शॉर्टकट और तेज़ तरीके

भिन्न और प्रतिशत की तालिका

टियर 1 में प्रतिशत के प्रश्न सबसे जल्दी होने वाले प्रश्नों में से हैं। बस हर बार 100 से भाग देने की आदत छोड़नी होगी। एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं।

जल्दी हल करने के लिए दो चीज़ें ज़रूरी हैं। पहली, भिन्न और प्रतिशत की तालिका ज़बानी याद होनी चाहिए। दूसरी, हर वृद्धि या कमी को गुणक (multiplier) के रूप में लिखने की आदत होनी चाहिए।

आगे हर तरीके के साथ यह भी देखेंगे कि उसमें गलती कहाँ होती है। ज़्यादातर गलती दो तरह की होती है। कोई प्रतिशत देखने में किसी आसान भिन्न जैसा लगता है, पर असल में होता नहीं। या फिर परिवर्तन गलत आधार पर लगा दिया जाता है।

प्रतिशत की जगह भिन्न

देखिए, 12.5% असल में 1/8 है। इसी तरह $16\frac{2}{3}\%$ मतलब 1/6 और $14\frac{2}{7}\%$ मतलब 1/7। ये सीधी-सी भिन्नें हैं। प्रश्न में ऐसा प्रतिशत आए, या प्रश्न की संख्या 6, 7, 8, 9 या 11 से पूरी-पूरी बँट जाए, तो 100 से भाग देने के बजाय सीधे भिन्न लगा दीजिए। फिर बस एक भाग करना पड़ता है।

पूरी तालिका "प्रतिशत की मूल बातें और रूपांतरण" वाले खंड में दी गई है। नीचे वाले मान तो पक्के याद होने चाहिए।

इन्हीं भिन्नों से उनके गुणज भी सीधे मिल जाते हैं। 37.5% = 3/8, 62.5% = 5/8 और 87.5% = 7/8। इसी तरह $28\frac{4}{7}\%$ = 2/7, $42\frac{6}{7}\%$ = 3/7, $66\frac{2}{3}\%$ = 2/3, $83\frac{1}{3}\%$ = 5/6, $27\frac{3}{11}\%$ = 3/11 और $41\frac{2}{3}\%$ = 5/12। 100% से ऊपर भी यही चलता है, जैसे 125% = 5/4 और 175% = 7/4।

अब एक उदाहरण देखिए। 2,457 का $14\frac{2}{7}\%$ निकालना है। यह प्रतिशत 1/7 है, तो 2,457 को 7 से भाग दे दीजिए। 351 आ गया।

1,736 का 87.5% चाहिए, तो $\frac{7}{8}$ × 1,736 लिखिए। 1,736 में 8 का भाग देने पर 217 आता है, और 7 × 217 = 1,519।

एक बात ध्यान रखिए। यह तभी कीजिए जब प्रतिशत बिल्कुल वही हो। 14% को 1/7 या 33% को 1/3 मान लेंगे तो उत्तर गलत हो जाएगा। प्रश्न में 33% लिखा है तो उसका मतलब 33/100 ही है। विकल्प अक्सर इतने पास-पास होते हैं कि यहाँ 1/3 लगाते ही आप गलत विकल्प पर पहुँच जाएँगे।

दशमलव की जगह पर भी नज़र रखिए। 1/7 तो $14\frac{2}{7}\%$ है, पर 1/70 केवल $1\frac{3}{7}\%$ है।

y का x% = x का y%

कभी 25 का 36% या 12.5 का 48% निकालना मुश्किल लगता है, जबकि 36 का 25% या 48 का 12.5% तुरंत निकल आता है। दोनों बराबर हैं, क्योंकि दोनों का मान $\frac{xy}{100}$ ही है। तो जो आसान हो, वही निकालिए।

36 का 25% मतलब 36 का चौथाई, जो 9 है। इसी तरह 48 का 12.5% मतलब 48 ÷ 8, जो 6 है।

यह अदला-बदली केवल "y का x%" में चलती है, "से अधिक" वाले प्रश्नों में नहीं। 25 से 36% अधिक 34 होता है, जबकि 36 से 25% अधिक 45 होता है।

[SSC टिप] पेपर बनाने वाले ज़्यादातर ऐसे ही प्रतिशत देते हैं जो इन भिन्नों से निकलते हैं। कोई अजीब-सा प्रतिशत दिखे, जैसे $41\frac{2}{3}\%$ या $22\frac{2}{9}\%$, तो गुणा करने से पहले उसे तालिका से मिला लीजिए। पहला 5/12 है और दूसरा 2/9।

गुणक विधि

हर परिवर्तन के लिए एक गुणा

जहाँ भी "r% वृद्धि" या "r% कमी" लिखा हो, वहाँ गुणक लगाइए। इसका सबसे ज़्यादा फ़ायदा तब होता है जब कई परिवर्तन एक के बाद एक हों।

r% वृद्धि हो तो संख्या को $\frac{100 + r}{100}$ से गुणा कीजिए, और r% कमी हो तो $\frac{100 - r}{100}$ से। गुणक कोई आसान भिन्न हो, तो उसे भिन्न में ही लिखिए।

मान लीजिए ₹4,800 में 12.5% की वृद्धि हुई। इसका गुणक 9/8 है, तो 4,800 × $\frac{9}{8}$ कीजिए। 4,800 का आठवाँ भाग 600 है, और 600 × 9 = ₹5,400।

640 में 15% कमी करनी है, तो सीधे 640 × 0.85 कीजिए। 544 आ जाएगा। 15% अलग से निकालकर फिर घटाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। r% कमी का मतलब है × (1 − r/100), ÷ (1 + r/100) नहीं। 20% कमी के लिए × 0.8 कीजिए। अगर किसी ने ÷ 1.2 कर दिया, तो कमी केवल $16\frac{2}{3}\%$ की होगी।

मूल मान निकालना हो तो गुणक से भाग

कभी परिवर्तन के बाद का मान दिया होता है और पूछा जाता है कि पहले कितना था। तब नए मान को गुणक से भाग दीजिए। गुणक भिन्न में हो, तो उसे पलटकर गुणा कर दीजिए।

जैसे 15% वृद्धि के बाद बिल ₹2,553 आया। पहले का बिल निकालने के लिए 2,553 ÷ 1.15 कीजिए, ₹2,220 आएगा।

किसी चीज़ का मूल्य 12.5% घटकर ₹1,470 रह गया। 12.5% कमी का गुणक 7/8 है। इसे पलटिए और 1,470 × $\frac{8}{7}$ कीजिए। मूल मूल्य ₹1,680 था।

यहाँ छात्र अक्सर नए बिल में से ही उसका 15% घटा देते हैं। 2,553 − 2,553 का 15% करके 2,170.05 लिखते हैं। पर 15% तो पुराने बिल पर लगा था, नए पर नहीं। और यह गलत संख्या लगभग हर बार विकल्पों में मौजूद रहती है।

प्रतिशत त्रुटि के प्रश्न

मान लीजिए किसी छात्र से कहा गया कि संख्या को किसी भिन्न से गुणा करे, पर उसने भाग दे दिया। या उसने $\frac{a}{b}$ की जगह $\frac{b}{a}$ से गुणा कर दिया। अब पूछा जाता है कि उसके उत्तर में प्रतिशत त्रुटि (percentage error) कितनी है।

ऐसे में एक ही संख्या पर निकले गलत परिणाम को सही परिणाम से भाग दीजिए। यह अनुपात 1 से जितना दूर होगा, त्रुटि उतनी ही होगी। बस उसे प्रतिशत में लिख दीजिए। आधार हमेशा सही परिणाम ही रहता है।

जैसे $\frac{4}{5}$ से गुणा करना था और $\frac{4}{5}$ से भाग दे दिया। गलत ÷ सही = $\frac{5}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{25}{16}$। यह 1 से $\frac{9}{16}$ ऊपर है, तो त्रुटि 56.25% हुई।

उलटी गलती का उत्तर अलग आता है। मान लीजिए $\frac{4}{5}$ से भाग देना था और गुणा कर दिया। तब गलत ÷ सही = $\frac{16}{25}$। यह 1 से $\frac{9}{25}$ कम है, यानी त्रुटि 36% है। विकल्पों में ये दोनों संख्याएँ मिलेंगी।

कभी प्रश्न में त्रुटि की जगह असली अंतर दिया होता है, जैसे "उसका उत्तर 36 अधिक आया"। तब संख्या को x मानिए। x को दोनों गुणकों के अंतर से गुणा करके दिए गए अंतर के बराबर रखिए। x निकल आएगा।

अंक गलत पढ़ लेने जैसी बाकी गलतियों वाले प्रश्न "प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन" वाले खंड में हैं।

"से अधिक" को उलटना और पहले जैसा करना

x% अधिक हो तो $\frac{x}{100 + x}$ कम

प्रश्न में दिया होता है कि A, B से x% अधिक है, और पूछा जाता है कि B, A से कितने प्रतिशत कम है। कभी इसका उलटा पूछा जाता है, यानी "कम" दिया होता है और "अधिक" पूछा जाता है। दोनों के सूत्र ये हैं।

$$\text{अधिक से कम: } \frac{x}{100 + x} \times 100\% \qquad \text{कम से अधिक: } \frac{x}{100 - x} \times 100\%$$

भिन्न में सोचें तो यह और भी जल्दी होता है। A, B से $\frac{1}{n}$ अधिक है, तो B, A से $\frac{1}{n + 1}$ कम होगा। और A, B से $\frac{1}{n}$ कम है, तो B, A से $\frac{1}{n - 1}$ अधिक होगा।

भिन्न का अंश 1 न हो, जैसे $\frac{3}{8}$, तब भी यही करना है। "अधिक" से "कम" पर जाना हो तो अंश को हर में जोड़ दीजिए, $\frac{3}{11}$ मिलेगा। "कम" से "अधिक" पर जाना हो तो अंश को हर में से घटा दीजिए, $\frac{3}{5}$ मिलेगा।

मान लीजिए A की आय B से 37.5% अधिक है। 37.5% मतलब $\frac{3}{8}$, तो B की आय A से $\frac{3}{11}$ कम है, जो $27\frac{3}{11}\%$ होता है।

एक और उदाहरण लीजिए। बस का किराया ट्रेन के किराए से $16\frac{2}{3}\%$ कम है, मतलब $\frac{1}{6}$ कम। तो ट्रेन का किराया बस के किराए से $\frac{1}{5}$ अधिक है, यानी 20% अधिक।

यहाँ आधार बदल जाता है, इसीलिए दोनों संख्याएँ अलग आती हैं। "A, B से 37.5% अधिक" में तुलना B से हो रही है, तो आधार B है। "B, A से कितना कम" में आधार A है। जल्दी में कई छात्र यहाँ भी 37.5% ही लिख देते हैं, और विकल्पों में 37.5% ज़रूर दिया होता है।

पहले जैसा करने के लिए कितना प्रतिशत

प्रश्न ऐसे आता है, "मूल्य r% घट गया, अब कितने प्रतिशत बढ़े कि पहले जितना हो जाए?" यहाँ भी वही सूत्र लगता है। r% घटने के बाद पहले जितना करने के लिए $\frac{r}{100 - r} \times 100\%$ बढ़ाना पड़ता है। और r% बढ़ने के बाद पहले जितना करने के लिए $\frac{r}{100 + r} \times 100\%$ घटाना पड़ता है।

जैसे कोई शेयर 40% गिर गया, यानी $\frac{2}{5}$। पहले जितना होने के लिए उसे $\frac{2}{3}$ बढ़ना होगा, जो $66\frac{2}{3}\%$ है। अब उलटा देखिए। किसी चीज़ का मूल्य 60% बढ़ा, मतलब $\frac{3}{5}$। पहले जितना करने के लिए उसे $\frac{3}{8}$ घटाना होगा, जो 37.5% है।

दो परिवर्तन हुए हों, तो पहले दोनों को मिलाकर कुल परिवर्तन निकालिए, उसके बाद देखिए कि वापस आने के लिए कितना चाहिए। मान लीजिए पहले 20% कमी हुई और फिर 25% कमी। तो $\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ बचा, और कुल कमी $\frac{2}{5}$ हुई। अब पहले जितना होने के लिए $\frac{2}{3}$ की वृद्धि चाहिए, यानी $66\frac{2}{3}\%$।

कई छात्र दोनों कमियों की भरपाई अलग-अलग निकालते हैं, 20% कमी के लिए 25% और 25% कमी के लिए 1/3 की वृद्धि। फिर इन्हें जोड़कर 25% + $33\frac{1}{3}\%$ = $58\frac{1}{3}\%$ लिख देते हैं। यह जोड़ना ही गलत है।

[SSC टिप] कमी के बाद पहले जितना करने के लिए जो प्रतिशत चाहिए, वह हमेशा उस कमी से बड़ा होता है। वृद्धि के बाद वह उस वृद्धि से छोटा होता है। 40% घटा है तो 40% से ज़्यादा बढ़ाना पड़ेगा। 60% बढ़ा है तो 60% से कम घटाना पड़ेगा। इसी से कई विकल्प तुरंत हट जाते हैं।

क्रमिक परिवर्तन

दो परिवर्तनों के लिए $a + b + \frac{ab}{100}$

जब एक ही राशि पर दो प्रतिशत परिवर्तन एक के बाद एक हों, तो इसे क्रमिक परिवर्तन (successive change) कहते हैं। कुल परिवर्तन इस सूत्र से निकलता है।

$$a + b + \frac{ab}{100}$$

कमी हो तो उसे ऋण चिह्न के साथ रखिए। उत्तर धनात्मक आए तो कुल वृद्धि हुई, ऋणात्मक आए तो कुल कमी।

मान लीजिए पहले 20% वृद्धि हुई और फिर 15% कमी। सूत्र में रखने पर $20 - 15 + \frac{20 \times (-15)}{100}$ आता है, यानी 20 − 15 − 3। कुल मिलाकर 2% वृद्धि हुई।

10% वृद्धि के बाद 30% वृद्धि हो, तो 10 + 30 + 3 = 43, यानी 43% वृद्धि।

ज़्यादातर गलती आख़िरी पद के चिह्न में होती है। एक वृद्धि और एक कमी हो, तो $\frac{ab}{100}$ ऋणात्मक होगा। पहले उदाहरण में −3 की जगह +3 लिख दिया तो 8% आएगा, और पेपर में 8% वाला विकल्प पहले से तैयार मिलेगा।

तीन या अधिक परिवर्तन हों तो गुणा

तीन परिवर्तन हों, या ऐसे परिवर्तन हों जिनके गुणक आसान भिन्न हैं, तो गुणकों को भिन्न में लिखकर गुणा कर दीजिए। ज़्यादातर अंक आपस में कट जाते हैं।

जैसे पहले 25% वृद्धि हुई, फिर 20% कमी और फिर 10% कमी। तो $\frac{5}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{10}$, यानी कुल 10% कमी हुई।

चाहें तो $a + b + \frac{ab}{100}$ दो बार भी लगा सकते हैं। पहले दो परिवर्तनों पर लगाइए, फिर उस नतीजे और तीसरे परिवर्तन पर। यहाँ पहले दो से 25 − 20 − 5 = 0 आता है। फिर 0 और −10 से −10 आता है। उत्तर वही है।

कुछ छात्र दरें सीधे जोड़ देते हैं, 25 − 20 − 10 = −5। ऐसा करना गलत है।

परिवर्तन किस क्रम में हुए, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। गुणा किसी भी क्रम में कीजिए, नतीजा एक ही रहेगा। इसलिए इस पर समय बर्बाद न कीजिए।

बराबर x% वृद्धि और कमी में हमेशा $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि

x% वृद्धि और उतनी ही x% कमी हो, क्रम चाहे कोई भी हो, तो सूत्र में b = −x रखिए। $x - x - \frac{x^2}{100}$ बचता है। मतलब हर बार $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि ही होती है।

जैसे 30% वृद्धि के बाद 30% कमी हो, तो हानि $\frac{900}{100}$ = 9% होगी। अब अगर अंतिम मूल्य ₹2,730 दिया हो, तो यह शुरुआती मूल्य का 91% है। शुरुआती मूल्य = 2,730 ÷ 0.91 = ₹3,000।

कमी पहले हो और वृद्धि बाद में, तब भी हानि ही होती है। पर इसके लिए दोनों की दर एक ही होनी चाहिए। 30% वृद्धि के बाद 20% कमी हो, तो 30 − 20 − 6 = 4% वृद्धि होती है, हानि नहीं।

जनसंख्या और मूल्यह्रास

हर साल एक ही दर हो तो गुणक की घात

जनसंख्या हो, या किसी चीज़ या मशीन का मूल्य, अगर वह हर साल एक ही प्रतिशत से बदलता है, तो एक साल का गुणक m लीजिए। तब n साल बाद का मान, शुरुआती मान × $m^n$ होगा।

ये घातें याद कर लीजिए।

किसी कस्बे की जनसंख्या 60,000 है और हर साल 5% बढ़ती है। 2 साल बाद 60,000 × 1.1025 = 66,150 लोग होंगे।

एक कार ₹5,00,000 में ली गई और उसका मूल्य हर साल 20% घटता है। 2 साल बाद उसका मूल्य 5,00,000 × 0.64 = ₹3,20,000 रह जाएगा।

हर साल दर अलग हो, तो हर साल का अपना गुणक लीजिए। जैसे 10% वृद्धि, फिर 5% कमी, फिर 20% वृद्धि हो, तो 1.1 × 0.95 × 1.2 = 1.254। यानी तीन साल में 25.4% वृद्धि हुई।

जन्म और मृत्यु की दर जनसंख्या के सालाना प्रतिशत में दी हो, तो शुद्ध दर जन्म दर में से मृत्यु दर घटाकर निकालिए। जन्म दर 3.5% और मृत्यु दर 1.5% हो, तो जनसंख्या हर साल 2% बढ़ेगी। बाहर से आकर बसने वालों को इसी तरह जोड़िए और बाहर जाने वालों को घटाइए।

पहले के सालों का मान निकालना हो तो भाग

प्रश्न हो कि "अभी जनसंख्या इतनी है, दो साल पहले कितनी थी?", तो हर साल के गुणक से भाग दीजिए। या भिन्न को पलटकर गुणा कर दीजिए।

जैसे किसी कस्बे की जनसंख्या हर साल 10% बढ़ती है और अभी 84,700 है। दो साल पहले यह 84,700 ÷ 1.21 = 70,000 थी।

इन प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• दरें जोड़ी नहीं जातीं। 10% सालाना दर से 3 साल में 33.1% वृद्धि होती है, 30% नहीं।
• पीछे लौटते समय सही गुणक से भाग दीजिए। 10% कमी के बाद पहले वाला मान चाहिए, तो ÷ 0.9 कीजिए, जो $11\frac{1}{9}\%$ की वृद्धि है। × 1.1 करने से गलत उत्तर आएगा।
• चक्रवृद्धि ब्याज में ठीक यही गुणक लगते हैं। उसे अध्याय 8 में विस्तार से पढ़ेंगे, यहाँ बस इतना समझ लीजिए।

गुणनफल नियम और 1/n वाला तरीका

जब गुणनफल स्थिर रहे

कई प्रश्नों में दो राशियों का गुणनफल स्थिर रहता है। जैसे मूल्य × खपत = व्यय, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल, चाल × समय = दूरी। ऐसे में गुणनफल नियम (product rule) लगाइए।

एक राशि $\frac{1}{n}$ बढ़े, तो दूसरी $\frac{1}{n + 1}$ घटेगी। एक राशि $\frac{1}{n}$ घटे, तो दूसरी $\frac{1}{n - 1}$ बढ़ेगी। यह वही "से अधिक" को उलटने वाला नियम है।

मान लीजिए चीनी का मूल्य 25% बढ़ गया और परिवार चाहता है कि महीने का बिल उतना ही रहे। 25% का मतलब 1/4 की वृद्धि, तो खपत $\frac{1}{5}$ घटानी होगी, यानी 20%।

कोई ट्रेन उसी रास्ते पर $33\frac{1}{3}\%$ तेज़ चले, तो यात्रा का समय $\frac{1}{4}$ कम हो जाएगा, यानी 25%।

पर यह तभी चलेगा जब गुणनफल सच में स्थिर हो। मान लीजिए मूल्य 25% बढ़ा और बिल को 10% तक बढ़ने की छूट है। तब नई खपत 1.10 ÷ 1.25 = 0.88 गुना होगी, यानी 12% कमी, 20% नहीं।

जब दोनों राशियाँ बदलें

अगर दोनों राशियाँ बदल रही हों और पूछा जाए कि उनका गुणनफल कितना बदला, जैसे क्षेत्रफल, बिल या दुकान की आमदनी, तो फिर से $a + b + \frac{ab}{100}$ लगाइए।

वर्ग की भुजा 10% बढ़े, तो क्षेत्रफल 10 + 10 + 1 = 21% बढ़ता है। किसी आयत की लंबाई 30% बढ़े और चौड़ाई 10% घटे, तो क्षेत्रफल 30 − 10 − 3 = 17% बढ़ता है।

घन हो तो गुणक का घन लीजिए। घन की हर भुजा 10% बढ़े, तो $1.1^3 = 1.331$, यानी आयतन 33.1% बढ़ेगा।

वृत्त में ध्यान रखिए कि क्षेत्रफल $r^2$ के साथ बदलता है। त्रिज्या 10% बढ़े तो क्षेत्रफल 21% बढ़ता है, पर परिधि केवल 10% बढ़ती है।

त्रिभुज को आयत की तरह ही हल कीजिए, क्योंकि उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई होता है।

मूल्य बदलने पर माल कम या ज़्यादा मिले

प्रश्न ऐसा होता है, "मूल्य r% घटने से ₹M में k किग्रा अधिक मिलता है।" या मूल्य बढ़ने से k किग्रा कम मिलता है। दोनों में यह सूत्र लगाइए।

नया मूल्य = (M का r%) ÷ k

मूल्य बढ़े तब भी यही सूत्र है, बस तब k उतने किग्रा होंगे जितना माल कम मिला। दोनों हालतों में इससे नया मूल्य ही निकलता है।

जैसे चीनी 20% सस्ती हो गई और अब ₹720 में 4 किग्रा अधिक मिलती है। 720 का 20% = 144, और 144 ÷ 4 = ₹36 प्रति किग्रा। यह नया मूल्य है। पुराना मूल्य 36 ÷ 0.8 = ₹45 था। जाँच कर लीजिए, ₹720 में पहले 16 किग्रा मिलती थी और अब 20 किग्रा।

सूत्र से नया मूल्य आता है, पर कई छात्र इसी को पुराना मूल्य समझकर लिख देते हैं। इसलिए ध्यान से पढ़िए कि प्रश्न में कौन-सा मूल्य पूछा गया है।

आय, व्यय और बचत

हाल के CGL टियर 1 पेपरों में इस तरह के प्रश्न बार-बार आए हैं। पूरा हिसाब एक ही बात पर टिका है, आय = व्यय + बचत। इन प्रश्नों के सारे रूप "गुणनफल नियम" वाले खंड में विस्तार से दिए गए हैं।

आय को 100 मान लीजिए

जब केवल प्रतिशत दिए हों और उत्तर भी प्रतिशत में चाहिए हो, तो आय 100 मान लीजिए। उसे व्यय और बचत में बाँटिए। हर परिवर्तन उसी हिस्से पर लगाइए जिसका वह है, और अंत में नई आय में से नया व्यय घटा दीजिए।

जैसे कोई व्यक्ति अपनी आय का 30% बचाता है। उसकी आय 20% बढ़ी और व्यय 10%। आय 100 मानें तो व्यय 70 था, जो अब 77 हो गया। आय 100 से 120 हो गई। अब बचत 120 − 77 = 43 है, जबकि पहले 30 थी। बचत 13 बढ़ी, तो वृद्धि $\frac{13}{30}$ = $43\frac{1}{3}\%$ हुई।

भारित औसत वाला छोटा तरीका

आय, व्यय और बचत में से दो का प्रतिशत परिवर्तन पता हो और तीसरे का चाहिए, तो एक बात याद रखिए। आय का परिवर्तन बाकी दोनों परिवर्तनों का भारित औसत (weighted average) होता है। यहाँ भार पुराना व्यय E और पुरानी बचत S हैं।

$$E \times (E \text{ में परिवर्तन}) + S \times (S \text{ में परिवर्तन}) = (E + S) \times (\text{आय में परिवर्तन})$$

ऊपर वाला व्यक्ति ही लीजिए। E : S = 70 : 30 = 7 : 3 है। आय 20% बढ़ी और व्यय 10%। बचत का परिवर्तन s मान लीजिए। तो 7 × 10 + 3 × s = 10 × 20, यानी 3s = 130 और s = $43\frac{1}{3}\%$। इस तरीके में अंत में घटाना ही नहीं पड़ता।

भार हमेशा पुराने E और S के लीजिए, नए के नहीं। और आय बढ़ने पर भी बचत घट सकती है। s ऋणात्मक आए, तो उसे वैसा ही रहने दीजिए। उसका मतलब है कि बचत घटी।

दो व्यक्तियों की आय और व्यय के अनुपात

प्रश्न ऐसे आता है, "दो लोगों की आय a : b में है, व्यय c : d में है, और हर एक की बचत ₹k है।" आय ax और bx लीजिए, व्यय cy और dy। बचत बराबर है, तो ax − cy = bx − dy, यानी (a − b)x = (c − d)y। इससे x और y का संबंध एक पंक्ति में मिल जाता है। फिर उसे किसी एक की बचत में रख दीजिए।

जैसे आय 4 : 3 में है, व्यय 3 : 2 में, और हर एक की बचत ₹5,000 है। तो 4x − 3y = 3x − 2y, जिससे x = y आता है। अब पहले व्यक्ति की बचत 4x − 3x = x = 5,000 है। मतलब दोनों की आय ₹20,000 और ₹15,000 है। जाँच कर लीजिए, व्यय ₹15,000 और ₹10,000 हैं, और दोनों की बचत ₹5,000 ही है।

यह तरीका तभी चलता है जब बचत बराबर हो। अगर बचत 2 : 1 जैसे किसी अनुपात में दी हो, तो बराबर रखने की जगह (ax − cy) : (bx − dy) = 2 : 1 लिखिए।

चुनाव में वैध मतों पर हिसाब

जीत का अंतर वैध मतों का प्रतिशत होता है

दो उम्मीदवार हों, विजेता का हिस्सा प्रतिशत में दिया हो और जीत का अंतर मतों में, तो हिसाब सीधा है। विजेता को वैध मतों का w% मिला, तो हारने वाले को (100 − w)% मिला। अंतर वैध मतों का (2w − 100)% हुआ। अब एक भाग से उत्तर आ जाता है।

जैसे विजेता को 57% मत मिले और वह 2,100 मतों से जीता। हारने वाले को 43% मिले, तो अंतर वैध मतों का 57 − 43 = 14% है। वैध मत = 2,100 ÷ 0.14 = 15,000।

तीन या ज़्यादा उम्मीदवार हों, तो जीत का अंतर केवल सबसे आगे वाले दो उम्मीदवारों के बीच देखा जाता है। A को 41%, B को 34% और C को 25% मिले, तो A, B से वैध मतों के 7% से जीता। C का इससे कोई लेना-देना नहीं है।

मतदाता सूची से वैध मतों तक

कभी मतदाता सूची के कुछ लोग मत डालने नहीं आते, और डाले गए मतों में से भी कुछ अवैध निकलते हैं। तब वैध मत = सूची के मतदाता × (मत डालने वालों का भाग) × (डाले गए मतों में वैध का भाग)। वैध मतों से उलटा सूची तक जाना हो, तो हर कदम पर भाग दीजिए।

मान लीजिए सूची के 25% लोगों ने मत नहीं डाला और डाले गए मतों में से 4% अवैध थे। दो उम्मीदवारों के मुकाबले में विजेता को वैध मतों का 60% मिला और वह 2,880 मतों से जीता। अंतर वैध मतों का 20% है, तो वैध मत = 2,880 ÷ 0.2 = 14,400। डाले गए मत = 14,400 ÷ 0.96 = 15,000। और सूची में मतदाता = 15,000 ÷ 0.75 = 20,000।

हर कदम पर ख़ुद से पूछिए कि यह प्रतिशत किसका है। "डाले गए मतों का 4% अवैध" और "सूची के मतदाताओं का 4%" दो अलग बातें हैं। इसी तरह, अगर विजेता का हिस्सा कुल डाले गए मतों का प्रतिशत दिया हो, तो अंतर भी उसी कुल का प्रतिशत होगा, वैध मतों का नहीं।

[SSC टिप] मत हमेशा पूरी संख्या में होते हैं। किसी विकल्प को लेकर 37.5% वाला हिस्सा निकालें और वह पूरी संख्या न आए, तो वह विकल्प हटा दीजिए।

प्रतिशत के अंतर से उत्तीर्ण अंक

दो छात्र, उत्तीर्ण अंक के दोनों ओर

एक छात्र a% अंक लाकर p अंकों से अनुत्तीर्ण होता है, और दूसरा b% लाकर उत्तीर्ण अंक से q अंक ज़्यादा पाता है। दोनों छात्रों के बीच का पूरा फ़ासला p + q अंक है, और यही उनके प्रतिशतों का अंतर है। यानी अधिकतम अंकों का (b − a)% = p + q। फिर उत्तीर्ण अंक = अधिकतम अंकों का a% + p।

जैसे 32% लाने वाला छात्र 26 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ, और 45% लाने वाले को उत्तीर्ण अंक से 39 अंक ज़्यादा मिले। तो अधिकतम अंकों का 13% = 26 + 39 = 65 है। मतलब 1% में 5 अंक, और अधिकतम अंक 500 हैं। उत्तीर्ण अंक = 500 का 32% + 26 = 160 + 26 = 186।

अगर दोनों छात्र उत्तीर्ण अंक के एक ही ओर हों, तो जोड़ना नहीं, घटाना है। जैसे 30% वाला 50 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ और 36% वाला 20 अंकों से। तो 6% का अंतर 50 − 20 = 30 अंक है, और अधिकतम अंक फिर 500 ही आते हैं।

उलझन हो तो एक रेखा खींचिए और उस पर उत्तीर्ण अंक का निशान लगाइए। फिर दोनों छात्रों के अंक उस पर लगाइए। तुरंत दिख जाएगा कि जोड़ना है या घटाना।

एक विषय में या दोनों में अनुत्तीर्ण

कभी प्रश्न ऐसे आता है, "x% गणित में, y% अंग्रेज़ी में और z% दोनों में अनुत्तीर्ण हुए।" तब कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण = x + y − z, और दोनों में उत्तीर्ण = 100 − (x + y − z)।

जैसे गणित में 30%, अंग्रेज़ी में 22% और दोनों में 9% छात्र अनुत्तीर्ण हुए। तो 30 + 22 − 9 = 43% छात्र कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हुए, और 57% दोनों में उत्तीर्ण। अगर दोनों में उत्तीर्ण छात्र 912 हों, तो कुल परीक्षार्थी 912 ÷ 0.57 = 1,600 हैं।

"गणित में अनुत्तीर्ण" वाले 30% में वे छात्र भी शामिल हैं जो दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए। केवल गणित में अनुत्तीर्ण 30 − 9 = 21% हैं। हाँ, अगर प्रश्न में "केवल" वाले आँकड़े ही दिए हों, तो उन्हें सीधे जोड़ दीजिए, कुछ घटाना नहीं पड़ता।

एक के बाद एक खर्च

हर कदम पर बचा हुआ भाग लीजिए

वेतन का कुछ भाग खर्च होता है, फिर बचे हुए का कुछ भाग, और आगे भी इसी तरह। प्रश्न में अंत में बची रकम दी होती है, जो अक्सर बचत होती है। ऐसे में हर कदम पर खर्च वाला नहीं, बचा हुआ भाग भिन्न में लिखिए और सब भिन्नों का गुणा कीजिए। फिर आख़िरी रकम को इस गुणनफल से भाग दीजिए, वेतन आ जाएगा।

मान लीजिए किराया वेतन का 30% है, भोजन बचे हुए का $\frac{1}{7}$ है, और उसके बाद जो बचा उसका $\frac{1}{3}$ यात्रा पर गया। बचत ₹10,400 है। हर कदम पर बचे भाग $\frac{7}{10}$, $\frac{6}{7}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

$$\frac{7}{10} \times \frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$$

तो वेतन = 10,400 × $\frac{5}{2}$ = ₹26,000।

"वेतन का" और "बचे का" में घालमेल मत कीजिए। अगर किराया वेतन का 20% हो और स्कूल फ़ीस भी वेतन का 10%, तो पहले दोनों को जोड़िए। वेतन का 70% बचा। उसके बाद ही "बचे का" वाले कदमों का गुणा कीजिए।

बीच के किसी एक मद का खर्च

कभी बीच के किसी एक मद पर हुआ खर्च पूछा जाता है। तब वेतन में उस मद का हिस्सा = मद की भिन्न × उससे ठीक पहले बचा हिस्सा।

ऊपर वाला उदाहरण ही लीजिए। यात्रा से ठीक पहले $\frac{7}{10} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{5}$ बचा था। यात्रा उसका $\frac{1}{3}$ है, यानी वेतन का $\frac{1}{5}$, जो ₹5,200 हुआ। इसी तरह भोजन $\frac{7}{10}$ का $\frac{1}{7}$ है, मतलब वेतन का $\frac{1}{10}$, जो ₹2,600 हुआ।

"यात्रा पर $\frac{1}{3}$" पढ़कर उसे वेतन का एक-तिहाई मत समझिए। प्रश्न में बचे हुए का एक-तिहाई कहा गया है।

बजट वाली सूची इससे सरल होती है। वहाँ हर मद एक ही कुल का प्रतिशत होता है, जैसे भोजन 35%, किराया 20% आदि। जो प्रतिशत बचे, वही बचत है। कोई एक रकम पता हो तो कुल रकम निकल आती है। और "भोजन पर किराए से कितना अधिक" पूछा हो, तो वह कुल का (35 − 20)% है।

मिश्रण में न बदलने वाला भाग

पानी मिलाना या पानी उड़ना

विलयन में पानी मिलाया जाए, या पानी भाप बनकर या सूखकर निकल जाए, तो किसी चीज़ का प्रतिशत बदल जाता है। ऐसे में वह भाग पकड़िए जिसकी मात्रा नहीं बदलती, जैसे दूध, नमक या सूखा गूदा। फिर नई कुल मात्रा = उस भाग की मात्रा ÷ उसका नया हिस्सा।

जैसे 40 लीटर दूध-पानी के मिश्रण में 15% पानी है और पानी 32% करना है। दूध 34 लीटर है और यह नहीं बदलेगा। नए मिश्रण में यही दूध 68% होगा, तो नई कुल मात्रा = 34 ÷ 0.68 = 50 लीटर। यानी 10 लीटर पानी मिलाना है।

सुखाने में भी यही तरीका है। ताज़े अंगूर में 90% पानी होता है और किशमिश में 20%। 50 किग्रा अंगूर में सूखा भाग 5 किग्रा है। किशमिश में यही 5 किग्रा 80% होगा, तो किशमिश = 5 ÷ 0.8 = 6.25 किग्रा।

यहाँ दो गलतियाँ आम हैं।

• बदलने वाले भाग से हिसाब लगाना। पानी मिलाने पर दूध स्थिर रहता है, पानी नहीं, इसलिए हिसाब दूध से कीजिए।
• गलत हिस्सा लेना। किशमिश में 20% पानी है तो सूखा भाग 80% है, इसलिए ÷ 0.8 कीजिए, ÷ 0.2 नहीं।

दो विलयन मिलाना

अलग-अलग सांद्रता के दो विलयन मिलाए जाएँ, तो पदार्थ की असली मात्राएँ जोड़िए और कुल आयतन से भाग दीजिए।

जैसे 30% अम्ल वाले 20 लीटर विलयन में 20% अम्ल वाला 30 लीटर विलयन मिलाया। अब अम्ल 6 + 6 = 12 लीटर है और कुल मात्रा 50 लीटर। तो सांद्रता 24% हुई।

दोनों प्रतिशतों का सीधा औसत लेने पर 25% आता है। यह तभी सही है जब दोनों की मात्रा बराबर हो। मिश्रण की सांद्रता हमेशा उस विलयन के ज़्यादा पास रहती है जिसकी मात्रा ज़्यादा हो।

अनुपात, मान लेना और विकल्प हटाना

A का a% = B का b% हो तो A : B = b : a

प्रश्न आता है, "A का 35% = B का 21% है, तो A : B क्या है?" या "A, B का कितना प्रतिशत है?" यहाँ प्रतिशतों को क्रॉस करके अदल-बदल दीजिए। इसी को क्रॉस नियम कहते हैं। A : B = b : a = 21 : 35 = 3 : 5, यानी A, B का 60% है।

दोनों ओर अलग-अलग रूप हों, जैसे एक ओर प्रतिशत और दूसरी ओर भिन्न, तो पहले दोनों को भिन्न में बदलिए। जैसे A का $12\frac{1}{2}\%$ = B का $\frac{1}{6}$। तो $\frac{A}{8} = \frac{B}{6}$, और A : B = 8 : 6 = 4 : 3।

योग और अंतर पर भी यही चलता है। (A + B) का 20% = (A − B) का 50% हो, तो (A + B) : (A − B) = 50 : 20 = 5 : 2। अब योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाइए, जो अध्याय 2 में है। A : B = (5 + 2) : (5 − 2) = 7 : 3।

पूरा खेल इसी अदला-बदली का है। A के साथ b आता है, a नहीं। मतलब जिस राशि का प्रतिशत बड़ा है, वह राशि छोटी है। जो छात्र सीधे 35 : 21 = 5 : 3 लिख देते हैं, वे यहीं चूकते हैं।

100 या ल.स. मान लेना

जब कोई असली रकम दी ही न हो, या प्रतिशत के साथ $\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{4}$ जैसी भिन्नें हों, तो शुरुआत में ऐसी संख्या मान लीजिए जिससे कोई भिन्न न बचे। केवल प्रतिशत हों तो 100 मानिए। भिन्नें हों तो हरों का ल.स. (LCM) मानिए।

जैसे किसी दुकान ने मूल्य $16\frac{2}{3}\%$ घटाया और 25% ज़्यादा वस्तुएँ बिकीं। आमदनी में कितना परिवर्तन हुआ, यह निकालना है। $16\frac{2}{3}\%$ = $\frac{1}{6}$ और 25% = $\frac{1}{4}$, तो मूल्य 6 और बिकी वस्तुएँ 4 मान लीजिए। अब मूल्य घटकर 5 हुआ और वस्तुएँ बढ़कर 5। आमदनी 6 × 4 = 24 से बढ़कर 5 × 5 = 25 हो गई। वृद्धि $\frac{1}{24}$ हुई, जो $4\frac{1}{6}\%$ है।

संख्या केवल एक बार मानिए। अगर बाद में असली रकम दी हो, तो हल दोबारा शुरू मत कीजिए। अंत में उत्तर को उसी अनुपात में बढ़ा या घटा दीजिए।

विकल्प हटाना

पूरा हल करने से पहले, या कभी उसकी जगह, विकल्पों को जाँच लीजिए। लंबे इबारती प्रश्नों में यह ख़ास काम आता है। तीन जाँचें बहुत जल्दी हो जाती हैं।

• पूरी संख्या: लोग, मत और अंक पूरी संख्या में होते हैं। कक्षा की 37.5% यानी 3/8 लड़कियाँ हों, तो कक्षा की संख्या 8 का गुणज होगी।
• छोटा-बड़ा: बराबर x% वृद्धि और कमी के बाद उत्तर शुरुआती मान से कम आएगा। आय, व्यय से तेज़ बढ़े, तो बचत आय से भी तेज़ बढ़ेगी।
• दिशा: वृद्धि के बाद निकाला गया मूल मूल्य नए मूल्य से छोटा होगा।

जैसे किसी कक्षा में 37.5% लड़कियाँ हैं और उनमें से 20% शतरंज खेलती हैं। कक्षा की संख्या के विकल्प हैं (a) 96 (b) 140 (c) 160 (d) 180। 140 और 180, 8 के गुणज नहीं हैं, तो ये दोनों हट गए। 96 लें तो 36 लड़कियाँ होंगी, और 36 का 20% = 7.2 आता है, जो हो ही नहीं सकता। बस (c) 160 बचा। इसमें 60 लड़कियाँ हैं, जिनमें से 12 शतरंज खेलती हैं।

हाँ, कभी चारों विकल्प सारी जाँचें पास कर लेते हैं। तब पूरा हल करना ही पड़ेगा।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न तेज़ तरीके से करेंगे और देखेंगे कि उसमें कितना समय लगता है। कहीं-कहीं लंबे तरीके से तुलना भी कर लेंगे।

प्रश्न 1

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: 1,524 का $16\frac{2}{3}\%$ + 1,617 का $14\frac{2}{7}\%$ − 2,961 का $11\frac{1}{9}\%$।

उत्तर: ये तीनों प्रतिशत सीधी भिन्नें हैं। पहला $\frac{1}{6}$ है, दूसरा $\frac{1}{7}$ और तीसरा $\frac{1}{9}$। तो बस तीन भाग करने हैं। 1,524 ÷ 6 + 1,617 ÷ 7 − 2,961 ÷ 9 = 254 + 231 − 329 = 156। इतना करने में करीब 20 सेकंड लगते हैं। वहीं कोई 16.67, 14.29 और 11.11 से गुणा करने बैठे, तो एक मिनट से ज़्यादा लग जाएगा, और उत्तर फिर भी थोड़ा इधर-उधर रहेगा।

प्रश्न 2

मूल्य में 8% की वृद्धि के बाद एक स्कूटर ₹82,620 का मिलता है। वृद्धि से पहले उसका मूल्य कितना था?

उत्तर: 8% बढ़ने का मतलब है मूल्य को $\frac{108}{100}$ से गुणा करना, यानी $\frac{27}{25}$ से। हमें पुराना मूल्य चाहिए, तो गुणक पलट देते हैं और 82,620 × $\frac{25}{27}$ करते हैं। 82,620 ÷ 27 = 3,060, और 3,060 × 25 = ₹76,500। कई लोग 82,620 में से ही 8% घटाकर ₹76,010.40 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 8% तो पुराने मूल्य पर लगा था। पूरा हल करीब 20 सेकंड का है।

प्रश्न 3

एक छात्र से कहा गया कि वह किसी संख्या को $\frac{5}{6}$ से गुणा करे, पर उसने उस संख्या को $\frac{5}{6}$ से भाग दे दिया। उसके उत्तर में कितने प्रतिशत की त्रुटि है?

उत्तर: किसी भिन्न से भाग देना उसे उलटकर गुणा करने जैसा ही है। अब गलत परिणाम को सही परिणाम से भाग दीजिए, तो $\frac{6}{5} \div \frac{5}{6} = \frac{36}{25}$ आता है। यह 1 से $\frac{11}{25}$ अधिक है, तो त्रुटि सही परिणाम का $\frac{11}{25}$ है, यानी 44%। संख्या जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। यह 15 सेकंड के आसपास का काम है। चाहें तो कोई संख्या मान लीजिए, जैसे 30। तब गलत परिणाम 36 आता है और सही 25। यह तरीका भी चलता है, पर इसमें समय ज़्यादा लगता है।

प्रश्न 4

A का 45%, B के 27% के बराबर है, तथा A + B = 1,280 है। B ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ क्रॉस नियम लगेगा। A के साथ B वाला प्रतिशत आता है, तो A : B = 27 : 45 = 3 : 5। मतलब B कुल का $\frac{5}{8}$ है। $\frac{5}{8}$ × 1,280 = 800, और यह करीब 15 सेकंड में हो जाता है। जाँच भी कर लेते हैं। A = 480 हुआ, और 480 का 45% = 216, जो 800 के 27% के बराबर है।

प्रश्न 5

एक फ़ोन के मूल्य में पहले 30% की वृद्धि हुई, फिर 20% की कमी और अंत में 10% की एक और कमी। फ़ोन के मूल्य में कुल परिवर्तन कितना हुआ?

उत्तर: तीनों गुणक 1.3, 0.8 और 0.9 हैं, तो 1.3 × 0.8 × 0.9 करना है। पहले 1.3 × 0.8 = 1.04, फिर 1.04 × 0.9 = 0.936। अंत में मूल्य शुरू के मूल्य का 93.6% रह गया। तो कुल 6.4% कमी हुई। कुछ लोग दरें सीधे जोड़-घटाकर 0% लिख देते हैं, मानो मूल्य बदला ही न हो। ऐसा सोचना गलत है। हल में करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 6

मीरा का वेतन 12% घटाया गया, और कुछ समय बाद 12% बढ़ा दिया गया। अब उसे शुरुआत की तुलना में हर महीने ₹360 कम मिलते हैं। मीरा का प्रारंभिक वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कमी और वृद्धि एक ही दर से हुई है, तो अंत में हानि ही होगी। यह हानि पहले वेतन का $\frac{12^2}{100}$ = 1.44% होती है। पहले वेतन का यही 1.44% ₹360 के बराबर है, तो वेतन = 360 ÷ 0.0144 = ₹25,000। इसमें 15 सेकंड के आसपास लगते हैं। x मानकर चलें, तो पहले 0.88x, फिर 0.88x × 1.12 और फिर समीकरण हल करना पड़ता है, जिसमें लगभग एक मिनट चला जाता है।

प्रश्न 7

किसी कस्बे की जनसंख्या में पहले वर्ष 10% की वृद्धि, दूसरे वर्ष 10% की कमी और तीसरे वर्ष 20% की वृद्धि हुई। कस्बे की वर्तमान जनसंख्या 47,520 है। तीन वर्ष पूर्व जनसंख्या कितनी थी?

उत्तर: तीनों सालों के गुणकों का गुणा कर लेते हैं। 1.1 × 0.9 × 1.2 = 0.99 × 1.2 = 1.188। अब वर्तमान जनसंख्या को इससे भाग देंगे। 47,520 ÷ 1.188 = 40,000। यह भाग भारी लगे, तो 40,000 जैसी गोल संख्या लेकर उलटा जाँच लीजिए। 40,000 × 1.188 = 47,520 आता है, तो उत्तर 40,000 ही है। अगर दरें जोड़कर 10 − 10 + 20 = 20% की वृद्धि मान ली, तो 39,600 आएगा, जो गलत है। कुल मिलाकर करीब 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 8

पेट्रोल का मूल्य $14\frac{2}{7}\%$ बढ़ गया। अपना व्यय पहले जितना ही रखने के लिए एक चालक को पेट्रोल की खपत में कितने प्रतिशत की कटौती करनी होगी? यदि पहले उसकी मासिक खपत 56 लीटर थी, तो अब वह कितना पेट्रोल इस्तेमाल कर सकता है?

उत्तर: $14\frac{2}{7}\%$ मतलब मूल्य $\frac{1}{7}$ बढ़ा। मूल्य × खपत = व्यय, और व्यय वही रखना है। तो खपत $\frac{1}{8}$ घटानी होगी, यानी 12.5%। नई खपत = 56 × $\frac{7}{8}$ = 49 लीटर। यह प्रश्न करीब 10 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 9

चावल के मूल्य में 12.5% की कमी आने पर अब ₹1,120 में पहले से 4 किग्रा अधिक चावल मिलता है। चावल का मूल मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मूल्य घटने से ₹1,120 का 12.5%, यानी ₹140, बच गया। इसी ₹140 में 4 किग्रा अधिक चावल आया, तो नया मूल्य 140 ÷ 4 = ₹35 प्रति किग्रा है। 12.5% घटने पर नया मूल्य पुराने का $\frac{7}{8}$ होता है, तो मूल मूल्य = 35 × $\frac{8}{7}$ = ₹40 प्रति किग्रा। जाँच कर लेते हैं। ₹40 के भाव से ₹1,120 में 28 किग्रा आता था, और ₹35 के भाव से 32 किग्रा आता है। यह भी लगभग 20 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 10

कोई व्यक्ति अपनी आय का 40% बचा लेता है। उसकी आय 20% बढ़ जाती है और व्यय 12%। उसकी बचत में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

उत्तर: बचत 40% है, तो व्यय 60% है। व्यय और बचत का अनुपात E : S = 60 : 40 = 3 : 2 है। अब भारित औसत वाला तरीका लगाते हैं। 3 × 12 + 2 × s = 5 × 20, यानी 36 + 2s = 100, तो s = 32%। चाहें तो आय 100 मानकर जाँच लीजिए। आय 120 हो गई, व्यय 67.2 और बचत 52.8, जो पहले 40 थी। 40 पर 12.8 की बढ़त 32% ही है। तेज़ तरीके से करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 11

P और Q की आय 8 : 5 के अनुपात में है, जबकि उनके व्यय 2 : 1 के अनुपात में हैं। दोनों में से प्रत्येक की बचत ₹9,000 है। P की आय कितनी है?

उत्तर: आय 8x और 5x मान लीजिए, और व्यय 2y और y। दोनों की बचत बराबर है, तो 8x − 2y = 5x − y, जिससे y = 3x आता है। अब P की बचत = 8x − 6x = 2x, और यही 9,000 है। 2x = 9,000 से x = 4,500 आया। P की आय = 8 × 4,500 = ₹36,000। साथ में Q की आय ₹22,500 निकलती है, और दोनों के व्यय ₹27,000 और ₹13,500। यह करीब 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 12

दो उम्मीदवारों वाले एक चुनाव में मतदाता सूची के 15% मतदाता मत डालने नहीं आए, और डाले गए मतों में से 8% अवैध पाए गए। विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 56% मिला और उसने 4,692 मतों के अंतर से जीत दर्ज की। मतदाता सूची में मतदाताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विजेता को वैध मतों का 56% मिला, तो हारने वाले को 44%। अंतर 56 − 44 = 12% है, यानी वैध मतों का 12%। वैध मत = 4,692 ÷ 0.12 = 39,100। डाले गए मतों में 8% अवैध थे, इसलिए डाले गए मत = 39,100 ÷ 0.92 = 42,500। सूची के 15% लोग मत डालने आए ही नहीं, तो सूची में मतदाता = 42,500 ÷ 0.85 = 50,000। हर भाग पूरा-पूरा हुआ, कहीं शेष नहीं बचा। इसी से भरोसा हो जाता है कि हल ठीक चल रहा है। पूरे हल में करीब 30 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 13

28% अंक लाने वाला एक छात्र 42 अंकों से अनुत्तीर्ण हुआ, तथा 45% अंक लाने वाले एक अन्य छात्र को उत्तीर्ण अंकों से 26 अंक अधिक मिले। परीक्षा कितने अंकों की थी, और उत्तीर्ण होने के लिए कितने प्रतिशत अंक चाहिए थे?

उत्तर: पहला छात्र उत्तीर्ण अंक से 42 नीचे है और दूसरा 26 ऊपर। दोनों के बीच की पूरी दूरी 42 + 26 = 68 अंक है। यही दूरी दोनों प्रतिशतों के अंतर 45 − 28 = 17% के बराबर है। 17% में 68 अंक हैं, तो 1% = 4 अंक, और पूरी परीक्षा 400 अंकों की थी। उत्तीर्ण अंक = 400 का 28% + 42 = 112 + 42 = 154। प्रतिशत में यह $\frac{154}{400}$ = 38.5% है। समय करीब 20 सेकंड लगता है।

प्रश्न 14

अर्जुन अपने वेतन का 30% मकान किराए पर लगाता है, बची राशि का $\frac{1}{4}$ भोजन पर, और उसके बाद जो बचे, उसका 20% यात्रा पर खर्च करता है। अंत में बचे ₹12,600 उसकी बचत हैं। अर्जुन का वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर कदम पर देखिए कि कितना बचा। किराए के बाद 0.7 बचा, भोजन के बाद उसका $\frac{3}{4}$, और यात्रा के बाद उसका 0.8। इन तीनों का गुणा 0.7 × 0.75 × 0.8 = 0.42 है। यानी अंत में वेतन का 0.42 हिस्सा बचता है, और वही ₹12,600 है। तो वेतन = 12,600 ÷ 0.42 = ₹30,000। यह भी 20 सेकंड के आसपास हो जाता है।

प्रश्न 15

45 किग्रा चाशनी में भार के हिसाब से 12% चीनी है। इसे उबालकर कितना पानी उड़ाया जाए कि चाशनी में चीनी 18% हो जाए?

उत्तर: उबालने पर पानी उड़ता है, चीनी जितनी थी उतनी ही रहती है। चीनी = 45 का 12% = 5.4 किग्रा। अब यही 5.4 किग्रा पूरी चाशनी का 18% होना चाहिए, तो चाशनी = 5.4 ÷ 0.18 = 30 किग्रा। मतलब 15 किग्रा पानी उड़ाना होगा। इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं। इससे भी जल्दी करना हो, तो ऐसे सोचिए। चीनी का हिस्सा 12% से 18% हुआ, यानी $\frac{3}{2}$ गुना, तो कुल भार घटकर 45 का $\frac{2}{3}$ = 30 किग्रा रह जाएगा।