं। विद्यालय में लड़कियाँ कितनी हैं? (a) 266 (b) 700 (c) 434 (d) 280

उत्तर: लड़कियाँ 38% हैं, तो लड़के बाकी 62% हैं। विद्यालय का 62% = 434, तो 1% = 7 और कुल विद्यार्थी 700 हैं। लड़कियाँ = 700 − 434 = 266, यानी (a) 266।

प्रश्न 12

यदि x का $12\frac{1}{2}\%$ और 84 का 25% बराबर हों, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (a) 42 (b) 168 (c) 186 (d) 84

उत्तर: 84 का 25% = 21। $12\frac{1}{2}\%$ मतलब $\frac{1}{8}$, तो x का $\frac{1}{8}$ = 21, और x = 168। उत्तर (b) 168 है।

प्रश्न 13

4.8 का कितना प्रतिशत 0.36 है? (a) 75% (b) 0.75% (c) 7.5% (d) $13\frac{1}{3}\%$

उत्तर: यहाँ "का" 4.8 के साथ है, तो 4.8 पूरा है और हर में जाएगा। 0.36 हिस्सा है। $\frac{0.36}{4.8} = \frac{36}{480}$ = 0.075, यानी 7.5%। तो (c) 7.5% चुनेंगे।

प्रश्न 14

दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या का क्रमशः 30% और 75% हैं। पहली संख्या दूसरी का कितना प्रतिशत है? (a) 40% (b) 45% (c) 250% (d) 60%

उत्तर: तीसरी संख्या 100 मान लेते हैं। तब पहली 30 है और दूसरी 75। पहली को दूसरी के प्रतिशत में लिखें, तो $\frac{30}{75}$ × 100 = 40% आता है, और यही (a) 40% है।

प्रश्न 15

कुछ धनराशि A और B में 7 : 13 के अनुपात में बाँटी गई। कुल राशि में A का हिस्सा कितने प्रतिशत है? (a) $53\frac{11}{13}\%$ (b) 65% (c) 35% (d) $185\frac{5}{7}\%$

उत्तर: कुल 7 + 13 = 20 भाग हैं, जिनमें A के 7 हैं। A का हिस्सा $\frac{7}{20}$ = 35% हुआ। विकल्पों में यह (c) 35% है।

प्रश्न 16

120 ग्राम, 3.2 किग्रा का कितना प्रतिशत है? (a) 37.5% (b) 3.75% (c) 0.375% (d) 4.25%

उत्तर: पहले दोनों को एक ही इकाई में लाते हैं। 3.2 किग्रा = 3200 ग्राम। अब $\frac{120}{3200}$ × 100 = 3.75%, यानी (b) 3.75%।

प्रश्न 17

2 घंटे 24 मिनट, एक दिन का कितना प्रतिशत है? (a) $9\frac{1}{3}\%$ (b) 10% (c) 12% (d) 2.4%

उत्तर: 2 घंटे 24 मिनट = 144 मिनट, और पूरा दिन 1440 मिनट का है। $\frac{144}{1440} = \frac{1}{10}$ = 10%, यानी (b) 10%। जल्दी में कई लोग 2 घंटे 24 मिनट को 2.24 घंटे लिखकर $9\frac{1}{3}\%$ चुन लेते हैं। यहीं गलती होती है।

प्रश्न 18

75 पैसे, ₹4.50 का कितना प्रतिशत है? (a) $16\frac{2}{3}\%$ (b) 1.67% (c) 6% (d) 15%

उत्तर: ₹4.50 = 450 पैसे। अब $\frac{75}{450} = \frac{1}{6}$ = $16\frac{2}{3}\%$, तो (a) $16\frac{2}{3}\%$ मिला।

प्रश्न 19

किसी संख्या का 72%, उसके $\frac{2}{5}$ से 112 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए। (a) 280 (b) 350 (c) 400 (d) 320

उत्तर: $\frac{2}{5}$ = 40%। तो 72% − 40% = 32%, यानी संख्या का 32% = 112। इससे 1% = 3.5, और संख्या 350 है। उत्तर (b) 350 है। जाँच कर लेते हैं, 350 का 72% = 252, 350 का $\frac{2}{5}$ = 140, और 252 − 140 = 112।

प्रश्न 20

किसी संख्या का 60% यदि 96 में जोड़ा जाए, तो वही संख्या मिलती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए। (a) 160 (b) 240 (c) 300 (d) 156

उत्तर: N का 60% + 96 = N। मतलब 96 संख्या का बाकी 40% है। तो N = 96 × 100 ÷ 40 = 240, यानी (b) 240।

प्रश्न 21

(a − b) का 40% यदि (a + b) के 20% के बराबर हो, तो b, a का कितना प्रतिशत है? (a) 300% (b) 50% (c) $33\frac{1}{3}\%$ (d) $66\frac{2}{3}\%$

उत्तर: कोष्ठक खोलिए, 0.4a − 0.4b = 0.2a + 0.2b। a वाले पद एक ओर और b वाले दूसरी ओर लाइए, तो 0.2a = 0.6b, यानी a = 3b और b = $\frac{a}{3}$। मतलब b, a का $33\frac{1}{3}\%$ है, इसलिए (c) $33\frac{1}{3}\%$ सही है।

प्रश्न 22

यदि A का 25%, B का 40% और C का $\frac{2}{3}$ आपस में बराबर हों, तो A : B : C ज्ञात कीजिए। (a) 3 : 5 : 8 (b) 8 : 5 : 3 (c) 8 : 3 : 5 (d) 15 : 24 : 40

उत्तर: तीनों बराबर हैं, तो इस साझा मान को k मान लेते हैं। A का 25% = k है, तो A = 4k। B का 40% = k है, तो B = $\frac{5k}{2}$। C का $\frac{2}{3}$ = k है, तो C = $\frac{3k}{2}$। अब k = 2 रखें, तो A = 8, B = 5 और C = 3, यानी A : B : C = 8 : 5 : 3, जो विकल्प (b) 8 : 5 : 3 है। अदला-बदली किए बिना 25 : 40 : $66\frac{2}{3}$ को ही अनुपात मान लिया, तो आप आख़िरी विकल्प पर पहुँच जाएँगे, और वही जाल है।