अंकित मूल्य और बट्टा

अंकित मूल्य, बट्टा और विक्रय मूल्य

दुकान में हर वस्तु पर एक टैग लगा होता है, जिस पर उसका मूल्य छपा रहता है। इसी मूल्य को अंकित मूल्य (marked price, MP) कहते हैं। छोटे रूप में इसे अं.मू. लिखते हैं। प्रश्नों में इसके दूसरे नाम भी आते हैं, जैसे सूची मूल्य, मुद्रित मूल्य, टैग मूल्य या कैटलॉग मूल्य। मतलब सबका एक ही है।

दुकानदार अक्सर अंकित मूल्य में से कुछ रकम कम कर देता है। इस घटाई गई रकम को बट्टा (discount) कहते हैं। बट्टा घटाने के बाद जो रकम बचती है, वही ग्राहक चुकाता है। यही विक्रय मूल्य है।

$$\text{वि.मू.} = \text{अं.मू.} - \text{बट्टा}$$

एक बात पक्की कर लीजिए। बट्टा % हमेशा अंकित मूल्य पर लगता है, जब तक प्रश्न में साफ़-साफ़ कुछ और न कहा गया हो।

$$\text{बट्टा}\% = \frac{\text{बट्टा}}{\text{अं.मू.}} \times 100, \qquad \text{वि.मू.} = \text{अं.मू.} \times \frac{100 - d}{100}$$

यहाँ d बट्टे की दर है। अब इसे तीन उदाहरणों में देखते हैं।

• विक्रय मूल्य निकालना: एक जैकेट का अंकित मूल्य ₹4,500 है और उस पर 18% बट्टा है। बट्टा = 4,500 का 18% = ₹810, तो वि.मू. = ₹3,690। इसे और जल्दी करना हो, तो सीधे 4,500 × 0.82 कीजिए। ₹3,690 आ जाएगा।
• बट्टा % निकालना: एक लैंप का अंकित मूल्य ₹750 है, और वह ₹630 में बिका। बट्टा ₹120 हुआ। अब 120 ÷ 750 = 0.16, यानी बट्टा 16% है।
• अंकित मूल्य तक पीछे जाना: 15% बट्टे के बाद ग्राहक ने ₹1,071 चुकाए। मतलब ₹1,071 अंकित मूल्य का 85% है। तो अं.मू. = 1,071 × $\frac{100}{85}$ = ₹1,260। कई छात्र ₹1,071 में उसी ₹1,071 का 15% जोड़कर ₹1,231.65 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 15% अंकित मूल्य पर लगा था, ग्राहक के भुगतान पर नहीं।

भिन्न या रुपयों में बट्टा: कभी-कभी बट्टा प्रतिशत में नहीं दिया होता। "एक-पाँचवाँ कम" का मतलब 20% बट्टा है। "हर ₹8 पर ₹1 कम" का मतलब $\frac{1}{8}$ है, यानी 12.5%। और "₹600 की वस्तु पर ₹90 कम" का मतलब 15% है। ऑफ़रों की तुलना करनी हो, तो पहले हर रूप को अंकित मूल्य के प्रतिशत में बदल लीजिए।

बट्टे की दो दरें: एक ही अंकित मूल्य पर बट्टे की दो दरें दी हों, तो दोनों बट्टों के अंतर को भी अंकित मूल्य का ही प्रतिशत समझिए। जैसे, "15% के स्थान पर 20% बट्टा मिलने से ग्राहक ₹54 अधिक बचाता है। अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।" यहाँ अंकित मूल्य का अतिरिक्त 5% = ₹54 है। तो अं.मू. = 54 × 20 = ₹1,080 (20% पर बट्टा ₹216 होता है और 15% पर ₹162)।

क्रय मूल्य अलग चीज़ है: बट्टे का संबंध केवल अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य से है। अकेले बट्टे से क्रय मूल्य के बारे में कुछ पता नहीं चलता। लाभ या हानि तो पहले की तरह विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य की तुलना से ही निकलती है, जैसा हमने "लाभ और हानि की मूल बातें" वाले खंड में देखा था।

पूरे प्रश्न में तीन मूल्य होते हैं, और उनका क्रम यह है।

क्र.मू. → (मूल्य अंकित) → अं.मू. → (बट्टा) → वि.मू.

आगे के सारे प्रश्नों में इन्हीं कदमों को आपस में जोड़ा जाता है।

[SSC टिप] प्रश्न में "छूट", "रिबेट", "कटौती" या "रियायत" लिखा हो, तो उसका मतलब भी अंकित मूल्य पर बट्टा ही है। जाल वाला विकल्प वह होता है जिसमें बट्टा विक्रय मूल्य पर निकाला गया हो, जैसे लैंप वाले उदाहरण में ₹120 ÷ ₹630 = 19.05%।

मार्कअप: क्रय मूल्य से ऊपर अंकन

दुकानदार सबसे पहले यह तय करता है कि क्रय मूल्य से कितना ऊपर मूल्य छापना है। अंकित मूल्य और क्रय मूल्य के अंतर (अं.मू. − क्र.मू.) को मार्कअप (markup) कहते हैं। मार्कअप % हमेशा क्रय मूल्य पर निकलता है, जब तक प्रश्न कुछ और न कहे।

$$\text{अं.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + m}{100}$$

यहाँ m मार्कअप की दर है।

• अंकित मूल्य निकालना: एक बैग का क्रय मूल्य ₹1,600 है, और दुकानदार क्रय मूल्य से 35% अधिक मूल्य अंकित करता है। तो अं.मू. = 1,600 × 1.35 = ₹2,160।
• क्रय मूल्य निकालना: एक घड़ी का अंकित मूल्य ₹3,150 है, जो क्रय मूल्य से 40% अधिक है। तो क्र.मू. = 3,150 × $\frac{100}{140}$ = ₹2,250। यहाँ कई छात्र ₹3,150 में से 40% घटाकर ₹1,890 लिख देते हैं। विकल्पों में अक्सर यही गलत संख्या दी होती है।
• मार्कअप की रकम से: मान लीजिए "अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से ₹420 अधिक है, और मार्कअप 28% है।" मतलब क्र.मू. का 28% = ₹420 है। तो क्र.मू. = 420 ÷ 0.28 = ₹1,500, और अं.मू. = ₹1,920।

मार्कअप को अनुपात में लिखना: मार्कअप किसी आसान भिन्न के बराबर हो, तो अं.मू. : क्र.मू. का अनुपात तुरंत लिखा जा सकता है। ये अनुपात याद रखिए।

अंकित मूल्य से नीचे क्रय मूल्य: अंकित मूल्य से क्रय मूल्य कितना नीचे है, यह एक अलग प्रतिशत है। अं.मू., क्र.मू. से 25% ऊपर हो, तो क्र.मू., अं.मू. से $\frac{1}{5}$ नीचे है, यानी 20% नीचे। आम नियम यह है कि क्र.मू. पर m% का मार्कअप, अं.मू. के हिसाब से $\frac{m}{100 + m} \times 100$ % होता है।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। मार्कअप अं.मू. का 20% हो, तो क्र.मू. अं.मू. का 80% है। तब क्रय मूल्य पर मार्कअप $\frac{20}{80}$ = 25% हुआ।

मार्कअप और लाभ अलग हैं: माल अंकित मूल्य पर ही बिक जाए, तभी लाभ % और मार्कअप % बराबर होते हैं। बट्टा दिया गया, तो लाभ मार्कअप से कम रह जाता है, और हानि भी हो सकती है। याद रखिए, लाभ हमेशा विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य से ही निकलता है।

वस्तुओं की गिनती से अनुपात: प्रश्न में लिखा हो, "12 पेनों का क्रय मूल्य, 9 पेनों के अंकित मूल्य के बराबर है", तो 12 क्र.मू. = 9 अं.मू. हुआ। इसलिए अं.मू. : क्र.मू. = 12 : 9 = 4 : 3, और मार्कअप $33\frac{1}{3}\%$ है। मतलब वस्तुओं की गिनती को उलट दीजिए, मूल्यों का अनुपात मिल जाएगा।

मार्कअप और बट्टा साथ: लाभ-हानि

SSC में बट्टे के ज़्यादातर प्रश्नों में मार्कअप और बट्टा दोनों दिए होते हैं, और लाभ या हानि पूछी जाती है। इन्हें हल करने के लिए दोनों गुणकों को एक के बाद एक लगा दीजिए।

$$\text{वि.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + m}{100} \times \frac{100 - d}{100}$$

एक पंक्ति में शुद्ध प्रतिशत: मार्कअप m% की वृद्धि है, और बट्टा उसी बढ़े हुए मूल्य पर d% की कमी। यानी यह क्रमिक परिवर्तन है, और अध्याय 3 (प्रतिशत) वाला नियम यहाँ भी लगता है।

$$\text{लाभ}\% = m - d - \frac{m d}{100}$$

उत्तर ऋणात्मक आए, तो हानि हुई।

• क्रय मूल्य से 40% अधिक मूल्य अंकित किया और 15% बट्टा दिया। तो 40 − 15 − $\frac{40 \times 15}{100}$ = 40 − 15 − 6 = 19% लाभ। क्र.मू. ₹2,000 लेकर देखिए। अं.मू. ₹2,800 हुआ, वि.मू. ₹2,380, और लाभ ₹380, जो 19% ही है।
• 20% अधिक अंकित किया और 25% बट्टा दिया। 20 − 25 − 5 = −10, यानी 10% हानि।
• 30% अधिक अंकित किया और 30% बट्टा दिया। 30 − 30 − 9 = −9, यानी 9% हानि। जब एक ही दर x% से पहले मूल्य बढ़ाकर अंकित करें और फिर उतना ही बट्टा दें, तो हमेशा $\frac{x^2}{100}$ % की हानि होती है।

भिन्न वाला तरीका: हर कदम को भिन्न में लिखकर गुणा कर दीजिए। 50% मार्कअप मतलब $\frac{3}{2}$, और 20% बट्टा मतलब $\frac{4}{5}$। गुणा करने पर वि.मू. ÷ क्र.मू. = $\frac{6}{5}$ आता है, यानी 20% लाभ। कुछ और जोड़े देखिए।

रुपयों में लाभ से क्रय मूल्य: प्रश्न है, "माल पर क्रय मूल्य से 50% अधिक मूल्य अंकित करके उसे 16% बट्टे पर बेचा जाता है, जिससे ₹312 का लाभ होता है। क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।" यहाँ वि.मू. ÷ क्र.मू. = 1.5 × 0.84 = 1.26 है। मतलब लाभ क्रय मूल्य का 26% है। तो क्र.मू. = 312 ÷ 0.26 = ₹1,200 (अं.मू. ₹1,800 और वि.मू. ₹1,512)।

पहले मूल्य बढ़ाया, फिर बट्टा: कई दुकानें पहले अंकित मूल्य बढ़ाती हैं और फिर बट्टे की घोषणा करती हैं। यहाँ भी यही नियम लगता है। अंकित मूल्य 25% बढ़ाकर 20% बट्टा दिया, तो मूल्य फिर पुराने अंकित मूल्य पर आ गया, क्योंकि $\frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$। और 40% बढ़ाकर 30% बट्टा दिया, तो 1.4 × 0.7 = 0.98। मतलब ग्राहक पुराने अंकित मूल्य से 2% कम चुकाता है।

[SSC टिप] जाल वाला विकल्प अक्सर सीधा m − d होता है, जैसे पहले उदाहरण में 40 − 15 = 25%। पर बट्टा अंकित मूल्य पर लगता है, जो क्रय मूल्य से बड़ा है। इसलिए क्रय मूल्य के हिसाब से बट्टा अपनी दिखने वाली दर से ज़्यादा रकम कम कर देता है। ध्यान रखिए, $\frac{md}{100}$ वाला पद भी हमेशा घटाया जाता है।

अं.मू. : क्र.मू. अनुपात वाला रास्ता

जब मार्कअप, बट्टा और लाभ में से दो चीज़ें दी हों और तीसरी पूछी जाए, तो विक्रय मूल्य को दो तरह से लिखिए। अंकित मूल्य से देखें, तो वि.मू. = अं.मू. × (100 − d)%। क्रय मूल्य से देखें, तो वि.मू. = क्र.मू. × (100 + p)%। अब दोनों को बराबर रख दीजिए।

$$\text{अं.मू.} \times (100 - d) = \text{क्र.मू.} \times (100 + p) \quad \Rightarrow \quad \frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{100 + p}{100 - d}$$

अगर l% हानि हो, तो 100 + p की जगह 100 − l रखिए। नीचे के सारे प्रकार इसी एक पंक्ति से हल होते हैं।

1. लक्ष्य लाभ के लिए अंकित मूल्य: "एक वस्तु का क्रय मूल्य ₹840 है। उस पर कितना मूल्य अंकित किया जाए कि 16% बट्टा देने के बाद भी दुकानदार को 25% लाभ हो?" यहाँ अं.मू. = 840 × $\frac{125}{84}$ = ₹1,250। जाँच कर लीजिए, 1,250 × 0.84 = ₹1,050, और 1,050 ÷ 840 = 1.25।

2. आवश्यक मार्कअप %: "10% बट्टा देने के बाद 17% लाभ कमाने के लिए एक व्यापारी को अपने माल पर क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करना चाहिए?" यहाँ $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{117}{90} = \frac{13}{10}$, यानी क्रय मूल्य से 30% अधिक। इसे एक सूत्र में भी लिख सकते हैं, मार्कअप % = $\frac{p + d}{100 - d} \times 100 = \frac{27}{90} \times 100$ = 30%। कई छात्र सीधे 17 + 10 = 27% लिख देते हैं, जो गलत है।

3. कितना बट्टा दे सकते हैं: "माल पर क्रय मूल्य से 50% अधिक मूल्य अंकित है। कितना बट्टा देने पर भी 20% लाभ बचा रहेगा?" क्र.मू. = 100 मान लीजिए। तब अं.मू. 150 है, और वि.मू. 120 होना चाहिए। बट्टा 150 पर 30 है, यानी 20%। सूत्र से लिखें, तो d = $\frac{m - p}{100 + m} \times 100$।

4. अंकित मूल्य से क्रय मूल्य: "₹1,500 अंकित मूल्य वाली एक वस्तु 12% बट्टे पर बेचने से 10% लाभ होता है। क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।" यहाँ अनुपात उलटकर लगाइए। क्र.मू. = 1,500 × $\frac{88}{110}$ = ₹1,200।

5. अनुपात दिया हो: "अं.मू. : क्र.मू. = 7 : 5 है और बट्टा 10% है। लाभ % ज्ञात कीजिए।" अं.मू. = 7 और क्र.मू. = 5 मान लीजिए। वि.मू. = 0.9 × 7 = 6.3। लाभ 5 पर 1.3 है, यानी 26%।

6. अंकित मूल्य पर लाभ दिया हो, तो बट्टा: "अंकित मूल्य पर बेचने से एक वस्तु पर 35% लाभ होता है। कितना बट्टा देने पर केवल 8% लाभ होगा?" क्र.मू. = 100 लीजिए। तो अं.मू. = 135, और वि.मू. 108 चाहिए। बट्टा 135 पर 27 है, यानी 20%। 35 − 8 = 27% लिखना गलत है, क्योंकि यह 27 तो क्रय मूल्य (100) पर है, जबकि बट्टा अंकित मूल्य (135) पर निकलता है।

दो बट्टे, दो नतीजे

कुछ प्रश्नों में दो अलग-अलग बट्टों पर दुकानदार का नतीजा दिया होता है। फिर अंकित मूल्य, क्रय मूल्य या किसी तीसरे बट्टे पर नतीजा पूछा जाता है। यहाँ एक बात समझ लीजिए। बट्टे की दर में जितने प्रतिशत का फ़र्क होता है, विक्रय मूल्य में अंकित मूल्य के ठीक उतने प्रतिशत का फ़र्क पड़ता है।

एक बट्टे पर लाभ, दूसरे पर हानि: "8% बट्टे पर दुकानदार को ₹114 का लाभ होता है। 20% बट्टे पर उसे ₹30 की हानि होती है। अंकित मूल्य और क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।" बट्टा 8% से 20% हुआ, तो वि.मू. में अं.मू. के 12% की कटौती हुई। इसी कटौती से ₹114 का लाभ ₹30 की हानि में बदल गया, यानी कुल फ़र्क ₹144 का है। तो अं.मू. का 12% = 144, और अं.मू. = ₹1,200। 8% बट्टे पर वि.मू. = ₹1,104, तो क्र.मू. = 1,104 − 114 = ₹990। जाँच कर लीजिए, 20% बट्टे पर वि.मू. = ₹960 है, यानी ₹30 की हानि।

दोनों बार लाभ: "15% बट्टे पर लाभ ₹125 है, और 20% बट्टे पर ₹80।" यहाँ अं.मू. का अतिरिक्त 5% = 125 − 80 = ₹45 है। तो अं.मू. = ₹900। 15% बट्टे पर वि.मू. = ₹765, तो क्र.मू. = 765 − 125 = ₹640।

याद रखिए, एक बार लाभ और एक बार हानि हो, तो दोनों रकमें जोड़िए। दोनों बार लाभ हो, या दोनों बार हानि, तो घटाइए।

नए बट्टे पर लाभ %: "12% बट्टे पर लाभ 21% है। 20% बट्टे पर लाभ कितना होगा?" यहाँ अं.मू. : क्र.मू. = 121 : 88 = 11 : 8 है। क्र.मू. = 100 लें, तो अं.मू. = 137.5। 20% बट्टे पर वि.मू. = 110, यानी 10% लाभ।

इसे और जल्दी ऐसे सोचिए। हर 1% अतिरिक्त बट्टा, वि.मू. में से अंकित मूल्य का 1% कम कर देता है। यहाँ अं.मू. = 1.375 × क्र.मू. है। तो 8% अधिक बट्टे से लाभ में से क्रय मूल्य का 8 × 1.375 = 11% कम होगा, और 21 − 11 = 10% बचेगा।

यहाँ 21 − 8 = 13% लिखना गलत है। यह गलती तब होती है जब हम भूल जाते हैं कि बट्टा अंकित मूल्य पर लगता है।

[Tier 2] बट्टे पर खरीदकर अंकित मूल्य से ऊपर बेचना: कभी व्यापारी अंकित मूल्य पर बट्टा लेकर माल खरीदता है, और फिर अंकित मूल्य से ऊपर बेचता है। यहाँ क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य, दोनों एक ही अंकित मूल्य से निकलते हैं। जैसे, "एक व्यापारी अंकित मूल्य पर 25% बट्टा लेकर माल खरीदता है और उसे अंकित मूल्य से 5% अधिक पर बेचता है।" अंकित मूल्य = 100 मान लीजिए। तब क्र.मू. = 75 और वि.मू. = 105। लाभ $\frac{30}{75}$ = 40% है, 30% नहीं।

बट्टा = लाभ जैसी शर्तें

कुछ प्रश्नों में मार्कअप दिया ही नहीं होता। उसकी जगह दो रकमों के बीच कोई शर्त दी होती है। ऐसे में अं.मू. = 100 (या क्र.मू. = 100) मान लीजिए। फिर दी गई शर्त से समीकरण लिखिए। बाकी सब अपने आप निकल आता है।

बट्टा (₹ में) = लाभ (₹ में): इसका मतलब है कि अं.मू. − वि.मू. और वि.मू. − क्र.मू. बराबर हैं। यानी वि.मू. ठीक क्र.मू. और अं.मू. के बीचोंबीच है। जैसे, "एक दुकानदार 20% बट्टा देता है, और बट्टा उसके लाभ के बराबर है।" अं.मू. = 100 लीजिए। तो वि.मू. = 80 और बट्टा 20 है। लाभ भी 20 है, तो क्र.मू. = 60। लाभ % = $\frac{20}{60}$ = $33\frac{1}{3}\%$। साथ ही पता चलता है कि माल क्रय मूल्य से $66\frac{2}{3}\%$ अधिक पर अंकित था।

बट्टा % = लाभ %: "क्रय मूल्य से 50% अधिक अंकित माल बट्टे पर बेचा जाता है, और लाभ %, बट्टा % के बराबर है।" क्र.मू. = 100 लीजिए, तो अं.मू. = 150। दोनों को d% मान लीजिए। तब 150 × $\frac{100 - d}{100}$ = 100 + d, यानी 150 − 1.5d = 100 + d, और d = 20%। जाँच कर लीजिए, 150 × 0.8 = 120, यानी 20% लाभ। इसका आम सूत्र d = $\frac{m}{200 + m} \times 100$ है।

बट्टा = मार्कअप: बट्टे की रकम, मार्कअप की रकम के बराबर हो, तो वि.मू. लौटकर क्र.मू. पर आ जाता है। यानी न लाभ, न हानि, दरें चाहे कुछ भी हों।

बट्टा, क्रय मूल्य के % में: "बट्टा, क्रय मूल्य का 15% है, और लाभ 20% है।" क्र.मू. = 100 लीजिए। वि.मू. = 120 और बट्टा 15 है, तो अं.मू. = 135, और मार्कअप 35%। अंकित मूल्य पर देखें, तो बट्टा $\frac{15}{135}$ = $11\frac{1}{9}\%$ है।

वस्तुओं की संख्या वाली शर्त: "6 वस्तुओं पर बट्टा, 2 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है।" तो 6 × (अं.मू. − वि.मू.) = 2 × वि.मू., यानी 6 अं.मू. = 8 वि.मू. हुआ। मतलब वि.मू. अं.मू. का $\frac{3}{4}$ है, और बट्टा 25% है। सामान्य रूप से, n वस्तुओं पर बट्टा k वस्तुओं के वि.मू. के बराबर हो, तो बट्टा = $\frac{k}{n + k} \times 100$ % होता है।

इसी तरह, "21 वस्तुओं का अंकित मूल्य, 25 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है" का मतलब है वि.मू. ÷ अं.मू. = $\frac{21}{25}$। तो बट्टा $\frac{4}{25}$ = 16% है।

एक ही दर से ऊपर और नीचे: x% अधिक मूल्य अंकित करके x% बट्टा दिया जाए, तो हानि $\frac{x^2}{100}$ % होती है। हानि 6.25% दी हो, तो x² = 625, यानी x = 25%।

क्या बराबर है, यह ध्यान से पढ़िए: "बट्टा = लाभ" में रुपयों की तुलना है। "बट्टा % = लाभ %" में दो प्रतिशतों की तुलना है, और दोनों का आधार अलग है। बट्टा अंकित मूल्य पर लगता है और लाभ क्रय मूल्य पर। प्रश्न में जो कहा गया है, उसी का समीकरण लिखिए। अक्सर इन दोनों को आपस में मिला देने से ही गलत विकल्प चुन लिया जाता है।

क्रमिक बट्टा और समतुल्य एकल बट्टा

सेल में अक्सर दो बट्टे एक के बाद एक मिलते हैं। इसे क्रमिक बट्टा (successive discounts) कहते हैं। यहाँ दूसरा बट्टा पहले बट्टे के बाद बचे मूल्य पर लगता है। इसलिए 20% और फिर 10% बट्टे का मतलब 30% कम नहीं होता।

जैसे किसी वस्तु का अंकित मूल्य ₹9,500 है, और उस पर 20% और फिर 10% बट्टा है। पहले बट्टे के बाद ₹7,600 बचे। दूसरा बट्टा ₹7,600 का 10% है, तो ₹6,840 बचे। कुल बट्टा ₹2,660 हुआ, जो अंकित मूल्य का 28% है।

दो बट्टों का सूत्र: दो क्रमिक बट्टों की जगह जो एक बट्टा उतना ही असर करे, उसे समतुल्य एकल बट्टा (single equivalent discount) कहते हैं। यह इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{समतुल्य एकल बट्टा} = d_1 + d_2 - \frac{d_1 d_2}{100}$$

ऊपर वाले उदाहरण में 20 + 10 − 2 = 28% आता है। घटाने वाला पद हमेशा रहता है, इसलिए दो क्रमिक बट्टों का कुल असर हमेशा उनके सीधे जोड़ से कम होता है।

गुणक से: हर बट्टे को उस भाग के रूप में लिखिए जो ग्राहक चुकाता है, फिर गुणा कर दीजिए। 20% और फिर 10% के लिए 0.8 × 0.9 = 0.72। यानी भुगतान 72% है और बट्टा 28%। ये भिन्नें बहुत काम आती हैं।

तीन बट्टे: तीनों गुणकों का गुणा कीजिए, या सूत्र दो बार लगाइए। 25%, 10% और 4% के लिए 0.75 × 0.9 × 0.96 = 0.648, तो एकल बट्टा 35.2% है। सूत्र से करें, तो पहले 25 और 10 से 32.5 आता है। फिर 32.5 और 4 से 32.5 + 4 − 1.3 = 35.2% आता है।

क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता: 10% और फिर 20% का मतलब 0.9 × 0.8 है, जो 0.72 ही है। विकल्पों में वही बट्टे अलग क्रम में दिए हों, तो सब बराबर हैं।

बराबर बट्टे: 10% के दो बट्टे 19% के बराबर हैं, और 20% के दो बट्टे 36% के। 10% के तीन बट्टों में ग्राहक 0.729 चुकाता है, तो बट्टा 1 − 0.729, यानी 27.1% है।

अंकित मूल्य तक वापस: "15% और 10% के बट्टों के बाद ग्राहक ₹2,754 चुकाता है। अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।" यहाँ अं.मू. = 2,754 ÷ (0.85 × 0.9) = 2,754 ÷ 0.765 = ₹3,600।

दूसरा बट्टा निकालना: "₹1,800 अंकित मूल्य वाली एक वस्तु दो बट्टों के बाद ₹1,224 में बिकती है; पहला बट्टा 20% है।" पहले बट्टे के बाद ₹1,440 बचे। फिर 1,440 − 1,224 = 216, तो दूसरा बट्टा 1,440 पर 216 है, यानी 15%। ₹216 को ₹1,800 पर निकालकर 12% लिखना गलत है।

एकल बनाम क्रमिक: एक तरफ़ 35% का एकल बट्टा है, और दूसरी तरफ़ 20% व 15% के क्रमिक बट्टे, जो 32% के बराबर हैं। इनका अंतर अंकित मूल्य का 3% है। यह अंतर ₹96 हो, तो अं.मू. = 96 ÷ 0.03 = ₹3,200।

x खरीदें, y मुफ़्त

"x खरीदें, y मुफ़्त" वाला ऑफ़र असल में एक छिपा हुआ बट्टा है। ग्राहक x वस्तुओं के पैसे देता है, पर घर x + y वस्तुएँ ले जाता है।

$$\text{प्रभावी बट्टा} = \frac{y}{x + y} \times 100$$

• 4 खरीदें, 1 मुफ़्त में बट्टा $\frac{1}{5}$ है, यानी 20%। इसे $\frac{1}{4}$ = 25% न समझिए।
• 3 खरीदें, 2 मुफ़्त में बट्टा $\frac{2}{5}$ = 40% है।
• 5 खरीदें, 3 मुफ़्त में बट्टा $\frac{3}{8}$ = 37.5% है।
• 2 खरीदें, 1 मुफ़्त में बट्टा $\frac{1}{3}$ = $33\frac{1}{3}\%$ है।

यहाँ आधार घर ले जाई गई वस्तुओं की संख्या है, क्योंकि बचत उन सभी वस्तुओं पर बँट जाती है। "हर 5 में 1 मुफ़्त" का मतलब भी 4 खरीदें, 1 मुफ़्त ही है।

मुफ़्त वस्तुएँ और साथ में बट्टा: "3 खरीदें, 1 मुफ़्त, और बिल पर 10% का अतिरिक्त बट्टा।" यहाँ खरीदार घर ले जाई गई वस्तुओं के अंकित मूल्य का $\frac{3}{4} \times \frac{9}{10} = \frac{27}{40}$ चुकाता है। तो प्रभावी बट्टा $\frac{13}{40}$ = 32.5% है। यह बस 25% और 10% का क्रमिक बट्टा है।

मुफ़्त वस्तुओं के साथ लाभ: "माल पर क्रय मूल्य से 50% अधिक मूल्य अंकित है, और ऑफ़र है 4 खरीदें, 1 मुफ़्त। लाभ % ज्ञात कीजिए।" 5 वस्तुओं पर दुकान का खर्च 5 क्र.मू. है। पैसे केवल 4 वस्तुओं के मिले, यानी वसूली 4 अं.मू. = 4 × 1.5 क्र.मू. = 6 क्र.मू. हुई। तो लाभ 5 क्र.मू. पर 1 क्र.मू. है, यानी 20%। यही हिसाब एक पंक्ति में ऐसे लिखते हैं।

$$\frac{\text{वि.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{100 + m}{100} \times \frac{x}{x + y}$$

मुफ़्त ऑफ़र के साथ आवश्यक मार्कअप: यही पंक्ति उलटकर लगाइए। "एक दुकान हर 4 खरीदी गई वस्तुओं के साथ 1 वस्तु मुफ़्त देती है और 20% लाभ चाहती है। उसे माल पर क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करना चाहिए?" यहाँ $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = 1.2 \times \frac{5}{4} = 1.5$, यानी क्रय मूल्य से 50% अधिक।

अलग मूल्य वाला मुफ़्त उपहार: "₹1,200 के मिक्सर के साथ ₹300 की केतली मुफ़्त दी जाती है।" ग्राहक ₹1,500 अंकित मूल्य का सामान लेकर ₹1,200 चुकाता है। तो बट्टा $\frac{300}{1500}$ = 20% है। मुफ़्त वस्तु के मूल्य को कुल अंकित मूल्य से भाग दीजिए, चुकाई गई रकम से नहीं। ₹300 ÷ ₹1,200 = 25% लिखना जाल है।

बट्टा-योजनाओं की तुलना

कई ऑफ़रों में से सबसे अच्छा चुनना हो, तो हर ऑफ़र को एक समतुल्य एकल बट्टे में बदल लीजिए। फिर बस संख्याओं की तुलना कीजिए। जिसका बट्टा बड़ा है, वह खरीदार के लिए बेहतर है। जिसका बट्टा छोटा है, वह विक्रेता के लिए बेहतर है।

एकल बनाम क्रमिक: "₹4,500 अंकित मूल्य वाली वस्तु पर कौन-सा बेहतर है: 32% का एकल बट्टा, या 20% के बाद 12%?" दूसरा ऑफ़र केवल 20 + 12 − 2.4 = 29.6% है। तो एकल 32% वाला ऑफ़र खरीदार के लिए बेहतर है। उसमें ₹4,500 का 2.4%, यानी ₹108, ज़्यादा बचते हैं।

आम नियम यह है कि दो क्रमिक बट्टों का जितना जोड़ हो, उतना एकल बट्टा खरीदार के लिए हमेशा बेहतर होता है। उसमें अंकित मूल्य का $\frac{d_1 d_2}{100}$ % ज़्यादा बचता है। जो विकल्प दोनों को बराबर बताए, वह गलत है।

एक ही जोड़ वाले दो जोड़े: 25% + 10% से 35 − 2.5 = 32.5% आता है, और 20% + 15% से 35 − 3 = 32%। जोड़ बराबर हो, तो जिस जोड़े का गुणनफल $d_1 d_2$ छोटा है, उसका बट्टा बड़ा होता है। मतलब जिस जोड़े के दोनों बट्टों में फ़र्क ज़्यादा हो, वही बेहतर रहता है।

कई छोटे बनाम एक बड़ा: 10% के तीन बट्टे 27.1% के बराबर हैं। यह एकल 27% से ज़रा ऊपर है और एकल 28% से नीचे। SSC के विकल्प अक्सर इतने ही पास-पास होते हैं, इसलिए पूरा हिसाब कीजिए, अंदाज़े से उत्तर न चुनिए।

मुफ़्त वस्तुएँ बनाम % बट्टा: इन ऑफ़रों को एक साथ देखिए।

इससे पता चलता है कि जो खरीदार सभी 4 वस्तुएँ लेता है, उसके लिए "3 खरीदें, 1 मुफ़्त" और "25% बट्टा" बराबर हैं। और "2 खरीदें, 1 मुफ़्त" तो 30% बट्टे से भी बेहतर है।

विक्रेता की ओर से: "एक दुकान अपने माल पर क्रय मूल्य से 40% अधिक मूल्य अंकित करती है। किस ऑफ़र से उसे अधिक लाभ बचेगा: 25% बट्टा, या 4 खरीदें, 1 मुफ़्त?" 25% बट्टे में 1.4 × 0.75 = 1.05, यानी 5% लाभ। 4 खरीदें, 1 मुफ़्त में 1.4 × 0.8 = 1.12, यानी 12% लाभ। तो मुफ़्त वाले ऑफ़र में दुकान को अधिक लाभ बचता है, क्योंकि उसका बट्टा कम है, केवल 20%।

दो ऑफ़र बराबर कब होते हैं: 40% का एकल बट्टा और 25% व 20% के क्रमिक बट्टे बराबर हैं, क्योंकि 25 + 20 − 5 = 40। किसी भी अंकित मूल्य पर खरीदार के भुगतान में अंतर शून्य रहता है।

बट्टे के बाद कर, व्यापारिक और नकद बट्टा, सेल की शर्तें

बट्टे के बाद GST: कर हमेशा बट्टे के बाद वाले मूल्य पर लगता है। इसलिए बिल बनाते समय पहले बट्टा घटाइए, फिर बचे हुए मूल्य पर कर जोड़िए।

$$\text{बिल} = \text{अं.मू.} \times \frac{100 - d}{100} \times \frac{100 + t}{100}$$

यहाँ t कर की दर है। जैसे अं.मू. ₹3,500 है, बट्टा 12% और GST 18%। बट्टे के बाद मूल्य ₹3,080 हुआ। तो बिल = 3,080 × 1.18 = ₹3,634.40। कुछ लोग 18 − 12 = 6% की शुद्ध वृद्धि मानकर ₹3,710 लिख देते हैं, जो गलत है।

उलटा भी पूछा जाता है। 10% बट्टे और 18% GST के बाद बिल ₹4,248 है। तो अं.मू. = 4,248 ÷ (0.9 × 1.18) = 4,248 ÷ 1.062 = ₹4,000।

थोक विक्रेता के दो बट्टे: थोक विक्रेता खुदरा विक्रेताओं को अंकित मूल्य पर एक बट्टा देता है, जिसे व्यापारिक बट्टा (trade discount) कहते हैं। खुदरा विक्रेता नकद या तुरंत भुगतान करे, तो घटी हुई रकम पर उसे एक और बट्टा मिलता है। इसे नकद बट्टा (cash discount) कहते हैं। ये दोनों क्रमिक बट्टे ही हैं। अंकित मूल्य ₹12,000 हो, व्यापारिक बट्टा 20% और नकद बट्टा 5%, तो 12,000 × 0.8 × 0.95 = ₹9,120।

[Tier 2] "एक थोक विक्रेता 20% व्यापारिक बट्टा और 6.25% नकद बट्टा देकर भी 20% लाभ कमाता है। अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक है?" खरीदार अंकित मूल्य का 0.8 × 0.9375 = 0.75 चुकाता है। तो $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{1.2}{0.75}$ = 1.6, यानी अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से 60% अधिक है।

शर्त वाले बट्टे: यहाँ ध्यान से पढ़िए कि बट्टा किसे मिलेगा और बिल के किस भाग पर मिलेगा।

• "बिल ₹3,000 से अधिक हो, तो पूरे बिल पर 10% बट्टा" वाली योजना में ₹2,950 के बिल पर कुछ नहीं मिलेगा। इसलिए बट्टा लगाने से पहले शर्त जाँच लीजिए।
• "पहले ₹2,000 पर 5% बट्टा और ₹2,000 से ऊपर की रकम पर 15%" वाली योजना में ₹6,400 का बिल लीजिए। ₹2,000 का 5% यानी 100, और बाकी ₹4,400 का 15% यानी 660। बट्टा = 100 + 660 = ₹760, तो ग्राहक ₹5,640 चुकाता है।
• "दूसरी कमीज़ पर 50% बट्टा" हो और दोनों कमीज़ें एक ही मूल्य की हों, तो पूरी जोड़ी पर 25% बट्टा मिलता है।

मौसमी सेल: "सेल: 30% बट्टा, ऊपर से काउंटर पर 10% और" जैसा बोर्ड दिखे, तो यह भी क्रमिक बट्टा है। 0.7 × 0.9 = 0.63, तो कुल बट्टा 37% है, 40% नहीं।

[SSC टिप] बट्टा और कर एक ही दर के हों, तब भी वे एक-दूसरे को नहीं काटते। 12% बट्टे के बाद 12% GST लगे, तो बिल अंकित मूल्य का 0.88 × 1.12 = 0.9856 होता है, यानी अंकित मूल्य से 1.44% कम।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

₹1,875 अंकित मूल्य वाली एक बिजली की केतली ₹1,500 में बेची जाती है। बट्टे की दर क्या है? (a) 25% (b) 20% (c) 18.75% (d) 22.5%

उत्तर: बट्टा = 1,875 − 1,500 = ₹375 है। बट्टा % हमेशा अंकित मूल्य पर निकलता है, तो 375 ÷ 1,875 = $\frac{1}{5}$ = (b) 20%। ₹375 को चुकाए गए ₹1,500 पर निकालें, तो 25% आता है। यही जाल वाला विकल्प है।

प्रश्न 2

15% बट्टे के बाद एक ग्राहक मिक्सर ग्राइंडर के लिए ₹1,904 चुकाता है। उसका अंकित मूल्य क्या है? (a) ₹2,189.60 (b) ₹2,284.80 (c) ₹2,200 (d) ₹2,240

उत्तर: ₹1,904 अंकित मूल्य का 85% है। तो अं.मू. = 1,904 × $\frac{100}{85}$ = (d) ₹2,240। जाँच कर लेते हैं, 2,240 का 15% = ₹336, और 2,240 − 336 = 1,904।

प्रश्न 3

किसी वस्तु पर 15% के स्थान पर 22% बट्टा मिलने से ग्राहक ₹63 अधिक बचाता है। वस्तु का अंकित मूल्य क्या है? (a) ₹900 (b) ₹630 (c) ₹420 (d) ₹1,260

उत्तर: दोनों बट्टे एक ही अंकित मूल्य पर लगे हैं। तो ज़्यादा बचत अं.मू. के (22 − 15)%, यानी 7% के बराबर है। अं.मू. का 7% = ₹63, तो अं.मू. = 63 × $\frac{100}{7}$ = (a) ₹900। 900 का 22% = ₹198 और 900 का 15% = ₹135 होता है, जिनमें ₹63 का ही अंतर है।

प्रश्न 4

एक दुकानदार एक बैग पर उसके क्रय मूल्य से 75% अधिक मूल्य अंकित करता है और 20% बट्टा देकर उसे ₹1,820 में बेचता है। बैग का क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹1,040 (b) ₹1,456 (c) ₹1,300 (d) ₹1,274

उत्तर: एक-एक कदम पीछे चलते हैं। ₹1,820 अंकित मूल्य का 80% है, तो अं.मू. = 1,820 ÷ 0.8 = ₹2,275। अंकित मूल्य, क्रय मूल्य का 175% है, तो क्र.मू. = 2,275 ÷ 1.75 = (c) ₹1,300। मिलान के लिए 1,300 × 1.75 × 0.8 करें, तो 1,820 ही आता है।

प्रश्न 5

एक व्यापारी अपने माल पर क्रय मूल्य से 45% अधिक मूल्य अंकित करता है और 20% बट्टा देता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) 16% (b) 25% (c) 9% (d) 20%

उत्तर: शुद्ध असर = 45 − 20 − $\frac{45 \times 20}{100}$ = 45 − 20 − 9 = (a) 16%। क्र.मू. ₹100 मानकर देखें, तो अं.मू. ₹145 हुआ और वि.मू. = 145 × 0.8 = ₹116, यानी ₹16 लाभ। सीधे 45 − 20 = 25% लिख देना गलत है, क्योंकि बट्टा ₹145 पर लगा था, ₹100 पर नहीं।

प्रश्न 6

किसी वस्तु पर उसके क्रय मूल्य से 15% अधिक मूल्य अंकित किया जाता है और उसे 20% बट्टे पर बेचा जाता है। लाभ या हानि प्रतिशत कितना है? (a) 5% हानि (b) 8% हानि (c) 8% लाभ (d) 3% हानि

उत्तर: वि.मू. ÷ क्र.मू. = 1.15 × 0.8 = 0.92। यानी वि.मू., क्र.मू. का 92% ही है, तो (b) 8% हानि हुई। सूत्र से भी 15 − 20 − 3 = −8 आता है, और ऋण चिह्न का मतलब हानि है।

प्रश्न 7

माल पर क्रय मूल्य से 35% अधिक मूल्य अंकित करके उसे 12% बट्टे पर बेचा जाता है। एक वस्तु पर लाभ ₹470 है। उस वस्तु का क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹2,970 (b) ₹3,375 (c) ₹2,000 (d) ₹2,500

उत्तर: वि.मू. ÷ क्र.मू. = 1.35 × 0.88 = 1.188, यानी लाभ क्रय मूल्य का 18.8% है। तो क्र.मू. = 470 ÷ 0.188 = (d) ₹2,500। क्र.मू. ₹2,500 रखकर देखें, तो अं.मू. = ₹3,375 और वि.मू. = 3,375 × 0.88 = ₹2,970 आता है, जो ₹2,500 से ठीक ₹470 अधिक है।

प्रश्न 8

एक दुकानदार को पढ़ाई की एक मेज़ ₹1,560 में पड़ती है। उसे मेज़ पर कितना मूल्य अंकित करना चाहिए ताकि 22% बट्टा देने के बाद भी उसे 20% लाभ हो? (a) ₹2,215.20 (b) ₹2,283.84 (c) ₹2,400 (d) ₹1,872

उत्तर: 20% लाभ के लिए वि.मू. = 1,560 × 1.2 = ₹1,872 होना चाहिए। 22% बट्टे के बाद खरीदार अंकित मूल्य का 78% देता है। तो अं.मू. का 78% = 1,872, और अं.मू. = 1,872 ÷ 0.78 = (c) ₹2,400। अनुपात में लिखें, तो $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{120}{78}$ है।

प्रश्न 9

एक दुकानदार को अपने माल पर क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करना चाहिए ताकि 4% बट्टा देने के बाद उसे 12% लाभ हो? (a) 16% (b) 16.48% (c) $16\frac{2}{3}\%$ (d) 15%

उत्तर: यहाँ $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{100 + 12}{100 - 4} = \frac{112}{96} = \frac{7}{6}$ है। मतलब अं.मू., क्र.मू. से $\frac{1}{6}$ अधिक है, यानी क्रय मूल्य से (c) $16\frac{2}{3}\%$ अधिक। क्र.मू. 6 और अं.मू. 7 रखकर देख लेते हैं। वि.मू. = 7 × 0.96 = 6.72, और 6.72 ÷ 6 = 1.12, यानी लाभ 12% ही है।

प्रश्न 10

एक दुकानदार अपने माल पर क्रय मूल्य से 75% अधिक मूल्य अंकित करता है। उसे कितने प्रतिशत बट्टा देना चाहिए कि फिर भी उसे 40% लाभ हो? (a) 35% (b) 25% (c) 22% (d) 20%

उत्तर: क्र.मू. = 100 मान लेते हैं। तब अं.मू. = 175, और वि.मू. 140 चाहिए। बट्टा = 175 − 140 = 35 है, और यह अं.मू. 175 पर है। तो $\frac{35}{175}$ = (d) 20%। 35 को क्र.मू. का प्रतिशत मानकर 35% लिखना जाल है, क्योंकि बट्टा हमेशा अं.मू. पर होता है।

प्रश्न 11

किसी वस्तु के क्रय मूल्य और अंकित मूल्य का अनुपात 16 : 25 है। यदि 12% बट्टा दिया जाए, तो लाभ प्रतिशत कितना होगा? (a) 37.5% (b) 44.25% (c) 36% (d) 32%

उत्तर: क्र.मू. = 16 और अं.मू. = 25 मान लेते हैं। वि.मू. = 25 × 0.88 = 22। लाभ = 22 − 16 = 6 है, जो 16 पर है। तो $\frac{6}{16}$ = (a) 37.5%।

प्रश्न 12

किसी वस्तु को 15% बट्टे पर बेचने से दुकानदार को 19% लाभ होता है। यदि वह इसे 25% बट्टे पर बेचे, तो उसका लाभ या हानि प्रतिशत कितना होगा? (a) 9% लाभ (b) 5% हानि (c) 5% लाभ (d) 6% लाभ

उत्तर: $\frac{\text{अं.मू.}}{\text{क्र.मू.}} = \frac{119}{85} = \frac{7}{5}$, तो क्र.मू. = 100 पर अं.मू. 140 है। 25% बट्टे पर वि.मू. = 140 × 0.75 = 105, यानी (c) 5% लाभ। इसे जल्दी ऐसे भी देख सकते हैं। अतिरिक्त 10% बट्टा अं.मू. का 10% है, जो क्र.मू. का 14% है। इसलिए लाभ 19% से घटकर 5% रह जाता है।

प्रश्न 13

यदि एक सिलाई मशीन 12% बट्टे पर बेची जाए, तो दुकानदार को ₹200 का लाभ होता है। यदि इसे 24% बट्टे पर बेचा जाए, तो उसे ₹100 की हानि होती है। इसका क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹2,000 (b) ₹2,500 (c) ₹2,200 (d) ₹1,900

उत्तर: बट्टा 12% से 24% हुआ, तो वि.मू. में अं.मू. के 12% की कटौती हुई। इसी कटौती से ₹200 का लाभ ₹100 की हानि में बदल गया, यानी कुल ₹300 की गिरावट। तो अं.मू. का 12% = ₹300, और अं.मू. = ₹2,500। 12% बट्टे पर वि.मू. = 2,500 × 0.88 = ₹2,200, तो क्र.मू. = 2,200 − 200 = (a) ₹2,000। 24% बट्टे पर वि.मू. ₹1,900 होगा, यानी ₹100 की हानि, जैसा प्रश्न में दिया है।

प्रश्न 14

एक दुकानदार किसी वस्तु पर 25% बट्टा देता है और पाता है कि बट्टे की राशि उसके लाभ की राशि के बराबर है। उसने वस्तु पर क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित किया था? (a) 50% (b) 100% (c) 75% (d) $33\frac{1}{3}\%$

उत्तर: अं.मू. = 100 मान लेते हैं। बट्टा 25 है, तो वि.मू. = 75। लाभ भी बट्टे जितना, यानी 25 है, तो क्र.मू. = 75 − 25 = 50। अं.मू. (100), क्र.मू. (50) का दोगुना है, तो मूल्य (b) 100% अधिक अंकित था। 50% तो उसका लाभ % है (50 पर 25), मार्कअप नहीं।

प्रश्न 15

एक व्यापारी अपने माल पर क्रय मूल्य से 40% अधिक मूल्य अंकित करता है। फिर वह बट्टा देता है और पाता है कि उसका लाभ प्रतिशत, बट्टा प्रतिशत के बराबर है। बट्टा प्रतिशत कितना है? (a) 20% (b) $16\frac{2}{3}\%$ (c) $14\frac{2}{7}\%$ (d) 18%

उत्तर: क्र.मू. = 100 लेते हैं, तो अं.मू. = 140। बट्टा % और लाभ % दोनों को d% मान लेते हैं। तब वि.मू. = 140 × $\frac{100 - d}{100}$, और यही 100 + d के बराबर है। 140 − 1.4d = 100 + d, तो 2.4d = 40 और d = (b) $16\frac{2}{3}\%$। यह मान रखकर देख लेते हैं। 140 × $\frac{5}{6}$ = $116\frac{2}{3}$ आता है, यानी लाभ भी $16\frac{2}{3}\%$ है।

प्रश्न 16

22% और 15% के दो क्रमिक बट्टे किस एकल बट्टे के समतुल्य हैं? (a) 33.7% (b) 37% (c) 34.3% (d) 33%

उत्तर: एकल बट्टा = 22 + 15 − $\frac{22 \times 15}{100}$ = 37 − 3.3 = (a) 33.7%। गुणकों से भी देख लेते हैं। 0.78 × 0.85 = 0.663, यानी खरीदार 66.3% देता है और 33.7% बचाता है।

प्रश्न 17

₹8,000 अंकित मूल्य वाला एक टेलीविज़न 25%, 15% और 8% के तीन क्रमिक बट्टों के बाद बेचा जाता है। ग्राहक कितना भुगतान करता है? (a) ₹4,160 (b) ₹4,692 (c) ₹4,416 (d) ₹5,100

उत्तर: मूल्य = 8,000 × 0.75 × 0.85 × 0.92 है। कदम-दर-कदम देखें, तो ₹8,000 → ₹6,000 → ₹5,100 → (b) ₹4,692। यहाँ एकल बट्टा 41.35% है।

प्रश्न 18

₹3,500 अंकित मूल्य वाली एक वस्तु दो क्रमिक बट्टों के बाद ₹2,646 में बेची जाती है। यदि पहला बट्टा 10% है, तो दूसरा बट्टा कितना है? (a) 14.4% (b) 16% (c) 15% (d) 18%

उत्तर: पहले बट्टे के बाद मूल्य = 3,500 × 0.9 = ₹3,150। दूसरे बट्टे के बाद ₹2,646 बचे, तो कटौती ₹504 हुई। दूसरा बट्टा = 504 ÷ 3,150 = (b) 16%। ₹504 को अं.मू. पर निकालें, तो 14.4% आता है, पर दूसरा बट्टा ₹3,150 पर लगता है।

प्रश्न 19

किसी वस्तु पर 36% के एकल बट्टे और 24% व 12% के दो क्रमिक बट्टों का अंतर ₹144 है। वस्तु का अंकित मूल्य क्या है? (a) ₹4,800 (b) ₹6,000 (c) ₹5,000 (d) ₹4,000

उत्तर: 24% और 12% का एकल बट्टा 24 + 12 − 2.88 = 33.12% है। 36% से इसका अंतर अं.मू. का 2.88% है। तो अं.मू. = 144 ÷ 0.0288 = (c) ₹5,000। जाँच कर लेते हैं। 5,000 का 36% = ₹1,800, और 5,000 × 0.76 × 0.88 = ₹3,344, यानी बट्टा ₹1,656। अंतर ₹144 ही है।

प्रश्न 20

खरीदार के लिए इनमें से कौन-सा ऑफ़र सबसे अच्छा है? (a) 35% का एकल बट्टा (b) 20% और 15% के क्रमिक बट्टे (c) 2 खरीदें, 1 मुफ़्त (d) 25%, 10% और 5% के क्रमिक बट्टे

उत्तर: हर ऑफ़र को एक बट्टे में बदल लेते हैं। 20% और 15% का मतलब 32% है। 2 खरीदें, 1 मुफ़्त का मतलब $\frac{1}{3}$ = $33\frac{1}{3}\%$ है। 25%, 10% और 5% के लिए 0.75 × 0.9 × 0.95 = 0.64125, यानी बट्टा 35.875%, जो एकल 35% से ज़रा ज़्यादा है। तो सबसे अच्छा ऑफ़र (d) 25%, 10% और 5% के क्रमिक बट्टे है।

प्रश्न 21

एक दुकानदार अपने माल पर क्रय मूल्य से 75% अधिक मूल्य अंकित करता है और '5 खरीदें, 2 मुफ़्त' का ऑफ़र देता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) 25% (b) 5% (c) 35% (d) 20%

उत्तर: 7 वस्तुओं पर दुकान का खर्च 7 क्र.मू. है। वसूली 5 वस्तुओं के अं.मू. की हुई, यानी 5 × 1.75 = 8.75 क्र.मू. आए। लाभ 7 पर 1.75 है, तो (a) 25%। ऑफ़र को 40% बट्टा ($\frac{2}{5}$) मान लें, तो 5% आता है। यह गलत है, क्योंकि 2 मुफ़्त वस्तुओं की बचत सभी 7 वस्तुओं पर बँटती है, तो बट्टा केवल $\frac{2}{7}$ है।

प्रश्न 22

एक दुकान '4 खरीदें, 1 मुफ़्त' का ऑफ़र और साथ में बिल पर 10% अतिरिक्त बट्टा देती है, और फिर भी 17% लाभ कमाती है। माल पर क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित है? (a) 47% (b) $73\frac{1}{3}\%$ (c) 46.25% (d) 62.5%

उत्तर: मुफ़्त वस्तु वाला ऑफ़र 20% बट्टा ($\frac{1}{5}$) है, और उसके बाद 10% और। तो खरीदार अं.मू. का 0.8 × 0.9 = 0.72 देता है। अं.मू. ÷ क्र.मू. = 1.17 ÷ 0.72 = 1.625, यानी माल (d) 62.5% अधिक पर अंकित है।

प्रश्न 23

₹4,800 अंकित मूल्य वाला एक वॉटर प्यूरीफ़ायर 25% बट्टे पर बेचा जाता है, और बट्टे के बाद के मूल्य पर 5% GST लगाया जाता है। खरीदार कितना भुगतान करता है? (a) ₹3,840 (b) ₹3,600 (c) ₹3,780 (d) ₹3,960

उत्तर: बट्टे के बाद मूल्य = 4,800 × 0.75 = ₹3,600। GST इसी पर लगेगा, तो 3,600 × 1.05 = (c) ₹3,780। ₹3,840 वाला विकल्प तब आता है जब अं.मू. पर सीधे 25 − 5 = 20% की कमी मान लें। पर कर तो बट्टे के बाद वाले छोटे मूल्य पर लगता है।

प्रश्न 24

[Tier 2] एक थोक विक्रेता अंकित मूल्य पर 25% व्यापारिक बट्टा देता है और शेष राशि पर 4% का अतिरिक्त नकद बट्टा भी देता है, फिर भी उसे 8% लाभ होता है। अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक है? (a) 37% (b) 44% (c) 40% (d) 50%

उत्तर: व्यापारिक और नकद बट्टा क्रमिक बट्टे हैं। तो खरीदार अंकित मूल्य का 0.75 × 0.96 = 0.72 देता है। अंकित मूल्य ÷ क्र.मू. = 1.08 ÷ 0.72 = 1.5, यानी अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से (d) 50% अधिक है।