समानुपात और विचरण

समानुपात: बाह्य और मध्य पद

जब दो अनुपात बराबर हों, तो कहते हैं कि वे चारों संख्याएँ समानुपात में (in proportion) हैं। a : b = c : d हो, तो इसे ऐसे लिखते हैं।

$$a : b :: c : d$$

इसे ऐसे पढ़ते हैं, "a का b से वही अनुपात है, जो c का d से है।" बाहर वाले दो पद a और d को बाह्य पद (extremes) कहते हैं, और बीच वाले दो पद b और c को मध्य पद (means)।

पहचानने की कसौटी। चार संख्याएँ तभी समानुपात में होती हैं, जब

$$\text{बाह्य पदों का गुणनफल} = \text{मध्य पदों का गुणनफल}, \quad ad = bc$$

इसमें कुछ नया नहीं है। $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ में तिरछा गुणा कीजिए, यही मिलता है।

• 3, 8, 12, 32 लीजिए। 3 × 32 = 96 और 8 × 12 = 96, तो ये समानुपात में हैं।
• 4, 9, 6, 15 में 4 × 15 = 60 है, पर 9 × 6 = 54, तो ये समानुपात में नहीं हैं।

क्रम का ध्यान रखिए। 2, 5, 4, 10 समानुपात में हैं, क्योंकि 2 × 10 = 5 × 4। पर यही संख्याएँ 2, 5, 10, 4 के क्रम में हों, तो समानुपात में नहीं हैं, क्योंकि 2 × 4 = 8 जबकि 5 × 10 = 50। प्रश्न में लिखा हो कि "a, b, c, d समानुपात में हैं", तो इसका मतलब a : b = c : d ही है, ठीक इसी क्रम में।

लुप्त पद निकालना। तिरछा गुणा कीजिए और जो समीकरण मिले, उसे हल कर लीजिए।

• x : 12 :: 15 : 36 में 36x = 180 आता है, तो x = 5।
• (x − 1) : (x + 5) :: 1 : 3 में 3x − 3 = x + 5 आता है, तो x = 4। जाँच कर लीजिए, 3 : 9 = 1 : 3 ही है।

इकाइयाँ। a : b :: c : d में a और b एक ही तरह की राशियाँ होनी चाहिए, और c और d भी। पर दोनों जोड़े अलग-अलग चीज़ों के हो सकते हैं। जैसे "5 किग्रा : 8 किग्रा :: ₹300 : ₹480" बिल्कुल सही समानुपात है। ऐकिक विधि भी इसी पर चलती है। 5 किग्रा चावल ₹300 का है, तो 8 किग्रा चावल 300 × $\frac{8}{5}$ = ₹480 का होगा।

अनुपात और समानुपात का फ़र्क। अनुपात दो राशियों की तुलना है। समानुपात का मतलब है कि दो अनुपात बराबर हैं। 3 : 4 एक अनुपात है, जबकि 3 : 4 :: 15 : 20 एक समानुपात है।

दो सीधे नतीजे। a : b :: c : d हो, तो मध्य पद आपस में जगह बदल सकते हैं। मतलब a : c :: b : d भी सही है। दोनों ओर के अनुपात उलट दें, तब भी समानुपात बना रहता है, यानी b : a :: d : c भी सही है। ऐसे और नियम आगे "समानुपात के गुण" वाले भाग में देखेंगे।

मुख्य बात: a : b :: c : d का मतलब है ad = bc। आगे आने वाले सारे अनुपाती पद और योगांतरानुपात (componendo and dividendo), सब इसी एक बात से निकलते हैं।

चतुर्थानुपाती, तृतीयानुपाती, मध्यानुपाती

ये तीनों पद सीधे a : b :: c : d से निकलते हैं, और CGL में अक्सर पूछे जाते हैं।

चतुर्थानुपाती। 4, 10 और 6 का चतुर्थानुपाती x = $\frac{10 \times 6}{4}$ = 15 है। जाँच कर लीजिए, 4 : 10 और 6 : 15 दोनों 2 : 5 हैं।

तृतीयानुपाती। 9 और 15 का तृतीयानुपाती x = $\frac{15^2}{9} = \frac{225}{9}$ = 25 है। इसमें दूसरी संख्या दो बार काम आती है, इसलिए 9, 15, 25 में हर संख्या पिछली संख्या की $\frac{5}{3}$ गुना है।

मध्यानुपाती। 6 और 24 का मध्यानुपाती x = $\sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144}$ = 12 है। जाँच के लिए 6 : 12 और 12 : 24 देखिए, दोनों 1 : 2 हैं। मध्यानुपाती असल में दोनों संख्याओं का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) होता है, और यह हमेशा उन दोनों के बीच में रहता है।

क्रम ज़रूरी है। चतुर्थानुपाती और तृतीयानुपाती में संख्याओं का क्रम बदलते ही उत्तर बदल जाता है। 9 और 15 का तृतीयानुपाती 25 है, पर 15 और 9 का $\frac{81}{15}$ = 5.4 है। इसी तरह 4, 10, 6 का चतुर्थानुपाती 15 है, पर 6, 10, 4 का $\frac{40}{6} = \frac{20}{3}$ है। मध्यानुपाती में क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता। इसलिए हिसाब शुरू करने से पहले समानुपात लिख लीजिए, जैसे a : b :: b : x।

दशमलव और भिन्न। इनमें भी वही सूत्र लगते हैं।

• 0.32 और 0.08 का मध्यानुपाती $\sqrt{0.0256}$ = 0.16 है।
• 0.4 और 0.6 का तृतीयानुपाती $\frac{0.36}{0.4}$ = 0.9 है।
• $\frac{4}{9}$ और $\frac{1}{4}$ का मध्यानुपाती $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ है।

उलटी दिशा से। कई बार अनुपाती पद पहले से दे दिया जाता है, और जिन संख्याओं से वह निकला है, उन्हीं में से कोई एक पूछी जाती है।

• x, 10 और 6 का चतुर्थानुपाती 15 है। तो x : 10 :: 6 : 15 लिखिए। 15x = 60 से x = 4 आता है।
• 9 और x का तृतीयानुपाती 25 है। तो 9 : x :: x : 25, जिससे $x^2 = 225$ और x = 15।
• x और 24 का तृतीयानुपाती 36 है। तो x : 24 :: 24 : 36, जिससे 36x = 576 और x = 16।
• 4 और x का मध्यानुपाती 10 है। तो 4x = 100, और x = 25।

विकल्पों में जाल। 6 और 24 का मध्यानुपाती पूछा जाए, तो विकल्पों में 15 और 144 भी होते हैं। 15 तो दोनों का औसत है, (6 + 24) ÷ 2 = 15। और 144 बस गुणनफल है, उसका वर्गमूल लिया ही नहीं गया। इसी तरह 9 और 15 के तृतीयानुपाती वाले प्रश्न में 21 और 135 दिखेंगे। 21 तब आता है जब कोई 15 में 6 का अंतर फिर से जोड़ दे, और 135 बस 9 × 15 है।

तीनों सूत्र एक साथ याद कर लीजिए। चतुर्थानुपाती = $\frac{bc}{a}$, तृतीयानुपाती = $\frac{b^2}{a}$ और मध्यानुपाती = $\sqrt{ab}$। तृतीयानुपाती असल में वही चतुर्थानुपाती है, बस इसमें b दो बार आता है।

मिले-जुले अनुपाती प्रश्न

2023 से 2025 तक के CGL पेपरों में कई बार एक ही प्रश्न में दो या तीन अनुपाती पद एक साथ आए हैं। इनमें एक पद का मान निकालकर ही अगला पद निकलता है। तरीका हर बार वही है। सबसे भीतर वाला हिस्सा पहले हल कीजिए, हर मान लिखते जाइए, और फिर बाहर वाला पद निकालिए।

1. मध्यानुपाती से तृतीयानुपाती। प्रश्न है, "4 और 9 के मध्यानुपाती तथा 12 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।" 4 और 9 का मध्यानुपाती 6 है। अब 6 और 12 का तृतीयानुपाती $\frac{144}{6}$ = 24 है।

2. तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती का मध्यानुपाती। प्रश्न है, "2 और 6 के तृतीयानुपाती तथा 3, 4 और 6 के चतुर्थानुपाती का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।" तृतीयानुपाती $\frac{36}{2}$ = 18 है और चतुर्थानुपाती $\frac{4 \times 6}{3}$ = 8। अब 18 और 8 का मध्यानुपाती $\sqrt{144}$ = 12 है।

3. योग और अनुपात। 8 और 12 का तृतीयानुपाती 18 है, और 4 और 25 का मध्यानुपाती 10। दोनों का योग 18 + 10 = 28 हुआ। इसी तरह 12 और 30 का तृतीयानुपाती 75 है और 9 और 25 का मध्यानुपाती 15। तो इनका अनुपात 75 : 15 = 5 : 1 है।

4. दूसरे पदों से बना चतुर्थानुपाती। प्रश्न है, "3 और 6 के तृतीयानुपाती, 2 और 8 के मध्यानुपाती तथा 18 का चतुर्थानुपाती ज्ञात कीजिए।" पहले दोनों पद निकालिए, तो तीनों संख्याएँ 12, 4 और 18 मिलती हैं। उत्तर $\frac{4 \times 18}{12}$ = 6 है।

5. जब अज्ञात किसी पद के भीतर हो। प्रश्न है, "यदि 3, 8 और 15 का चतुर्थानुपाती, 16 और x के मध्यानुपाती के बराबर हो, तो x ज्ञात कीजिए।" चतुर्थानुपाती 40 आता है। यही 16 और x का मध्यानुपाती है, तो 16x = 40 × 40 = 1600, और x = 100। ऐसा ही एक और प्रश्न है, "4 और 16 का मध्यानुपाती, 18 और x के तृतीयानुपाती के बराबर है"। 4 और 16 का मध्यानुपाती 8 है, तो $\frac{x^2}{18}$ = 8, जिससे $x^2 = 144$ और x = 12।

6. जानने लायक शॉर्टकट। मान लीजिए m, a और b का मध्यानुपाती है। तो a और m का तृतीयानुपाती ख़ुद b होता है, क्योंकि $\frac{m^2}{a} = \frac{ab}{a} = b$। जैसे x, 12.8 और 64.8 का मध्यानुपाती है, और y, 12.8 और x का तृतीयानुपाती। तो सीधे y = 64.8 लिख दीजिए, कोई वर्गमूल नहीं निकालना पड़ता। वैसे x का मान 28.8 है, पर y निकालने में वह काम ही नहीं आया।

7. बीजीय पद। बीजीय व्यंजकों में भी यही सूत्र चलते हैं।

• $x^2 - y^2$ और x + y का तृतीयानुपाती $\frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{x - y}$ है।
• $a^2 - ab + b^2$, $a^3 + b^3$ और a − b का चतुर्थानुपाती $\frac{(a^3 + b^3)(a - b)}{a^2 - ab + b^2} = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ है।

8. करणी। यहाँ मूल लेने से पहले गुणनफल को सरल कर लीजिए। जैसे $3 + \sqrt{2}$ और $12 - \sqrt{32}$ का मध्यानुपाती निकालना है। $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, तो दूसरी संख्या $4(3 - \sqrt{2})$ है। अब गुणनफल $4(9 - 2) = 28$ आता है, और मध्यानुपाती $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ है।

सतत समानुपात

तीन संख्याएँ a, b, c सतत समानुपात (continued proportion) में तब होती हैं, जब

$$a : b = b : c, \quad \text{अतः } b^2 = ac$$

यहाँ बीच वाली संख्या बाहर वाली दोनों संख्याओं का मध्यानुपाती है, और c, a और b का तृतीयानुपाती है। जैसे 4, 6, 9 सतत समानुपात में हैं, क्योंकि $6^2 = 36 = 4 \times 9$। ऐसी संख्याएँ गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) में होती हैं। मतलब हर पद पिछले पद को एक ही संख्या से गुणा करने पर मिलता है, यहाँ $\frac{3}{2}$ से।

एक और उदाहरण लीजिए। x, 12 और 18 सतत समानुपात में हैं, तो $12^2 = 18x$, और x = 8।

चार पद। a, b, c, d सतत समानुपात में तब होते हैं, जब

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$$

अब d से शुरू करके पीछे की ओर लिखिए। c = dk, b = $dk^2$ और a = $dk^3$। इससे दो नतीजे मिलते हैं, और SSC दोनों पर प्रश्न पूछता है।

• a : c = $k^2$, तो a : c असल में a : b का वर्गानुपात है।
• a : d = $k^3$, तो a : d असल में a : b का घनानुपात है।

जैसे a, b, c, d सतत समानुपात में हैं और a : b = 2 : 5 है। तो a : c = 4 : 25 और a : d = 8 : 125।

मान दिया हो तो। मान लीजिए $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{3}{2}$ है और d = 16। तो c = 24, b = 36 और a = 54।

लुप्त पद भरना। प्रश्न आता है, "8, x, y, 27 सतत समानुपात में हैं।" यहाँ हर अगला पद पिछले पद का r गुना है। तो $27 = 8r^3$, जिससे $r^3 = \frac{27}{8}$ और r = $\frac{3}{2}$ आता है। अब पद 8, 12, 18, 27 हैं। तो x = 12 और y = 18। जाँच कर लीजिए, $12^2 = 144 = 8 \times 18$ और $18^2 = 324 = 12 \times 27$।

[Tier 2] सर्वसमिकाएँ। कभी प्रश्न आता है कि a, b, c सतत समानुपात में हैं, तो कोई व्यंजक सरल कीजिए। ऐसे में $b^2 = ac$ लगाइए, या a = $ck^2$ और b = ck रख दीजिए। कुछ नतीजे बार-बार आते हैं।

• $(a + b + c)(a - b + c) = a^2 + b^2 + c^2$
• $\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}$
• चार पद a, b, c, d हों, तो $\frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{a}{d}$

पहला नतीजा क्यों सही है, यह देखिए। बाईं ओर का गुणनफल असल में $(a + c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2$ है। अब ac की जगह $b^2$ रखिए, तो यह $a^2 + b^2 + c^2$ हो जाता है।

संख्याओं से जाँच। परीक्षा भवन में ऐसी कोई सर्वसमिका आए, तो 1, 2, 4 जैसी आसान संख्याएँ रखकर परख लीजिए। चार पद हों, तो 1, 2, 4, 8 लीजिए। 1, 2, 4 के लिए (1 + 2 + 4)(1 − 2 + 4) = 7 × 3 = 21 आता है, और 1 + 4 + 16 = 21 भी। जो विकल्प इन संख्याओं पर गलत निकले, उसे हटा दीजिए।

जोड़-घटाकर समानुपात बनाना

प्रश्न ऐसे आता है, "a, b, c, d में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी (या उनमें से घटाई) जाए कि वे समानुपात में हो जाएँ?" यह प्रश्न लगभग हर वर्ष पूछा जाता है।

x जोड़ना हो। नई संख्याएँ a + x, b + x, c + x, d + x होंगी। इनमें बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर रखिए।

$$(a + x)(d + x) = (b + x)(c + x)$$

दोनों ओर के $x^2$ वाले पद कट जाते हैं, और यह बचता है।

$$x = \frac{bc - ad}{(a + d) - (b + c)}$$

जैसे 1, 3, 7 और 12 लीजिए। x = (3 × 7 − 1 × 12) ÷ (13 − 10) = 9 ÷ 3 = 3। नई संख्याएँ 4, 6, 10, 15 हुईं, और सचमुच 4 × 15 = 60 = 6 × 10 है।

x घटाना हो। इसके लिए अलग सूत्र की ज़रूरत नहीं है, वही सूत्र लगाइए। x ऋणात्मक आए, तो समझिए कि वह संख्या घटानी है। जैसे 7, 10, 9 और 14 के लिए x = (90 − 98) ÷ (21 − 19) = −4 आता है। मतलब 4 घटाना है। नई संख्याएँ 3, 6, 5, 10 हैं, और 3 × 10 = 30 = 6 × 5।

विकल्पों से जाँच। चार विकल्प दिए हों, तो अक्सर उन्हें एक-एक करके जाँच लेना ही तेज़ पड़ता है। 1, 3, 7, 12 में 3 जोड़िए, तो 4, 6, 10, 15 मिलते हैं। 4 × 15 = 6 × 10, तो उत्तर 3 है। सूत्र याद न आए, तब भी चारों विकल्प जाँचने में एक मिनट से कम लगता है।

सतत समानुपात वाली तीन संख्याएँ। प्रश्न आता है, "a, b, c में से प्रत्येक में क्या जोड़ें कि वे सतत समानुपात में हों"। यहाँ शर्त $(b + x)^2 = (a + x)(c + x)$ है, और इससे यह सूत्र मिलता है।

$$x = \frac{b^2 - ac}{a + c - 2b}$$

जैसे 1, 5 और 13 के लिए x = (25 − 13) ÷ (14 − 10) = 3। नई संख्याएँ 4, 8, 16 हैं। जाँच कर लीजिए, $8^2 = 64 = 4 \times 16$। यहाँ भी पहले वाला नियम चलता है। उत्तर ऋणात्मक आए, तो वह संख्या घटानी है।

क्रम क्यों ज़रूरी है। सूत्र में a और d पहली और आख़िरी संख्या हैं। b और c बीच वाली दोनों संख्याएँ हैं, और इन्हें उसी क्रम में लेना है जिसमें ये प्रश्न में दी गई हैं। क्रम गड़बड़ाया, तो गलत मान आएगा, और वह गलत मान अक्सर विकल्पों में भी दिया होता है।

[SSC टिप] प्रश्न में "जोड़ी जाए" लिखा है, पर सूत्र से भिन्न या ऋणात्मक संख्या आ रही है, तो सबसे पहले चारों संख्याओं का क्रम दोबारा देखिए। SSC संख्याएँ ऐसी चुनता है कि उत्तर कोई छोटी पूर्ण संख्या आए।

समानुपात के गुण

अगर $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ है, तो नीचे लिखे सारे संबंध भी सही होते हैं।

SSC में इनमें से सबसे ज़्यादा योगांतरानुपात ही पूछा जाता है। यह उलटी दिशा में भी चलता है। $\frac{a + b}{a - b} = \frac{p}{q}$ हो, तो $\frac{a}{b} = \frac{p + q}{p - q}$ होगा।

योगांतरानुपात से अनुपात निकालना। मान लीजिए $\frac{x + y}{x - y} = \frac{7}{3}$ है। तो $\frac{x}{y} = \frac{7 + 3}{7 - 3} = \frac{10}{4}$, यानी x : y = 5 : 2। जाँच कर लीजिए, $\frac{5 + 2}{5 - 2} = \frac{7}{3}$ ही आता है। गुणांक साथ हों, तब भी यही चलता है। $\frac{3a + 4b}{3a - 4b} = \frac{5}{2}$ से $\frac{3a}{4b} = \frac{7}{3}$ मिलता है, और फिर $\frac{a}{b} = \frac{28}{9}$।

दूसरी दिशा में। a : b = 5 : 3 दिया हो, तो योगांतरानुपात से सीधे $\frac{a + b}{a - b} = \frac{5 + 3}{5 - 3}$ = 4 लिख दीजिए। a और b अलग-अलग निकालने की ज़रूरत ही नहीं है।

वर्गमूल वाले समीकरण। योगांतरानुपात एक ही कदम में मूल हटा देता है। यह समीकरण देखिए।

$$\frac{\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 6}}{\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 6}} = 3$$

योगांतरानुपात लगाने पर $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$ आता है। अब दोनों ओर वर्ग कीजिए, तो $\frac{x + 6}{x - 6} = 4$ मिलता है। इससे x + 6 = 4x − 24, और x = 10। जाँच कर लीजिए। x = 10 पर $\sqrt{16} = 4$ और $\sqrt{4} = 2$ आते हैं, और $\frac{4 + 2}{4 - 2} = 3$ ही है।

[Tier 2] एक जाना-माना प्रश्न। यदि $x = \frac{4ab}{a + b}$ (a ≠ b) हो, तो $\frac{x + 2a}{x - 2a} + \frac{x + 2b}{x - 2b}$ ज्ञात कीजिए। पहले इसे $\frac{x}{2a} = \frac{2b}{a + b}$ लिखिए। योगांतरानुपात से $\frac{x + 2a}{x - 2a} = \frac{3b + a}{b - a}$ मिलता है। इसी तरह $\frac{x + 2b}{x - 2b} = \frac{3a + b}{a - b}$। अब दोनों को जोड़िए। दूसरी भिन्न का हर a − b है। इसे b − a लिखेंगे, तो भिन्न का चिह्न बदल जाएगा।

$$\frac{3b + a}{b - a} - \frac{3a + b}{b - a} = \frac{2(b - a)}{b - a} = 2$$

[SSC टिप] योगांतरानुपात तभी लगाइए जब एक ओर अकेली भिन्न हो और दूसरी ओर भी अकेली भिन्न। किसी भी ओर कोई अतिरिक्त पद हो, तो पहले उसे समेटकर एक भिन्न बना लीजिए।

k-विधि और व्यंजकों के मान

अनुपात की जगह संख्याएँ। a : b = 5 : 3 हो, तो a और b को 5k और 3k मान सकते हैं। अगर व्यंजक के हर पद की घात समान है, यानी वह समघात व्यंजक (homogeneous expression) है, तो k कट जाता है। तब सीधे a = 5 और b = 3 रख दीजिए।

$$\frac{3a + 2b}{4a - b} = \frac{15 + 6}{20 - 3} = \frac{21}{17}$$

$$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{25 + 9}{25 - 9} = \frac{34}{16} = \frac{17}{8}$$

एक सावधानी। यह तभी चलता है जब हर पद की घात बराबर हो। $\frac{a + 2}{b + 2}$ या $\frac{a^2 + b}{ab}$ का मान केवल a : b से नहीं निकलता, क्योंकि यहाँ k नहीं कटता। k तय करने के लिए प्रश्न में कोई और जानकारी चाहिए।

व्यंजक से अनुपात। मान लीजिए $\frac{2x + 3y}{3x - y} = \frac{7}{5}$ है। तिरछा गुणा कीजिए। 10x + 15y = 21x − 7y आता है, तो 22y = 11x, और x = 2y। मतलब x : y = 2 : 1। दूसरा रास्ता भी है। अंश और हर दोनों को y से भाग दे दीजिए, फिर $\frac{x}{y}$ निकाल लीजिए।

द्विघात रूप। $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ दिया हो, तो पूरे समीकरण को $y^2$ से भाग दीजिए और r = $\frac{x}{y}$ रखिए। $2r^2 - 5r + 2 = 0$ मिलता है, जो (2r − 1)(r − 2) = 0 है। तो r = 2 या $\frac{1}{2}$। प्रश्न में यह भी दिया हो कि x > y है, तो x : y = 2 : 1 लीजिए।

बराबर अनुपात। $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ हो, तो a = bk, c = dk और e = fk रखिए। इसे k-विधि (k-method) कहते हैं। इससे ये नतीजे तुरंत मिलते हैं।

• $\frac{a + c + e}{b + d + f} = k$
• $\frac{2a + 3c}{2b + 3d} = k$ (गुणक कोई भी हों, बस ऊपर और नीचे एक जैसे हों)
• $\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = k^2$
• $\frac{ace}{bdf} = k^3$

जैसे $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$ हो, तो $\frac{a + b + c}{c} = \frac{3 + 4 + 7}{7}$ = 2।

दो अनुपात एक साथ। a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5 दिए हों, तो पहले दोनों को मिलाइए। a : b : c = 8 : 12 : 15 आता है। फिर ये मान रखिए। जैसे $\frac{a + b + c}{a - b + c} = \frac{35}{11}$। अनुपात मिलाने का तरीका "अनुपात की मूल बातें और संक्रियाएँ" वाले खंड में है।

बार-बार पूछा जाने वाला प्रश्न। यदि $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ हो, तो $\frac{4}{7} + \frac{2y - x}{2y + x}$ ज्ञात कीजिए। x = 4 और y = 5 रखिए। $\frac{10 - 4}{10 + 4} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ आता है। तो उत्तर $\frac{4}{7} + \frac{3}{7}$ = 1 है।

अनुक्रम और व्युत्क्रम विचरण

अनुक्रम विचरण (direct variation)। जब x, y के अनुक्रमानुपाती (varies directly as) हो, तो इसे $x \propto y$ लिखते हैं। इसका मतलब है x = ky, जहाँ k कोई अचर है। यानी अनुपात $\frac{x}{y}$ स्थिर रहता है।

$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$

y दोगुना हुआ, तो x भी दोगुना होगा। y घटकर एक-तिहाई रह गया, तो x भी एक-तिहाई रह जाएगा। जैसे एक ही तरह की वस्तुएँ ख़रीदें, तो कुल मूल्य वस्तुओं की संख्या के अनुक्रमानुपाती होता है। 12 पेन ₹180 के हैं, तो 20 पेन 180 × $\frac{20}{12}$ = ₹300 के होंगे।

व्युत्क्रम विचरण (inverse variation)। जब x, y के व्युत्क्रमानुपाती (varies inversely as) हो, तो इसे $x \propto \frac{1}{y}$ लिखते हैं। इसका मतलब है xy = k। अब गुणनफल स्थिर रहता है।

$$x_1 y_1 = x_2 y_2$$

y दोगुना हुआ, तो x आधा रह जाएगा। जैसे दूरी वही रहे, तो समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। 40 किमी/घंटा से यात्रा में 6 घंटे लगते हैं, तो दूरी 240 किमी है। 48 किमी/घंटा से यही दूरी 240 ÷ 48 = 5 घंटे में तय होगी। कोई तय काम करना हो, तो आदमियों की संख्या और लगने वाले दिनों में भी यही संबंध होता है।

अचर निकालना। कथन को k वाले समीकरण में बदलिए। दिए गए जोड़े से k निकालिए, और नए मान के लिए वही k लगाइए। प्रश्न है, "x, y के अनुक्रमानुपाती है, और y = 3 होने पर x = 21 है। y = 8 होने पर x ज्ञात कीजिए।" यहाँ k = 7 है, तो x = 56। दूसरा जोड़ा लेने से पहले k लिख लीजिए। ज़्यादातर गलतियाँ तब होती हैं जब दोनों जोड़े एक ही कदम में मिला दिए जाते हैं।

घात और मूल। कथन के शब्द ही बता देते हैं कि कौन-सी घात लेनी है।

• "x, y के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है" का मतलब है x = $ky^2$। y = 3 पर x = 18 हो, तो k = 2, और y = 5 पर x = 50।
• "x, y के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है" का मतलब है $x = \frac{k}{y^2}$।
• "x, y के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती है" का मतलब है x = $k\sqrt{y}$।
• "$x^2$, $y^3$ के व्युत्क्रमानुपाती है" का मतलब है $x^2y^3 = k$। y = 4 पर x = 3 हो, तो k = 9 × 64 = 576। अब y = 9 पर $x^2 = \frac{576}{729} = \frac{64}{81}$, तो x = $\frac{8}{9}$।

प्रतिशत पर असर। $x \propto y^2$ हो और y में 20% वृद्धि हो, तो x, $1.2^2$ = 1.44 गुना हो जाता है। मतलब x में 44% वृद्धि हुई। और $x \propto \frac{1}{y}$ हो, y में 25% वृद्धि हो, तो x, $\frac{4}{5}$ गुना रह जाता है, यानी x में 20% कमी। यह वही गुणनफल नियम वाली बात है, जो अध्याय 3 (प्रतिशत) में देखी थी।

कौन-सा विचरण है, कैसे पहचानें। बस यह देखिए कि एक राशि बढ़ने पर दूसरी बढ़ती है या घटती है। बढ़े तो अनुक्रम, घटे तो व्युत्क्रम। ज़्यादा मज़दूर हों तो दिन कम लगते हैं, यह व्युत्क्रम है। ज़्यादा दूरी पर किराया ज़्यादा लगता है, यह अनुक्रम है, या कुछ हद तक अनुक्रम। इसे अगले भाग में देखेंगे। ज़्यादा चाल पर समय कम लगता है, यह व्युत्क्रम है।

संयुक्त और आंशिक विचरण

संयुक्त विचरण (joint variation)। "x, y और z के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती है" का मतलब है $x \propto yz$, यानी x = kyz। इसी तरह "x, y के अनुक्रमानुपाती और z के व्युत्क्रमानुपाती है" का मतलब है $x = \frac{ky}{z}$।

मान लीजिए x, y और z के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती है, और y = 3, z = 5 पर x = 30 है। तो k = 2। अब y = 4, z = 7 पर x = 2 × 4 × 7 = 56 होगा। अनुपात के रूप में लिखें, तो x = kyz होने पर $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1 z_1}{y_2 z_2}$।

कुछ जाने-पहचाने उदाहरण देखिए। त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती होता है। साधारण ब्याज मूलधन, दर और समय के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती होता है।

किसी योग के अनुक्रमानुपाती। "x, (y + 4) के अनुक्रमानुपाती है" का मतलब है x = k(y + 4)। y = 3 पर x = 21 हो, तो k = 3। अब y = 9 पर x = 3 × 13 = 39। कोष्ठक वाले पूरे हिस्से को एक ही राशि मानकर चलिए।

आंशिक विचरण (partial variation)। रोज़मर्रा के कई ख़र्चों में एक भाग निश्चित होता है और बाकी भाग बदलता रहता है।

$$x = a + by$$

यहाँ a निश्चित भाग है और b दर। मानों के दो जोड़े लेकर दो समीकरण बनाइए। एक को दूसरे में से घटाइए, तो a हट जाता है।

जैसे किसी छात्रावास का मासिक ख़र्च कुछ निश्चित है और कुछ छात्रों की संख्या के साथ बदलता है। 40 छात्रों पर ₹28,000 और 60 छात्रों पर ₹39,000 ख़र्च आता है। अतिरिक्त 20 छात्रों पर ₹11,000 अधिक लगे, तो दर b = ₹550 प्रति छात्र है। निश्चित भाग = 28,000 − 40 × 550 = ₹6,000। अब 75 छात्रों के लिए ख़र्च 6,000 + 75 × 550 = ₹47,250 होगा।

कुछ छात्र पूरे बिल को ही छात्रों की संख्या के अनुक्रमानुपाती मान लेते हैं और 28,000 × $\frac{75}{40}$ = ₹52,500 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि निश्चित ₹6,000 छात्रों की संख्या के साथ नहीं बढ़ता।

भार के वर्ग के साथ बदलता मूल्य। हीरे का मूल्य अक्सर उसके भार के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है। मान लीजिए कोई हीरा टूटकर दो टुकड़ों में बँट गया, जिनके भार का अनुपात 1 : 3 है। पूरा भार 4 हुआ, तो मूल मूल्य $4^2$ = 16 के अनुक्रमानुपाती था। दोनों टुकड़ों का मिलाकर मूल्य $1^2 + 3^2$ = 10 के अनुक्रमानुपाती है। तो हानि मूल मूल्य का $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ हुई। ₹1,60,000 के हीरे पर यह हानि ₹60,000 की है। टुकड़े आपस में जितने बराबर होंगे, हानि उतनी ही ज़्यादा होगी।

[Tier 2] व्यंजकों के बीच विचरण। $(x + y) \propto (x - y)$ हो, तो $\frac{x + y}{x - y}$ स्थिर है। योगांतरानुपात से $\frac{x}{y}$ भी स्थिर हुआ, यानी $x \propto y$। तो x और y के एक ही घात वाले कोई भी दो व्यंजक एक-दूसरे के अनुक्रमानुपाती होंगे, जैसे $(x^2 + y^2) \propto xy$।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

यदि (x + 2) : (3x − 2) :: 3 : 5 है, तो x = ? (a) 4 (b) 2 (c) 6 (d) 8

उत्तर: बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर रखते हैं, तो 5(x + 2) = 3(3x − 2)। खोलने पर 5x + 10 = 9x − 6 आता है। इससे 4x = 16 और x = 4, यानी (a) 4। x = 4 रखकर देखें, तो 6 : 10 मिलता है, जो 3 : 5 ही है।

प्रश्न 2

0.12, 0.21 और 8 का चतुर्थानुपाती क्या है? (a) 1.4 (b) $\frac{32}{7}$ (c) 14 (d) 16

उत्तर: चतुर्थानुपाती को x मान लेते हैं। 0.12 : 0.21 :: 8 : x, तो x = $\frac{0.21 \times 8}{0.12} = \frac{1.68}{0.12}$ = 14। सही विकल्प (c) 14 है। संख्याएँ उलटे क्रम में लिख दीं, जैसे 0.21 : 0.12 :: 8 : x, तो $\frac{32}{7}$ आएगा। यह भी विकल्पों में दिया है, पर गलत है।

प्रश्न 3

18 और 24 का तृतीयानुपाती क्या है? (a) 30 (b) 32 (c) 13.5 (d) 432

उत्तर: 18 : 24 :: 24 : x लिखते हैं। तो x = $\frac{24^2}{18} = \frac{576}{18}$ = 32, यानी (b) 32।

प्रश्न 4

0.18 और 0.5 का मध्यानुपाती क्या है? (a) 0.34 (b) 0.03 (c) 0.09 (d) 0.3

उत्तर: मध्यानुपाती दोनों संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल होता है। $\sqrt{0.18 \times 0.5} = \sqrt{0.09}$ = 0.3, तो उत्तर (d) 0.3 है।

प्रश्न 5

यदि x और 28 का तृतीयानुपाती 49 है, तो x = ? (a) 16 (b) 7 (c) 21 (d) 36

उत्तर: x : 28 :: 28 : 49 लिखते हैं। तो 49x = $28^2$ = 784, और x = 16। देख लेते हैं, 16 : 28 = 4 : 7 और 28 : 49 = 4 : 7, दोनों बराबर हैं। उत्तर (a) 16 है।

प्रश्न 6

यदि x और 3.2 का मध्यानुपाती 4.8 है, तो x = ? (a) 6.4 (b) 7.2 (c) 1.5 (d) 15.36

उत्तर: मध्यानुपाती का वर्ग दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। तो $4.8^2 = 3.2x$, यानी 23.04 = 3.2x, और x = 7.2। जाँच के लिए 3.2 : 4.8 = 2 : 3 और 4.8 : 7.2 = 2 : 3 देखिए। तो उत्तर (b) 7.2 ही है।

प्रश्न 7

3 और 27 के मध्यानुपाती तथा 15 का तृतीयानुपाती क्या है? (a) 15 (b) 5.4 (c) 25 (d) 75

उत्तर: पहले भीतर वाला हिस्सा हल करते हैं। 3 और 27 का मध्यानुपाती $\sqrt{81}$ = 9 है। अब 9 और 15 का तृतीयानुपाती चाहिए। 9 : 15 :: 15 : x, तो x = $\frac{225}{9}$ = 25, यानी (c) 25।

प्रश्न 8

3 और 9 के तृतीयानुपाती तथा 4, 6 और 8 के चतुर्थानुपाती का मध्यानुपाती क्या है? (a) 19.5 (b) 15 (c) 24 (d) 18

उत्तर: 3 और 9 का तृतीयानुपाती $\frac{81}{3}$ = 27 है। 4, 6 और 8 का चतुर्थानुपाती $\frac{6 \times 8}{4}$ = 12 है। अब 27 और 12 का मध्यानुपाती $\sqrt{324}$ = 18 निकलता है। सही विकल्प (d) 18 है।

प्रश्न 9

4, 9 और 12 के चतुर्थानुपाती का 25 और 45 के तृतीयानुपाती से अनुपात क्या है? (a) 3 : 1 (b) 1 : 3 (c) 3 : 4 (d) 1 : 9

उत्तर: 4, 9 और 12 का चतुर्थानुपाती $\frac{9 \times 12}{4}$ = 27 है। 25 और 45 का तृतीयानुपाती $\frac{45^2}{25} = \frac{2025}{25}$ = 81 है। अनुपात 27 : 81 = 1 : 3 हुआ, तो उत्तर (b) 1 : 3 है।

प्रश्न 10

$4 + \sqrt{7}$ और $16 - 4\sqrt{7}$ का मध्यानुपाती क्या है? (a) 6 (b) 36 (c) $2\sqrt{7}$ (d) 3

उत्तर: दूसरी संख्या में से 4 बाहर निकाल लेते हैं, $16 - 4\sqrt{7} = 4(4 - \sqrt{7})$। अब गुणनफल $4(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7}) = 4(16 - 7) = 36$ आता है। मध्यानुपाती $\sqrt{36}$ = 6 है, यानी (a) 6। विकल्पों में 36 भी दिया है, पर वह तो वर्गमूल लेने से पहले वाला गुणनफल है।

प्रश्न 11

[Tier 2] $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ और $\sqrt{x^2 + y^2}$ का तृतीयानुपाती क्या है? (a) $\frac{x}{y}$ (b) $x^2 + y^2$ (c) $\sqrt{xy}$ (d) $xy$

उत्तर: तृतीयानुपाती = $\frac{b^2}{a}$। यहाँ $b^2 = x^2 + y^2$ है, और ल.स. लेकर $a = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ आता है। अब भाग कर देते हैं, $(x^2 + y^2) \times \frac{xy}{x^2 + y^2} = xy$। उत्तर (d) $xy$ है। जल्दी जाँचना हो, तो x = y = 1 रख लीजिए। तब a = 2 और $b^2 = 2$, तो तृतीयानुपाती 1 आता है, जो xy से मेल खाता है।

प्रश्न 12

x, 7.2 और 16.2 का मध्यानुपाती है तथा y, 7.2 और x का तृतीयानुपाती है। तब x + y = ? (a) 15.6 (b) 21.6 (c) 27 (d) 32.4

उत्तर: x = $\sqrt{7.2 \times 16.2} = \sqrt{116.64}$ = 10.8। y के लिए शॉर्टकट लगाते हैं। x, 7.2 और 16.2 का मध्यानुपाती है, तो 7.2 और x का तृतीयानुपाती सीधे 16.2 होगा। चाहें तो जाँच लीजिए, $\frac{10.8^2}{7.2} = \frac{116.64}{7.2}$ = 16.2। अब x + y = 10.8 + 16.2 = 27, यानी (c) 27। कोई 7.2 और x को उलटे क्रम में लेकर $\frac{7.2^2}{10.8}$ = 4.8 निकाल ले, तो 10.8 + 4.8 = 15.6 आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 13

यदि 27, x, y और 125 सतत समानुपात में हैं, तो x + y = ? (a) 152 (b) 120 (c) 100 (d) 130

उत्तर: सतत समानुपात में हर पद पिछले पद का r गुना होता है, और r हर बार वही रहता है। तो $125 = 27r^3$, जिससे $r^3 = \frac{125}{27}$ और r = $\frac{5}{3}$। अब x = 45 और y = 75, तो x + y = 120, यानी (b) 120। 27 : 45, 45 : 75 और 75 : 125, तीनों 3 : 5 हैं, तो हिसाब ठीक है।

प्रश्न 14

यदि a, b, c, d सतत समानुपात में हैं और a : b = 3 : 2 है, तो a : d = ? (a) 9 : 4 (b) 8 : 27 (c) 3 : 2 (d) 27 : 8

उत्तर: सतत समानुपात है, तो a : b, b : c और c : d, तीनों 3 : 2 हैं। अब $\frac{a}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{d} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$, और उत्तर (d) 27 : 8 है। 9 : 4 वाला विकल्प तो a : c है, यानी वर्गानुपात। a : d के लिए घन लेना पड़ता है।

प्रश्न 15

4, 7, 8 और 13 में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वे समानुपात में हो जाएँ? (a) 2 (b) 1 (c) 3 (d) 4

उत्तर: x जोड़ने के बाद (4 + x)(13 + x) = (7 + x)(8 + x) होना चाहिए। दोनों ओर $x^2$ कट जाता है, और 52 + 17x = 56 + 15x बचता है। तो 2x = 4 और x = 2। नई संख्याएँ 6, 9, 10 और 15 हैं, और 6 × 15 = 90 = 9 × 10। तो (a) 2 सही है।

प्रश्न 16

20, 27, 46 और 67 में से प्रत्येक में से कौन-सी संख्या घटाई जाए कि शेष संख्याएँ समानुपात में हों? (a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 9

उत्तर: सीधे सूत्र लगाते हैं, x = $\frac{bc - ad}{(a + d) - (b + c)}$। यहाँ bc = 27 × 46 = 1242, ad = 20 × 67 = 1340, और (20 + 67) − (27 + 46) = 87 − 73 = 14। तो x = $\frac{1242 - 1340}{14}$ = −7। ऋणात्मक आया, मतलब 7 घटाना है। नई संख्याएँ 13, 20, 39 और 60 हैं, और 13 × 60 = 780 = 20 × 39। उत्तर (c) 7 है।

प्रश्न 17

यदि $\frac{5x + 3y}{5x - 3y} = \frac{7}{3}$ है, तो x : y = ? (a) 2 : 3 (b) 3 : 2 (c) 5 : 2 (d) 7 : 3

उत्तर: योगांतरानुपात लगाते हैं। $\frac{5x}{3y} = \frac{7 + 3}{7 - 3} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$। तिरछा गुणा करने पर 10x = 15y, तो x : y = 3 : 2। उत्तर (b) 3 : 2 है। कई लोग $\frac{5x}{3y} = \frac{5}{2}$ पर ही रुककर 5 : 2 पढ़ लेते हैं। यह गलत है, क्योंकि यह 5x और 3y का अनुपात है, x और y का नहीं।

प्रश्न 18

यदि $\frac{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4}} = 2$ है, तो x = ? (a) 8 (b) 4 (c) 6 (d) 5

उत्तर: योगांतरानुपात से $\frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 4}} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$। अब दोनों ओर वर्ग करते हैं, तो $\frac{x + 4}{x - 4} = 9$। इससे x + 4 = 9x − 36, और x = 5। x = 5 रखकर देखें, तो $\sqrt{9} = 3$ और $\sqrt{1} = 1$ आते हैं, और $\frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$ ही है। उत्तर (d) 5 है।

प्रश्न 19

यदि $\frac{4x - 3y}{2x + 5y} = \frac{1}{3}$ है, तो x : y = ? (a) 7 : 5 (b) 5 : 7 (c) 2 : 1 (d) 7 : 2

उत्तर: तिरछा गुणा करने पर 12x − 9y = 2x + 5y आता है। इससे 10x = 14y और $\frac{x}{y} = \frac{14}{10}$, यानी x : y = 7 : 5। उत्तर (a) 7 : 5 है। x = 7, y = 5 रखकर देखें, तो $\frac{28 - 15}{14 + 25} = \frac{13}{39} = \frac{1}{3}$ ही आता है।

प्रश्न 20

x, y के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। यदि y = 4 होने पर x = 9 है, तो y = 6 होने पर x का मान क्या होगा? (a) 6 (b) 13.5 (c) 4 (d) 20.25

उत्तर: $x = \frac{k}{y^2}$ लिखते हैं। y = 4 और x = 9 से k = 9 × 16 = 144 आता है। अब y = 6 पर x = $\frac{144}{36}$ = 4, यानी (c) 4।

प्रश्न 21

किसी टैक्सी के किराए का कुछ भाग निश्चित है और कुछ भाग तय की गई दूरी के अनुसार बदलता है। 10 किमी की यात्रा का किराया ₹260 और 16 किमी की यात्रा का ₹380 है। 25 किमी का किराया कितना होगा? (a) ₹650 (b) ₹560 (c) ₹500 (d) ₹620

उत्तर: अतिरिक्त 6 किमी के लिए 380 − 260 = ₹120 ज़्यादा लगे, तो दर ₹20 प्रति किमी है। 10 किमी के ₹200 हुए, इसलिए निश्चित भाग = 260 − 200 = ₹60। अब 25 किमी का किराया 60 + 25 × 20 = ₹560, यानी (b) ₹560। ₹260 को सीधे 25 किमी के अनुपात में बढ़ाकर ₹650 लिखना गलत है, क्योंकि इसमें निश्चित भाग भी बढ़ा दिया गया।

प्रश्न 22

किसी हीरे का मूल्य उसके भार के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। ₹5,00,000 मूल्य का एक हीरा टूटकर तीन टुकड़ों में बँट जाता है, जिनके भार का अनुपात 2 : 3 : 5 है। मूल्य में कितनी हानि हुई? (a) ₹1,90,000 (b) ₹2,50,000 (c) ₹3,80,000 (d) ₹3,10,000

उत्तर: भार 2, 3 और 5 मान लेते हैं, तो पूरे हीरे का भार 10 हुआ। मूल्य भार के वर्ग के हिसाब से है, तो पूरे हीरे का मूल्य 100 इकाई हुआ, और टुकड़ों का मिलाकर 4 + 9 + 25 = 38 इकाई। हानि 100 में से 62 इकाई की है, यानी मूल्य का 62%। ₹5,00,000 का 62% ₹3,10,000 होता है, तो उत्तर (d) ₹3,10,000 है।