शॉर्टकट और तेज़ तरीके

अनुपातों को मिलाना

टियर 1 में अनुपात के ज़्यादातर प्रश्न कुछ गिने-चुने ढाँचों में ही आते हैं। कभी दो अनुपात किसी उभयनिष्ठ पद (common term) से जुड़े होते हैं। कभी कोई राशि किसी अनुपात में बाँटनी होती है। कभी कुछ जोड़ने पर अनुपात बदल जाता है। और कभी साझेदारी का लाभ लगाए गए पैसे और महीनों के हिसाब से बाँटना होता है। एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं।

आगे हर तरीके में देखेंगे कि वह कब लगता है, उस पर एक छोटा प्रश्न हल करेंगे, और यह भी देखेंगे कि छात्र कहाँ चूकते हैं। एक आम चूक यह है कि 3 : 4 और 6 : 5 को सीधे जोड़कर 3 : 4 : 5 लिख देते हैं, जबकि दोनों अनुपातों में B का मान अभी बराबर किया ही नहीं गया।

उभयनिष्ठ पद बराबर करना

जब A : B और B : C दिए हों और A : B : C या A : C पूछा जाए, तब यह तरीका लगता है। दोनों अनुपातों में B के मान अलग-अलग होते हैं। इन दोनों मानों का ल.स. (LCM) लीजिए और हर अनुपात को उसी हिसाब से बढ़ा दीजिए। अब तीनों पद एक साथ लिखे जा सकते हैं।

जैसे A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 5 है। B एक अनुपात में 4 है और दूसरे में 6, और इनका ल.स. 12 है। तो A : B = 9 : 12 और B : C = 12 : 10 लिखिए। अब A : B : C = 9 : 12 : 10।

अगर केवल A : C चाहिए, तो ल.स. की ज़रूरत ही नहीं है। पहले पदों का आपस में गुणा कीजिए और दूसरे पदों का आपस में। A : C = (3 × 6) : (4 × 5) = 18 : 20 = 9 : 10।

A : B : C : D के लिए नीचे की ओर गुणा

तीन कड़ियाँ A : B, B : C और C : D दी हों, और चारों का अनुपात या केवल A : D पूछा जाए, तो तीनों अनुपात एक के नीचे एक लिख लीजिए। मान लीजिए वे a : b, c : d और e : f हैं। फिर सीधे यह लिखिए।

$$A : B : C : D = ace : bce : bde : bdf$$

इसे याद रखना आसान है। A में तीनों पहले पद आते हैं और D में तीनों दूसरे पद। बीच वाले पदों में ऊपर से नीचे चलते हुए हर बार एक और पहले पद की जगह उसी अनुपात का दूसरा पद आ जाता है। B में a की जगह b आया, और C में c की जगह d भी आ गया।

उदाहरण के लिए A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 और C : D = 6 : 7 लीजिए।

• A = 2 × 4 × 6 = 48
• B = 3 × 4 × 6 = 72
• C = 3 × 5 × 6 = 90
• D = 3 × 5 × 7 = 105

सबको 3 से भाग दीजिए। A : B : C : D = 16 : 24 : 30 : 35 और A : D = 16 : 35। किसी एक कड़ी से जाँच कर लीजिए, B : C = 24 : 30 = 4 : 5।

अगर केवल A : D पूछा हो, तो पूरी कड़ी बनाने की ज़रूरत नहीं है। A : D = (पहले पदों का गुणनफल) : (दूसरे पदों का गुणनफल)। यहाँ यह 48 : 105 = 16 : 35 है।

इन प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• कड़ियाँ क्रम में होनी चाहिए। अगर A : B और C : B दिए हों, तो शुरू करने से पहले दूसरे अनुपात को पलटकर B : C कर लीजिए।
• 3 : 4 और 6 : 5 को चिपकाकर 3 : 4 : 5 लिख देना गलत है, क्योंकि B एक अनुपात में 4 है और दूसरे में 6। यह गलत उत्तर अक्सर विकल्पों में भी दिया होता है।
• विकल्प प्रायः सरलतम रूप में होते हैं। इसलिए अंत में उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देना न भूलिए।

बराबर गुणनफल, बराबर भिन्नें

2A = 3B = 4C हो तो पहले व्युत्क्रम, फिर ल.स.

कभी कुछ राशियों को अलग-अलग संख्याओं से गुणा करने पर नतीजे बराबर आते हैं। जैसे 2A = 3B = 4C, या "A के हिस्से का 5 गुना = B के हिस्से का 6 गुना"। ऐसे में हर संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) लीजिए। राशियों का अनुपात इन्हीं व्युत्क्रमों का अनुपात होता है।

यहाँ A : B : C = $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ हुआ। भिन्नें हटाने के लिए इसे हरों के ल.स. 12 से गुणा कर दीजिए। A : B : C = 6 : 4 : 3 आ जाता है।

केवल दो राशियाँ हों, तो संख्याएँ बस आपस में बदल दीजिए। 5A = 6B है, तो A : B = 6 : 5।

एक और उदाहरण लीजिए। 3A = 5B = 6C है। व्युत्क्रम $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$ और $\frac{1}{6}$ हैं, और ल.स. 30 है। 30 से गुणा करने पर A : B : C = 10 : 6 : 5 आता है। जाँच भी कर लीजिए, 3 × 10 = 5 × 6 = 6 × 5 = 30।

यहाँ सबसे आम गलती यह है कि गुणकों को ही अनुपात मानकर 3 : 5 : 6 लिख दिया जाता है। यह गलत उत्तर लगभग हर बार विकल्पों में होता है। याद रखिए, जिसके साथ सबसे बड़ा गुणक है, उसका हिस्सा सबसे छोटा होगा।

A/3 = B/4 = C/5 हो तो हर ही अनुपात है

अगर राशियों को गुणा करने की जगह अलग-अलग संख्याओं से भाग दिया गया हो, तो काम और आसान है। मान लीजिए $\frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5}$ = k है। तब A = 3k, B = 4k और C = 5k। मतलब हर में लिखी संख्याएँ ही अनुपात हैं, और सीधे A : B : C = 3 : 4 : 5।

कभी दोनों रूप एक साथ आते हैं, जैसे $\frac{2A}{3} = \frac{3B}{4} = \frac{4C}{5}$। इसे भी k के बराबर रखिए। तब A = $\frac{3}{2}k$, B = $\frac{4}{3}k$ और C = $\frac{5}{4}k$। 12 से गुणा करके भिन्नें हटा दीजिए, A : B : C = 18 : 16 : 15 मिलेगा।

A का भाग = B का भाग

प्रश्न ऐसे आता है, "A के धन का दो-पाँचवाँ भाग, B के धन के तीन-सातवें भाग के बराबर है।" या फिर "A का $\frac{1}{3}$ = B का $\frac{1}{4}$"। यहाँ भिन्नें आपस में बदल दीजिए, यानी A के साथ B की भिन्न लिखिए और B के साथ A की। A का $\frac{2}{5}$ = B का $\frac{3}{7}$ है, तो A : B = $\frac{3}{7} : \frac{2}{5}$ = 15 : 14।

इसी तरह A का $\frac{1}{3}$ = B का $\frac{1}{4}$ हो, तो सीधे A : B = 3 : 4।

पहले उदाहरण की जाँच कर लीजिए। $\frac{2}{5}$ × 15 = 6 और $\frac{3}{7}$ × 14 = 6। दोनों बराबर हैं, तो 15 : 14 सही है।

तीन व्यक्ति हों तब भी यही ढंग है। A का $\frac{1}{2}$ = B का $\frac{2}{3}$ = C का $\frac{3}{4}$ हो, तो हर भिन्न को पलट दीजिए। A : B : C = $2 : \frac{3}{2} : \frac{4}{3}$ आता है। इसे 6 से गुणा कीजिए, 12 : 9 : 8 मिलेगा।

यहाँ भी गलती वही है, भिन्नें बदली ही नहीं जातीं। कई छात्र A : B = $\frac{2}{5} : \frac{3}{7}$ = 14 : 15 लिख देते हैं, जो ठीक उलटा है। याद रखिए, जिसकी भिन्न बड़ी है, उसके पास राशि कम है। "A का a% = B का b%" वाले प्रश्नों में भी ठीक यही होता है।

बाँटने की इकाई विधि

अनुपात को इकाइयों के रूप में देखिए। 4 : 5 : 8 का मतलब है कि तीनों व्यक्तियों के पास 4, 5 और 8 इकाइयाँ हैं, और सारी इकाइयाँ बराबर हैं। इसी को इकाई विधि (units method) कहते हैं। एक बार एक इकाई का मान पता चल जाए, तो ऐसे हर प्रश्न में बस एक भाग करना पड़ता है।

कुल राशि बाँटना

प्रश्न आता है, "₹N को A, B और C में a : b : c के अनुपात में बाँटिए।" तब एक इकाई = N ÷ (a + b + c)। फिर जिसका हिस्सा पूछा गया है, केवल उसकी इकाइयों से गुणा कीजिए।

जैसे ₹7,650 को P, Q और R में 4 : 5 : 8 के अनुपात में बाँटना है। कुल 17 इकाइयाँ हुईं, और 7,650 ÷ 17 = 450। अगर केवल R का हिस्सा चाहिए, तो R = 8 × 450 = ₹3,600। P और Q का हिस्सा निकालने की ज़रूरत ही नहीं।

A को B से ₹x अधिक मिले तो

यहाँ इकाइयों का अंतर ही ₹x के बराबर रखिए। जैसे रोहन और सना में कोई राशि 7 : 4 के अनुपात में बँटी, और रोहन को ₹1,260 अधिक मिले। दोनों में 3 इकाइयों का अंतर है, तो 1 इकाई = ₹420। सना को ₹1,680 मिले, और कुल राशि 11 × 420 = ₹4,620 थी।

भिन्न वाले या व्युत्क्रम अनुपात

अनुपात में भिन्नें हों, तो पहले ल.स. से गुणा करके भिन्नें हटाइए, फिर बँटवारा कीजिए। "3, 4 और 6 के व्युत्क्रम अनुपात (inverse proportion) में" का मतलब है $\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6}$। इसे 12 से गुणा कीजिए, 4 : 3 : 2 मिलेगा।

मान लीजिए ₹6,300 को 3, 4 और 6 के व्युत्क्रम अनुपात में बाँटना है। अनुपात 4 : 3 : 2 हुआ, यानी 9 इकाइयाँ, और हर इकाई ₹700 की। हिस्से ₹2,800, ₹2,100 और ₹1,400 हैं।

कई छात्र सीधे 3 : 4 : 6 में बाँट देते हैं। तब सबसे बड़ा हिस्सा उसी को चला जाता है जिसे सबसे कम मिलना था।

योग, अंतर, गुणनफल या वर्गों से संख्याएँ

दो संख्याएँ a : b में हों, तो उन्हें ak और bk मान लीजिए। अब देखिए कि प्रश्न में क्या दिया है।

• योग या अंतर दिया हो, तो इकाइयों से हल कीजिए, ठीक ऊपर की तरह।
• गुणनफल दिया हो, तो गुणनफल = $ab \times k^2$। यानी $k^2$ = गुणनफल ÷ ab।
• वर्गों का योग दिया हो, तो $k^2$ = (वर्गों का योग) ÷ $(a^2 + b^2)$।

जैसे दो संख्याएँ 3 : 5 में हैं और उनका गुणनफल 960 है। $k^2$ = 960 ÷ 15 = 64, तो k = 8। संख्याएँ 24 और 40 हैं।

इसी तरह दो संख्याएँ 2 : 3 में हैं और उनके वर्गों का योग 1,053 है। $k^2$ = 1,053 ÷ 13 = 81, तो k = 9। संख्याएँ 18 और 27 हैं।

यहाँ दो गलतियाँ आम हैं।

• गुणनफल या वर्गों से $k^2$ मिलता है, k नहीं। जो 64 पर ही रुककर संख्याएँ 192 और 320 लिख देते हैं, वे इसी जाल में फँसते हैं।
• बाँटने से पहले देख लीजिए कि बाँटनी कौन-सी राशि है। इनाम में से ₹500 दान में जाने के बाद बँटवारा हो, तो बची हुई राशि बाँटी जाएगी, पूरा इनाम नहीं।

बदलते अनुपात में स्थिर भाग और स्थिर अंतर

जब अनुपात वाली संख्याओं में कुछ जोड़ा या निकाला जाए, तो सबसे पहले ख़ुद से पूछिए कि क्या नहीं बदल रहा। या तो दोनों में से कोई एक भाग वैसा ही रहता है, या दोनों का अंतर।

एक भाग स्थिर हो तो उसकी इकाइयाँ बराबर कीजिए

कभी केवल एक भाग में जोड़ा या घटाया जाता है। जैसे नई लड़कियाँ आईं पर लड़के उतने ही रहे, या थैले में नीली गेंदें डाली गईं पर लाल उतनी ही रहीं। ऐसे में स्थिर भाग का पद दोनों अनुपातों में ल.स. लेकर बराबर कर दीजिए। अब दूसरे भाग की इकाइयाँ जितनी बदलीं, वह बदलाव जोड़ी या निकाली गई संख्या के बराबर होगा।

जैसे किसी छात्रावास में लड़के : लड़कियाँ = 7 : 5 है। 39 और लड़कियाँ आ गईं, तो अनुपात 3 : 4 हो गया। लड़के नहीं बदले, तो उनके पद बराबर कीजिए। 7 और 3 का ल.स. 21 है, इसलिए दोनों अनुपात 21 : 15 और 21 : 28 हो गए। लड़कियाँ 15 से 28 इकाई हुईं, यानी 13 इकाई = 39। तो 1 इकाई = 3, और शुरू में 63 लड़के और 45 लड़कियाँ थीं।

दोनों में एक ही संख्या जुड़े तो अंतर बराबर कीजिए

जब दोनों भागों में एक ही संख्या जोड़ी (या घटाई) जाए, तो दोनों का अंतर नहीं बदलता। आयु के प्रश्न इसका सबसे जाना-माना उदाहरण हैं। "प्रत्येक संख्या में 10 जोड़ा जाए" वाले प्रश्न भी ऐसे ही हैं। यहाँ पुराने और नए अनुपात में पदों का अंतर बराबर कर लीजिए। फिर किसी भी भाग की इकाइयों में जितना बदलाव आए, वही जोड़ी गई संख्या है।

जैसे दो संख्याएँ 4 : 7 में हैं, और प्रत्येक में 10 जोड़ने पर अनुपात 3 : 4 हो जाता है। पहले अनुपात में अंतर 3 है और दूसरे में 1। तो नए अनुपात को 3 से गुणा कीजिए, 9 : 12 मिलेगा। पहली संख्या 4 से 9 इकाई हुई, यानी 5 इकाई = 10, और 1 इकाई = 2। संख्याएँ 8 और 14 हैं। जाँच कर लीजिए, 10 जोड़ने पर 18 : 24 = 3 : 4 आता है।

अगर एक भाग बढ़े और दूसरा घटे, तो अंतर में बदलाव दोनों बदलावों के जोड़ जितना होता है। नीचे प्रश्न 3 में यही हुआ है।

दोनों पदों में जोड़ी जाने वाली संख्या

प्रश्न आता है, "a और b में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि उनका अनुपात c : d हो जाए?" (a + x) : (b + x) = c : d को एक बार हल कर लीजिए, तो यह सूत्र मिलता है।

$$x = \frac{ad - bc}{c - d}$$

उत्तर ऋणात्मक आए, तो वह संख्या घटानी है।

जैसे 7 और 16 में ऐसी संख्या जोड़नी है कि अनुपात 2 : 3 हो जाए। x = $\frac{7 \times 3 - 16 \times 2}{2 - 3} = \frac{-11}{-1}$ = 11। जाँच कीजिए, 18 : 27 = 2 : 3।

चार संख्याएँ a, b, c और d हों और हर एक में x जोड़कर उन्हें समानुपात में लाना हो, तब भी यही विचार चलता है।

$$x = \frac{bc - ad}{(a + d) - (b + c)}$$

जैसे 14, 17, 26 और 33 में से ऐसी संख्या घटानी है कि वे समानुपात में आ जाएँ। x = $\frac{17 \times 26 - 14 \times 33}{47 - 43} = \frac{-20}{4}$ = −5, यानी 5 घटाना है। जाँच कीजिए, 9 : 12 = 21 : 28।

वैसे, सामने चार विकल्प हों तो अक्सर सूत्र से भी जल्दी विकल्प आज़माकर उत्तर मिल जाता है। हर विकल्प को हर पद में जोड़िए और अनुपात देख लीजिए। हर प्रयास में लगभग पाँच सेकंड लगते हैं, और चिह्न की गलती की कोई गुंजाइश नहीं रहती।

एक बात और ध्यान रखिए। यह सूत्र तभी सही उत्तर देता है जब संख्याएँ उसी क्रम में रखी जाएँ जिसमें दी गई हैं, यानी a : b = c : d।

मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती, चतुर्थानुपाती

ये प्रश्न लगभग हर साल आते हैं। इनमें असली चूक केवल एक होती है, संख्याओं का क्रम। जिस प्रश्न में चतुर्थानुपाती (fourth proportional), तृतीयानुपाती (third proportional) या मध्यानुपाती (mean proportional) शब्द आए, उसमें सीधे नीचे वाले सूत्र लगाइए।

चतुर्थानुपाती और तृतीयानुपाती में बीच वाले पदों का गुणा करके पहले पद से भाग दे दीजिए। मध्यानुपाती में दोनों संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल लीजिए। तीन उदाहरण देखिए।

• 6, 15 और 14 का चतुर्थानुपाती = $\frac{15 \times 14}{6}$ = 35
• 12 और 18 का तृतीयानुपाती = $\frac{18^2}{12} = \frac{324}{12}$ = 27
• 8 और 50 का मध्यानुपाती = $\sqrt{400}$ = 20

मिली-जुली कड़ी

कभी एक आनुपाती से अगला निकालना होता है। जैसे "4 और 6 के तृतीयानुपाती तथा 3, 4 और 12 के चतुर्थानुपाती का मध्यानुपाती"। ऐसे में भीतर से बाहर की ओर चलिए। एक बार में एक ही सूत्र लगाइए, और अगले कदम से पहले हर नतीजा लिख लीजिए।

यहाँ 4 और 6 का तृतीयानुपाती $\frac{36}{4}$ = 9 है। 3, 4 और 12 का चतुर्थानुपाती $\frac{4 \times 12}{3}$ = 16 है। अब 9 और 16 का मध्यानुपाती $\sqrt{144}$ = 12 है।

सतत समानुपात

a, b और c सतत समानुपात (continued proportion) में हों, तो a : b = b : c, यानी $b^2 = ac$। मतलब b बस a और c का मध्यानुपाती है।

जैसे 2, x और 18 सतत समानुपात में हैं। तो $x^2$ = 36 और x = 6।

चार संख्याएँ a, b, c, d सतत समानुपात में हों, तो हर कदम पर वही अनुपात रहता है। इसलिए $\frac{a}{d} = \left(\frac{a}{b}\right)^3$।

इन प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• क्रम उलटने से उत्तर बदल जाता है। 12 और 18 का तृतीयानुपाती 27 है, पर 18 और 12 का तृतीयानुपाती $\frac{144}{18}$ = 8 है। दोनों संख्याएँ विकल्पों में होती हैं।
• मध्यानुपाती औसत नहीं है। 8 और 50 का मध्यानुपाती 20 है, 29 नहीं।
• "a, b, c का चतुर्थानुपाती" में नीचे, यानी हर में, पहली संख्या आती है, आख़िरी नहीं।

[SSC टिप] कई विकल्प तो बस यह देखकर काटे जा सकते हैं कि वे कितने बड़े या छोटे हैं। दो संख्याओं का मध्यानुपाती हमेशा उन दोनों के बीच होता है। अगर b, a से बड़ा है, तो a और b का तृतीयानुपाती b से भी बड़ा होगा, क्योंकि संख्याएँ एक ही अनुपात से बढ़ती जाती हैं।

अनुपात से व्यंजक का मान, और योगांतरानुपात

अनुपात की संख्याएँ सीधे रखना

कभी a : b (या x : y) दिया होता है और $\frac{5a + 2b}{3b - a}$ जैसे किसी व्यंजक का मान पूछा जाता है। पहले देखिए कि व्यंजक के हर पद की घात एक जैसी है या नहीं। या तो सारे पद सादे a और b वाले हों, या सारे $a^2$, ab और $b^2$ वाले। अगर ऐसा है, तो अनुपात की संख्याएँ सीधे रख दीजिए। उभयनिष्ठ k अपने-आप कट जाता है।

जैसे a : b = 4 : 7 है। तो $\frac{5a + 2b}{3b - a} = \frac{20 + 14}{21 - 4} = \frac{34}{17}$ = 2।

वर्गों वाले व्यंजक में भी यही होता है। x : y = 3 : 2 हो, तो $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{9 + 4}{9 - 4} = \frac{13}{5}$।

पर व्यंजक में कोई अकेली संख्या हो, तो यह तरीका नहीं चलता। $\frac{a + 2}{b + 2}$ का मान केवल a : b से नहीं निकल सकता, क्योंकि 2, k के साथ नहीं बढ़ता। $\frac{a^2 + b}{a + b}$ जैसी मिली-जुली घातों में भी यह तरीका काम नहीं करता।

उलटी दिशा में x : y निकालना

कभी उलटा पूछा जाता है, "$\frac{4x + 3y}{2x + 5y} = \frac{11}{13}$ है, तो x : y ज्ञात कीजिए।" यहाँ तिरछा गुणा कीजिए और x वाले पद एक ओर, y वाले दूसरी ओर ले आइए।

13(4x + 3y) = 11(2x + 5y), यानी 52x + 39y = 22x + 55y। इससे 30x = 16y आता है, और x : y = 8 : 15।

योगांतरानुपात एक पंक्ति में

जब अंश और हर उन्हीं दो चीज़ों का योग और अंतर हों, जैसे $\frac{3x + 2y}{3x - 2y}$, तो योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाइए।

$$\text{यदि } \frac{a + b}{a - b} = \frac{p}{q}, \text{ तो } \frac{a}{b} = \frac{p + q}{p - q}$$

यह उलटी दिशा में भी लागू होता है।

जैसे $\frac{3x + 2y}{3x - 2y} = \frac{5}{3}$ दिया है। तो $\frac{3x}{2y} = \frac{5 + 3}{5 - 3}$ = 4। अब $\frac{x}{y} = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$, यानी x : y = 8 : 3। जाँच के लिए x = 8 और y = 3 रखिए, $\frac{24 + 6}{24 - 6} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ आता है।

इसी कदम से वर्गमूल भी हट जाते हैं। मान लीजिए $\frac{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4}} = 2$ है। तो $\frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 4}} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$। दोनों ओर वर्ग करने पर x + 4 = 9(x − 4), यानी 8x = 40, और x = 5।

यहाँ दो गलतियाँ होती हैं।

• एक कदम पहले रुक जाना। ऊपर वाले उदाहरण में $\frac{3x}{2y}$ = 4 का मतलब x : y = 4 : 1 नहीं है। 3 और 2 को हटाना अभी बाकी है।
• अंश और हर उन्हीं दो पदों का योग और अंतर होने चाहिए। $\frac{2x + 3y}{3x - y}$ में ऐसा नहीं है, इसलिए यहाँ योगांतरानुपात की जगह तिरछा गुणा कीजिए।

विचरण में अचर वही रहता है

विचरण (variation) के हर प्रश्न में कोई एक राशि स्थिर रहती है। उसे एक बार पुराने मानों से लिखिए और एक बार नए मानों से। दोनों को बराबर रखिए, और प्रश्न एक पंक्ति में हल हो जाता है।

पहचान आसान है। प्रश्न में लिखा होगा कि "y, x के अनुक्रमानुपाती है" (varies as), या "y, x के व्युत्क्रमानुपाती है" (varies inversely as), या "x, y और z के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती है"। आख़िरी वाले को संयुक्त विचरण (varies jointly as) कहते हैं। कभी ये शब्द नहीं होते, पर रोज़ का कोई सीधा या उलटा संबंध होता है, जैसे लागत और मात्रा।

अचर तभी निकालिए जब वह पूछा जाए। वरना पुराने मान को बदलावों के अनुपात से गुणा कर दीजिए। तीन उदाहरण देखिए।

• y, $x^2$ के अनुक्रमानुपाती है और x = 4 पर y = 48 है। x = 6 पर y = 48 × $\left(\frac{6}{4}\right)^2$ = 48 × $\frac{9}{4}$ = 108।
• y, x के व्युत्क्रमानुपाती है और x = 8 पर y = 15 है। x = 12 पर y = 15 × $\frac{8}{12}$ = 10।
• x, y और z के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती है, और y = 3, z = 4 पर x = 36 है। y = 5, z = 6 पर x = 36 × $\frac{30}{12}$ = 90।

कुछ स्थिर, कुछ बदलता

कभी राशि का कुछ हिस्सा स्थिर रहता है और कुछ बदलता है। जैसे "किराए का कुछ भाग स्थिर है और कुछ दूरी के साथ बदलता है", या "लागत का कुछ भाग स्थिर है और कुछ मेहमानों की संख्या के अनुक्रमानुपाती है"। इसे आंशिक विचरण (partial variation) कहते हैं। यहाँ दी गई दोनों स्थितियों को एक-दूसरे में से घटा दीजिए। स्थिर भाग कट जाएगा और दर तुरंत मिल जाएगी।

जैसे टैक्सी का किराया 12 किमी के लिए ₹220 और 20 किमी के लिए ₹340 है। अतिरिक्त 8 किमी के ₹120 लगे, तो दर ₹15 प्रति किमी हुई। 12 किमी का बदलने वाला किराया 180 है, तो स्थिर भाग = 220 − 180 = ₹40। अब 30 किमी का बदलने वाला किराया 450 है, और कुल किराया 40 + 450 = ₹490।

इन प्रश्नों में चार गलतियाँ बार-बार होती हैं।

• व्युत्क्रम विचरण उलटी दिशा में चलता है। x बढ़े तो y घटता है। दूसरे उदाहरण में 15 × $\frac{12}{8}$ = 22.5 लिखना गलत है।
• वर्ग करना भूल जाना। पहले उदाहरण में 48 × $\frac{6}{4}$ = 72 लिखना गलत है।
• "x, (y + 3) के अनुक्रमानुपाती है" और "x, y के अनुक्रमानुपाती है" एक बात नहीं है। + 3 को साथ रखिए। यहाँ स्थिर रहने वाली राशि $\frac{x}{y + 3}$ है।
• जिस किराए का कुछ भाग स्थिर है, उसमें दूरी दोगुनी होने पर किराया दोगुना नहीं होता, क्योंकि स्थिर भाग वहीं का वहीं रहता है।

आय और व्यय, जब बचत बराबर हो

तिरछे गुणा वाला छोटा तरीका

प्रश्न ऐसा होता है, "A और B की आय का अनुपात a : b है, व्यय का अनुपात c : d है, और प्रत्येक ₹S बचाता है।" दोनों अनुपात एक के नीचे एक लिख लीजिए।

अब तिरछा गुणा करके ad − bc निकालिए। व्यय के पदों का अंतर भी उसी क्रम में लीजिए, यानी d − c। फिर यह सूत्र लगाइए।

$$\text{आय की एक इकाई} = \frac{S \times (d - c)}{ad - bc}$$

A की आय a इकाई है और B की आय b इकाई।

जैसे आय 5 : 4 में है, व्यय 7 : 5 में, और प्रत्येक की बचत ₹3,000 है। ad − bc = 25 − 28 = −3 और d − c = 5 − 7 = −2। तो एक इकाई = $\frac{3000 \times (-2)}{-3}$ = 2,000, और दोनों की आय ₹10,000 और ₹8,000 है। जाँच कर लीजिए, व्यय ₹7,000 और ₹5,000 हैं, जो 7 : 5 में हैं।

यह क्यों चलता है, और दूसरा तरीका

दोनों की बचत बराबर है, तो आय − व्यय दोनों के लिए एक जैसा है। पद इधर-उधर करें, तो दोनों की आय का अंतर, दोनों के व्यय के अंतर के बराबर निकलता है। इसलिए एक दूसरा रास्ता भी है। दोनों अनुपातों के अंतर बराबर बना दीजिए, ठीक आयु वाले प्रश्नों की तरह।

वही उदाहरण लीजिए। आय 5 : 4 में अंतर 1 है और व्यय 7 : 5 में अंतर 2। आय वाले अनुपात को दोगुना कीजिए, 10 : 8 मिलेगा। अब दोनों अनुपातों में अंतर 2 इकाई है। A की बचत 10 − 7 = 3 इकाई है, तो 3 इकाई = ₹3,000 और 1 इकाई = ₹1,000। आय ₹10,000 और ₹8,000 ही आती है।

उत्तर वही है। अंतर छोटे हों तो यह तरीका प्रायः और जल्दी हो जाता है।

केवल एक व्यक्ति

केवल एक व्यक्ति हो, तो और आसान है। किसी की आय : व्यय = 7 : 5 है और बचत ₹6,000। बचत 2 इकाई है, तो 1 इकाई = ₹3,000 और आय ₹21,000।

दो बातें ध्यान रखिए।

• यह छोटा तरीका केवल बराबर बचत पर चलता है। अगर A की बचत ₹4,000 और B की ₹3,000 हो, तो दो समीकरण ak − cm = 4,000 और bk − dm = 3,000 बनाकर हल कीजिए, या विकल्प जाँच लीजिए।
• अंश और हर में एक ही क्रम रखिए। ad − bc लिया है, तो d − c लीजिए, c − d नहीं। क्रम गड़बड़ाया तो आय ऋणात्मक आएगी। कम से कम इससे पता चल जाता है कि कहीं चूक हुई है।

सिक्के और प्रतिशत, हर पद का अपना गुणा

सिक्कों वाले प्रश्न और प्रतिशत परिवर्तन वाले प्रश्न देखने में अलग लगते हैं, पर दोनों एक ही ढंग से हल होते हैं। अनुपात के हर पद को उसकी अपनी संख्या से गुणा करना होता है।

सिक्के और नोट में मूल्य = संख्या × मूल्यवर्ग

थैले में अलग-अलग मूल्यवर्ग (face value) के सिक्के या नोट हों, और उनकी गिनती का अनुपात और कुल मूल्य दिया हो, या इसका उलटा, तो यह तरीका लगाइए। गिनती वाले हर पद को उस सिक्के के मूल्यवर्ग से गुणा कीजिए। इससे मूल्य का अनुपात (value ratio) मिल जाता है। अब कुल मूल्य को इसी अनुपात में बाँटिए। फिर हर मूल्य को उसके मूल्यवर्ग से भाग दीजिए, सिक्कों की संख्या आ जाएगी।

जैसे एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के हैं, जिनकी संख्या का अनुपात 3 : 4 : 6 है। कुल मूल्य ₹156 है। मूल्य का अनुपात 3 × 1 : 4 × 0.5 : 6 × 0.25 हुआ, यानी 3 : 2 : 1.5, और दशमलव हटाने पर 6 : 4 : 3। कुल 13 इकाइयाँ हुईं, और 156 ÷ 13 = 12। तो ₹1 वाले सिक्कों का मूल्य ₹72 है, 50 पैसे वालों का ₹48 और 25 पैसे वालों का ₹36। सिक्कों की संख्या 72, 96 और 144 है। जाँच कर लीजिए, 72 : 96 : 144 = 3 : 4 : 6।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। अगर मूल्य अनुपात में दिए हों, तो हर मूल्य को उसके मूल्यवर्ग से भाग दीजिए। जैसे ₹2, ₹1 और 50 पैसे के सिक्कों के मूल्य 4 : 3 : 2 में हैं। तो संख्या का अनुपात = $\frac{4}{2} : \frac{3}{1} : \frac{2}{0.5}$ = 2 : 3 : 4।

यहाँ सबसे बड़ी गलती है ₹156 को सीधे संख्या के अनुपात 3 : 4 : 6 में बाँट देना। ऐसा करना हर सिक्के को एक रुपये का मान लेने जैसा है, और SSC यह उत्तर लगभग हर बार विकल्पों में रखता है। दशमलव से उलझन हो, तो पैसों में हिसाब कीजिए, यानी 100, 50 और 25।

प्रतिशत परिवर्तन के बाद अनुपात

कभी अनुपात के अलग-अलग भाग अलग-अलग प्रतिशत से बढ़ते या घटते हैं। जैसे अलग-अलग पाठ्यक्रमों की सीटें, किसी कस्बे के पुरुष और महिलाएँ, या दो लोगों के वेतन। यहाँ हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा कीजिए, फिर दशमलव हटा दीजिए।

जैसे विज्ञान, वाणिज्य और कला की सीटें 2 : 3 : 5 में हैं, और इनमें 75%, 50% और 20% की वृद्धि हुई। नया अनुपात 2 × 1.75 : 3 × 1.5 : 5 × 1.2 है, यानी 3.5 : 4.5 : 6, जो 7 : 9 : 12 के बराबर है। कुल सीटें 10 इकाई से 14 इकाई हो गईं, यानी 40% की वृद्धि हुई।

यहाँ तीन बातें याद रखिए।

• प्रतिशतों को ही नया अनुपात मान लेना गलत है। 75 : 50 : 20 नया अनुपात नहीं है।
• कुल परिवर्तन प्रतिशतों का औसत नहीं होता। यहाँ कुल वृद्धि 40% है, 75, 50 और 20 का सीधा औसत (लगभग 48.3%) नहीं, क्योंकि सबसे बड़े भाग की वृद्धि सबसे कम है।
• अगर प्रतिशत की जगह कोई निश्चित संख्या जोड़ी गई हो, तो ऊपर बदलते अनुपात वाली इकाई विधि ही लगाइए।

आयु के प्रश्नों में अंतर वही रहता है

दोनों व्यक्तियों की आयु में उतने ही वर्ष जुड़ते हैं। इसलिए उनकी आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। बस इसी एक बात से आयु के अनुपात वाले ज़्यादातर प्रश्न दस सेकंड में हो जाते हैं।

अंतर बराबर बनाना

जब दो लोगों की आयु का अनुपात अभी का दिया हो और कुछ वर्ष पहले या कुछ वर्ष बाद का भी, तो दोनों अनुपात लिख लीजिए। दोनों में पदों का अंतर ल.स. लेकर बराबर कर दीजिए। अब दोनों अनुपातों में एक इकाई उतने ही वर्षों की है। किसी भी व्यक्ति की इकाइयाँ जितनी बदलीं, वे बीते हुए वर्षों के बराबर होंगी।

जैसे P और Q की आयु 7 : 4 में है, और 6 वर्ष बाद 3 : 2 में होगी। पहले अनुपात में अंतर 3 है, दूसरे में 1। दूसरे अनुपात को 3 से गुणा कीजिए, 9 : 6 मिलेगा। P की आयु 7 से 9 इकाई हुई, यानी 2 इकाई = 6 वर्ष, और 1 इकाई = 3 वर्ष। दोनों की आयु 21 और 12 वर्ष है। जाँच कर लीजिए, 6 वर्ष बाद 27 : 18 = 3 : 2।

भूत और भविष्य एक साथ

अगर एक अनुपात बीते समय का हो और दूसरा आने वाले समय का, तो दोनों समयों के बीच के सारे वर्ष गिनिए।

जैसे छह वर्ष पहले A और B की आयु 3 : 5 में थी, और चार वर्ष बाद 5 : 7 में होगी। पहले अनुपात में अंतर 2 है और दूसरे में भी 2, यानी इकाइयाँ पहले से बराबर हैं। A की आयु 3 से 5 इकाई हुई, तो 2 इकाई = 6 + 4 = 10 वर्ष, और 1 इकाई = 5 वर्ष। छह वर्ष पहले उनकी आयु 15 और 25 थी, तो अभी 21 और 31 वर्ष है। जाँच कर लीजिए, चार वर्ष बाद 25 : 35 = 5 : 7।

इन प्रश्नों में ये बातें ध्यान रखिए।

• दूसरे उदाहरण में केवल 4 या केवल 6 वर्ष लेना गलत है। इकाइयाँ पूरे 10 वर्षों में बदली हैं।
• अंतर की जगह पद बराबर कर देना गलत है। वह तरीका तब चलता है जब एक भाग स्थिर रहे, जैसे छात्रावास में लड़के उतने ही रहे थे। आयु में तो दोनों व्यक्ति बदलते हैं।
• कभी दूसरे अनुपात की जगह आयु का योग दिया होता है। तब योग से हल कीजिए, और याद रखिए कि n वर्ष बाद दो आयुओं का योग 2n बढ़ता है, n नहीं।
• तीन व्यक्ति हों, तो एक बार में दो-दो को लीजिए।

[SSC टिप] जैसे-जैसे वर्ष बीतते हैं, आयु का अनुपात 1 के पास खिसकता जाता है। आने वाले समय का अनुपात अभी वाले अनुपात से हमेशा 1 : 1 के ज़्यादा पास होगा, और बीते समय का अनुपात उससे और दूर। कोई विकल्प यह नियम तोड़े, तो उसे काट दीजिए।

साझेदारी में पूँजी × महीने, और चराई

लाभ पूँजी × महीने के अनुपात में

साझेदारी के जिस भी प्रश्न में पूँजी (capital) या समय अलग-अलग हों, वहाँ हर साझेदार की हर पूँजी को उतने महीनों से गुणा कीजिए जितने महीने वह व्यवसाय में रही। फिर हर साझेदार के लिए सब जोड़ दीजिए।

अगर बीच में पूँजी बदली हो, तो साल की एक छोटी-सी समय-रेखा खींच लीजिए और हर बदलाव पर निशान लगा दीजिए। इससे कोई अवधि नहीं छूटती। बाँटने से पहले उभयनिष्ठ शून्य हटा दीजिए, यानी हज़ारों में हिसाब कीजिए, और उभयनिष्ठ गुणनखंड भी काट दीजिए।

जैसे A ने ₹42,000 से व्यवसाय शुरू किया। 3 महीने बाद B, ₹64,000 के साथ जुड़ा। 8वें महीने के अंत में A ने ₹6,000 निकाल लिए और B ने ₹6,000 और लगाए। साल का लाभ ₹67,500 है।

अब A : B = 480 : 600 = 4 : 5, यानी 9 इकाइयाँ। 67,500 ÷ 9 = 7,500, तो A को ₹30,000 और B को ₹37,500 मिलेंगे।

अगर सब साझेदार बराबर समय तक रहे हों, तो महीने कट जाते हैं और लाभ केवल पूँजियों के अनुपात में बँटता है। इसी को साधारण साझेदारी (simple partnership) कहते हैं।

यहाँ चार बातें ध्यान रखिए।

• "B, 3 महीने बाद जुड़ता है" का मतलब है कि B व्यवसाय में 9 महीने रहा, 3 नहीं। "B, साल ख़त्म होने से 3 महीने पहले छोड़ देता है" में भी B 9 महीने ही रहा।
• व्यवसाय हमेशा 12 महीने नहीं चलता। लाभ 18 महीनों का हो, तो समय-रेखा 18 तक खींचिए।
• पूँजियाँ जोड़ देना गलत है, जैसे "A ने 42 लगाए, फिर 36, तो 78"। इसमें यह छूट जाता है कि कौन-सी रकम कितने समय तक लगी रही।
• हानि का बँटवारा भी ठीक उसी अनुपात में होता है जिसमें लाभ का।

चराई में पशु × महीने

कभी कई लोग मिलकर एक ही चरागाह किराए पर लेते हैं और अलग-अलग संख्या में पशु अलग-अलग महीनों तक चराते हैं। ऐसे में चराई (grazing) का किराया पशु × महीने के अनुपात में बँटता है। अलग-अलग तरह के पशु हों, तो पहले दी गई बराबरी से सबको एक ही तरह के पशु में बदल लीजिए।

जैसे A ने 10 गायें 6 महीने, B ने 12 गायें 5 महीने और C ने 8 घोड़े 4 महीने चराए। 2 घोड़े उतना चारा खाते हैं जितना 3 गायें, और किराया ₹4,200 है। C के 8 घोड़े 12 गायों के बराबर हैं। तो हिस्से 60 : 60 : 48 = 5 : 5 : 4 हुए। एक इकाई = 4,200 ÷ 14 = 300। A और B प्रत्येक ₹1,500 देंगे और C ₹1,200।

यहाँ उलटी दिशा में बदलने की गलती होती है। 2 घोड़े = 3 गायें है, तो 1 घोड़ा = 1.5 गाय, $\frac{2}{3}$ गाय नहीं।

पहले स्थिर हिस्से अलग कीजिए

साझेदारी के कई प्रश्नों में लाभ सीधे नहीं बँटता। कभी सक्रिय साझेदार (working partner) को वेतन या कमीशन मिलता है। कभी साझेदारों को पूँजी पर ब्याज (interest on capital) मिलता है। या लाभ का कुछ भाग अलग रख दिया जाता है। पर तरीका हर बार एक ही रहता है।

1. हर स्थिर हिस्सा पहले बाहर निकालिए, चाहे वेतन हो, कमीशन हो, पूँजी पर ब्याज हो, दान हो या आरक्षित निधि।
2. जो बचे, उसे पूँजी × महीने के अनुपात में बाँटिए।
3. हर साझेदार के स्थिर हिस्से उसके बँटवारे वाले हिस्से में वापस जोड़िए। यही उसे मिलने वाली कुल राशि है।

वेतन या कमीशन

जैसे A और B ने ₹30,000 और ₹50,000 लगाए। व्यवसाय A चलाता है और लाभ का 10% कमीशन लेता है। बाकी लाभ पूँजियों के अनुपात में बँटता है, और लाभ ₹48,000 है। A का कमीशन ₹4,800 हुआ, तो ₹43,200 बचे। इसे 3 : 5 में बाँटिए, एक इकाई 5,400 की है। A को 16,200 + 4,800 = ₹21,000 और B को ₹27,000 मिलेंगे।

मासिक वेतन भी ऐसे ही लिया जाता है। ₹2,000 प्रति माह का मतलब है साल के ₹24,000। कुछ भी बाँटने से पहले इसे बाहर निकाल दीजिए।

पूँजी पर ब्याज

P और Q ने ₹80,000 और ₹50,000 लगाए। प्रत्येक को पूँजी पर 12% वार्षिक ब्याज मिलता है, और बाकी लाभ बराबर-बराबर बँटता है। लाभ ₹35,600 है। ब्याज P को ₹9,600 और Q को ₹6,000 मिला। बचे ₹20,000 में से हर एक को ₹10,000 मिले। तो P को ₹19,600 और Q को ₹16,000 मिलेंगे।

पहले दान या आरक्षित निधि

अगर लाभ का 10% दान में जाता है, तो केवल 90% बँटता है। अगर एक साझेदार का हिस्सा दिया हो और पूरा लाभ पूछा जाए, तो यही कदम उलटे चलिए। पहले देखिए कि बचे हुए लाभ में उसका कितना भाग है। उससे बचा हुआ लाभ निकालिए, और फिर पूरा लाभ।

इन प्रश्नों में चार बातें ध्यान रखिए।

• पहले पूरा लाभ बाँटकर बाद में वेतन घटाना गलत है। वेतन बँटवारे से पहले निकलता है, बाद में नहीं।
• "लाभ का 10%" और "उसका कमीशन निकालने के बाद बचे लाभ का 10%" अलग बातें हैं। [Tier 2] दूसरी हालत में उसका कमीशन लाभ का $\frac{10}{110}$ होता है, $\frac{10}{100}$ नहीं।
• अगर बाकी लाभ पूँजियों के अनुपात में ही बँटता है और सबको एक ही दर से पूँजी पर ब्याज मिलता है, तो कुछ नहीं बदलता। हर एक का कुल फिर भी पूँजी के अनुपात में ही रहता है। ब्याज का असर तभी पड़ता है जब बाकी लाभ किसी और ढंग से बँटे, जैसे बराबर-बराबर, या किसी को वेतन भी मिले।
• स्थिर हिस्सा वापस जोड़ना न भूलिए। विकल्पों में गलत उत्तर अक्सर वही होता है जो केवल कदम 2 में मिला।

विकल्प हटाना

पूरी संख्या, गुणज और दिशा

पूरा हल करने से पहले, या कभी उसकी जगह, विकल्पों को जाँच लीजिए। लंबे शाब्दिक प्रश्नों में यह ख़ास काम आता है। तीन जाँचें बहुत जल्दी हो जाती हैं।

• गुणज: जो चीज़ें पूरी इकाइयों में गिनी जाती हैं, जैसे लोग, सिक्के या पशु, उनकी संख्या अनुपात के पदों के योग का गुणज होगी। लड़के : लड़कियाँ = 7 : 9 हो, तो कक्षा की संख्या 16 का गुणज होगी और लड़कों की संख्या 7 का।
• गोल रकम: प्रश्न बनाने वाले कुल रकम साफ़-सुथरी रखते हैं। ₹67,500 को 4 : 5 में बाँटना हो, तो यह 9 से पूरा बँट जाता है। यह अच्छा संकेत है कि अनुपात सही है। अगर एक इकाई का मान अजीब-से दशमलव में आए, तो आगे बढ़ने से पहले अनुपात दोबारा जाँच लीजिए।
• दिशा: भविष्य का आयु-अनुपात अभी वाले से 1 के ज़्यादा पास होगा। जिस साझेदार की पूँजी × महीने ज़्यादा है, उसका हिस्सा हमेशा ज़्यादा होगा। मध्यानुपाती हमेशा दोनों संख्याओं के बीच होगा।

जैसे किसी कक्षा में लड़के : लड़कियाँ = 4 : 5 है। ठीक $\frac{3}{8}$ लड़के हॉकी खेलते हैं और $\frac{2}{5}$ लड़कियाँ बास्केटबॉल। विद्यार्थियों की संख्या कितनी हो सकती है? विकल्प हैं (a) 75 (b) 81 (c) 99 (d) 108।

कुल संख्या 9 का गुणज होनी चाहिए, तो 75 बाहर हो गया। लड़के कक्षा के $\frac{4}{9}$ हैं, और उनकी संख्या 8 से पूरी बँटनी चाहिए। 81 विद्यार्थी हों तो 36 लड़के होंगे, और 36 का $\frac{3}{8}$ = 13.5 आता है। 99 विद्यार्थी हों तो 44 लड़के होंगे, और हॉकी वाले 16.5। ये दोनों हो ही नहीं सकते। केवल (d) 108 ही सारी जाँचें पास करता है। इसमें 48 लड़के हैं, जिनमें से 18 हॉकी खेलते हैं, और 60 लड़कियाँ, जिनमें से 24 बास्केटबॉल खेलती हैं।

हाँ, कभी चारों विकल्प सारी जाँचें पास कर लेते हैं। तब पूरा हल करना ही पड़ेगा। और याद रखिए, रुपये पैसों में भी बँट सकते हैं। इसलिए गुणज वाली जाँच सबसे पक्की लोगों, पशुओं और सिक्कों पर होती है।

[SSC टिप] अंतिम अनुपात मिलते ही, हर हिस्सा निकालने से पहले विकल्पों पर नज़र डाल लीजिए। मान लीजिए ₹10,400 को 4 : 5 : 4 में बाँटना है। एक इकाई ₹800 की है, तो हर हिस्सा ₹800 का गुणज होगा। जो विकल्प ₹800 का गुणज नहीं है, उसे तुरंत हटा दीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न इसी खंड के तेज़ तरीकों से करेंगे, और हर उत्तर के अंत में देखेंगे कि उसमें लगभग कितना समय लगना चाहिए।

प्रश्न 1

यदि A : B = 3 : 5, B : C = 4 : 7 और C : D = 2 : 3 है, तो A : D ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हमें केवल A और D चाहिए। तो सारे पहले पदों का गुणा और सारे दूसरे पदों का गुणा कर लेते हैं। A : D = (3 × 4 × 2) : (5 × 7 × 3) = 24 : 105 = 8 : 35।

यह लगभग 10 सेकंड में हो जाता है, जबकि पूरी कड़ी ल.स. से बनाने बैठें तो करीब एक मिनट लग जाता है।

प्रश्न 2

₹7,600 को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A के हिस्से का 4 गुना, B के हिस्से का 6 गुना और C के हिस्से का 9 गुना, तीनों बराबर हों। प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मतलब 4A = 6B = 9C है, तो A : B : C = $\frac{1}{4} : \frac{1}{6} : \frac{1}{9}$। 4, 6 और 9 का ल.स. 36 है, इससे गुणा करने पर 9 : 6 : 4 आता है। कुल 19 इकाइयाँ हैं, और 7,600 ÷ 19 = 400। तो A को ₹3,600, B को ₹2,400 और C को ₹1,600 मिलेंगे। जाँच भी कर लेते हैं, 4 × 3,600 = 6 × 2,400 = 9 × 1,600 = 14,400।

पूरा हल लगभग 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 3

एक क्लब में पुरुषों और महिलाओं की संख्या का अनुपात 5 : 3 है। फिर 16 पुरुष क्लब छोड़ देते हैं और 8 महिलाएँ क्लब में शामिल हो जाती हैं, जिससे दोनों की संख्या बराबर हो जाती है। प्रारंभ में क्लब में कितने पुरुष थे?

उत्तर: शुरू में पुरुष महिलाओं से 2 इकाई ज़्यादा थे। बदलाव के बाद दोनों बराबर हो गए, तो यह अंतर 16 + 8 = 24 लोगों जितना घटा। मतलब 2 इकाई = 24, और 1 इकाई = 12। तो शुरू में पुरुष 5 × 12 = 60 थे, और महिलाएँ 36। अब क्लब में 44 पुरुष और 44 महिलाएँ हैं, तो उत्तर ठीक है।

यह प्रश्न करीब 15 सेकंड में निकल जाता है।

प्रश्न 4

13 और 41 में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि उनका अनुपात 3 : 7 हो जाए?

उत्तर: सूत्र x = $\frac{ad - bc}{c - d}$ लगाते हैं। यहाँ a = 13, b = 41, c = 3 और d = 7 है। तो x = $\frac{91 - 123}{3 - 7} = \frac{-32}{-4}$ = 8। 8 जोड़ने पर 21 : 49 = 3 : 7 आता है, तो उत्तर ठीक है।

यह लगभग 15 सेकंड का प्रश्न है। सामने विकल्प हों, तो हर विकल्प जोड़कर जाँचना भी उतना ही जल्दी हो जाता है।

प्रश्न 5

x, 9 और 12 का तृतीयानुपाती है तथा y, 3, 4 और 27 का चतुर्थानुपाती है। x और y का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले x निकालते हैं, x = $\frac{12^2}{9} = \frac{144}{9}$ = 16। फिर y = $\frac{4 \times 27}{3}$ = 36। अब 16 और 36 का मध्यानुपाती = $\sqrt{16 \times 36}$ = 4 × 6 = 24।

तीनों कदम मिलाकर करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 6

यदि $\frac{7a + 4b}{7a - 4b} = \frac{9}{5}$ है, तो a : b ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंश और हर में 7a और 4b का योग और अंतर है, तो योगांतरानुपात लगाते हैं। $\frac{7a}{4b} = \frac{9 + 5}{9 - 5} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$। अब 7 और 4 को हटाना है, तो $\frac{a}{b} = \frac{7}{2} \times \frac{4}{7}$ = 2, यानी a : b = 2 : 1। a = 2 और b = 1 रखकर देखें, तो $\frac{14 + 4}{14 - 4} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$ आता है। तिरछा गुणा करके 35a + 20b = 63a − 36b से भी हो जाता है, पर उसमें ज़्यादा समय लगता है।

योगांतरानुपात से यह करीब 15 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 7

किसी गोल दरी का मूल्य उसकी त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। 1.2 मीटर त्रिज्या वाली दरी का मूल्य ₹2,160 है। 1.8 मीटर त्रिज्या वाली दरी का मूल्य कितना होगा?

उत्तर: त्रिज्या $\frac{1.8}{1.2} = \frac{3}{2}$ गुनी हो गई। मूल्य त्रिज्या के वर्ग के साथ बदलता है, तो मूल्य $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ गुना होगा। नया मूल्य = 2,160 × $\frac{9}{4}$ = ₹4,860। जल्दबाज़ी में वर्ग करना भूल जाएँ, तो ₹3,240 आता है, जो गलत है।

इस प्रश्न पर लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 8

काव्या और मेहर की आय का अनुपात 7 : 5 है और उनके व्यय का अनुपात 3 : 2 है। दोनों में से प्रत्येक ₹5,000 बचाती है। काव्या की आय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तिरछा गुणा करते हैं। ad − bc = 14 − 15 = −1 और d − c = 2 − 3 = −1। तो एक इकाई = 5,000 × $\frac{-1}{-1}$ = 5,000, और काव्या की आय = 7 × 5,000 = ₹35,000। अंतर वाले तरीके से जाँच कर लेते हैं। आय में अंतर 2 है और व्यय में 1, तो व्यय को 6 : 4 लिखते हैं। अब काव्या की बचत 7 − 6 = 1 इकाई है, जो ₹5,000 है।

इसमें 20 सेकंड के करीब समय लगता है।

प्रश्न 9

एक डिब्बे में ₹2, ₹1 और 50 पैसे के सिक्कों की संख्या का अनुपात 2 : 5 : 6 है। सिक्कों का कुल मूल्य ₹480 है। डिब्बे में 50 पैसे के कितने सिक्के हैं?

उत्तर: हर पद को उसके मूल्यवर्ग से गुणा करते हैं। मूल्य का अनुपात 2 × 2 : 5 × 1 : 6 × 0.5 है, यानी 4 : 5 : 3। कुल 12 इकाइयाँ ₹480 के बराबर हैं, तो 1 इकाई = ₹40। 50 पैसे वाले सिक्कों का मूल्य 3 × 40 = ₹120 है, यानी 240 सिक्के। अगर ₹480 को सीधे 2 : 5 : 6 में बाँटें, तो वह पूरा बँटता भी नहीं। यही पक्का संकेत है कि अनुपात गलत लिया गया।

पूरे हल में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 10

छह वर्ष पहले रवि और सुनील की आयु का अनुपात 5 : 8 था। छह वर्ष बाद यह अनुपात 7 : 10 हो जाएगा। रवि की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों अनुपातों में अंतर 3 है, तो इकाइयाँ पहले से बराबर हैं। रवि की आयु 5 से 7 इकाई हुई, और इस बीच 12 वर्ष बीते। तो 2 इकाई = 12 वर्ष, और 1 इकाई = 6 वर्ष। छह वर्ष पहले रवि 30 वर्ष का था, तो अभी 36 वर्ष का है। सुनील तब 48 का था और अभी 54 का है, तो छह वर्ष बाद 42 : 60 = 7 : 10 आता है।

यह 15 सेकंड के आसपास का काम है।

प्रश्न 11

एक विद्यालय में लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात 8 : 7 है। लड़कों की संख्या में 25% और लड़कियों की संख्या में 20% की वृद्धि होती है, जिससे अब विद्यालय में 920 विद्यार्थी हो जाते हैं। प्रारंभ में विद्यालय में कितनी लड़कियाँ थीं?

उत्तर: हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा करते हैं। नया अनुपात 8 × 1.25 : 7 × 1.2 है, यानी 10 : 8.4, जो 25 : 21 के बराबर है। अब कुल 46 इकाइयाँ 920 विद्यार्थियों के बराबर हैं, तो 1 इकाई = 20। अभी लड़कियाँ 21 × 20 = 420 हैं। 20% वृद्धि से पहले वे 420 ÷ 1.2 = 350 लड़कियाँ थीं। जाँच कर लेते हैं, पहले 400 लड़के और 350 लड़कियाँ थीं, अब 500 + 420 = 920 हैं।

इसमें 30 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 12

P, ₹81,000 से एक व्यवसाय शुरू करता है। 4 महीने बाद Q, ₹1,08,000 के साथ उसमें शामिल होता है। उसके 2 महीने बाद P, ₹27,000 निकाल लेता है, और Q वर्ष समाप्त होने से 2 महीने पहले व्यवसाय छोड़ देता है। वर्ष का लाभ ₹99,000 है। Q का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हज़ारों में हिसाब करते हैं। P के 81 हज़ार 6 महीने लगे रहे, फिर 54 हज़ार 6 महीने। 81 × 6 = 486 और 54 × 6 = 324, तो P का कुल 486 + 324 = 810 है। Q महीने 4 से महीने 10 तक, यानी 6 महीने रहा, तो 108 × 6 = 648। अब P : Q = 810 : 648 = 5 : 4। एक इकाई = 99,000 ÷ 9 = 11,000, तो Q को ₹44,000 मिलेंगे। साल की रेखा 0 से 12 तक खींचकर महीने 4, 6 और 10 पर निशान लगा लीजिए, तो कोई अवधि नहीं छूटती।

पूरा हिसाब करीब 35 सेकंड का है।

प्रश्न 13

A और B क्रमशः ₹84,000 और ₹56,000 का निवेश करते हैं। A व्यवसाय चलाता है और प्रति माह ₹3,000 वेतन लेता है। वर्ष का लाभ ₹1,06,000 है। A को कुल कितनी राशि मिलती है?

उत्तर: पहले वेतन अलग कर लेते हैं, 3,000 × 12 = 36,000। बचे 70,000 को पूँजियों के अनुपात 84 : 56 = 3 : 2 में बाँटते हैं, तो A का हिस्सा 42,000 है। A को कुल 36,000 + 42,000 = ₹78,000 मिलते हैं, और B को ₹28,000।

इसे करने में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 14

X और Y एक वर्ष के लिए क्रमशः ₹1,40,000 और ₹84,000 का निवेश करते हैं। ₹62,400 के लाभ में से पहले प्रत्येक को पूँजी पर 10% ब्याज मिलता है। फिर शेष का 20% Y व्यवसाय चलाने के लिए लेता है, और बची राशि पूँजियों के अनुपात में बाँटी जाती है। Y को कुल कितनी राशि मिलती है?

उत्तर: पहले ब्याज निकालते हैं। X को 14,000 और Y को 8,400, यानी 22,400 बाहर गए और 40,000 बचे। इसका 20% Y को मिला, जो 8,000 है, और अब 32,000 बचे। पूँजियाँ 140 : 84 = 5 : 3 में हैं, तो Y का हिस्सा = $\frac{3}{8}$ × 32,000 = 12,000। Y को कुल 8,400 + 8,000 + 12,000 = ₹28,400 मिले। X को ₹34,000 मिले, और दोनों का जोड़ ₹62,400 है, तो हिसाब ठीक है।

यह प्रश्न लंबा है, इसलिए लगभग 45 सेकंड लगते हैं। पर हर कदम में बस एक गुणा है। टियर 2 में कभी-कभी ऐसे दो स्थिर हिस्से एक ही प्रश्न में साथ आते हैं।

प्रश्न 15

A, B और C ₹10,400 में एक खेत किराए पर लेते हैं। A, 18 भेड़ें 4 महीने के लिए, B, 6 गायें 5 महीने के लिए और C, 24 भेड़ें 3 महीने के लिए चराता है। यदि 1 गाय उतना चारा खाती है जितना 3 भेड़ें खाती हैं, तो B कितना किराया देता है?

उत्तर: सबको भेड़ों में बदल लेते हैं। B की 6 गायें 18 भेड़ों के बराबर हैं। अब भेड़-महीने गिनते हैं, A के 72, B के 90 और C के 72, यानी अनुपात 4 : 5 : 4। कुल 13 इकाइयाँ हैं, और 10,400 ÷ 13 = 800। तो B = 5 × 800 = ₹4,000। बिना बदले हिसाब करें, तो B के केवल 30 पशु-महीने आते हैं, जबकि A और C के 72 और 72 हैं। तब B का हिस्सा बहुत छोटा निकलता है।

कुल मिलाकर लगभग 25 सेकंड लगते हैं।