लाभ और हानि: वस्तुओं की संख्या, दो वस्तुएँ और बदलते मूल्य

गिनती के भाव पर खरीद-बिक्री

दुकानदार अक्सर गिनती के भाव पर माल खरीदते और बेचते हैं। जैसे कोई "₹25 में 6" के भाव से खरीदे और "₹24 में 5" के भाव से बेचे। यहाँ दोनों ओर वस्तुओं की गिनती अलग है, इसलिए दोनों मूल्यों की सीधी तुलना नहीं हो सकती। तो पहले दोनों को वस्तुओं की एक ही संख्या पर ले आइए, या एक वस्तु के मूल्य पर।

एक ही गिनती पर लाना: मान लीजिए प्रश्न है, "एक लड़का ₹25 में 6 के भाव से पेंसिलें खरीदता है और ₹24 में 5 के भाव से बेचता है। उसका लाभ % ज्ञात कीजिए।" 6 और 5 का ल.स. (LCM) 30 है, तो 30 पेंसिलें लेकर हिसाब करते हैं। 30 पेंसिलें खरीदने के लिए 6 वाला सौदा 5 बार करना पड़ेगा, और बेचने के लिए 5 वाला सौदा 6 बार।

• 30 पेंसिलों का क्रय मूल्य (cost price) = 5 × 25 = ₹125
• 30 पेंसिलों का विक्रय मूल्य (selling price) = 6 × 24 = ₹144
• ₹125 पर ₹19 का लाभ हुआ, यानी 15.2%

तिरछा गुणा: x वस्तुएँ ₹a में खरीदी हों और y वस्तुएँ ₹b में बेची हों, तो सीधे यह सूत्र लगा दीजिए।

$$\text{लाभ}\% = \frac{x \times b - y \times a}{y \times a} \times 100$$

पेंसिलों वाले प्रश्न में यह $\frac{6 \times 24 - 5 \times 25}{5 \times 25} \times 100 = \frac{19}{125} \times 100 = 15.2\%$ होता है। उत्तर ऋणात्मक आए, तो समझ लीजिए कि हानि हुई है।

जब संख्याएँ आपस में बदल जाएँ: कभी प्रश्न ऐसा होता है, "₹4 में 5 के भाव से खरीदा और ₹5 में 4 के भाव से बेचा।" यहाँ 20 वस्तुएँ लीजिए। 20 का क्र.मू. ₹16 है और 20 का वि.मू. ₹25। ₹16 पर ₹9 का लाभ हुआ, यानी $\frac{9}{16}$, जो 56.25% है।

इसका सीधा नियम भी है। जब भी x वस्तुएँ ₹y में खरीदी जाएँ और y वस्तुएँ ₹x में बेची जाएँ, तो लाभ प्रतिशत $\frac{x^2 - y^2}{y^2} \times 100$ होता है। ऊपर वाले प्रश्न में x = 5 और y = 4 है।

हानि वाला सौदा: अब यह देखिए, "₹15 में 8 के भाव से खरीदा और ₹17 में 10 के भाव से बेचा।" 8 और 10 का ल.स. 40 है, तो 40 वस्तुएँ लीजिए। इनका क्र.मू. = 5 × 15 = ₹75 और वि.मू. = 4 × 17 = ₹68। ₹75 पर ₹7 की हानि हुई, जो $9\frac{1}{3}\%$ है।

तय रकम में कितनी बेचें: प्रश्न ऐसे आता है, "₹50 में 20 संतरे बेचने पर एक व्यक्ति को 4% की हानि होती है। 20% लाभ कमाने के लिए उसे ₹50 में कितने संतरे बेचने चाहिए?" यहाँ रकम ₹50 ही रहती है, बदलती नहीं। लाभ चाहिए तो हर संतरे का मूल्य बढ़ाना होगा, और तब ₹50 में संतरे कम देने होंगे। इसलिए यह सूत्र लगता है।

$$\text{नई संख्या} = \text{पुरानी संख्या} \times \frac{100 - \text{पुरानी हानि}\%}{100 + \text{नया लाभ}\%} = 20 \times \frac{96}{120} = 16$$

जाँच कर लीजिए। उसी ₹50 में 20 की जगह 16 संतरे दिए, तो हर संतरा $\frac{20}{16}$ = 1.25 गुना महँगा बिका। पहले उसे क्रय मूल्य का 0.96 गुना मिल रहा था, अब 0.96 × 1.25 = 1.2 गुना मिलता है। यानी 20% लाभ।

अगर पुराने सौदे में हानि की जगह लाभ हुआ हो, तो अंश में 100 + पुराना लाभ लिखिए।

[SSC टिप] उतनी ही रकम में कम वस्तुएँ देने का मतलब है कि हर वस्तु अधिक मूल्य पर बिक रही है। इसलिए "₹x में कितनी" वाले प्रश्नों में भिन्न आम गुणक से उलटी लगती है। आदत से 20 × $\frac{120}{96}$ कर दिया, तो 25 आएगा, और यही गलत संख्या विकल्पों में अक्सर दी होती है।

दर्जन, कोड़ी, किलोग्राम, बराबर गिनती

कभी माल एक इकाई में खरीदा जाता है और दूसरी इकाई में बेचा जाता है। तरीका वही रहता है। पहले दोनों मूल्य एक ही इकाई में लाइए, फिर तुलना कीजिए। ये इकाइयाँ याद रखिए।

दर्जन और कोड़ी: प्रश्न है, "अंडे ₹66 प्रति दर्जन की दर से खरीदे जाते हैं और ₹115 प्रति कोड़ी की दर से बेचे जाते हैं। लाभ % ज्ञात कीजिए।" यहाँ एक अंडे का भाव निकाल लीजिए। एक अंडे का क्र.मू. = 66 ÷ 12 = ₹5.50 और वि.मू. = 115 ÷ 20 = ₹5.75। ₹5.50 पर ₹0.25 का लाभ है, यानी $\frac{1}{22}$, जो $4\frac{6}{11}\%$ होता है।

जल्दी में कई लोग ₹115 की तुलना सीधे ₹66 से कर देते हैं और 74% जैसा बेतुका उत्तर लिख देते हैं। दर्जन में 12 अंडे हैं और कोड़ी में 20, यह भूलना नहीं है।

किलोग्राम और पैकेट: अब यह देखिए, "चाय ₹520 प्रति किग्रा की दर से खरीदी जाती है और 250 ग्राम के पैकेटों में ₹156 प्रति पैकेट की दर से बेची जाती है।" चार पैकेट मिलकर एक किग्रा होते हैं। तो विक्रय मूल्य = 4 × 156 = ₹624 प्रति किग्रा। ₹520 पर ₹104 का लाभ हुआ, यानी 20%।

दो भावों पर बराबर गिनती: यह प्रश्न ध्यान से देखिए, "एक विक्रेता ₹10 में 4 और ₹10 में 6 के भाव से बराबर संख्या में नींबू खरीदता है, उन्हें मिलाता है और सारे नींबू ₹10 में 5 के भाव से बेच देता है। उसका लाभ या हानि ज्ञात कीजिए।" देखने में लगता है कि न लाभ, न हानि होगी, क्योंकि 5 तो 4 और 6 का औसत है। पर ऐसा है नहीं। 4 और 6 का ल.स. 12 है, तो हर किस्म के 12 नींबू लेकर देखिए।

• ₹10 में 4 वाले 12 नींबू ₹30 के आए और ₹10 में 6 वाले 12 नींबू ₹20 के। यानी 24 नींबू ₹50 में आए।
• ये 24 नींबू ₹10 में 5 के भाव से बिके, तो ₹48 मिले।
• ₹50 पर ₹2 की हानि हुई, यानी 4%।

बात यह है कि गिनती बराबर हो, तो औसत एक नींबू के मूल्य का लिया जाता है, ₹10 में मिलने वाली संख्या का नहीं। एक किस्म में एक नींबू ₹2.50 का है और दूसरी में लगभग ₹1.67 का। इनका औसत लगभग ₹2.08 है, जबकि बिक्री ₹2 पर हुई।

दो भावों पर बराबर रकम: अब मान लीजिए वह दोनों भावों पर बराबर रकम लगाता है, ₹10 में 4 वाले नींबुओं पर ₹60 और ₹10 में 6 वाले नींबुओं पर भी ₹60। तब ₹120 में 24 + 36 = 60 नींबू आते हैं। ₹10 में 5 के भाव से ये ठीक ₹120 में बिकते हैं, तो न लाभ, न हानि।

याद रखिए, रकम बराबर हो तो औसत ₹10 में मिलने वाली संख्याओं का लीजिए। गिनती बराबर हो तो औसत मूल्यों का लीजिए।

कुछ का वि.मू. = कुछ का क्र.मू.

प्रश्न में लिखा होता है, "14 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 21 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है।" ऐसे में एक वस्तु का क्रय मूल्य ₹1 मान लीजिए। तब 21 वस्तुओं का क्र.मू. ₹21 हुआ, और 14 वस्तुएँ इसी ₹21 में बिकीं। एक वस्तु का वि.मू. $\frac{21}{14} = \frac{3}{2}$ हुआ, यानी ₹1 पर $\frac{1}{2}$ का लाभ। तो लाभ 50% है।

हर बार यही सूत्र लगता है।

$$\text{यदि } x \text{ वस्तुओं का वि.मू.} = \text{ } y \text{ वस्तुओं का क्र.मू.}, \quad \text{लाभ या हानि}\% = \frac{y - x}{x} \times 100$$

भाग हमेशा x से दीजिए, यानी बेची गई वस्तुओं की संख्या से। y, x से बड़ा हो तो लाभ है, और छोटा हो तो हानि।

हानि वाला रूप: "20 वस्तुओं का क्रय मूल्य 25 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है।" यहाँ बेची गई वस्तुएँ 25 हैं, और उनका विक्रय मूल्य 20 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है। तो हानि % = $\frac{5}{25}$ = 20%। सबसे आम गलती यहीं होती है। लोग 20 से भाग देकर 25% लिख देते हैं।

लाभ कुछ वस्तुओं के मूल्य जितना: प्रश्न ऐसे भी आता है, "56 मीटर कपड़ा बेचकर एक व्यापारी को 8 मीटर कपड़े के विक्रय मूल्य के बराबर लाभ होता है।" लाभ 8 मीटर के वि.मू. जितना है। तो 56 मीटर का क्र.मू. = 56 मीटर का वि.मू. − 8 मीटर का वि.मू., यानी 48 मीटर के वि.मू. के बराबर। अब लाभ = $\frac{8}{48}$ = $16\frac{2}{3}\%$।

ऐसी चारों स्थितियाँ इस तालिका में हैं।

अगर 56 मीटर पर लाभ 8 मीटर के क्र.मू. जितना होता, तो लाभ $\frac{8}{56}$ = $14\frac{2}{7}\%$ आता। इसी तरह 36 कुर्सियाँ बेचकर 4 कुर्सियों के वि.मू. जितनी हानि हो, तो हानि $\frac{4}{40}$ = 10% है।

वि.मू. वाली स्थितियाँ अलग क्यों हैं, यह समझ लीजिए। 56 मीटर में से 8 मीटर के विक्रय मूल्य जितना लाभ हुआ, तो 56 मीटर का क्रय मूल्य केवल 48 मीटर के विक्रय मूल्य जितना है। इसलिए 8 को 48 से भाग देते हैं, 56 से नहीं।

उलटा प्रश्न: कभी लाभ दिया होता है और संख्या पूछी जाती है, "एक दुकानदार 25% लाभ कमाता है। कितनी वस्तुओं का विक्रय मूल्य 30 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है?" हर वस्तु अपने क्रय मूल्य के 1.25 गुने पर बिकती है। तो संख्या = 30 ÷ 1.25 = 24।

एक ही मूल्य पर बिकी दो वस्तुएँ

एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानि: दो वस्तुएँ एक ही विक्रय मूल्य पर बिकें, एक पर x% लाभ हो और दूसरी पर x% हानि, तो पूरे सौदे में हमेशा हानि होती है। यह हानि इतनी होती है।

$$\text{हानि}\% = \frac{x^2}{100}$$

उदाहरण के लिए, "दो स्कूटरों में से प्रत्येक ₹38,400 में बेचा जाता है, एक 20% लाभ पर और दूसरा 20% हानि पर।" दोनों के क्र.मू. अलग-अलग निकालते हैं।

• पहले का क्र.मू. = 38,400 ÷ 1.2 = ₹32,000
• दूसरे का क्र.मू. = 38,400 ÷ 0.8 = ₹48,000
• कुल क्र.मू. ₹80,000 है और कुल वि.मू. ₹76,800। तो हानि ₹3,200 हुई, जो 4% है, ठीक $\frac{20^2}{100}$।

यह हानि इसलिए होती है कि 20% लाभ सस्ते स्कूटर पर हुआ और 20% हानि महँगे स्कूटर पर। महँगे पर जितने रुपये गए, उतने सस्ते पर आए नहीं।

रुपयों में हानि सीधे चाहिए, तो यह सूत्र लगाइए।

$$\frac{2 \times \text{वि.मू.} \times x^2}{100^2 - x^2} = \frac{2 \times 38400 \times 400}{9600} = 3200$$

एक ही वि.मू., अलग-अलग दरें: "दो फ़ोन ₹13,800 प्रत्येक में बेचे जाते हैं, एक 15% लाभ पर और दूसरा 8% हानि पर।" यहाँ भी पहले हर फ़ोन का क्र.मू. निकालिए।

• 13,800 ÷ 1.15 = ₹12,000 और 13,800 ÷ 0.92 = ₹15,000
• कुल क्र.मू. ₹27,000 और कुल वि.मू. ₹27,600 है, तो लाभ ₹600 हुआ, जो $2\frac{2}{9}\%$ है।

यहाँ 15 और −8 का औसत लेकर 3.5% लिखना गलत है, क्योंकि दोनों फ़ोन के क्रय मूल्य अलग हैं। कई छात्र यहीं चूक जाते हैं।

क्र.मू. का अनुपात: दोनों के विक्रय मूल्य बराबर हैं, तो लाभ वाले फ़ोन का क्र.मू. × 1.15 = हानि वाले फ़ोन का क्र.मू. × 0.92। मतलब हर क्रय मूल्य के साथ दूसरी वस्तु का गुणक आता है।

$$\text{क्र.मू. (लाभ)} : \text{क्र.मू. (हानि)} = (100 - \text{हानि}\%) : (100 + \text{लाभ}\%) = 92 : 115 = 4 : 5$$

दोनों का कुल क्र.मू. दिया हो: "एक व्यक्ति ₹16,400 में दो बकरियाँ खरीदता है। वह एक को 20% लाभ पर और दूसरी को 15% हानि पर बेचता है, और दोनों से उसे बराबर मूल्य मिलता है।" यहाँ क्र.मू. (लाभ) : क्र.मू. (हानि) = 85 : 120 = 17 : 24। कुल 41 भाग ₹16,400 के बराबर हैं, तो एक भाग ₹400 का हुआ। बकरियों के क्रय मूल्य 17 × 400 = ₹6,800 और 24 × 400 = ₹9,600 हैं, और हर बकरी ₹8,160 में बिकती है।

[SSC टिप] "एक ही वि.मू., x% लाभ और x% हानि" वाले प्रश्न का उत्तर एक ही होता है, $\frac{x^2}{100}$ प्रतिशत की हानि। विकल्पों में "न लाभ, न हानि" भी अक्सर दिया होता है, पर वह हमेशा गलत है।

एक ही क्रय मूल्य पर या कुल क्रय मूल्य पर खरीदी गई दो वस्तुएँ

एक ही क्र.मू., अलग दरें: दोनों वस्तुओं का क्रय मूल्य बराबर हो, तो पूरे सौदे का प्रतिशत दोनों प्रतिशतों का सीधा औसत होता है। हानि को ऋण चिह्न के साथ रखिए। जैसे "दो लैंपों में से प्रत्येक का क्रय मूल्य ₹1,350 है। एक को 18% लाभ पर और दूसरे को 6% हानि पर बेचा जाता है।" तो कुल = $\frac{18 + (-6)}{2}$ = 6% लाभ।

जाँच कर लीजिए। वि.मू. ₹1,593 और ₹1,269 हैं, कुल ₹2,862। ₹2,700 के क्र.मू. पर ₹162 का लाभ 6% ही है।

इससे एक बात और निकलती है। एक ही क्रय मूल्य पर x% लाभ और x% हानि हो, तो न लाभ, न हानि होती है। ऊपर वाली स्थिति से इसकी तुलना कीजिए, जहाँ विक्रय मूल्य एक ही था। वहाँ हमेशा हानि होती है।

क्र.मू. किसी अनुपात में: क्रय मूल्य किसी अनुपात में हों, तो कुल प्रतिशत दोनों दरों का भारित औसत (weighted average) होता है। जैसे क्रय मूल्य 3 : 5 के अनुपात में हैं, और दरें 10% लाभ और 2% हानि हैं। तो कुल = $\frac{3 \times 10 - 5 \times 2}{8}$ = 2.5% लाभ।

कुल क्र.मू. दिया हो: प्रश्न ऐसे आता है, "दो साइकिलों का कुल क्रय मूल्य ₹9,000 है। एक को 14% लाभ पर और दूसरी को 6% हानि पर बेचा जाता है, और कुल लाभ 6% होता है। प्रत्येक का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।" पहली साइकिल का क्र.मू. ₹x मान लीजिए, तो दूसरी का ₹(9,000 − x) होगा। पहली पर हुए लाभ में से दूसरी पर हुई हानि घटाइए, तो कुल लाभ आना चाहिए।

$$0.14x - 0.06(9000 - x) = 0.06 \times 9000 \Rightarrow 0.2x = 1080 \Rightarrow x = 5400$$

तो साइकिलों के क्रय मूल्य ₹5,400 और ₹3,600 हैं। जाँच के लिए देखिए, पहली पर ₹756 का लाभ है और दूसरी पर ₹216 की हानि। 756 − 216 = 540, जो 9,000 का 6% है।

एलीगेशन (alligation) से यह एक पंक्ति में हो जाता है, (6 − (−6)) : (14 − 6) = 12 : 8 = 3 : 2। इसका नियम अध्याय 6, "मिश्रण और एलीगेशन" में है।

कुल मिलाकर न लाभ, न हानि: मान लीजिए एक वस्तु पर 12% लाभ हुआ और दूसरी पर 8% हानि, और पूरा सौदा बराबर रहा। तब रुपयों में जितना लाभ हुआ, उतनी ही हानि हुई। यानी $\text{क्र.मू.}_1$ का 12% = $\text{क्र.मू.}_2$ का 8%, और $\text{क्र.मू.}_1 : \text{क्र.मू.}_2$ = 8 : 12 = 2 : 3। मतलब हर क्रय मूल्य दूसरी वस्तु के प्रतिशत के अनुपात में होता है।

स्टॉक के हिस्से, अलग दरों पर

कभी व्यापारी अपने स्टॉक का एक हिस्सा एक दर पर बेचता है और दूसरा हिस्सा दूसरी दर पर। फिर पूछा जाता है कि पूरे सौदे का नतीजा क्या रहा, या आख़िरी हिस्सा किस दर पर बेचा जाए। यहाँ कुल प्रतिशत सभी दरों का भारित औसत होता है, और हर दर का भार उस हिस्से का क्रय मूल्य होता है।

माल की हर इकाई का क्रय मूल्य एक-सा हो, जैसे हर किग्रा का, तो मात्राओं या भिन्नों को ही भार मान लीजिए। ऐसा न हो, तो हर दर का भार उस हिस्से का रुपयों वाला क्रय मूल्य लीजिए, उसकी मात्रा या विक्रय मूल्य नहीं।

मात्राओं से कुल लाभ: "एक व्यापारी एक ही मूल्य पर 500 किग्रा चावल खरीदता है। वह 200 किग्रा 15% लाभ पर, 180 किग्रा 10% लाभ पर और शेष 120 किग्रा 5% हानि पर बेचता है।" हर किग्रा का क्र.मू. एक-सा है, तो किग्रा ही भार हैं।

$$\text{कुल}\% = \frac{200 \times 15 + 180 \times 10 - 120 \times 5}{500} = \frac{3000 + 1800 - 600}{500} = 8.4\%$$

भिन्नों से कुल लाभ: "वह अपने माल का $\frac{1}{4}$ भाग 24% लाभ पर, $\frac{1}{2}$ भाग 10% लाभ पर और शेष 8% हानि पर बेचता है।" शेष भी $\frac{1}{4}$ है। तो कुल लाभ यह हुआ।

$$\frac{1}{4} \times 24 + \frac{1}{2} \times 10 - \frac{1}{4} \times 8 = 6 + 5 - 2 = 9\%$$

24, 10 और −8 का सीधा औसत लें, तो $8\frac{2}{3}\%$ आता है। यह गलत है, क्योंकि तीनों हिस्से बराबर नहीं हैं।

आख़िरी हिस्से की दर: "वह अपने स्टॉक का $\frac{2}{5}$ भाग 15% लाभ पर और $\frac{1}{3}$ भाग 9% हानि पर बेचता है। पूरे स्टॉक पर 10% लाभ कमाने के लिए उसे शेष स्टॉक कितने प्रतिशत लाभ पर बेचना होगा?" यह तीन कदम में हो जाता है।

• शेष = $1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$
• पहले दो हिस्सों से $\frac{2}{5} \times 15 - \frac{1}{3} \times 9 = 6 - 3 = 3$ मिला।
• शेष से 10 − 3 = 7 चाहिए। उसकी दर r हो, तो $\frac{4}{15} \times r = 7$, और r = 26.25%।

रुपयों में हिसाब: प्रति किग्रा मूल्य दिए हों, तो रुपये ही गिनिए। जैसे एक पंसारी ने 360 किग्रा प्याज़ ₹26 प्रति किग्रा पर खरीदा, तो क्र.मू. ₹9,360 हुआ। पूरे पर 25% लाभ के लिए उसे ₹11,700 चाहिए। उसने 100 किग्रा ₹30 पर बेचकर ₹3,000 पाए और 100 किग्रा ₹31 पर बेचकर ₹3,100। अब आख़िरी 160 किग्रा से 11,700 − 6,100 = ₹5,600 आने चाहिए। तो बाकी प्याज़ ₹35 प्रति किग्रा पर बेचना होगा।

हर दर पर कितना बेचा: कभी कुल प्रतिशत दिया होता है और पूछा जाता है कि हर दर पर कितना माल बेचा गया। तब लाभ-प्रतिशतों पर एलीगेशन लगाइए, जो अध्याय 6, "मिश्रण और एलीगेशन" में है।

क्र.मू. या वि.मू. में प्रतिशत-परिवर्तन

कई प्रश्नों में क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य या दोनों कुछ प्रतिशत बदल जाते हैं, और नया लाभ पूछा जाता है। ऐसे में क्र.मू. = 100 मान लीजिए और हर परिवर्तन को गुणक लगाकर आगे बढ़ाइए। प्रतिशतों को कभी सीधे न जोड़िए, न घटाइए।

केवल वि.मू. बदले: "एक दुकान 20% लाभ कमाती है। यदि वह विक्रय मूल्य 10% बढ़ा दे, तो नया लाभ कितना होगा?" क्र.मू. = 100 लें, तो वि.मू. = 120। नया वि.मू. = 120 × 1.1 = 132। तो लाभ 32% है, 30% नहीं।

केवल क्र.मू. बदले: "एक व्यापारी 25% लाभ कमाता है। उसका क्रय मूल्य 20% बढ़ जाता है, पर वह विक्रय मूल्य वही रखता है।" अब क्र.मू. = 120 और वि.मू. = 125 है। लाभ $\frac{5}{120}$ = $4\frac{1}{6}\%$ हुआ, 5% नहीं।

दोनों बदलें: "लाभ 32% है। क्रय मूल्य 20% और विक्रय मूल्य 10% बढ़ जाता है।" क्र.मू. 100 और वि.मू. 132 से शुरू कीजिए। नया क्र.मू. 120 है और नया वि.मू. 132 × 1.1 = 145.2। तो लाभ $\frac{25.2}{120}$ = 21% हुआ। इसे एक पंक्ति में भी लिख सकते हैं, $\frac{1.32 \times 1.1}{1.2} = 1.21$।

क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों एक ही प्रतिशत बदलें, तो लाभ % पहले जितना ही रहता है। केवल रुपयों में लाभ बदलता है।

वि.मू. कई गुना: "किसी वस्तु को उसके दोगुने मूल्य पर बेचने से लाभ चार गुना हो जाता है। लाभ % ज्ञात कीजिए।" क्र.मू. = c और वि.मू. = s मान लीजिए। तब 2s − c = 4(s − c), यानी 2s = 3c और s = 1.5c। तो लाभ 50% है।

इसका एक जाना-पहचाना रूप भी है, "वि.मू. दोगुना करने पर लाभ तिगुना"। उसमें s = 2c आता है, यानी लाभ 100%।

वि.मू. एक प्रतिशत बढ़े, लाभ दूसरा प्रतिशत: "विक्रय मूल्य 10% बढ़ने पर लाभ 50% बढ़ जाता है। लाभ % ज्ञात कीजिए।" यहाँ 1.1s − c = 1.5(s − c), जिससे 0.5c = 0.4s और s = 1.25c आता है। तो लाभ 25% है। जाँच कर लीजिए। क्र.मू. 100 और वि.मू. 125 हो, तो लाभ 25 है। वि.मू. 137.5 करने पर लाभ 37.5 हो जाता है, जो 25 से 50% अधिक है।

सामान्य मूल्य का कोई भिन्न: "किसी वस्तु को उसके सामान्य मूल्य के $\frac{3}{4}$ पर बेचने से एक व्यक्ति को 10% की हानि होती है। सामान्य मूल्य पर उसे कितना लाभ होगा?" क्र.मू. = 100 लीजिए। तब सामान्य मूल्य का $\frac{3}{4}$ = 90, तो सामान्य मूल्य = 90 × $\frac{4}{3}$ = 120। लाभ 20% होगा।

रुपयों में परिवर्तन: कभी विक्रय मूल्य कुछ तय रुपये घटता या बढ़ता है, और उससे लाभ % बदलकर कुछ और हो जाता है। ऐसे प्रश्न अंतर वाली विधि से होते हैं, जो "लाभ और हानि की मूल बातें" वाले खंड में दी गई है।

मिला-जुला परिवर्तन: % और रुपये

CGL में यह रूप बहुत आता है। क्रय मूल्य में प्रतिशत का परिवर्तन होता है और विक्रय मूल्य में तय रुपयों का। ऐसे प्रश्न इकाइयों में हल कीजिए। क्र.मू. = 100 इकाई मान लीजिए। प्रश्न में जो रुपये दिए हैं, उनसे एक इकाई का मूल्य पता चल जाता है।

क्रय मूल्य निकालना: "एक व्यक्ति एक वस्तु 25% लाभ पर बेचता है। यदि उसने वह 20% कम मूल्य पर खरीदी होती और ₹105 कम में बेची होती, तो उसे 30% लाभ होता। क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।"

• असल सौदे में क्र.मू. = 100 इकाई और वि.मू. = 125 इकाई।
• दूसरी स्थिति में क्र.मू. = 80 इकाई और वि.मू. = 80 × 1.3 = 104 इकाई।
• वि.मू. 125 − 104 = 21 इकाई घटा, और यही ₹105 है। तो एक इकाई = ₹5 और क्र.मू. ₹500।

जाँच कर लीजिए। वि.मू. ₹625 था। नया क्र.मू. ₹400 है और नया वि.मू. 625 − 105 = ₹520। ₹400 पर ₹120 का लाभ, यानी 30%।

वि.मू. घटने की जगह बढ़े: "एक वस्तु 10% लाभ पर बिकती है। यदि वह 10% कम मूल्य पर खरीदी जाती और ₹84 अधिक में बेची जाती, तो लाभ 30% होता।" क्र.मू. = 100 और वि.मू. = 110 लीजिए। नया क्र.मू. = 90 और नया वि.मू. = 90 × 1.3 = 117। वि.मू. 7 इकाई बढ़ा, जो ₹84 है। तो एक इकाई = ₹12 और क्र.मू. ₹1,200।

क्र.मू. दिया हो, तब नया लाभ: "क्रय मूल्य ₹800 है, और वस्तु 15% लाभ पर बिकी। यदि क्रय मूल्य 10% कम और विक्रय मूल्य ₹40 अधिक होता, तो लाभ % कितना होता?" यहाँ इकाइयों की ज़रूरत नहीं है। नया क्र.मू. ₹720 है और नया वि.मू. 920 + 40 = ₹960। तो लाभ $\frac{240}{720}$ = $33\frac{1}{3}\%$।

दोनों में बराबर रुपयों का परिवर्तन: "25% लाभ पर बेचा गया। यदि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों ₹50 कम होते, तो लाभ 30% होता।" क्र.मू. = c लीजिए। तब 1.25c − 50 = 1.3(c − 50), जिससे 0.05c = 15 और c = ₹300। जाँच के लिए नए मूल्य ₹250 और ₹325 लीजिए। 325 ÷ 250 = 1.3 आता है। रुपयों में लाभ ₹75 ही रहा, पर अब वह छोटे क्रय मूल्य पर है, इसलिए प्रतिशत बढ़ गया।

केवल क्र.मू. रुपयों में बदले: "एक दुकानदार 20% लाभ कमाता है। यदि उसने वस्तु ₹36 कम में खरीदी होती और उसी मूल्य पर बेची होती, तो उसका लाभ 25% होता।" वि.मू. = 1.2c = 1.25(c − 36), जिससे 0.05c = 45 और c = ₹900। मिलाकर देख लीजिए, वि.मू. ₹1,080 है और 1,080 ÷ 864 = 1.25 आता है।

[Tier 2] दोनों में प्रतिशत परिवर्तन, लाभ कुछ अंक कम: "यदि क्रय मूल्य 25% और विक्रय मूल्य 15% बढ़ जाए, तो लाभ % 12 प्रतिशत अंक (percentage points) घट जाता है। मूल लाभ % ज्ञात कीजिए।" वि.मू. ÷ क्र.मू. = R मान लीजिए। नया अनुपात $R \times \frac{1.15}{1.25} = 0.92R$ है, यानी पहले से 0.08R कम। 12 प्रतिशत अंक का मतलब है अनुपात में 0.12 की कमी। तो 0.08R = 0.12 और R = 1.5। लाभ 50% था, जो घटकर 38% रह गया।

टूटी वस्तुएँ, घटी बिक्री, महँगा कच्चा माल

टूटी या सड़ी वस्तुएँ: विक्रेता ने सारे माल का मूल्य चुकाया है, पर बेच वह केवल ठीक वस्तुएँ ही पाता है। इसलिए क्रय मूल्य पूरे माल का लीजिए और विक्रय मूल्य केवल बची वस्तुओं से। जैसे "एक विक्रेता ₹6 प्रति अंडे की दर से 600 अंडे खरीदता है। उनमें से 40 टूट जाते हैं। वह बाकी अंडे ₹7.20 प्रति अंडे की दर से बेचता है।"

• क्र.मू. = 600 × 6 = ₹3,600
• वि.मू. = 560 × 7.20 = ₹4,032
• ₹3,600 पर ₹432 का लाभ, यानी 12%। कोई ₹7.20 की तुलना सीधे ₹6 से करे, तो 20% आएगा, क्योंकि उसने टूटे अंडे गिने ही नहीं।

अगर पूरे माल पर 26% लाभ चाहिए, तो 3,600 × 1.26 = ₹4,536 चाहिए। यह रकम 560 अंडों से ही आनी है, तो हर अंडा ₹8.10 में बेचना होगा।

चोरी या बर्बादी में गए माल वाले प्रश्न, और स्टॉक का कुछ हिस्सा हानि पर बेचने वाले प्रश्न "बेईमान व्यापारी और क्रमिक लेन-देन" वाले खंड में हैं।

मूल्य बढ़ा, बिक्री घटी: कुल लाभ = प्रति वस्तु लाभ × बिकी वस्तुओं की संख्या। इसलिए दोनों बदलाव साथ में देखने होंगे। जैसे "एक दुकान महीने में ₹150 प्रति मग की दर से 400 मग बेचती है। हर मग का क्रय मूल्य ₹110 है। दुकान मूल्य बढ़ाकर ₹165 कर देती है, और बिक्री 20% घट जाती है।"

• पहले मासिक लाभ = 400 × 40 = ₹16,000
• बाद में मासिक लाभ = 320 × 55 = ₹17,600
• यानी मासिक लाभ 10% बढ़ा, जबकि मग कम बिके।

गुणकों में देखें तो प्रति मग लाभ 40 से 55 हुआ, यानी × 1.375, और बिक्री × 0.8 हुई। तो लाभ × 1.1 हो गया।

बिक्री की रकम असल में घटी है। पहले 400 × 150 = ₹60,000 मिलते थे और बाद में 320 × 165 = ₹52,800। इसलिए ध्यान से पढ़िए कि प्रश्न लाभ पूछ रहा है या बिक्री।

महँगा कच्चा माल: "किसी उत्पाद की लागत में कच्चा माल, मज़दूरी और ऊपरी खर्च 4 : 3 : 1 के अनुपात में हैं। उत्पाद 35% लाभ पर बिकता है। फिर कच्चे माल का मूल्य 25% बढ़ जाता है।"

• पुरानी लागत 4 + 3 + 1 = 8 इकाई है, और वि.मू. = 8 × 1.35 = 10.8 इकाई।
• नई लागत = 4 × 1.25 + 3 + 1 = 9 इकाई।
• उसी वि.मू. पर लाभ = $\frac{1.8}{9}$ = 20%।
• 35% लाभ बनाए रखना हो, तो वि.मू. = 9 × 1.35 = 12.15 इकाई करना होगा। यह 12.5% की वृद्धि है। कुल लागत भी ठीक इतनी ही बढ़ी थी, 8 से 9। आम चूक यह है कि लोग वि.मू. 25% बढ़ा देते हैं, जबकि 25% तो केवल कच्चे माल की वृद्धि है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

एक दुकानदार ₹40 में 15 के भाव से रबड़ खरीदता है और ₹40 में 12 के भाव से बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) 25% (b) 20% (c) $16\frac{2}{3}\%$ (d) 30%

उत्तर: दोनों ओर रकम ₹40 ही है। ₹40 देकर 15 रबड़ आते हैं, और 12 रबड़ बेचकर ₹40 मिलते हैं। मतलब 12 रबड़ों का वि.मू. 15 रबड़ों के क्र.मू. के बराबर है। तो लाभ % = $\frac{15 - 12}{12} \times 100$ = (a) 25%। जल्दी में कुछ लोग 15 से भाग देकर 20% लिख देते हैं। पर आधार वे 12 रबड़ हैं जो उस ₹40 में बेचे गए।

प्रश्न 2

₹90 में 7 के भाव से पेन खरीदे जाते हैं और ₹108 में 9 के भाव से बेचे जाते हैं। हानि प्रतिशत कितना है? (a) $7\frac{1}{7}\%$ (b) 20% (c) $6\frac{2}{3}\%$ (d) $8\frac{1}{3}\%$

उत्तर: 7 और 9 का ल.स. 63 है, तो 63 पेन लेकर चलते हैं। 63 पेन का क्र.मू. = 9 × 90 = ₹810 और वि.मू. = 7 × 108 = ₹756। ₹810 पर ₹54 की हानि हुई, जो (c) $6\frac{2}{3}\%$ है।

प्रश्न 3

₹50 में 24 पेंसिलें बेचने पर एक दुकानदार को 20% की हानि होती है। 20% लाभ कमाने के लिए उसे ₹50 में कितनी पेंसिलें बेचनी चाहिए? (a) 36 (b) 16 (c) 20 (d) 18

उत्तर: रकम ₹50 ही रहनी है। 20% हानि पर उसे क्रय मूल्य का 80% मिल रहा है, और चाहिए 120%। यानी हर पेंसिल अधिक मूल्य पर बेचनी है, तो पेंसिलें कम देनी होंगी। 24 × $\frac{80}{120}$ = (b) 16। जाँच भी कर लेते हैं। ₹50 में 16 पेंसिलें दीं, तो हर पेंसिल पुराने मूल्य के $\frac{24}{16}$ = 1.5 गुने पर बिकी। 0.8 × 1.5 = 1.2, यानी 20% लाभ।

प्रश्न 4

एक व्यक्ति ₹54 प्रति दर्जन की दर से केले खरीदता है और ₹96 प्रति कोड़ी की दर से बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) $77\frac{7}{9}\%$ (b) 6.25% (c) 8% (d) $6\frac{2}{3}\%$

उत्तर: पहले एक केले का भाव निकाल लेते हैं। एक केले का क्र.मू. = 54 ÷ 12 = ₹4.50 और वि.मू. = 96 ÷ 20 = ₹4.80। ₹4.50 पर ₹0.30 का लाभ है, यानी $\frac{1}{15}$, जो (d) $6\frac{2}{3}\%$ है। ₹96 की सीधे ₹54 से तुलना कर दी, तो $77\frac{7}{9}\%$ आएगा, जो बहुत अधिक है।

प्रश्न 5

[Tier 2] एक व्यक्ति ₹40 में 3 और ₹40 में 5 के भाव से बराबर संख्या में आम खरीदता है। वह उन्हें मिलाकर सभी आम ₹40 में 4 के भाव से बेच देता है। उसका लाभ या हानि प्रतिशत कितना है? (a) 6.25% हानि (b) न लाभ, न हानि (c) 6.25% लाभ (d) $6\frac{2}{3}\%$ हानि

उत्तर: 3 और 5 का ल.स. 15 है, तो हर किस्म के 15 आम लेते हैं। ₹40 में 3 वाले 15 आम ₹200 के आए और ₹40 में 5 वाले 15 आम ₹120 के। यानी 30 आम ₹320 में आए। ये 30 आम ₹40 में 4 के भाव से बिके, तो ₹300 मिले। ₹320 पर ₹20 कम मिले, तो (a) 6.25% हानि हुई। 4 तो 3 और 5 का औसत है, इसलिए कई लोग न लाभ, न हानि मान लेते हैं। पर गिनती बराबर हो, तो औसत एक आम के मूल्य का लिया जाता है, ₹40 में मिलने वाली संख्या का नहीं।

प्रश्न 6

यदि 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 23 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है, तो लाभ या हानि प्रतिशत कितना है? (a) $13\frac{1}{23}\%$ लाभ (b) 15% हानि (c) 15% लाभ (d) 3% लाभ

उत्तर: एक वस्तु का क्र.मू. ₹1 मान लेते हैं। तब 20 वस्तुएँ ₹23 में बिकीं, यानी एक वस्तु का वि.मू. ₹1.15 हुआ। तो (c) 15% लाभ है। ध्यान रहे, भाग 20 से दिया गया है, क्योंकि 20 वस्तुएँ ही बेची गई हैं।

प्रश्न 7

66 मीटर कपड़ा बेचकर एक व्यापारी को 22 मीटर कपड़े के विक्रय मूल्य के बराबर लाभ होता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) $33\frac{1}{3}\%$ (b) 50% (c) 25% (d) $66\frac{2}{3}\%$

उत्तर: लाभ 22 मीटर के वि.मू. जितना है। तो 66 मीटर का क्र.मू. = 66 मीटर का वि.मू. − 22 मीटर का वि.मू., यानी 44 मीटर के वि.मू. के बराबर। मतलब 44 मीटर के वि.मू. जितनी रकम लगाकर 22 मीटर के वि.मू. जितना लाभ हुआ। तो लाभ % = $\frac{22}{44} \times 100$ = (b) 50%।

प्रश्न 8

एक फल विक्रेता 30 किग्रा अंगूर बेचता है और उसे 6 किग्रा अंगूर के विक्रय मूल्य के बराबर हानि होती है। उसका हानि प्रतिशत कितना है? (a) 20% (b) 25% (c) $14\frac{2}{7}\%$ (d) $16\frac{2}{3}\%$

उत्तर: हानि 6 किग्रा के वि.मू. के बराबर है। तो 30 किग्रा का क्र.मू. = 30 किग्रा का वि.मू. + 6 किग्रा का वि.मू., यानी 36 किग्रा के वि.मू. के बराबर। मतलब 6 किग्रा के वि.मू. जितनी हानि 36 किग्रा के वि.मू. जितने क्रय मूल्य पर हुई। इसलिए $\frac{6}{36}$ आता है, जो (d) $16\frac{2}{3}\%$ है।

प्रश्न 9

दो लैपटॉप में से प्रत्येक ₹30,000 में बेचा जाता है। विक्रेता को एक पर 25% लाभ होता है और दूसरे पर 25% हानि। उसे कुल कितना लाभ या हानि हुई? (a) ₹4,000 की हानि (b) न लाभ, न हानि (c) ₹3,750 की हानि (d) ₹4,000 का लाभ

उत्तर: दोनों के क्र.मू. निकाल लेते हैं, 30,000 ÷ 1.25 = ₹24,000 और 30,000 ÷ 0.75 = ₹40,000। कुल क्र.मू. ₹64,000 हुआ और कुल वि.मू. ₹60,000, तो (a) ₹4,000 की हानि हुई। प्रतिशत में देखें तो यह हानि $\frac{25^2}{100}$ है, यानी ₹64,000 का 6.25%।

प्रश्न 10

दो घड़ियों में से प्रत्येक ₹5,040 में बेची जाती है, एक 12% लाभ पर और दूसरी 10% हानि पर। कुल परिणाम क्या है? (a) ₹20 का लाभ (b) न लाभ, न हानि (c) ₹20 की हानि (d) ₹100.80 का लाभ

उत्तर: पहली घड़ी का क्र.मू. = 5,040 ÷ 1.12 = ₹4,500 और दूसरी का क्र.मू. = 5,040 ÷ 0.9 = ₹5,600। कुल क्र.मू. ₹10,100 है और कुल वि.मू. ₹10,080, तो (c) ₹20 की हानि हुई। 12% लाभ और 10% हानि देखकर लगता है कि कुल मिलाकर लाभ होगा। पर हानि महँगी घड़ी पर हुई है। उस पर ₹560 गए, जबकि सस्ती घड़ी पर केवल ₹540 आए।

प्रश्न 11

रमेश ₹54,600 में दो गायें खरीदता है। वह एक को 15% हानि पर और दूसरी को 25% लाभ पर बेचता है, और दोनों से उसे बराबर मूल्य मिलता है। हानि पर बेची गई गाय उसने कितने में खरीदी थी? (a) ₹22,100 (b) ₹32,500 (c) ₹27,300 (d) ₹30,000

उत्तर: दोनों का वि.मू. एक ही है, तो हानि वाली गाय का क्र.मू. × 0.85 = लाभ वाली गाय का क्र.मू. × 1.25। इससे क्र.मू. (हानि) : क्र.मू. (लाभ) = 125 : 85 = 25 : 17 मिलता है। कुल 42 भाग ₹54,600 के बराबर हैं, तो एक भाग ₹1,300 का है। हानि वाली गाय = 25 × 1,300 = (b) ₹32,500। दूसरी गाय ₹22,100 की थी। जाँच कर लेते हैं, 32,500 × 0.85 = 27,625 और 22,100 × 1.25 = 27,625।

प्रश्न 12

दो बाइकों का कुल क्रय मूल्य ₹1,20,000 है। एक को 10% लाभ पर और दूसरी को 5% हानि पर बेचा जाता है, और कुल लाभ 4% होता है। लाभ पर बेची गई बाइक का क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹72,000 (b) ₹48,000 (c) ₹60,000 (d) ₹80,000

उत्तर: पहली बाइक का क्र.मू. ₹x मान लेते हैं। तब 0.1x − 0.05(1,20,000 − x) = 1,20,000 का 4% = 4,800। इससे 0.15x = 10,800 और x = (a) ₹72,000 आता है। एलीगेशन से यह और जल्दी होता है। (4 + 5) : (10 − 4) = 9 : 6 = 3 : 2, तो लाभ वाली बाइक 1,20,000 का $\frac{3}{5}$ = 72,000 की है।

प्रश्न 13

एक व्यापारी के पास 800 किग्रा गेहूँ है। वह 300 किग्रा 12% लाभ पर, 350 किग्रा 8% लाभ पर और शेष 4% हानि पर बेचता है। उसका कुल लाभ प्रतिशत कितना है? (a) $5\frac{1}{3}\%$ (b) 8% (c) 6.5% (d) 7.25%

उत्तर: हर किग्रा का क्र.मू. एक-सा है, तो हर दर का भार उसके किग्रा होंगे। शेष गेहूँ 150 किग्रा है। कुल = $\frac{300 \times 12 + 350 \times 8 - 150 \times 4}{800} = \frac{5800}{800}$ = (d) 7.25%। 12, 8 और −4 का सीधा औसत लें, तो $5\frac{1}{3}\%$ आता है। यह गलत है, क्योंकि उसमें मात्राओं को देखा ही नहीं गया।

प्रश्न 14

एक दुकानदार अपने माल का $\frac{1}{3}$ भाग 15% लाभ पर और $\frac{2}{5}$ भाग 6% हानि पर बेचता है। पूरे माल पर 9% लाभ कमाने के लिए उसे शेष माल कितने प्रतिशत लाभ पर बेचना होगा? (a) 6% (b) 18% (c) 24% (d) 9%

उत्तर: पहले शेष भाग निकालते हैं, $1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$। पहले दो हिस्सों से $\frac{1}{3} \times 15 - \frac{2}{5} \times 6 = 5 - 2.4 = 2.6$ मिला। पूरे पर 9 चाहिए, तो शेष से 9 − 2.6 = 6.4 आना चाहिए। शेष की दर r हो, तो $\frac{4}{15} \times r = 6.4$, और r = (c) 24%।

प्रश्न 15

एक व्यापारी 26% लाभ कमाता है। यदि उसका क्रय मूल्य 20% बढ़ जाए और वह विक्रय मूल्य पहले जितना ही रखे, तो उसका नया लाभ प्रतिशत कितना होगा? (a) 6% (b) 5% (c) $4\frac{16}{21}\%$ (d) 4%

उत्तर: पुराना क्र.मू. 100 मान लेते हैं, तो वि.मू. 126 हुआ। नया क्र.मू. 120 है और वि.मू. अब भी 126, तो 120 पर 6 का लाभ है। यानी (b) 5%। कोई 26 − 20 = 6% लिख दे, तो यह गलत है। उसने दोनों प्रतिशतों को एक ही आधार का मानकर घटा दिया।

प्रश्न 16

यदि किसी वस्तु को उसके वर्तमान विक्रय मूल्य के दोगुने पर बेचा जाए, तो लाभ वर्तमान लाभ का पाँच गुना हो जाता है। वर्तमान लाभ प्रतिशत कितना है? (a) 25% (b) 50% (c) 100% (d) $33\frac{1}{3}\%$

उत्तर: क्र.मू. = c और वि.मू. = s मान लेते हैं। तब 2s − c = 5(s − c), जिससे 3s = 4c और s = $\frac{4}{3}$c आता है। मतलब लाभ क्र.मू. का $\frac{1}{3}$ है, यानी (d) $33\frac{1}{3}\%$। क्र.मू. 300 लेकर जाँच लेते हैं। वि.मू. 400 पर लाभ 100 है, और वि.मू. 800 पर लाभ 500, यानी पाँच गुना। "लाभ तिगुना" वाले रूप में उत्तर 100% आता है।

प्रश्न 17

एक दुकानदार को एक मिक्सर उसके सामान्य मूल्य के $\frac{4}{5}$ पर बेचने से 8% की हानि होती है। सामान्य मूल्य पर बेचने से उसे कितने प्रतिशत लाभ होगा? (a) 15% (b) 12% (c) 10.4% (d) 25%

उत्तर: क्र.मू. = 100 मान लेते हैं। सामान्य मूल्य के $\frac{4}{5}$ पर बेचने से 92 मिलते हैं। तो सामान्य मूल्य = 92 × $\frac{5}{4}$ = 115, और लाभ (a) 15% है। कुछ लोग 92 में 20% जोड़कर 110.4 निकाल लेते हैं। यह गलत है, क्योंकि 92 सामान्य मूल्य का $\frac{4}{5}$ है, इसलिए 0.8 से भाग देना है, 1.2 से गुणा नहीं करना।

प्रश्न 18

एक व्यक्ति ने एक साइकिल 15% लाभ पर बेची। यदि उसने उसे 20% कम मूल्य पर खरीदा होता और ₹210 कम में बेचा होता, तो उसे 25% लाभ होता। साइकिल का क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹1,610 (b) ₹1,200 (c) ₹1,400 (d) ₹1,050

उत्तर: इकाइयों में चलते हैं। क्र.मू. = 100 इकाई, तो वि.मू. = 115 इकाई। दूसरी स्थिति में क्र.मू. = 80 इकाई और वि.मू. = 80 × 1.25 = 100 इकाई। वि.मू. 15 इकाई घटा, जो ₹210 है। तो एक इकाई = ₹14 और क्र.मू. (c) ₹1,400 है। अब उलटा मिलाकर देखते हैं। पहले वि.मू. 1,610 था। नया क्र.मू. 1,120 होगा और नया वि.मू. 1,400, जो 1,610 − 210 के बराबर है। 1,400 ÷ 1,120 = 1.25 भी ठीक आता है।

प्रश्न 19

एक दुकानदार एक वस्तु 20% लाभ पर बेचता है। यदि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों ₹120 अधिक होते, तो लाभ 15% होता। क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹432 (b) ₹360 (c) ₹480 (d) ₹300

उत्तर: क्र.मू. = c लेते हैं, तो वि.मू. = 1.2c। दोनों में ₹120 जोड़ने पर 1.2c + 120 = 1.15(c + 120) = 1.15c + 138। इससे 0.05c = 18 और c = (b) ₹360 आता है। नए मूल्य ₹480 और ₹552 होंगे, और 552 ÷ 480 = 1.15 आता है, तो उत्तर ठीक है। रुपयों में लाभ ₹72 ही रहा, पर अब वह बड़े क्रय मूल्य पर है, इसलिए प्रतिशत घट गया।

प्रश्न 20

एक व्यापारी ₹45 प्रति गिलास की दर से 1,200 गिलास खरीदता है। रास्ते में उनमें से 75 टूट जाते हैं। वह बाकी गिलास ₹54 प्रति गिलास की दर से बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत कितना है? (a) 20% (b) $11\frac{1}{9}\%$ (c) 13.5% (d) 12.5%

उत्तर: मूल्य सारे गिलासों का चुकाया गया है, तो क्र.मू. = 1,200 × 45 = ₹54,000। बिके केवल 1,125 गिलास, तो वि.मू. = 1,125 × 54 = ₹60,750। ₹54,000 पर ₹6,750 का लाभ है, यानी (d) 12.5%।

प्रश्न 21

एक कैफ़े प्रतिदिन ₹80 प्रति सैंडविच की दर से 250 सैंडविच बेचता है, और प्रत्येक सैंडविच बनाने की लागत ₹60 है। कैफ़े मूल्य बढ़ाकर ₹90 कर देता है, और उसकी दैनिक बिक्री 24% घट जाती है। उसके दैनिक लाभ पर क्या प्रभाव पड़ता है? (a) यह 14.5% घट जाता है (b) यह 12.5% बढ़ जाता है (c) यह 14% बढ़ जाता है (d) यह 26% बढ़ जाता है

उत्तर: पहले दैनिक लाभ 250 × (80 − 60) = ₹5,000 था। अब बिक्री 250 का 76%, यानी 190 सैंडविच है, और हर सैंडविच से ₹30 मिलते हैं। अब लाभ 190 × 30 = ₹5,700 है, यानी ₹700 अधिक, जो ₹5,000 का 14% है। इसलिए उत्तर (c) यह 14% बढ़ जाता है। गुणकों में देखें तो 1.5 × 0.76 = 1.14। बिक्री की रकम ज़रूर 14.5% घटी है, ₹20,000 से ₹17,100, पर प्रश्न लाभ के बारे में है।

प्रश्न 22

एक कुर्सी बनाने की लागत में लकड़ी और मज़दूरी का अनुपात 3 : 2 है। कुर्सी 40% लाभ पर बेची जाती है। यदि लकड़ी का मूल्य 20% बढ़ जाए और विक्रय मूल्य पहले जितना ही रहे, तो नया लाभ प्रतिशत कितना होगा? (a) 25% (b) 20% (c) 28% (d) $16\frac{2}{3}\%$

उत्तर: लागत 5 इकाई मान लेते हैं, जिसमें लकड़ी 3 है और मज़दूरी 2। वि.मू. = 5 × 1.4 = 7 इकाई। लकड़ी 20% महँगी होकर 3.6 हो गई, तो लागत 5.6 हुई। 5.6 पर 1.4 का लाभ है, यानी (a) 25%।