शॉर्टकट और तेज़ तरीके

गुणक, भिन्न की तालिका और क्र.मू. = 100

लाभ और हानि के प्रश्न असल में प्रतिशत के ही प्रश्न हैं। फ़र्क बस इतना है कि यहाँ प्रतिशत किसी मूल्य पर लगता है। टियर 1 में एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं, इसलिए यहाँ भी जल्दी हल करने के तरीके चाहिए।

आगे के लगभग सभी तरीकों के लिए एक आदत डालनी होगी। हर परिवर्तन को गुणक (multiplier) के रूप में लिखिए। हर तरीके के साथ पहले देखेंगे कि वह कब लगता है, फिर एक छोटा हिसाब करेंगे, और अंत में यह कि उसमें चूक कहाँ होती है।

इस अध्याय में सबसे आम चूक यह है कि प्रतिशत गलत मूल्य पर लगा दिया जाता है। जो प्रतिशत क्रय मूल्य (cost price, CP) पर लगना था, उसे विक्रय मूल्य (selling price, SP) पर लगा देते हैं। या जो अंकित मूल्य (marked price, MP) पर लगना था, उसे क्रय मूल्य पर। इन तीनों को छोटे रूप में क्र.मू., वि.मू. और अं.मू. लिखते हैं।

गुणक

क्रय मूल्य और लाभ या हानि का प्रतिशत दिया हो और विक्रय मूल्य निकालना हो, तो गुणक लगाइए। विक्रय मूल्य दिया हो और क्रय मूल्य चाहिए, तब भी यही तरीका चलता है।

p% लाभ हो तो क्र.मू. को $\frac{100 + p}{100}$ से गुणा कीजिए, और l% हानि हो तो $\frac{100 - l}{100}$ से। वि.मू. से वापस क्र.मू. पर जाना हो, तो उसी गुणक से भाग दे दीजिए।

$$\text{वि.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + p}{100} \qquad \text{क्र.मू.} = \text{वि.मू.} \times \frac{100}{100 + p}$$

गुणक को भिन्न में लिखें तो हिसाब और छोटा हो जाता है। 25% लाभ मतलब × 1.25, जो × $\frac{5}{4}$ है। 20% हानि मतलब × 0.8, जो × $\frac{4}{5}$ है।

जैसे एक मिक्सर ₹1,197 में बिका और दुकानदार को 12.5% लाभ हुआ। 12.5% मतलब $\frac{1}{8}$, तो वि.मू. क्र.मू. का $\frac{9}{8}$ है। हमें क्र.मू. चाहिए, तो गुणक पलट देते हैं। क्र.मू. = 1,197 × $\frac{8}{9}$ = ₹1,064।

भिन्न की तालिका

नीचे वाली तालिका पक्की याद होनी चाहिए।

इन्हीं भिन्नों से उनके गुणज भी सीधे मिल जाते हैं। 37.5% = $\frac{3}{8}$, 62.5% = $\frac{5}{8}$, $66\frac{2}{3}\%$ = $\frac{2}{3}$ और $28\frac{4}{7}\%$ = $\frac{2}{7}$।

मान लीजिए एक हीटर ₹1,470 में खरीदा और $16\frac{2}{3}\%$ हानि पर बेच दिया। यह हानि क्र.मू. का छठा भाग है, तो वि.मू. = 1,470 × $\frac{5}{6}$ = ₹1,225।

क्र.मू. = 100 मान लेना

कई प्रश्नों में केवल प्रतिशत दिए होते हैं। या रुपयों वाली एक ही संख्या होती है, और वह भी ठीक अंत में आती है। ऐसे में क्र.मू. 100 मान लीजिए। भिन्नें हों, तो कोई ऐसी सुविधाजनक संख्या लीजिए जिससे भिन्न न बचे। सारा हिसाब इन्हीं इकाइयों में कीजिए और रुपयों में केवल अंत में बदलिए।

जैसे किसी दुकानदार का लाभ उसके वि.मू. का $16\frac{2}{3}\%$ है, और क्र.मू. पर लाभ का प्रतिशत पूछा गया है। $16\frac{2}{3}\%$ मतलब $\frac{1}{6}$, तो यहाँ वि.मू. 6 मान लेना सुविधाजनक है। लाभ 1 हुआ और क्र.मू. 5। क्र.मू. पर लाभ $\frac{1}{5}$ है, यानी 20%।

इसे सामान्य रूप में भी याद रख सकते हैं। लाभ वि.मू. का $\frac{1}{n}$ हो, तो वह क्र.मू. का $\frac{1}{n - 1}$ होता है।

यहाँ तीन गलतियाँ बहुत होती हैं।

• वापस क्र.मू. निकालते समय वि.मू. में से ही प्रतिशत घटा देना। मिक्सर वाले उदाहरण में कोई 1,197 − 1,197 का 12.5% करे, तो लगभग ₹1,047.38 आएगा, ₹1,064 नहीं। 12.5% तो क्र.मू. पर लगा था, और क्र.मू. अभी पता ही नहीं है।
• लाभ या हानि का प्रतिशत वि.मू. पर ले लेना। यह हमेशा क्र.मू. पर होता है, जब तक प्रश्न में "विक्रय मूल्य पर" न लिखा हो। वि.मू. का $16\frac{2}{3}\%$ असल में क्र.मू. का 20% है, और विकल्पों में अक्सर दोनों संख्याएँ दी होती हैं।
• हानि वाले प्रश्न में भी n − 1 लगा देना। हानि में नियम उलट जाता है। हानि वि.मू. का $\frac{1}{n}$ हो, तो वह क्र.मू. का $\frac{1}{n + 1}$ होती है। जैसे हानि वि.मू. का एक-चौथाई है, तो वह क्र.मू. का पाँचवाँ भाग है, यानी 20%।

[SSC टिप] यह तालिका दोनों ओर से याद कीजिए, प्रतिशत से भिन्न भी और भिन्न से प्रतिशत भी। $9\frac{1}{11}\%$ लाभ दिखे, तो तुरंत "× $\frac{12}{11}$" ध्यान में आना चाहिए। अटपटे-से प्रतिशत वाले प्रश्न लगभग हमेशा इन्हीं में से किसी भिन्न पर बने होते हैं।

दो विक्रय मूल्यों से क्रय मूल्य

रुपयों का अंतर, प्रतिशतों का अंतर

कभी एक ही वस्तु दो अलग मूल्यों पर बिकती है, या प्रश्न कहता है कि बिक सकती थी। हर मूल्य पर लाभ या हानि का प्रतिशत दिया होता है, और क्र.मू. पूछा जाता है।

ऐसे में दोनों वि.मू. को एक ही क्र.मू. के प्रतिशत के रूप में देखिए। तब दोनों मूल्यों में रुपयों का जो अंतर है, वही उनके प्रतिशतों का अंतर है। प्रतिशतों का अंतर ऐसे निकालिए।

• एक मूल्य पर x% लाभ हो और दूसरे पर y% हानि, तो अंतर क्र.मू. का (x + y)% है।
• दोनों पर लाभ हो, या दोनों पर हानि, तो अंतर क्र.मू. का (x − y)% है।

$$\text{क्र.मू.} = \frac{\text{दोनों वि.मू. का अंतर}}{\text{दोनों प्रतिशतों का अंतर}} \times 100$$

जैसे एक कूलर ₹3,510 में बेचने पर 8% लाभ होता है और ₹3,120 में बेचने पर 4% हानि। दोनों मूल्यों में ₹390 का अंतर है, और यह क्र.मू. का 8 + 4 = 12% है। तो क्र.मू. = 390 × $\frac{100}{12}$ = ₹3,250। जाँच कर लीजिए, 3,250 × 1.08 = 3,510 आता है।

हानि को लाभ में बदलना

प्रश्न ऐसे भी आता है, "वस्तु ₹322 अधिक में बिकती, तो 6% हानि की जगह 8% लाभ होता।" यहाँ किसी वि.मू. की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। 6% हानि और 8% लाभ में क्र.मू. के 6% + 8% = 14% का फ़र्क है, और यही ₹322 है। तो क्र.मू. = 322 × $\frac{100}{14}$ = ₹2,300।

बराबर लाभ और हानि, या दुगुना लाभ

दो छोटे नियम और याद कर लीजिए।

• एक मूल्य पर जितना लाभ हो, दूसरे मूल्य पर उतनी ही हानि हो, तो क्र.मू. ठीक दोनों मूल्यों के बीच में होता है। जैसे ₹1,286 में बेचने पर जितना लाभ होता है, ₹958 में बेचने पर उतनी ही हानि होती है। तो क्र.मू. = (1,286 + 958) ÷ 2 = ₹1,122।
• एक मूल्य पर लाभ दूसरे मूल्य पर हुए लाभ का दुगुना हो, तो क्र.मू. = 2 × छोटा मूल्य − बड़ा मूल्य। जैसे ₹1,404 पर हुआ लाभ ₹1,272 पर हुए लाभ का दुगुना है। तो क्र.मू. = 2,544 − 1,404 = ₹1,140। दोनों लाभ ₹264 और ₹132 हैं।

इन प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• जहाँ घटाना है, वहाँ जोड़िए नहीं। दो मूल्यों पर 18% और 10% लाभ हो, तो अंतर 8% है, 28% नहीं।
• दोनों प्रतिशत क्र.मू. पर होने चाहिए। कोई एक वि.मू. पर दिया हो, तो पहले उसे क्र.मू. पर बदल लीजिए।
• एक मूल्य पर लाभ और दूसरे पर हानि हो, तो क्र.मू. दोनों मूल्यों के बीच ही आएगा। उत्तर बीच में न आए, तो समझ लीजिए कि लाभ वाला और हानि वाला मूल्य आपस में उलट गए हैं।

एक भाव से खरीदना, दूसरे भाव से बेचना

₹a में x, ₹b में y

प्रश्न में लिखा होता है कि किसी ने ₹a में x के भाव से वस्तुएँ खरीदीं और ₹b में y के भाव से बेचीं। ऐसे में पहले दोनों को वस्तुओं की एक ही संख्या पर ले आइए। इसके लिए x और y का ल.स. (LCM) लीजिए। फिर उतनी वस्तुओं पर लगे और मिले रुपयों की तुलना कीजिए।

भाव दर्जन (12) या कोड़ी (20) में दिया हो, तो ल.स. लेने से पहले उसे वस्तुओं की संख्या में बदल लीजिए।

एक पंक्ति में करना हो, तो लाभ का गुणक $\frac{b \times x}{a \times y}$ है।

जैसे एक फल वाला ₹30 में 8 के भाव से संतरे खरीदता है और ₹27 में 6 के भाव से बेचता है। 8 और 6 का ल.स. 24 है। 24 संतरों का क्र.मू. ₹90 और वि.मू. ₹108 है। 90 पर 18 का लाभ हुआ, तो लाभ 20% है। एक पंक्ति वाले तरीके से $\frac{27 \times 8}{30 \times 6} = \frac{216}{180} = \frac{6}{5}$ आता है, मतलब वही 20%।

कभी यह पूछा जाता है कि उतने ही रुपयों में कितनी वस्तुएँ बेची जाएँ। जैसे कोई व्यक्ति ₹40 में 15 कॉपियाँ खरीदता है और 25% लाभ चाहता है। उसी रकम में अब उसे कम कॉपियाँ देनी होंगी। तो उसे ₹40 में 15 × $\frac{100}{125}$ = 12 कॉपियाँ बेचनी चाहिए।

x का वि.मू. = y का क्र.मू.

x वस्तुओं का वि.मू. y वस्तुओं के क्र.मू. के बराबर हो, तो लाभ या हानि % = $\frac{y - x}{x} \times 100$। यहाँ भाग हमेशा x से दीजिए, क्योंकि x वस्तुएँ ही बेची गई हैं।

जैसे 16 पेन का वि.मू. 20 पेन के क्र.मू. के बराबर है। 16 पेन बेचकर 20 पेन जितने रुपये मिले, तो 4 पेन जितना लाभ हुआ। लाभ = $\frac{4}{16}$ = 25%। इसी तरह 25 वस्तुओं का वि.मू. 20 वस्तुओं के क्र.मू. के बराबर हो, तो हानि $\frac{5}{25}$ = 20% होगी।

कुछ वस्तुओं के वि.मू. या क्र.मू. जितना लाभ

कभी कहा जाता है कि n वस्तुएँ बेचकर m वस्तुओं के मूल्य जितना लाभ हुआ। यहाँ ध्यान से देखिए कि बात m वस्तुओं के वि.मू. की है या क्र.मू. की।

• लाभ m वस्तुओं के वि.मू. जितना हो, तो लाभ % = $\frac{m}{n - m} \times 100$। जैसे 33 वस्तुएँ बेचकर 11 के वि.मू. जितना लाभ हुआ, तो लाभ $\frac{11}{22}$ है, यानी 50%।
• लाभ m वस्तुओं के क्र.मू. जितना हो, तो लाभ % = $\frac{m}{n} \times 100$। जैसे 40 बेचकर 6 के क्र.मू. जितना लाभ हुआ, तो 15% लाभ है।
• हानि m वस्तुओं के वि.मू. जितनी हो, तो हानि % = $\frac{m}{n + m} \times 100$।

इनमें तीन बातें और याद रखिए।

• भाग गलत संख्या से न दीजिए। पेन वाले उदाहरण में $\frac{4}{20}$ = 20% लिखना गलत है। आधार बेचे गए 16 पेन हैं।
• "11 के वि.मू. जितना लाभ" और "11 के क्र.मू. जितना लाभ" एक बात नहीं है। 33 वस्तुओं पर पहले में 50% लाभ होता है और दूसरे में $33\frac{1}{3}\%$।
• कुछ वस्तुएँ टूट जाएँ या मुफ़्त दी जाएँ, तो प्रति वस्तु दरें बदल जाती हैं। यह बर्बादी वाला प्रकार है, जो इसी खंड में आगे आएगा।

दो वस्तुएँ एक साथ बेचना

एक ही वि.मू., x% लाभ और x% हानि

दो वस्तुएँ एक ही मूल्य पर बिकती हैं। एक पर लाभ होता है और दूसरी पर उतने ही प्रतिशत की हानि। ऐसे में हमेशा $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि होती है।

जैसे दो फ़ोन में से हर एक ₹9,100 में बिका, एक 30% लाभ पर और दूसरा 30% हानि पर। हानि = $\frac{30^2}{100}$ = 9%।

रुपयों में देखें तो दोनों के क्र.मू. ₹7,000 और ₹13,000 थे। कुल ₹20,000 लगे और ₹18,200 वापस मिले, तो ₹1,800 की हानि हुई। यह हानि सीधे रुपयों में भी निकल आती है। कुल वि.मू. × $\frac{x^2}{100^2 - x^2}$ कीजिए। यहाँ 18,200 × $\frac{900}{9100}$ = ₹1,800 आता है।

एक ही वि.मू., अलग-अलग दरें

अब दोनों वस्तुएँ एक ही मूल्य पर बिकें, पर लाभ और हानि की दरें अलग हों। तब हर वस्तु का क्र.मू. उसके अपने गुणक से निकालिए, फिर कुल क्र.मू. और कुल वि.मू. की तुलना कीजिए। वि.मू. कोई ऐसी संख्या मानिए जिससे दोनों क्र.मू. पूरी संख्या में आएँ।

जैसे दो लैंप एक ही मूल्य पर बिके। एक पर 25% लाभ हुआ और दूसरे पर $16\frac{2}{3}\%$ हानि। हर लैंप का वि.मू. 30 मान लीजिए। पहले का क्र.मू. 30 × $\frac{4}{5}$ = 24 और दूसरे का 30 × $\frac{6}{5}$ = 36 हुआ। कुल 60 लगे और 60 ही मिले, तो न लाभ, न हानि।

एक ही क्र.मू., अलग-अलग दरें

दोनों वस्तुओं का क्र.मू. एक ही हो, तो कुल प्रतिशत दोनों दरों का सीधा औसत होता है। जैसे एक वस्तु 18% लाभ पर और दूसरी 6% हानि पर बिकी। तो (18 − 6) ÷ 2 = 6% लाभ।

यहाँ तीन गलतियाँ बहुत होती हैं।

• $\frac{x^2}{100}$ वाला नियम हर जगह लगा देना। इसके लिए वि.मू. एक होना और प्रतिशत एक होना, दोनों ज़रूरी हैं। क्र.मू. एक हो और उस पर x% लाभ और x% हानि हो, तो दोनों पूरी तरह कट जाते हैं।
• वि.मू. बराबर हों, क्र.मू. नहीं, फिर भी दरों का औसत ले लेना। लैंप वाले उदाहरण में 25 और $-16\frac{2}{3}$ का औसत लगभग 4.2% आता है, जबकि सही परिणाम 0 है।
• हानि % कुल वि.मू. पर निकालना। यह कुल क्र.मू. पर निकलता है। ₹1,800 तो ₹20,000 का 9% है, पर ₹18,200 का लगभग 9.89%।

माल के हिस्से, अलग-अलग दरें

व्यापारी कभी अपना माल हिस्सों में बेचता है, हर हिस्सा अलग लाभ या हानि की दर पर। फिर पूरे माल पर कुल प्रतिशत पूछा जाता है, या किसी एक हिस्से की दर।

ऐसे में कुल प्रतिशत सब दरों का भारित औसत (weighted average) होता है। हर हिस्से का भार उसका क्र.मू. है। हर इकाई का क्र.मू. बराबर हो, तो मात्रा को ही भार मान सकते हैं। हानि वाली दर ऋणात्मक लिखिए।

$$\text{कुल दर} = \frac{w_1 r_1 + w_2 r_2}{w_1 + w_2}$$

जैसे कोई व्यापारी अपने माल का $\frac{2}{5}$ भाग 15% लाभ पर बेचता है और बाकी 5% हानि पर। तो कुल दर = $\frac{2 \times 15 + 3 \times (-5)}{5}$ = 3% लाभ।

कभी कुल दर दी होती है और किसी एक हिस्से की दर पूछी जाती है। तब एक ओर हर हिस्से का भार × उसकी दर जोड़िए, और दूसरी ओर पूरे माल का भार × कुल दर रखिए। मान लीजिए एक पंसारी ने 80 किग्रा चीनी खरीदी और उसमें से 30 किग्रा 10% हानि पर बेच दी। पूरे माल पर उसे 15% लाभ चाहिए। बाकी 50 किग्रा कितने लाभ पर बेचे, यह निकालना है। 30 × (−10) + 50 × r = 80 × 15 लिखिए। इससे 50r = 1,200 + 300 = 1,500 और r = 30% आता है।

उलटा प्रश्न भी आता है। दरें और कुल प्रतिशत दिए हों और हिस्से पूछे जाएँ, तो एलीगेशन (alligation) क्रॉस से एक पंक्ति में उत्तर आ जाता है। इस क्रॉस को अध्याय 6 "मिश्रण और एलीगेशन" में विस्तार से समझाया गया है।

हानि वाला हिस्सा : लाभ वाला हिस्सा = (लाभ दर − कुल दर) : (कुल दर + हानि दर)

ऊपर वाले व्यापारी को ही लीजिए। 5% हानि, 15% लाभ और कुल 3% लाभ। तो (15 − 3) : (3 + 5) = 12 : 8 = 3 : 2। पहले उदाहरण में भी यही था, हानि वाला हिस्सा 3 और लाभ वाला 2।

यहाँ तीन गलतियों से बचिए।

• भार वि.मू. से लेना। भार हमेशा क्र.मू. से लिया जाता है। दो हिस्सों का क्र.मू. ₹6,000 और ₹4,000 हो, तो भार 3 : 2 ही रहेगा, चाहे वे कितने में भी बिकें।
• हर बार सीधा औसत ले लेना। सीधा औसत केवल बराबर हिस्सों पर चलता है। चीनी वाले उदाहरण में कोई (−10 + r) ÷ 2 = 15 लिखे, तो r = 40% आएगा, जो गलत है। 50 किग्रा वाले हिस्से का भार ज़्यादा है।
• किग्रा को भार मान लेना, जबकि हिस्सों में प्रति किग्रा क्र.मू. अलग-अलग हो। तब भार खर्च हुए रुपयों से लीजिए, किग्रा से नहीं।

[SSC टिप] कुल दर हमेशा हिस्सों की दरों के बीच में आती है, और बड़े हिस्से की दर के ज़्यादा पास रहती है। जो विकल्प इस दायरे से बाहर हो, उसे बिना हल किए हटा दीजिए।

क्र.मू. या वि.मू. बदल जाए तो इकाइयों में हिसाब

कुछ प्रश्न ऐसे होते हैं, "अगर वह x% सस्ते में खरीदता और ₹k कम (या अधिक) में बेचता, तो उसे y% लाभ होता।" या फिर क्र.मू. बढ़ जाता है और वि.मू. वही रहता है।

ऐसे में मूल क्र.मू. 100 इकाई मान लीजिए। असली वि.मू. और "यदि ऐसा होता" वाला वि.मू., दोनों इकाइयों में लिखिए। दोनों में जितनी इकाइयों का अंतर है, वही रुपयों का अंतर है। इससे एक इकाई का मान निकल आता है।

मान लीजिए कोई व्यक्ति पंखा 20% लाभ पर बेचता है। अगर वह इसे 10% सस्ते में खरीदता और ₹42 कम में बेचता, तो उसे 25% लाभ होता। पंखे का क्र.मू. निकालना है।

दोनों वि.मू. में 7.5 इकाई का अंतर है, और यही ₹42 है। तो एक इकाई = ₹5.60 और क्र.मू. = ₹560। जाँच भी कर लेते हैं। वि.मू. ₹672 था। "यदि ऐसा होता" में क्र.मू. ₹504 और वि.मू. ₹630 होता, जो 672 − 42 ही है।

क्र.मू. बढ़ा, वि.मू. वही

एक कमीज़ पर 45% लाभ होता है। फिर उसका क्र.मू. 16% बढ़ गया, पर वि.मू. नहीं बदला। क्र.मू. 100 मानें तो वि.मू. 145 है। नया क्र.मू. 116 हुआ, तो 116 पर 29 का लाभ है, यानी 25%।

दोनों में प्रतिशत बदलाव

किसी वस्तु पर 20% लाभ होता है। फिर क्र.मू. 10% घटा और वि.मू. 4% घटा। नया वि.मू. = 120 × 0.96 = 115.2 और नया क्र.मू. 90 है। गुणक 115.2 ÷ 90 = 1.28 आता है, तो अब लाभ 28% है।

इन प्रश्नों में तीन चूक बहुत होती हैं।

• नया लाभ % पुराने क्र.मू. पर निकालना। यह नए क्र.मू. पर निकलता है। कमीज़ वाले उदाहरण में 100 पर 29 लेकर 29% लिख देना गलत है।
• ₹42 को वि.मू. की जगह क्र.मू. पर लगा देना। ध्यान से पढ़िए कि रुपये किस मूल्य के बारे में कहे गए हैं।
• क्र.मू. 10% घटा, तो वि.मू. भी 10% घटा देना। वि.मू. उसी तरह बदलेगा जैसा प्रश्न में लिखा है। पंखे वाले प्रश्न में वह ₹42 कम हुआ है।

[SSC टिप] शुरुआत में इकाइयाँ ऐसी लीजिए कि दशमलव न आए। ज़्यादातर प्रश्नों में क्र.मू. = 100 ठीक रहता है। पर $16\frac{2}{3}\%$ या $33\frac{1}{3}\%$ दिखे, तो 60 या 300 से शुरू कीजिए।

मार्कअप और बट्टा, अं.मू. : क्र.मू.

किसी वस्तु पर क्र.मू. से m% अधिक मूल्य अंकित किया जाता है, और फिर उसे d% बट्टे (discount) पर बेचा जाता है। प्रश्न में लाभ या हानि का प्रतिशत पूछा जाता है। टियर 1 में यह प्रकार अक्सर आता है।

तरीका सीधा है। दोनों गुणकों का गुणा कर दीजिए। लाभ % यह होगा।

$$\frac{(100 + m)(100 - d)}{100} - 100$$

उत्तर ऋणात्मक आए, तो उतनी हानि हुई।

इसे दूसरे ढंग से भी लिख सकते हैं। अं.मू. : क्र.मू. = (100 + m) : 100, और वि.मू. = अं.मू. × $\frac{100 - d}{100}$।

जैसे क्र.मू. से 36% अधिक मूल्य अंकित किया और 15% बट्टा दिया। तो $\frac{136 \times 85}{100}$ − 100 = 115.6 − 100 = 15.6% लाभ।

अनुपात दिया हो, तब भी यही चलता है। मान लीजिए अं.मू. : क्र.मू. = 15 : 11 है और 12% बट्टा दिया गया। तो वि.मू. = 15 × 0.88 = 13.2 और क्र.मू. 11 है। 11 पर 2.2 का लाभ हुआ, यानी 20%।

उलटी दिशा में भी सोच सकते हैं। d% बट्टे के बाद भी p% लाभ हो, तो अं.मू. : क्र.मू. = (100 + p) : (100 − d)। जैसे 16% बट्टा देकर भी 5% लाभ हुआ, तो अं.मू. : क्र.मू. = 105 : 84 = 5 : 4। मतलब मूल्य क्र.मू. से 25% अधिक अंकित था।

मार्कअप और बट्टा दोनों भिन्न की तालिका वाले प्रतिशत हों, तो भिन्नें लगाइए। जैसे $33\frac{1}{3}\%$ अधिक मूल्य अंकित किया और 25% बट्टा दिया। तो $\frac{4}{3} \times \frac{3}{4}$ = 1, यानी न लाभ, न हानि।

तीन गलतियाँ यहाँ बार-बार दिखती हैं।

• दरें घटा देना। 36 − 15 = 21% वाला गलत विकल्प इस तरह के प्रश्नों का जाना-पहचाना जाल है। बट्टा बड़े अं.मू. पर लगता है, इसलिए उसकी रकम क्र.मू. के 15% से ज़्यादा होती है।
• यह भूल जाना कि बट्टा अं.मू. पर लगता है और लाभ क्र.मू. पर। बट्टे का प्रतिशत कभी क्र.मू. पर नहीं लगता।
• मार्कअप और बट्टा बराबर हों, तो न लाभ न हानि मान लेना। ऐसे में हमेशा हानि होती है। x% अधिक मूल्य अंकित करके x% बट्टा दिया, तो $\frac{x^2}{100}\%$ की हानि होगी। यह वही नियम है जो एक ही मूल्य पर बिकी दो वस्तुओं में लगा था।

लक्ष्य लाभ के लिए अं.मू.

कभी दुकानदार चाहता है कि d% बट्टा देने के बाद भी उसे p% लाभ हो। प्रश्न पूछता है कि वह अं.मू. कितना रखे, या क्र.मू. से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करे।

$$\text{अं.मू.} = \text{क्र.मू.} \times \frac{100 + p}{100 - d}$$

मार्कअप % चाहिए, तो $\frac{100 + p}{100 - d} \times 100 - 100$ कीजिए।

जैसे किसी वस्तु का क्र.मू. ₹1,800 है और दुकानदार 25% बट्टा देकर भी 20% लाभ चाहता है। अं.मू. = 1,800 × $\frac{120}{75}$ = ₹2,880, यानी 60% मार्कअप। जाँच कर लीजिए। ₹2,880 पर 25% बट्टा देने से ₹2,160 मिलते हैं, और 1,800 × 1.2 भी ₹2,160 ही है।

एक और उदाहरण लीजिए। 28% बट्टे के बाद 8% लाभ चाहिए, तो गुणक $\frac{108}{72}$ = 1.5 है। मतलब मूल्य क्र.मू. से 50% अधिक अंकित करना होगा।

बट्टा = लाभ

कभी प्रश्न कहता है कि बट्टा और लाभ बराबर हैं। पहले देखिए कि वे रुपयों में बराबर हैं या प्रतिशत में।

• रुपयों में बराबर: तब वि.मू. क्र.मू. और अं.मू. के ठीक बीच में होता है। जैसे क्र.मू. ₹1,600 और अं.मू. ₹2,400 है, तो वि.मू. ₹2,000 होगा। यहाँ बट्टा $16\frac{2}{3}\%$ है और लाभ 25%। दोनों रकमें ₹400 की हैं, पर प्रतिशत बराबर नहीं हैं।
• प्रतिशत में बराबर: साझी दर r मान लीजिए। तब अं.मू. : क्र.मू. = (100 + r) : (100 − r)। जैसे अं.मू. : क्र.मू. = 9 : 7 है, तो 7(100 + r) = 9(100 − r)। इससे 16r = 200 और r = 12.5% आता है।

दो गलतियों से बचिए।

• दरें जोड़ देना। पहले उदाहरण में 20 + 25 = 45% मार्कअप कम पड़ता है। 1.45 × 0.75 = 1.0875, यानी लाभ केवल 8.75% होगा।
• (100 − d) की जगह (100 + d) से भाग देना। तब 1,800 × $\frac{120}{125}$ = ₹1,728 आता है, जो क्र.मू. से भी कम है। लाभ वाले प्रश्न में ऐसा हो ही नहीं सकता।

[SSC टिप] "क्र.मू. से कितने प्रतिशत अधिक मूल्य अंकित करे" पूछा हो, तो मार्कअप % चाहिए, जो अं.मू. ÷ क्र.मू. − 1 है। "कितना मूल्य अंकित करे" पूछा हो, तो अं.मू. रुपयों में चाहिए। विकल्पों में अक्सर दोनों होते हैं, इसलिए प्रश्न की आख़िरी पंक्ति दो बार पढ़िए।

क्रमिक बट्टा और ऑफ़रों की तुलना

जब एक के बाद एक दो या तीन बट्टे दिए जाएँ, तो उन्हें क्रमिक बट्टा (successive discounts) कहते हैं। प्रश्न में इनका समतुल्य एकल बट्टा (single equivalent discount) पूछा जाता है, या दो ऑफ़रों की तुलना करवाई जाती है।

दो बट्टों के लिए यह सूत्र है।

$$d = d_1 + d_2 - \frac{d_1 d_2}{100}$$

तीन बट्टे हों, तो हर बट्टे के बाद जितना चुकाना पड़ता है, वह भिन्न लीजिए और सबका गुणा कर दीजिए। ग्राहक अं.मू. का $\frac{100 - d_1}{100} \times \frac{100 - d_2}{100} \times \frac{100 - d_3}{100}$ चुकाता है। बट्टे किस क्रम में दिए गए, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

जैसे 30% और 12% के क्रमिक बट्टे हैं। तो 30 + 12 − 3.6 = 38.4%।

10%, 20% और 25% के तीन बट्टे हों, तो ग्राहक 0.9 × 0.8 × 0.75 = 0.54 चुकाता है, यानी अं.मू. का 0.54। एकल बट्टा 46% हुआ।

तीनों बट्टे बराबर हों, तो चुकाने वाली भिन्न का घन ले लीजिए। तीन बार 25% बट्टा मिले, तो अं.मू. का $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ चुकाना पड़ता है, जो लगभग 0.42 है। मतलब बट्टा लगभग 57.8% है, जो 75% से बहुत कम है।

अब दो ऑफ़रों की तुलना देखिए। ₹6,500 के एक कूलर पर दो ऑफ़र हैं। पहले में 34% बट्टा है, और दूसरे में पहले 30% और फिर 5%। दूसरे ऑफ़र के दोनों बट्टे मिलाकर 30 + 5 − 1.5 = 33.5% होते हैं। तो 34% वाला ऑफ़र बेहतर है। दोनों में अं.मू. के 0.5% का फ़र्क है, यानी ₹32.50 का। जाँच के लिए दोनों रकमें देख लीजिए, ₹4,290 और ₹4,322.50।

कभी दूसरा बट्टा पूछा जाता है। मान लीजिए 30% के बाद ऐसा बट्टा देना है कि कुल मिलाकर 44% का एकल बट्टा हो जाए। ग्राहक को अं.मू. का 0.56 चुकाना है, और 0.56 = 0.7 × (दूसरी चुकाने वाली भिन्न)। तो दूसरी भिन्न 0.8 है, और दूसरा बट्टा 20%।

यहाँ तीन गलतियाँ आम हैं।

• बट्टे जोड़ देना। 30% + 12% = 42% लगभग हमेशा एक गलत विकल्प के रूप में दिया होता है। क्रमिक बट्टे मिलकर हमेशा अपने जोड़ से कम होते हैं।
• दूसरा बट्टा अं.मू. पर लगा देना। दूसरा बट्टा पहले बट्टे के बाद बचे मूल्य पर लगता है।
• वृद्धि और फिर उतनी ही कमी को शून्य मान लेना। 10% वृद्धि के बाद 10% बट्टा हो, तो वही सूत्र +10 और −10 के साथ लगाइए। कुल 1% की गिरावट आती है।

x खरीदें, y मुफ़्त

दुकानों पर "5 खरीदें, 1 मुफ़्त" या "6 खरीदें, 2 मुफ़्त" जैसे ऑफ़र दिखते हैं। प्रश्नों में भी ये आते हैं, कभी अकेले और कभी बट्टे या मार्कअप के साथ। इसे x खरीदें, y मुफ़्त (buy x get y free) वाला ऑफ़र कहते हैं।

यहाँ ग्राहक x + y वस्तुएँ ले जाता है, पर दाम केवल x का देता है। तो उसे $\frac{y}{x + y}$ का बट्टा मिला। इसे प्रतिशत में बदल लीजिए।

"5 खरीदें, 1 मुफ़्त" में बट्टा $\frac{1}{6}$ है, यानी $16\frac{2}{3}\%$। "6 खरीदें, 2 मुफ़्त" में $\frac{2}{8}$, यानी 25% बट्टा।

साथ में बिल पर बट्टा भी हो, तो चुकाने वाली भिन्नों का गुणा कीजिए। "6 खरीदें, 2 मुफ़्त" में ग्राहक $\frac{3}{4}$ चुकाता है। बिल पर 4% बट्टा और मिले, तो बिल का 0.96 चुकाना है। दोनों का गुणा 0.72 है, तो कुल 28% बट्टा मिला।

मार्कअप के साथ लाभ भी निकल आता है। मान लीजिए क्र.मू. से 35% अधिक मूल्य अंकित है और "8 खरीदें, 1 मुफ़्त" का ऑफ़र है। तो 9 वस्तुओं का वि.मू. 8 वस्तुओं के अं.मू. के बराबर हुआ। हर वस्तु क्र.मू. के 1.35 × $\frac{8}{9}$ = 1.2 गुना में बिकी, यानी 20% लाभ।

"1 मुफ़्त" सुनने में भले बड़ा लगे, पर यह हमेशा फ़ायदे का सौदा नहीं होता। "6 खरीदें, 1 मुफ़्त" में बट्टा केवल $\frac{1}{7}$ है, यानी $14\frac{2}{7}\%$। इससे सीधा 15% बट्टा बेहतर है।

सूत्र उलटा चलाकर मुफ़्त वस्तुओं की संख्या भी निकाल सकते हैं। "8 खरीदें" पर 20% बट्टा देना हो, तो 2 वस्तुएँ मुफ़्त देनी होंगी, क्योंकि $\frac{2}{8 + 2}$ = 20%।

इन तीन बातों में गलती होती है।

• x + y की जगह केवल x से भाग देना। "5 खरीदें, 1 मुफ़्त" में बट्टा 20% नहीं है। मुफ़्त वाली वस्तु ली गई 6 वस्तुओं में से 1 है।
• "ग्राहक को मिला बट्टा" और "दुकानदार का लाभ" को एक समझ लेना। देखिए कि प्रश्न इनमें से कौन-सा माँग रहा है।
• "2 खरीदें, तीसरी आधे दाम पर" को भी इसी तरह हल करना। यह अलग सौदा है। यहाँ 3 वस्तुओं में से 2.5 का दाम लगता है, तो बट्टा $16\frac{2}{3}\%$ है।

झूठे बाट और माप

कुछ व्यापारी जितना बताते हैं, उससे कम माल देते हैं। हल्का बाट रख लेते हैं, या छोटा मीटर। इसे झूठा बाट (false weight) कहते हैं। कभी इसके साथ लाभ, हानि या बट्टा भी दिया होता है।

व्यापारी क्र.मू. पर ही बेचता हो, तो उसका लाभ इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{लाभ} = \frac{\text{त्रुटि}}{\text{वास्तविक मान} - \text{त्रुटि}} \times 100$$

जैसे वह 1 किग्रा कहकर 980 ग्राम देता है। त्रुटि 20 ग्राम की है, तो लाभ $\frac{20}{980}$ = $2\frac{2}{49}\%$।

इसी तरह कोई 96 सेमी को ही "मीटर" बताकर कपड़ा नापे, तो लाभ $\frac{4}{96}$ = $4\frac{1}{6}\%$ होगा।

लाभ या बट्टे के साथ गुणकों का गुणा

बाट के साथ मूल्य भी बदला गया हो, तो दोनों गुणकों का गुणा कीजिए।

लाभ का गुणक = मूल्य का गुणक × $\frac{\text{वास्तविक भार}}{\text{दिया गया भार}}$

जैसे कोई पंसारी क्र.मू. से 4% अधिक लेता है और 1 किग्रा की जगह 960 ग्राम देता है। तो 1.04 × $\frac{1000}{960}$ = 1.04 × $\frac{25}{24}$ = $\frac{13}{12}$, यानी लाभ $8\frac{1}{3}\%$।

मार्कअप और बट्टा हो, तब भी यही चलता है। क्र.मू. से 50% अधिक मूल्य अंकित किया, 20% बट्टा दिया, और 750 ग्राम का बाट रखा। तो 1.5 × 0.8 × $\frac{1000}{750}$ = 1.2 × $\frac{4}{3}$ = 1.6, मतलब 60% लाभ।

व्यापारी x% कम तौले और y% अधिक मूल्य ले, तो गुणक $\frac{100 + y}{100 - x}$ है। जैसे 15% कम तौले और 2% अधिक मूल्य ले, तो $\frac{102}{85}$ = 1.2, यानी 20% लाभ।

कुछ व्यापारी दोनों ओर बेईमानी करते हैं। मान लीजिए खरीदते समय वह 25% अधिक माल ले लेता है और बेचते समय 25% कम तौलता है। तो हर 1 किग्रा के दाम में उसे 1.25 किग्रा माल मिल जाता है। बेचते समय वह 0.75 किग्रा देकर 1 किग्रा का दाम लेता है। गुणक $\frac{1.25}{0.75} = \frac{5}{3}$ हुआ, तो क्र.मू. पर बेचकर भी उसे $66\frac{2}{3}\%$ लाभ होता है।

हानि पर बेचने वाला व्यापारी भी बाट से लाभ कमा सकता है। वह 6% हानि पर बेचे और 800 ग्राम का बाट रखे, तो 0.94 × $\frac{1000}{800}$ = 0.94 × 1.25 = 1.175, यानी 17.5% लाभ।

यहाँ तीन गलतियाँ आम हैं।

• वास्तविक भार से भाग देना। $\frac{20}{1000}$ = 2% लिखना गलत है। व्यापारी की लागत तो केवल उन 980 ग्राम की है, जो वह सच में देता है।
• "15% कम तौलता है" को 15% लाभ मान लेना। सही लाभ $\frac{15}{85}$ = $17\frac{11}{17}\%$ है।
• अलग-अलग हिस्सों का लाभ जोड़ देना। 4% अधिक मूल्य और 960 ग्राम के बाट से 4% + $4\frac{1}{6}\%$ = $8\frac{1}{6}\%$ नहीं होता। गुणकों का गुणा करने पर $8\frac{1}{3}\%$ आता है।

लेन-देन की कड़ी, कमीशन और बर्बादी

क्रमिक लेन-देन

A कोई वस्तु B को लाभ या हानि पर बेचता है, फिर B उसे C को बेचता है, और आगे भी ऐसे ही चलता है। इसे क्रमिक लेन-देन (successive transactions) कहते हैं। इसमें सबके गुणकों का गुणा कीजिए। आगे वाले का मूल्य चाहिए तो गुणा करते जाइए। पीछे लौटकर पहले वाले का क्र.मू. चाहिए तो भाग दीजिए।

जैसे A ने एक बाइक B को 25% लाभ पर बेची, और B ने उसे C को 12% लाभ पर। C ने ₹35,000 चुकाए। A का क्र.मू. = 35,000 ÷ (1.25 × 1.12) = 35,000 ÷ 1.4 = ₹25,000।

कड़ी में हानि भी हो सकती है। A से B को 25% लाभ पर और B से C को 20% हानि पर बिका, तो 1.25 × 0.8 = 1 आता है। मतलब C ने ठीक उतना चुकाया जितना A ने दिया था।

एक कदम पर जितना प्रतिशत लाभ हो और अगले पर उतनी ही हानि, तो अंत में हमेशा हानि होती है। 10% लाभ के बाद 10% हानि हो, तो 0.99 ही बचता है।

कमीशन

एजेंट वि.मू. का c% कमीशन लेता है, तो मालिक के पास वि.मू. × $\frac{100 - c}{100}$ पहुँचता है। कमीशन देकर भी p% लाभ चाहिए, तो वि.मू. = क्र.मू. × $\frac{100 + p}{100 - c}$ रखिए। यह ठीक बट्टे वाला ही रूप है।

जैसे क्र.मू. ₹8,000 है, लाभ 14% चाहिए और एजेंट 5% कमीशन लेता है। वि.मू. = 8,000 × $\frac{114}{95}$ = ₹9,600।

बर्बादी

कभी माल का कुछ भाग सड़ जाता है, टूट जाता है या खो जाता है। इसे बर्बादी (wastage) कहते हैं। फिर भी व्यापारी बचे हुए माल से अपना लक्ष्य लाभ कमाना चाहता है। तब लक्ष्य लाभ पूरी लागत पर लगाइए। जितना कुल वि.मू. चाहिए, उसे बचे हुए माल से भाग दीजिए।

प्रति इकाई वि.मू. सीधे भी निकल सकता है। वि.मू. = प्रति इकाई क्र.मू. × $\frac{100 + p}{100 - w}$, जहाँ w बर्बाद हुए माल का प्रतिशत है।

जैसे किसी ने ₹25 प्रति किग्रा के भाव से 160 किग्रा आलू खरीदे, और उनमें से 20% सड़ गए। पूरे सौदे पर 20% लाभ चाहिए। कुल लागत ₹4,000 है, तो 4,000 × 1.2 = ₹4,800 चाहिए। यह रकम बचे हुए 128 किग्रा से निकालनी है, तो आलू ₹37.50 प्रति किग्रा के भाव से बेचने होंगे। एक पंक्ति में 25 × $\frac{120}{80}$ = 37.5।

तीन गलतियों से बचिए।

• कड़ी में दरें जोड़ देना। 25% + 12% = 37% गलत है। 1.25 × 1.12 = 1.4 आता है, यानी 40%।
• पीछे लौटते समय घटाना। ₹35,000 में से 40% घटाकर ₹21,000 लिखना गलत है। सही तरीका 1.4 से भाग देना है।
• बर्बादी वाले प्रश्न में ₹4,800 को पूरे 160 किग्रा पर बाँट देना। इससे ₹30 प्रति किग्रा आता है, मानो कोई आलू सड़ा ही न हो।

विकल्प हटाना

हिसाब शुरू करने से पहले एक नज़र विकल्पों पर डाल लीजिए। कभी-कभी अकेले इसी से उत्तर तय हो जाता है। विकल्पों पर ये चार जाँचें कीजिए।

• दिशा: लाभ हुआ है तो वि.मू. क्र.मू. से ऊपर होगा। बट्टा मिला है तो वि.मू. अं.मू. से नीचे होगा। जो विकल्प इससे उलटा हो, उसे हटा दीजिए।
• सीमा: m% मार्कअप पर कोई भी बट्टा दिया जाए, लाभ m% से कम ही रहेगा। क्रमिक बट्टे मिलकर अपने जोड़ से कम होते हैं। एक ही वि.मू. पर x% लाभ और x% हानि हो, तो हमेशा हानि होती है।
• बीच में: एक लाभ वाले और एक हानि वाले मूल्य से निकला क्र.मू. दोनों मूल्यों के बीच में होगा। माल के हिस्सों पर कुल दर भी हिस्सों की दरों के बीच में ही होगी।
• झूठा बाट: 1 किग्रा की जगह 900 ग्राम दिया जाए, तो लाभ 10% से अधिक होगा, ठीक 10% कभी नहीं।

जैसे क्र.मू. से 30% अधिक मूल्य अंकित किया और 12% बट्टा दिया। लाभ के विकल्प हैं (a) 18% (b) 14.4% (c) 42% (d) 26.4%। लाभ 30% से कम होना चाहिए, तो (c) तुरंत हट गया। (a) 30 − 12 करके बना है, यानी दरें घटाने वाला जाल। (d) में बट्टा केवल मार्कअप पर लगा दिया है, यानी 30 × 0.88। अब 1.3 × 0.88 = 1.144 है, तो उत्तर (b) 14.4% है।

एक और उदाहरण देखिए। 18% और 10% के क्रमिक बट्टे किस एकल बट्टे के बराबर हैं? विकल्प हैं (a) 28% (b) 26.2% (c) 29.8% (d) 25.2%। दोनों का जोड़ 28% है, तो (a) और (c) तुरंत हट गए। 18 + 10 − 1.8 = 26.2, तो उत्तर (b) है।

दो बातें याद रखिए।

• कभी इन जाँचों से एक भी विकल्प नहीं हटता। तब पूरा हल करना ही पड़ेगा।
• मार्कअप वाली सीमा केवल सीधे मार्कअप और बट्टे पर लागू होती है। ऊपर से झूठा बाट भी हो, तो लाभ मार्कअप से भी ज़्यादा हो सकता है।

[SSC टिप] जाल वाले विकल्प ज़्यादातर किसी एक चूक से बनते हैं। जैसे गुणा करने की जगह दरें जोड़ या घटा देना, गलत आधार से भाग देना (क्र.मू. की जगह वि.मू. से, या झूठे भार की जगह वास्तविक भार से), या मुफ़्त या बर्बाद हुई वस्तुओं को भूल जाना। आपका उत्तर ऐसी किसी चूक से बनने वाले मान से मिल जाए, तो निशान लगाने से पहले वह कदम एक बार फिर देख लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करते हैं। हर प्रश्न को तेज़ तरीके से करेंगे, और अंत में देखेंगे कि उसमें लगभग कितना समय लगना चाहिए।

प्रश्न 1

एक साइकिल $16\frac{2}{3}\%$ लाभ पर ₹4,760 में बेची जाती है। उसका क्रय मूल्य कितना था?

उत्तर: $16\frac{2}{3}\%$ मतलब $\frac{1}{6}$, तो वि.मू. क्र.मू. का $\frac{7}{6}$ है। हमें पीछे जाना है, तो गुणक पलट देते हैं। क्र.मू. = 4,760 × $\frac{6}{7}$ = ₹4,080। कई लोग ₹4,760 में से ही $\frac{1}{6}$ घटाकर लगभग ₹3,966.67 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि लाभ क्र.मू. पर लगा था। पूरा हल करीब 10 सेकंड का है।

प्रश्न 2

एक व्यापारी ₹1,400 में खरीदे गए एक बैग को बेचकर विक्रय मूल्य पर 12.5% लाभ कमाता है। बैग का विक्रय मूल्य तथा क्रय मूल्य पर उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ लाभ वि.मू. पर दिया है। 12.5% मतलब $\frac{1}{8}$, तो वि.मू. 8 इकाई मान लेते हैं। लाभ 1 इकाई हुआ और क्र.मू. 7 इकाई। ये 7 इकाई ₹1,400 हैं, तो 1 इकाई = ₹200। वि.मू. = ₹1,600, और क्र.मू. पर लाभ $\frac{1}{7}$ है, यानी $14\frac{2}{7}\%$। इतना करने में लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

एक मेज़ 8% हानि पर बेची जाती है। यदि उसे ₹399 अधिक में बेचा जाता, तो 13% लाभ होता। मेज़ का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 8% हानि और 13% लाभ में क्र.मू. के 8% + 13% = 21% का फ़र्क है, और यही ₹399 है। तो 1% = ₹19 और क्र.मू. = ₹1,900। जाँच भी कर लेते हैं। वि.मू. ₹1,748 था, और 1,748 + 399 = 2,147, जो 1,900 × 1.13 के बराबर है। यह 12 सेकंड के आसपास का काम है।

प्रश्न 4

एक विक्रेता ₹40 में 12 के भाव से केले खरीदता है और ₹45 में 10 के भाव से बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12 और 10 का ल.स. 60 है, तो 60 केलों का हिसाब करते हैं। इनका क्र.मू. 5 × 40 = ₹200 और वि.मू. 6 × 45 = ₹270 है। 200 पर 70 का लाभ हुआ, यानी 35%। एक पंक्ति में करें तो $\frac{45 \times 12}{40 \times 10} = \frac{540}{400}$ = 1.35, मतलब वही 35%। करीब 15 सेकंड में यह हो जाता है।

प्रश्न 5

21 कॉपियों का क्रय मूल्य 28 कॉपियों के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 28 कॉपियाँ बेचकर केवल 21 कॉपियों का क्र.मू. वापस मिला। मतलब 7 कॉपियों जितनी हानि हुई। भाग बेची गई 28 कॉपियों से देना है, तो $\frac{7}{28}$ = 25% हानि। यह करीब 8 सेकंड में निकल आता है।

प्रश्न 6

दो पंखों में से प्रत्येक ₹3,150 में बेचा जाता है, एक 12.5% लाभ पर और दूसरा 12.5% हानि पर। रुपयों में कुल लाभ या हानि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों का वि.मू. एक है और प्रतिशत भी एक, तो कुल क्र.मू. पर $\frac{12.5^2}{100}$ = 1.5625% की हानि होगी। पर हानि रुपयों में चाहिए, तो दोनों क्र.मू. गुणक से निकाल लेते हैं। पहला 3,150 × $\frac{8}{9}$ = ₹2,800 और दूसरा 3,150 × $\frac{8}{7}$ = ₹3,600। कुल क्र.मू. ₹6,400 और कुल वि.मू. ₹6,300 है, तो ₹100 की हानि हुई। हल में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 7

एक व्यापारी 150 किग्रा चावल खरीदता है और उसमें से 60 किग्रा 6% हानि पर बेचता है। पूरे सौदे पर 12% लाभ कमाने के लिए उसे शेष चावल कितने प्रतिशत लाभ पर बेचना होगा?

उत्तर: किग्रा को भार मानकर दोनों ओर का हिसाब बराबर करते हैं। 60 × (−6) + 90 × r = 150 × 12। इससे 90r = 1,800 + 360 = 2,160, और r = 24%। कोई सीधा औसत ले, यानी (−6 + r) ÷ 2 = 12 लिखे, तो 30% आएगा। यह गलत है, क्योंकि 90 किग्रा वाला दूसरा हिस्सा बड़ा है और उसका भार ज़्यादा है। इसमें करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 8

एक व्यक्ति एक कुर्सी 30% लाभ पर बेचता है। यदि उसने उसे 10% सस्ते में खरीदा होता और ₹62 कम में बेचा होता, तो उसे 40% लाभ होता। कुर्सी का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: क्र.मू. 100 इकाई मान लेते हैं, तो वि.मू. 130 हुआ। अगर ऐसा होता, तो क्र.मू. 90 और वि.मू. 90 × 1.4 = 126 होता। दोनों वि.मू. में 4 इकाई का अंतर है, जो ₹62 के बराबर है। तो 1 इकाई = ₹15.50 और क्र.मू. = ₹1,550। जाँच भी कर लेते हैं। वि.मू. ₹2,015 था, और "यदि ऐसा होता" वाला वि.मू. 1,395 × 1.4 = ₹1,953 है, जो 2,015 − 62 के बराबर है। यह प्रश्न लगभग 25 सेकंड का है।

प्रश्न 9

एक दुकानदार एक साड़ी पर क्रय मूल्य से 37.5% अधिक मूल्य अंकित करता है और 20% बट्टा देता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 37.5% मतलब $\frac{3}{8}$, तो अं.मू. क्र.मू. का $\frac{11}{8}$ है। 20% बट्टे के बाद उसका $\frac{4}{5}$ बचता है। अब $\frac{11}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{11}{10}$, तो लाभ 10% है। यह 8 सेकंड के आसपास हो जाता है।

प्रश्न 10

एक व्यापारी ₹22,400 में एक टीवी खरीदता है। वह 12.5% बट्टा देने के बाद भी 25% लाभ चाहता है। उसे टीवी पर कितना मूल्य अंकित करना चाहिए?

उत्तर: लक्ष्य लाभ वाला सूत्र लगाते हैं। अं.मू. = 22,400 × $\frac{125}{87.5}$ = 22,400 × $\frac{10}{7}$ = ₹32,000। जाँच कर लेते हैं। ₹32,000 पर 12.5% बट्टा देने से ₹28,000 बचते हैं, और 22,400 × 1.25 भी ₹28,000 ही है। पूरे हल में 15 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 11

₹8,000 के एक सोफ़े पर खरीदार के लिए कौन-सा ऑफ़र बेहतर है: 40% का एकल बट्टा, या 30%, 10% और 5% के क्रमिक बट्टे? दोनों में कितने रुपये का अंतर है?

उत्तर: तीनों बट्टों के बाद खरीदार 0.7 × 0.9 × 0.95 = 0.5985 चुकाता है, यानी ₹8,000 का 0.5985, जो ₹4,788 है। एकल 40% बट्टे में ₹4,800 चुकाने पड़ते हैं। तो तीन बट्टों वाला ऑफ़र ₹12 से बेहतर है, और उसका समतुल्य एकल बट्टा 40.15% है। तीनों बट्टों का जोड़ 45% है, जो 40% से काफ़ी ऊपर है, फिर भी फ़र्क बहुत थोड़ा निकला। अगर तीनों का जोड़ ठीक 40% होता, तो एकल बट्टा ही बेहतर रहता, क्योंकि क्रमिक बट्टे हमेशा अपने जोड़ से कम पड़ते हैं। इस प्रश्न में करीब 25 सेकंड लग जाते हैं।

प्रश्न 12

एक दुकान अपने माल पर क्रय मूल्य से 44% अधिक मूल्य अंकित करती है, "5 खरीदें, 1 मुफ़्त" का ऑफ़र देती है, और फिर बिल पर 6% बट्टा देती है। लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों गुणकों का गुणा करना है। "5 खरीदें, 1 मुफ़्त" में ग्राहक 6 में से 5 का दाम देता है, तो 1.44 × $\frac{5}{6}$ = 1.2। फिर बिल पर 6% बट्टा है, तो 1.2 × 0.94 = 1.128। यानी 12.8% लाभ। यह लगभग 12 सेकंड का हिसाब है।

प्रश्न 13

एक पंसारी अपने माल पर क्रय मूल्य से 30% अधिक मूल्य अंकित करता है, 3% बट्टा देता है, और 1 किग्रा के स्थान पर 970 ग्राम के बाट का प्रयोग करता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गुणक = 1.3 × 0.97 × $\frac{1000}{970}$। यहाँ 0.97 और $\frac{1000}{970}$ आपस में कट जाते हैं, तो गुणक केवल 1.3 बचता है और लाभ 30% है। बट्टे में जितना दिया, बाट से ठीक उतना वापस आ गया। यह करीब 12 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 14

A एक स्कूटर B को 10% हानि पर बेचता है, B उसे C को 20% लाभ पर, और C उसे D को 12.5% लाभ पर बेचता है। D उसके लिए ₹72,900 चुकाता है। A ने स्कूटर कितने में खरीदा था?

उत्तर: पूरी कड़ी का गुणक 0.9 × 1.2 × 1.125 = 1.215 है। A का क्र.मू. निकालने के लिए इससे भाग देते हैं। 72,900 ÷ 1.215 = ₹60,000। कुछ लोग दरें जोड़कर −10 + 20 + 12.5 = 22.5% की वृद्धि मान लेते हैं और लगभग ₹59,510 लिख देते हैं, जो गलत है। हल करने में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 15

एक दुकानदार ₹6 प्रति अंडे की दर से 200 अंडे खरीदता है, और उनमें से 10% टूट जाते हैं। पूरे सौदे पर 35% लाभ कमाने के लिए उसे शेष प्रत्येक अंडा किस मूल्य पर बेचना होगा?

उत्तर: बर्बादी वाला सूत्र सीधे लगाते हैं। प्रति अंडा वि.मू. = 6 × $\frac{135}{90}$ = ₹9। पूरा हिसाब करके भी देख लेते हैं। लागत ₹1,200 है और लक्ष्य ₹1,620। यह रकम बचे हुए 180 अंडों से आनी है, तो हर अंडा ₹9 का। ₹1,620 को पूरे 200 अंडों पर बाँटकर ₹8.10 लिखना गलत है, क्योंकि टूटे अंडे बिकेंगे ही नहीं। करीब 12 सेकंड में यह प्रश्न निपट जाता है।