क्र.मू., वि.मू. और गुणक

  • क्रय मूल्य (cost price, CP) को छोटे रूप में क्र.मू. और विक्रय मूल्य (selling price, SP) को वि.मू. लिखते हैं। लाभ = वि.मू. − क्र.मू. होता है और हानि = क्र.मू. − वि.मू. होती है। प्रश्न में कुछ और न कहा गया हो, तो लाभ % और हानि % क्र.मू. पर ही निकालिए।
  • p% लाभ हो, तो क्र.मू. को गुणक (multiplier) से गुणा करके वि.मू. निकालिए, यानी वि.मू.=क्र.मू.×100+p100\text{वि.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + p}{100}। l% हानि हो, तो गुणक 100−l100\frac{100 - l}{100} होता है। जैसे क्र.मू. ₹720 है और 121212\frac{1}{2}% लाभ है, तो वि.मू. = 720 × 98\frac{9}{8} = ₹810।
  • वि.मू. से वापस क्र.मू. पर जाना हो, तो उसी गुणक से भाग दीजिए। सूत्र होगा क्र.मू.=वि.मू.×100100+p\text{क्र.मू.} = \text{वि.मू.} \times \frac{100}{100 + p}। जैसे कोई वस्तु ₹1,035 में बिकी और 15% लाभ हुआ, तो क्र.मू. = 1,035 ÷ 1.15 = ₹900।
  • वि.मू. में से ही p% घटाकर क्र.मू. लिख देना गलत है, क्योंकि p% तो क्र.मू. पर लगा था। यहाँ भाग ही करना होगा।

वि.मू. पर या क्र.मू. पर लाभ

  • लाभ वि.मू. पर r% दिया हो, तो वि.मू. = 100 मान लीजिए। तब क्र.मू. = 100 − r होगा, और क्र.मू. पर लाभ % = r100−r×100\frac{r}{100 - r} \times 100। जैसे वि.मू. पर 40% लाभ का मतलब है क्र.मू. पर 662366\frac{2}{3}% लाभ।
  • क्र.मू. पर p% लाभ हो और उसे वि.मू. पर निकालना हो, तो p100+p×100\frac{p}{100 + p} \times 100 लगाइए। जैसे क्र.मू. पर 50% लाभ, वि.मू. पर 331333\frac{1}{3}% ही होता है।
  • भिन्न में सोचें तो यह और जल्दी होता है। लाभ वि.मू. का 16\frac{1}{6} हो, तो वह क्र.मू. का 15\frac{1}{5} होगा, यानी 20%।
  • क्र.मू. : वि.मू. = 9 : 11 हो, तो 9 भाग पर 2 भाग लाभ है। यह 222922\frac{2}{9}% हुआ।

दो विक्रय मूल्यों से क्र.मू.

  • एक मूल्य पर बेचने से जितना लाभ हो, दूसरे मूल्य पर उतनी ही हानि हो, तो क्र.मू. दोनों मूल्यों के ठीक बीच में होता है। लाभ और हानि रुपयों में बराबर हों या प्रतिशत में, नियम यही रहता है। जैसे ₹1,100 पर हुआ लाभ ₹860 पर हुई हानि के बराबर है, तो क्र.मू. = (1,100 + 860) ÷ 2 = ₹980।
  • वि.मू. ₹d बढ़ाने या घटाने से लाभ या हानि का प्रतिशत बदल जाए, तो यह ₹d क्र.मू. के उतने प्रतिशत के बराबर होता है, जितना दोनों प्रतिशतों में अंतर है। इसलिए क्र.मू. = d ÷ दोनों प्रतिशतों का अंतर।
  • हानि से लाभ पर पहुँचें, तो दोनों प्रतिशत जोड़िए। जैसे ₹299 अधिक में बेचने पर 4% हानि की जगह 9% लाभ होता है, तो अंतर 13% है और क्र.मू. = 299 ÷ 0.13 = ₹2,300।
  • दोनों लाभ हों या दोनों हानि, तो प्रतिशत घटाइए। जैसे 16% और 10% हों, तो अंतर 6% लीजिए।

ऊपरी और अतिरिक्त खर्च

  • मरम्मत, ढुलाई, पैकिंग, लदाई, चुकाए गए कर या मज़दूरी पर जो भी खर्च हुआ, उसे लाभ निकालने से पहले क्र.मू. में जोड़ लीजिए।
  • जैसे कोई वस्तु ₹7,600 में खरीदी और ढुलाई पर ₹400 लगे, तो क्र.मू. ₹8,000 हुआ। उसे ₹9,000 में बेचा, तो लाभ ₹1,000 है, जो 12.5% है।
  • यहाँ लाभ को केवल खरीद मूल्य ₹7,600 से भाग देंगे, तो प्रतिशत गलत आएगा।
  • कई वस्तुएँ एक साथ खरीदी गई हों, तो कुल लाभ = प्रति वस्तु लाभ × वस्तुओं की संख्या।
  • माल का पहला हिस्सा हानि पर बिका हो, तो बाकी माल से कितनी रकम चाहिए, यह घटाकर निकालिए। ज़रूरी रकम = कुल लक्ष्य − पहले से मिली रकम।

खरीदी और बेची गई वस्तुएँ

  • खरीद और बिक्री, दोनों में बताया हो कि कितने रुपये में कितनी वस्तुएँ आईं या बिकीं, तो दोनों को एक वस्तु पर ले आइए, या दोनों संख्याओं के ल.स. पर। जैसे ₹56 में 8 खरीदीं और ₹56 में 7 बेचीं, तो एक वस्तु ₹7 में आई और ₹8 में बिकी। लाभ 17\frac{1}{7} हुआ, जो 142714\frac{2}{7}% है।
  • खरीदने और बेचने में रकम एक ही हो, तो लाभ % = खरीदी गई संख्या−बेची गई संख्याबेची गई संख्या×100\frac{\text{खरीदी गई संख्या} - \text{बेची गई संख्या}}{\text{बेची गई संख्या}} \times 100।
  • x वस्तुओं का क्र.मू. y वस्तुओं के वि.मू. के बराबर हो, तो लाभ % = x−yy×100\frac{x - y}{y} \times 100। जैसे 33 वस्तुओं का क्र.मू. 30 के वि.मू. के बराबर है, तो लाभ 10% है।
  • n वस्तुएँ बेचकर z वस्तुओं के वि.मू. जितना लाभ हो, तो लाभ % = zn−z×100\frac{z}{n - z} \times 100। लाभ z वस्तुओं के क्र.मू. जितना हो, तो लाभ % = zn×100\frac{z}{n} \times 100।

एक ही विक्रय मूल्य पर दो वस्तुएँ

  • दो वस्तुएँ एक ही मूल्य पर बिकें, एक पर x% लाभ हो और दूसरी पर x% हानि, तो कुल मिलाकर हमेशा x2100\frac{x^2}{100}% की हानि होती है। जैसे दोनों पर 8% हो, तो हानि 0.64% होगी।
  • हानि इसलिए होती है कि जो वस्तु हानि पर बिकी, वही महँगी थी। उसका क्र.मू. ज़्यादा था, तो उस पर हुई हानि दूसरी वस्तु के लाभ से बड़ी निकलती है।
  • दरें अलग-अलग हों, तो हर वस्तु का क्र.मू. अलग से निकालकर जोड़िए। जैसे हर वस्तु ₹1,500 में बिकी, एक पर 50% लाभ हुआ और दूसरी पर 25% हानि। तब क्र.मू. ₹1,000 और ₹2,000 थे। ₹3,000 लगे और ₹3,000 ही मिले, तो न लाभ हुआ, न हानि।
  • वि.मू. की जगह क्र.मू. एक ही हो, तो कुल प्रतिशत दोनों दरों का सीधा औसत होता है।

अलग-अलग दरों पर बेचे गए भाग

  • माल के अलग-अलग भाग अलग-अलग दरों पर बिकें, तो कुल प्रतिशत इन दरों का भारित औसत (weighted average) होता है। हर भाग का भार उसका क्र.मू. है।
  • जैसे 23\frac{2}{3} भाग 15% लाभ पर बिका और 13\frac{1}{3} भाग 6% हानि पर। 15 का दो-तिहाई 10 है और 6 का एक-तिहाई 2, तो कुल 10 − 2 = 8% लाभ हुआ।
  • हिसाब रुपयों में करना आसान रहता है। पूरे माल का क्र.मू. ₹100 या ₹300 मान लीजिए, या भिन्नों के ल.स. जितना। आख़िरी भाग की दर न दी हो, तो वह भी इसी तरह निकल आती है।
  • दरों का सीधा औसत तभी सही होता है, जब सारे भाग बराबर हों।
  • कुल प्रतिशत दिया हो और यह निकालना हो कि कौन-सा भाग कितना है, तो एलीगेशन लगाइए। यह अध्याय 6 "मिश्रण और एलीगेशन" में है।

क्र.मू. या वि.मू. में परिवर्तन

  • पुराना क्र.मू. ₹100 मान लीजिए। फिर पहले और बाद के दोनों क्र.मू. और दोनों वि.मू. लिखकर उनकी तुलना कीजिए।
  • जैसे लाभ 30% था, फिर क्र.मू. 4% बढ़ गया और वि.मू. वही रहा। अब क्र.मू. 104 है और वि.मू. 130, तो लाभ 25% रह गया।
  • कभी वस्तु x% सस्ते में खरीदी जाती है और ₹d अधिक या कम में बेची जाती है। तब ₹100 क्र.मू. मानकर दोनों वि.मू. का अंतर निकालिए। फिर इस अंतर को ₹d के बराबर रखकर असली मूल्य निकाल लीजिए।
  • मूल्य बढ़ाने पर बिक्री घट जाए, तो पहले और बाद के कुल लाभ की तुलना कीजिए। दोनों बार कुल लाभ = बिकी वस्तुएँ × प्रति वस्तु लाभ।
  • मान लीजिए लागत में 70% कच्चा माल है और 30% मज़दूरी। कच्चा माल 10% महँगा हुआ और मज़दूरी 20% बढ़ गई, तो लागत में 7 + 6 = 13% की वृद्धि हुई।

मार्कअप और बट्टा

  • बट्टा (discount) हमेशा अंकित मूल्य (marked price, MP) पर मिलता है, जिसे छोटे रूप में अं.मू. लिखते हैं। d% बट्टे के बाद वि.मू. = अं.मू. × 100−d100\frac{100 - d}{100}।
  • क्रय मूल्य से m% अधिक मूल्य अंकित करके d% बट्टा दिया जाए, तो लाभ % = m−d−md100m - d - \frac{md}{100}। जैसे मार्कअप 60% और बट्टा 15% हो, तो लाभ 60 − 15 − 9 = 36% होगा।
  • अं.मू. : क्र.मू. = 4 : 3 हो और 10% बट्टा दिया जाए, तो वि.मू. = 3.6 होगा। यानी 3 पर 0.6 का लाभ, जो 20% है।
  • मार्कअप और बट्टा दोनों एक ही m% हों, तो हमेशा m2100\frac{m^2}{100}% की हानि होती है। दोनों 10% हों, तो 1% हानि होगी।
  • बट्टे की रकम लाभ के बराबर हो, तो क्र.मू. = वि.मू. − बट्टा।

लक्ष्य लाभ के लिए अंकित मूल्य

  • d% बट्टा देकर भी p% लाभ चाहिए, तो अं.मू.=क्र.मू.×100+p100−d\text{अं.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + p}{100 - d}।
  • जैसे क्र.मू. ₹1,240 है और 12% बट्टे के बाद भी 10% लाभ चाहिए। तो वि.मू. ₹1,364 होना चाहिए, और अं.मू. = 1,364 ÷ 0.88 = ₹1,550।
  • क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करना है, यह 100+p100−d\frac{100 + p}{100 - d} − 1 से निकलता है। जैसे 25% बट्टे के बाद 8% लाभ चाहिए, तो 10875\frac{108}{75} = 1.44, यानी क्र.मू. से 44% अधिक मूल्य अंकित करना होगा।
  • अं.मू. निकालने के लिए वि.मू. में d% जोड़ना, या क्र.मू. में (p + d)% जोड़ना, दोनों गलत हैं। वि.मू. अं.मू. का (100 − d)% होता है, इसलिए भाग ही देना पड़ता है।

क्रमिक बट्टा

  • जब एक के बाद एक दो बट्टे मिलते हैं, तो इसे क्रमिक बट्टा (successive discounts) कहते हैं। इन दोनों के बदले एक ही बट्टा, यानी समतुल्य एकल बट्टा (single equivalent discount), d1+d2−d1d2100d_1 + d_2 - \frac{d_1 d_2}{100} होता है। दो बार 25% बट्टा 43.75% के बराबर है, 50% के नहीं।
  • तीन या अधिक बट्टे हों, तो हर बट्टे के बाद बचे भागों का आपस में गुणा कीजिए। तीन बार 30% बट्टे में 0.7 × 0.7 × 0.7 = 0.343 बचता है, तो बट्टा 65.7% हुआ।
  • बट्टे किस क्रम में दिए गए हैं, इससे उत्तर पर कोई असर नहीं पड़ता।
  • एक ही बार में d1+d2d_1 + d_2 का बट्टा, d1d_1 और d2d_2 के क्रमिक बट्टों से हमेशा बेहतर होता है।
  • दूसरा बट्टा न दिया हो, तो अंतिम मूल्य को पहले बट्टे के बाद वाले मूल्य से भाग दीजिए। जो आता है, वह दूसरे बट्टे के बाद बचा भाग है।

x खरीदें, y मुफ़्त और योजनाओं की तुलना

  • "x खरीदें, y मुफ़्त" में ग्राहक x + y वस्तुएँ ले जाता है, पर दाम केवल x का देता है। तो बट्टा % = yx+y×100\frac{y}{x + y} \times 100। जैसे "4 खरीदें, 2 मुफ़्त" में बट्टा 331333\frac{1}{3}% है।
  • यहाँ x से भाग दे देना गलत है, भाग x + y से ही दीजिए।
  • मुफ़्त वस्तुओं के साथ बिल पर d% बट्टा भी मिले, तो मुफ़्त वस्तुओं को भी एक बट्टा मानिए। फिर दोनों को क्रमिक बट्टों की तरह मिलाइए।
  • योजनाओं की तुलना करनी हो, तो हर योजना को एक अकेले बट्टे में बदल लीजिए। "11 खरीदें, 1 मुफ़्त" 8138\frac{1}{3}% के बराबर है, इसलिए यह पहले 5% और फिर 3% के क्रमिक बट्टों (7.85%) से बेहतर है।

GST, नकद और व्यापारिक बट्टा

  • GST या बिक्री कर बट्टे के बाद वाले मूल्य पर लगता है। भुगतान = अं.मू. × (1 − d) × (1 + t)। जैसे अं.मू. ₹2,400 पर 10% बट्टा है और 18% GST, तो भुगतान 2,160 × 1.18 = ₹2,548.80 होगा।
  • बट्टा और GST को आपस में घटाकर अं.मू. पर सीधे (t − d)% लगाना कभी सही नहीं होता।
  • व्यापारिक बट्टा (trade discount) थोक विक्रेता खुदरा विक्रेता को अं.मू. पर देता है। नकद बट्टा (cash discount) तुरंत भुगतान करने पर मिलता है और व्यापारिक बट्टे के बाद लगता है। जैसे अं.मू. ₹6,000 पर 15% व्यापारिक और 2% नकद बट्टा हो, तो भुगतान ₹4,998 होगा।

झूठे बाट और माप

  • दुकानदार क्र.मू. पर ही बेचे, पर झूठे बाट (false weight) से कम तौले, तो लाभ % = त्रुटिवास्तविक मान−त्रुटि×100\frac{\text{त्रुटि}}{\text{वास्तविक मान} - \text{त्रुटि}} \times 100। यहाँ भाग उस मात्रा से दीजिए जो वास्तव में दी गई।
  • जैसे मीटर की छड़ 4 सेमी छोटी हो, तो लाभ 496×100=416\frac{4}{96} \times 100 = 4\frac{1}{6}% होगा।
  • झूठे बाट के साथ दाम भी बढ़ाया गया हो या बट्टा दिया गया हो, तो लाभ = मिली रकमदिए गए माल का क्र.मू.\frac{\text{मिली रकम}}{\text{दिए गए माल का क्र.मू.}} − 1। दोनों असर आपस में गुणा होते हैं, जुड़ते कभी नहीं।
  • दुकानदार x% कम तौले और y% अधिक मूल्य ले, तो लाभ = 100+y100−x\frac{100 + y}{100 - x} − 1। जैसे 10% कम तौले और 8% अधिक मूल्य ले, तो 10890\frac{108}{90} = 1.2, यानी 20% लाभ।
  • खरीदते समय भी बेईमानी हो और बेचते समय भी, तो यहाँ भी दोनों असर का गुणा ही कीजिए।

लेन-देन की कड़ी, कमीशन, बर्बादी

  • क्रमिक लेन-देन में एक ही वस्तु एक के बाद एक कई लोगों को बिकती है। तब अंतिम वि.मू. = पहला क्र.मू. × हर कदम का गुणक। जैसे पहले 25% लाभ और फिर 4% हानि हो, तो 1.25 × 0.96 = 1.2, यानी कुल 20% लाभ।
  • अंतिम मूल्य से पहला क्र.मू. निकालना हो, तो हर गुणक से भाग दीजिए। प्रतिशतों को आपस में जोड़ना या घटाना कभी सही नहीं होता।
  • वि.मू. पर c% कमीशन देना हो, तो मालिक के पास (100 − c)% ही बचता है। इसलिए मालिक को जितनी रकम चाहिए, उसे (1 − c/100) से भाग दीजिए, वही वि.मू. है।
  • बर्बादी हो, जैसे 400 किग्रा में से 5% खराब हो जाए, तो पूरी लागत और लाभ, दोनों बचे हुए 380 किग्रा को बेचकर ही वसूलने होंगे।