अनुपात के अनुप्रयोग: आय, सिक्के, आयु और बदलते अनुपात

अनुपात की इकाइयाँ: किसके हिस्से कितना

अनुपात से यह पता नहीं चलता कि कोई चीज़ असल में कितनी है। वह बस इतना बताता है कि कुल को बराबर-बराबर भागों में कैसे बाँटा गया है। इन बराबर भागों को हम इकाइयाँ कहते हैं। इन्हीं इकाइयों से प्रश्न हल करने के तरीके को इकाई विधि (units method) कहते हैं।

जैसे किसी कक्षा में लड़के और लड़कियाँ 7 : 5 के अनुपात में हैं। तो पूरी कक्षा 12 इकाइयों की है। इनमें 7 इकाई लड़के हैं और 5 इकाई लड़कियाँ।

इस खंड के लगभग हर प्रश्न में असली काम एक ही है, एक इकाई का मान ज्ञात करना। वह मिल गया, तो बाकी बस गुणा करना रह जाता है। इसके तीन कदम हैं।

1. हर राशि को उसके पद का k गुना मान लीजिए, जैसे 7k लड़के और 5k लड़कियाँ।
2. प्रश्न में दी गई कोई एक जानकारी लीजिए, जैसे कुल, अंतर, कोई एक भाग या रुपयों में कोई मान। उससे k निकालिए।
3. जो पूछा गया है, उसके पद को k से गुणा कर दीजिए।

कुल दिया हो: किसी विद्यालय की कक्षा 9, 10 और 11 में कुल 1,350 विद्यार्थी हैं, और इनका अनुपात 4 : 5 : 6 है। कुल 15 इकाइयाँ हुईं, तो 1 इकाई = 1350 ÷ 15 = 90। मतलब कक्षा 9 में 360, कक्षा 10 में 450 और कक्षा 11 में 540 विद्यार्थी हैं।

अंतर दिया हो: एक डिब्बे में लाल, हरे और नीले पेन 3 : 5 : 8 में हैं। नीले पेन हरे पेनों से 27 अधिक हैं। नीले और हरे में 3 इकाई का फ़र्क है, और यही 27 है। तो 1 इकाई = 9। डिब्बे में 27 लाल, 45 हरे और 72 नीले पेन हैं, कुल 144।

एक भाग दिया हो: किसी छात्र के विज्ञान, गणित और अंग्रेज़ी के अंक 6 : 7 : 5 में हैं, और गणित में उसे 84 अंक मिले। यहाँ 7 इकाई = 84, तो 1 इकाई = 12। विज्ञान में 72 और अंग्रेज़ी में 60 अंक हुए, यानी कुल 216 अंक।

मूल्य और भार: पेन, कॉपी और बैग के मूल्य 2 : 5 : 18 में हैं, और कॉपी पेन से ₹45 महँगी है। दोनों में 3 इकाई का फ़र्क है, तो 3 इकाई = ₹45 और 1 इकाई = ₹15। बैग का मूल्य 18 × 15 = ₹270 है।

अब अगर पूछा जाए कि 3 पेन, 2 कॉपी और 1 बैग कितने में आएँगे, तो पहले इकाइयाँ गिन लीजिए। 3 × 2 + 2 × 5 + 1 × 18 = 34 इकाई, यानी ₹510। पार्सलों के भार या अनाज की बोरियों के भार वाले प्रश्न भी ठीक इसी तरह हल होते हैं।

शब्दों में छिपा अनुपात: SSC अक्सर अनुपात सीधे नहीं देता, उसे वाक्य में छिपा देता है। ऐसे वाक्यों से अनुपात इस तरह निकालिए।

पूरे का भाग: हर भाग पूरे का कितना हिस्सा है, यह भी अनुपात से तुरंत पता चल जाता है। लड़के : लड़कियाँ = 7 : 5 हो, तो लड़के कक्षा का $\frac{7}{12}$ हैं और लड़कियाँ $\frac{5}{12}$। ऐसी कक्षा में 96 विद्यार्थी हों, तो 56 लड़के और 40 लड़कियाँ होंगी।

एक इकाई का मान निकलने के बाद प्रश्न एक बार फिर पढ़ लीजिए। अक्सर पूछा कुछ और जाता है, जो अभी निकला नहीं है, जैसे कुल, तीसरा भाग या दो भागों का अंतर।

आय, व्यय और बचत के अनुपात

आय वाले हर प्रश्न में एक ही मूल बात काम आती है। यह रुपयों पर भी सही है और इकाइयों पर भी।

$$\text{आय} = \text{व्यय} + \text{बचत}$$

एक व्यक्ति: अरुण की आय और व्यय 9 : 7 के अनुपात में हैं, और वह हर महीने ₹6,400 बचाता है। बचत 9 − 7 = 2 इकाई है, तो 1 इकाई = ₹3,200। उसकी आय ₹28,800 है और व्यय ₹22,400। मतलब वह अपनी कमाई का $\frac{2}{9}$ बचाता है।

इसी तरह आय : बचत = 5 : 1 दिया हो, तो व्यय 4 इकाई हुआ, और आय : व्यय = 5 : 4। आय, व्यय और बचत में से किन्हीं दो का अनुपात मालूम हो, तो तीसरी राशि भी इकाइयों में अपने-आप निकल आती है, और उससे बाकी अनुपात भी।

दो व्यक्ति, बचत बराबर: A और B की आय 5 : 3 में है और व्यय 9 : 4 में। दोनों की मासिक बचत ₹2,800 है। A की आय कितनी है?

लंबा तरीका यह है कि आय 5x और 3x, और व्यय 9y और 4y मानकर दो समीकरण बनाइए।

$$5x - 9y = 2800, \quad 3x - 4y = 2800$$

पर एक बात समझ लें, तो यह बहुत जल्दी हो जाता है। दोनों की बचत बराबर हो, तो उनकी आय का अंतर उनके व्यय के अंतर के बराबर होता है। इसलिए दोनों अंतर बराबर कर लीजिए।

• आय 5 : 3 में अंतर 2 है, और व्यय 9 : 4 में अंतर 5।
• दोनों अंतर 10 कर लीजिए। आय 25 : 15 हो जाती है और व्यय 18 : 8।
• अब इकाइयाँ मेल खाती हैं। A की बचत 25 − 18 = 7 इकाई है और B की 15 − 8 = 7 इकाई।

7 इकाई = ₹2,800, तो 1 इकाई = ₹400। A की आय = 25 × 400 = ₹10,000। B की आय ₹6,000 है, और दोनों के व्यय ₹7,200 और ₹3,200 हैं।

जिन्हें सूत्र याद रखना अच्छा लगता है, उनके लिए एक सूत्र भी है। आय a : b हो, व्यय c : d हो और दोनों की बचत S हो, तो

$$\text{A की आय} = \frac{aS(d - c)}{ad - bc}$$

यहाँ $\frac{5 \times 2800 \times (4 - 9)}{20 - 27} = \frac{-70000}{-7} = 10000$ आता है। फिर भी अंतर वाला तरीका तेज़ है, और उसमें चूक की गुंजाइश भी कम है।

दो व्यक्ति, व्यय बराबर: तब आय का अंतर बचत के अंतर के बराबर होता है। जैसे P और Q की आय 8 : 7 में है, दोनों का व्यय बराबर है और बचत 3 : 2 में है। Q की बचत ₹6,000 है। यहाँ दोनों अंतर पहले से 1 हैं, तो इकाइयाँ मेल खाती हैं। आय 8k और 7k, बचत 3k और 2k, और हर एक का व्यय 5k। Q का 2k = ₹6,000, तो k = ₹3,000। P की आय ₹24,000 है, Q की ₹21,000, और हर एक का व्यय ₹15,000।

[SSC टिप] ऐसे प्रश्नों में विकल्पों से जाँचना भी बहुत काम आता है। सही आय वही है जिससे दोनों व्यक्तियों की दी हुई बचत निकल आए। साथ में यह भी देख लीजिए कि आय किसकी पूछी गई है, क्योंकि A और B दोनों की आय और दोनों के व्यय अक्सर विकल्पों में दिए होते हैं।

असमान बचत, बचत-अनुपात, वेतन वृद्धि

बचत अलग-अलग हो: जब दोनों की बचत रुपयों में अलग-अलग हो, तो अंतर बराबर करने वाला तरीका नहीं चलता। तब दो समीकरण बनाकर हल कीजिए।

जैसे A और B की आय 7 : 4 में है और व्यय 5 : 2 में। A ₹5,000 बचाता है और B ₹8,000। दोनों की आय निकालनी है।

$$7x - 5y = 5000, \quad 4x - 2y = 8000$$

दूसरे समीकरण से y = 2x − 4000 मिलता है। इसे पहले में रखिए, तो 7x − 10x + 20000 = 5000, और x = 5000, y = 6000। दोनों की आय ₹35,000 और ₹20,000 है, और व्यय ₹30,000 और ₹12,000। B की बचत से जाँच कर लीजिए, 20,000 − 12,000 = ₹8,000।

[Tier 2] तीनों के अनुपात दिए हों: मान लीजिए आय 3 : 5 में है, व्यय 5 : 8 में और बचत 1 : 2 में। A की बचत ₹4,500 है और B की आय पूछी गई है। आय 3x और 5x, और व्यय 5y और 8y लेकर बचत का अनुपात लिखिए।

$$\frac{3x - 5y}{5x - 8y} = \frac{1}{2}$$

तिरछा गुणा करने पर 6x − 10y = 5x − 8y, तो x = 2y। अब y = k रखिए। आय 6k और 10k हुई, व्यय 5k और 8k, और बचत k और 2k। A की बचत k = ₹4,500 है, तो B की आय = 10 × 4500 = ₹45,000।

बराबर वेतन वृद्धि: दोनों के वेतन में बराबर रुपयों की वृद्धि हो, तो दोनों वेतनों का अंतर नहीं बदलता। यहाँ भी वही इकाई विधि लगती है, बस अंतर बराबर कर लीजिए। जैसे P और Q का वेतन 3 : 5 में है। दोनों को ₹5,000 की वृद्धि मिली और अनुपात 2 : 3 हो गया।

• पुराना अंतर 5 − 3 = 2 है और नया 3 − 2 = 1। नया अनुपात 4 : 6 लिख लीजिए, अब दोनों अंतर 2 हैं।
• पुराना अनुपात 3 : 5 था और नया 4 : 6 है। हर वेतन 1 इकाई बढ़ा, और यही ₹5,000 है।
• वेतन पहले ₹15,000 और ₹25,000 थे, अब ₹20,000 और ₹30,000 हैं।

आय और व्यय दोनों रुपयों में बढ़ें: किसी व्यक्ति की आय और व्यय 4 : 3 में हैं। उसकी आय ₹6,000 बढ़ी और व्यय ₹3,000, तो अनुपात 7 : 5 हो गया। यहाँ कोई भी भाग स्थिर नहीं है, इसलिए x लेकर समीकरण बनाइए।

$$\frac{4x + 6000}{3x + 3000} = \frac{7}{5}$$

20x + 30000 = 21x + 21000, तो x = 9000। पहले आय ₹36,000 थी और व्यय ₹27,000। अब आय ₹42,000 है, व्यय ₹30,000 और बचत ₹12,000, जो पहले ₹9,000 थी।

अलग-अलग प्रतिशत वृद्धि: हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा कीजिए। वेतन 4 : 5 में हों और वृद्धि 25% और 20% हो, तो 4 × 1.25 = 5 और 5 × 1.2 = 6, यानी नया अनुपात 5 : 6 है। इस पर आगे "प्रतिशत परिवर्तन के साथ अनुपात" वाले भाग में और बात करेंगे।

याद रखिए, बराबर रुपयों की वृद्धि हो तो अंतर वही रहता है, और बराबर प्रतिशत की वृद्धि हो तो अनुपात वही रहता है। जैसे दोनों वेतन 10% बढ़ें, तो अनुपात ज़रा भी नहीं बदलेगा। विकल्पों में बदला हुआ अनुपात भी दिया होता है, पर वह गलत है।

सिक्के और नोट: संख्या, मूल्य

सिक्कों वाले प्रश्नों में दो अलग-अलग अनुपात चलते हैं। इन दोनों को एक समझ लेना ही यहाँ की सबसे बड़ी गलती है।

• संख्या का अनुपात (number ratio) बताता है कि हर तरह के कितने सिक्के हैं।
• मूल्य का अनुपात (value ratio) बताता है कि हर तरह के सिक्के कुल मिलाकर कितने रुपये के हैं।

सिक्के या नोट पर जो मूल्य लिखा होता है, उसे मूल्यवर्ग (face value) कहते हैं। संख्या और मूल्य का रिश्ता बस इतना है, मूल्य = संख्या × मूल्यवर्ग। संख्या से मूल्य निकालना हो, तो हर पद को उस सिक्के के मूल्यवर्ग से गुणा कीजिए। मूल्य से संख्या निकालनी हो, तो भाग दीजिए। पूरा हिसाब रुपयों में ही रखिए, जैसे 50 पैसे = ₹0.50, 25 पैसे = ₹0.25 और 10 पैसे = ₹0.10।

संख्या का अनुपात और कुल मूल्य दिया हो: एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 3 : 4 : 8 के अनुपात में हैं, और कुल मूल्य ₹210 है। हर तरह के कितने सिक्के हैं?

मूल्य कुल 7 इकाई है, और यही ₹210 है। तो 1 इकाई = ₹30। ₹1 वाले सिक्कों का मूल्य ₹90 है, तो ये 90 सिक्के हैं। 50 पैसे वाले सिक्कों का मूल्य ₹60 है, यानी 120 सिक्के। 25 पैसे वालों का मूल्य भी ₹60 है, पर ये 240 सिक्के हैं। जाँच कर लीजिए, 90 : 120 : 240 = 3 : 4 : 8।

इससे भी जल्दी करना हो, तो सिक्के 3k, 4k और 8k मान लीजिए। इनका मूल्य 3k + 2k + 2k = 7k = 210, तो k = 30।

मूल्य का अनुपात दिया हो, संख्या पूछी हो: एक डिब्बे में ₹2, ₹1 और 50 पैसे के सिक्कों के मूल्य 6 : 5 : 4 में हैं, और कुल 240 सिक्के हैं। यहाँ हर मूल्य-पद को उसके मूल्यवर्ग से भाग दीजिए, $\frac{6}{2} : \frac{5}{1} : \frac{4}{0.5}$ = 3 : 5 : 8। कुल 16 इकाई = 240 सिक्के, तो 1 इकाई = 15। ₹2 के 45, ₹1 के 75 और 50 पैसे के 120 सिक्के हैं। इनका मूल्य ₹90, ₹75 और ₹60 है, कुल ₹225।

चार तरह के सिक्के: ₹1, 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्कों की संख्या का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 है, और कुल मूल्य ₹150 है। मूल्य का अनुपात 2 : 1.5 : 1 : 0.5 = 4 : 3 : 2 : 1 हुआ। कुल 10 इकाई हैं, तो 1 इकाई = ₹15। मूल्य ₹60, ₹45, ₹30 और ₹15 हैं, और सिक्कों की संख्या 60, 90, 120 और 150।

रुपयों के नोट: नोटों में भी यही तरीका चलता है। ₹10, ₹20 और ₹50 के नोटों की संख्या का अनुपात 6 : 3 : 2 हो, तो मूल्य 60 : 60 : 100 = 3 : 3 : 5 होंगे। कुल राशि ₹4,400 हो, तो 11 इकाई = ₹4,400 और 1 इकाई = ₹400। ₹10 वाले और ₹20 वाले, दोनों तरह के नोटों का मूल्य 3 × 400 = ₹1,200 है। ₹50 वाले नोटों का मूल्य 5 × 400 = ₹2,000 है। अब भाग दीजिए। 1200 ÷ 10 = 120 नोट ₹10 के, 1200 ÷ 20 = 60 नोट ₹20 के और 2000 ÷ 50 = 40 नोट ₹50 के हैं।

दो तरह के सिक्के, अनुपात न दिया हो: एक डिब्बे में 50 पैसे और ₹2 के कुल 60 सिक्के हैं, जिनका मूल्य ₹75 है। मान लीजिए सारे 60 सिक्के 50 पैसे के होते। तब मूल्य केवल ₹30 होता, यानी ₹45 कम। 50 पैसे के एक सिक्के की जगह ₹2 का सिक्का रखें, तो मूल्य ₹1.50 बढ़ जाता है। तो 45 ÷ 1.5 = 30 सिक्के ₹2 के हैं, और 30 सिक्के 50 पैसे के।

[SSC टिप] विकल्पों में सबसे आम गलत उत्तर वह होता है, जो कुल मूल्य को सीधे संख्या के अनुपात में बाँटने से आता है। पहले थैले में ऐसा करने पर 210 × $\frac{8}{15}$ = 112 आता है। यह 25 पैसे वाले सिक्कों की संख्या जैसा लगता है, पर है नहीं। पहले संख्या के अनुपात से मूल्य का अनुपात निकालिए, बाकी हिसाब उसके बाद कीजिए।

बदलता अनुपात: केवल एक भाग बदले

CGL 2025 में इस तरह के प्रश्न बार-बार आए। कक्षा में विद्यार्थी जुड़ जाते हैं, क्लब से लोग चले जाते हैं, थैले में गेंदें डाली जाती हैं या दूध में पानी मिलाया जाता है। इससे अनुपात बदल जाता है, और हमें असली संख्याएँ निकालनी होती हैं।

इकाई विधि: जब केवल एक भाग बदले, तो दूसरा भाग स्थिर रहता है। दोनों अनुपातों में उस स्थिर भाग का पद बराबर कर लीजिए। फिर दूसरे पद में जितनी इकाइयों का बदलाव हुआ, वह जोड़ी या निकाली गई संख्या के बराबर होता है।

जैसे किसी कक्षा में लड़के : लड़कियाँ = 7 : 4 है। 30 और लड़कियाँ आ गईं, तो अनुपात 7 : 5 हो गया। लड़के नहीं बदले, और दोनों अनुपातों में उनका पद पहले से 7 है। लड़कियाँ 4 से 5 इकाई हुईं, तो 1 इकाई = 30। कक्षा में 210 लड़के और 120 लड़कियाँ थीं, और अब 150 लड़कियाँ हैं।

स्थिर पद अलग हो तो: लड़के : लड़कियाँ = 5 : 3 है। 36 लड़कियाँ आईं और अनुपात 10 : 9 हो गया। लड़के स्थिर हैं, तो दोनों में लड़कों का पद 10 कर लीजिए, यानी 5 : 3 = 10 : 6। लड़कियाँ 6 से 9 इकाई हुईं, तो 3 इकाई = 36 और 1 इकाई = 12। लड़के 120 हैं। लड़कियाँ पहले 72 थीं और बाद में 108 हो गईं। जाँच कर लीजिए, 120 : 108 = 10 : 9।

लोग चले जाएँ: किसी दफ़्तर में पुरुष : महिलाएँ = 9 : 5 है। 18 पुरुष चले गए और अनुपात 3 : 2 हो गया। अब महिलाएँ स्थिर हैं, तो उनका पद 10 कीजिए। 9 : 5 = 18 : 10 और 3 : 2 = 15 : 10। पुरुष 3 इकाई घटे, और यही 18 हैं। तो 1 इकाई = 6। पहले 108 पुरुष और 60 महिलाएँ थीं, अब 90 पुरुष हैं।

थैले में गेंदें: लाल और नीली गेंदें 11 : 8 में हैं। 30 लाल गेंदें निकाल लीं, तो अनुपात 7 : 6 हो गया। नीली गेंदें स्थिर हैं, तो दोनों में उनका पद 24 कीजिए। 11 : 8 = 33 : 24 और 7 : 6 = 28 : 24। लाल गेंदें 5 इकाई घटीं, और यही 30 हैं, तो 1 इकाई = 6। शुरू में 198 लाल और 144 नीली गेंदें थीं।

दूध और पानी: 60 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 7 : 3 है। कितना पानी मिलाएँ कि अनुपात 3 : 2 हो जाए? यहाँ दूध स्थिर है, तो उसका पद 21 कीजिए। 7 : 3 = 21 : 9 और 3 : 2 = 21 : 14। पानी 5 इकाई बढ़ा। मिश्रण 30 इकाई का है और यही 60 लीटर है, तो 1 इकाई = 2 लीटर। मतलब 10 लीटर पानी मिलाना है। अब दूध 42 लीटर है और पानी 18 + 10 = 28 लीटर, और 42 : 28 = 3 : 2, तो उत्तर ठीक है।

दूध मिलाना हो, तब भी यही सोच काम आती है। उसी 60 लीटर मिश्रण को 4 : 1 करना हो, तो अब पानी (18 लीटर) स्थिर रहेगा। दूध 4 × 18 = 72 लीटर होना चाहिए, तो 30 लीटर दूध मिलाना है।

एक बात और। मिश्रण का कुछ भाग निकाल लें, तो दूध और पानी उसी अनुपात में निकलते हैं, इसलिए अनुपात नहीं बदलता। निकाले गए भाग की जगह पानी भर दिया जाए, तो तरीका अलग है। वह अध्याय 6 (मिश्रण और एलीगेशन) में आएगा।

समीकरण से: इनमें से हर प्रश्न x लेकर भी हल हो सकता है। पहले प्रश्न में $\frac{7x}{4x + 30} = \frac{7}{5}$ लिखिए। 35x = 28x + 210, तो x = 30। इकाइयों वाला तरीका धीमा लगे तो यह रास्ता लीजिए, पर ज़्यादातर इकाई विधि ही तेज़ रहती है।

सबसे पहले यह देखिए कि क्या नहीं बदला। और एक गलती से बचिए। कई छात्र 30 नई लड़कियों को लड़कियों की संख्या में जोड़ने के बजाय अनुपात के पद में जोड़ देते हैं, यानी 4 + 30 लिख देते हैं।

बदलता अनुपात: दोनों भाग बदलें

दोनों में बराबर संख्या जुड़े: लड़के और लड़कियाँ बराबर संख्या में आएँ, तो दोनों का अंतर वही रहता है। यहाँ अंतर बराबर कीजिए, ठीक वैसे ही जैसे बराबर वेतन वृद्धि में किया था।

जैसे लड़के : लड़कियाँ = 9 : 5 है। बराबर संख्या में लड़के और लड़कियाँ आए, और अनुपात 5 : 3 हो गया। शुरू में 270 लड़के थे। कितने लड़के आए?

• 9 : 5 का अंतर 4 है और 5 : 3 का 2। नया अनुपात 10 : 6 लिख लीजिए, अब दोनों अंतर 4 हैं।
• 9 : 5 से 10 : 6 हुआ, यानी हर ओर 1 इकाई बढ़ी।
• लड़के 9 इकाई = 270, तो 1 इकाई = 30। मतलब 30 लड़के (और 30 लड़कियाँ) आए। जाँच कर लीजिए, 300 : 180 = 5 : 3।

"अनुपात की मूल बातें और संक्रियाएँ" वाले खंड में एक प्रश्न था कि दोनों पदों में कौन-सी संख्या जोड़ें कि अनुपात बदलकर दिया हुआ अनुपात हो जाए। यह वही प्रश्न है, बस यहाँ संख्याओं की जगह लोग हैं।

कुल स्थिर रहे: 12 लड़के चले जाएँ और 12 लड़कियाँ आ जाएँ, तो कक्षा में उतने ही विद्यार्थी रहते हैं। तब दोनों अनुपातों के पदों का योग बराबर कीजिए, फिर पदों की तुलना कीजिए। आगे हल किए गए उदाहरणों में ऐसा एक प्रश्न है।

अलग-अलग संख्याएँ जुड़ें या निकलें: तब कुछ भी स्थिर नहीं रहता, इसलिए x लेकर एक समीकरण बनाइए। जैसे लाल और हरी गेंदें 5 : 3 में हैं। 10 लाल गेंदें निकालीं और 6 हरी डालीं, तो अनुपात 5 : 4 हो गया।

$$\frac{5x - 10}{3x + 6} = \frac{5}{4}$$

तिरछा गुणा करने पर 20x − 40 = 15x + 30, तो x = 14। पहले 70 लाल और 42 हरी गेंदें थीं। अब 60 लाल और 48 हरी हैं, और 60 : 48 = 5 : 4।

[Tier 2] दो शर्तें हों, शुरू का अनुपात न हो: किसी कक्षा से 8 लड़के चले जाएँ, तो लड़के : लड़कियाँ = 2 : 3 हो जाता है। अगर इसकी जगह 12 लड़कियाँ चली जाएँ, तो लड़के और लड़कियाँ बराबर हो जाते हैं। लड़के B और लड़कियाँ G मान लीजिए। दूसरी शर्त से B = G − 12। इसे पहली शर्त में रखिए, तो G − 12 − 8 = $\frac{2}{3}$G। इससे $\frac{1}{3}$G = 20 और G = 60। कक्षा में 60 लड़कियाँ और 48 लड़के हैं। जाँच कर लीजिए, 40 : 60 = 2 : 3 और 48 = 60 − 12।

दो बार बदलता अनुपात: लाल और नीली गेंदें 2 : 3 में हैं। 10 लाल गेंदें डालीं तो दोनों बराबर हो गईं। फिर 6 नीली गेंदें निकालीं। अब अनुपात क्या है? पहले बदलाव में नीली गेंदें स्थिर हैं और लाल 2 से 3 इकाई हुईं, तो 1 इकाई = 10। शुरू में 20 लाल और 30 नीली थीं, और पहले बदलाव के बाद दोनों 30 हो गईं। दूसरे बदलाव के बाद 30 लाल और 24 नीली बचीं, यानी 5 : 4।

असली संख्याएँ एक बार मिल जाएँ, तो आगे का हर कदम संख्याओं से कीजिए, अनुपातों से नहीं।

[SSC टिप] पहले पहचानिए कि प्रश्न किस तरह का है। केवल एक भाग बदले, तो दूसरा स्थिर रहता है। दोनों में बराबर संख्या जुड़े, तो अंतर स्थिर रहता है। जितने एक ओर से घटें, उतने ही दूसरी ओर जुड़ें, तो कुल स्थिर रहता है। बाकी प्रश्नों में समीकरण बनाइए, या विकल्प आज़माइए, क्योंकि सही विकल्प की शुरुआती संख्याएँ पहले वाले अनुपात में ही होनी चाहिए।

प्रतिशत परिवर्तन के साथ अनुपात

यहाँ नियम बहुत सीधा है। हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा कीजिए, फिर अनुपात को सरल कर लीजिए।

विषयों की सीटें: एक कॉलेज में भौतिकी, रसायन और गणित की सीटें 5 : 7 : 8 के अनुपात में हैं। इनमें 40%, 50% और 75% की वृद्धि हुई। नया अनुपात क्या होगा? 5 × 1.4 = 7, 7 × 1.5 = 10.5 और 8 × 1.75 = 14। तो नया अनुपात 7 : 10.5 : 14 = 14 : 21 : 28 = 2 : 3 : 4 है।

अगर कॉलेज में पहले 1,000 सीटें थीं, तो पुराना अनुपात 20 इकाई का है और 1 इकाई = 50। नई कुल सीटें = 50 × (7 + 10.5 + 14) = 1,575।

अलग दरों से बढ़ती जनसंख्या: किसी कस्बे में पुरुष : महिलाएँ = 6 : 5 है। पुरुष 5% बढ़े और महिलाएँ 8%। अब 6 × 1.05 = 6.3 और 5 × 1.08 = 5.4, तो नया अनुपात 6.3 : 5.4 = 7 : 6 है।

कस्बे की कुल वृद्धि भारित औसत से निकलती है। यह (5 + 8) ÷ 2 = 6.5% नहीं होगी।

$$\frac{6 \times 5 + 5 \times 8}{11} = \frac{70}{11} = 6\frac{4}{11}\%$$

अब उलटा चलिए। मान लीजिए इन बदलावों के बाद कस्बे में 23,400 लोग हैं, और पूछा गया है कि पहले कितनी महिलाएँ थीं। नई जनसंख्या 6.3 + 5.4 = 11.7 इकाई है। 1 इकाई = 23,400 ÷ 11.7 = 2,000, तो पहले 10,000 महिलाएँ थीं (और 12,000 पुरुष)।

कमी भी इसी तरह: किसी दफ़्तर के कर्मचारियों में पुरुष : महिलाएँ = 5 : 3 है। फिर 20% पुरुष और 50% महिलाएँ नौकरी छोड़कर चले गए। 5 × 0.8 = 4 और 3 × 0.5 = 1.5, तो अब अनुपात 4 : 1.5 = 8 : 3 है।

पुराना अनुपात निकालना: पीछे जाना हो, तो गुणकों से भाग दीजिए। जैसे 20% और 25% की वृद्धि के बाद दो वेतन 9 : 10 में हैं। पहले का अनुपात $\frac{9}{1.2} : \frac{10}{1.25}$ = 7.5 : 8 = 15 : 16 था।

कितने प्रतिशत की वृद्धि चाहिए: लड़के : लड़कियाँ = 5 : 6 है, और लड़के 20% बढ़े। लड़कियाँ कितने प्रतिशत बढ़ें कि अनुपात 4 : 5 हो जाए? लड़के अब 6 इकाई हैं, तो लड़कियाँ $6 \times \frac{5}{4}$ = 7.5 इकाई होनी चाहिए। 6 से 7.5 होना 25% की वृद्धि है।

एक में प्रतिशत, दूसरे में रुपये: दो वस्तुओं के मूल्य 4 : 5 में हैं। पहली का मूल्य 25% बढ़ा और दूसरी का ₹500, तो नया अनुपात 10 : 11 हो गया। मूल्य 4p और 5p मान लीजिए। पहली वस्तु का मूल्य अब 5p है।

$$\frac{5p}{5p + 500} = \frac{10}{11}$$

55p = 50p + 5000, तो p = 1000। मूल्य ₹4,000 और ₹5,000 थे।

दो गलतियों से बचिए। प्रतिशत को कभी अनुपात के पदों में मत जोड़िए, 5 + 40 : 7 + 50 जैसी चीज़ का कोई मतलब नहीं है। और दोनों समूहों पर एक ही औसत प्रतिशत भी मत लगाइए।

आयु का अनुपात: दो व्यक्ति

आयु के प्रश्न एक बात समझते ही आसान हो जाते हैं। समय बीतने पर हर व्यक्ति उतने ही वर्ष बड़ा होता है, इसलिए दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। तो आयु के अनुपात वाले प्रश्न असल में वही इकाई वाले प्रश्न हैं, जिनमें अंतर स्थिर रहता है।

वर्तमान और भविष्य: A और B की वर्तमान आयु 5 : 7 में है। 6 वर्ष बाद यह 3 : 4 होगी। वर्तमान आयु क्या है?

• 5 : 7 का अंतर 2 है और 3 : 4 का 1। भविष्य का अनुपात 6 : 8 लिख लीजिए, अब दोनों अंतर 2 हैं।
• 5 : 7 से 6 : 8 हुआ, यानी हर आयु 1 इकाई बढ़ी, और यही 6 वर्ष है।
• वर्तमान आयु 30 और 42 वर्ष है। 6 वर्ष बाद ये 36 और 48 होंगी, जो 3 : 4 है।

अतीत और वर्तमान: 8 वर्ष पहले दोनों की आयु 3 : 5 में थी, और अब 5 : 7 में है। दोनों अंतर 2 हैं, तो इकाइयाँ पहले से मेल खाती हैं। 3 : 5 से 5 : 7 होने में 2 इकाई बढ़ीं, और यही 8 वर्ष हैं। 1 इकाई = 4, तो वर्तमान आयु 20 और 28 वर्ष है।

अतीत और भविष्य: 6 वर्ष पहले अनुपात 2 : 3 था और 9 वर्ष बाद 7 : 9 होगा। अंतर 1 और 2 हैं, तो अतीत का अनुपात 4 : 6 लिखिए। 4 : 6 से 7 : 9 तक 3 इकाई बढ़ीं। बीच का समय 6 + 9 = 15 वर्ष है, तो 1 इकाई = 5 वर्ष। 6 वर्ष पहले आयु 20 और 30 थी, इसलिए वर्तमान आयु 26 और 36 वर्ष है।

समीकरण से: पहला प्रश्न समीकरण से भी हो जाता है। $\frac{5x + 6}{7x + 6} = \frac{3}{4}$ से 20x + 24 = 21x + 18, तो x = 6। उत्तर वही आता है, बस एक कदम ज़्यादा लगता है।

अनुपात कब होगा: वर्तमान आयु 3 : 5 में है और योग 48 है। तो आयु 18 और 30 है, और अंतर 12। अनुपात 2 : 3 कब होगा? 2 : 3 में अंतर 1 इकाई है, तो 1 इकाई = 12। आयु 24 और 36 होनी चाहिए, यानी 6 वर्ष बाद।

किसी और समय का योग: A और B की वर्तमान आयु का योग 60 है, और 5 वर्ष बाद उनका अनुपात 4 : 3 होगा। 5 वर्ष बाद योग 60 + 10 = 70 होगा। तब आयु 40 और 30 होगी, तो अभी 35 और 25 है। ध्यान रखिए, हर व्यक्ति की आयु में 5 वर्ष जुड़ते हैं, तो योग में 10 जुड़ते हैं। केवल 5 जोड़ देना आम गलती है।

गुणनफल दिया हो: दो लोगों की आयु 4 : 5 में है और उनका गुणनफल 720 है। $4k \times 5k = 20k^2 = 720$, तो $k^2 = 36$ और k = 6। आयु 24 और 30 वर्ष है।

[SSC टिप] वर्ष हर व्यक्ति की आयु में जुड़ते हैं, अनुपात के पदों में नहीं। बहुत-से छात्र 6 वर्ष बाद का अनुपात (5 + 6) : (7 + 6) लिख देते हैं, जो बिल्कुल गलत है।

आयु: तीन व्यक्ति, जन्म और अलग-अलग समय

तीन व्यक्ति, योग दिया हो: A, B और C की वर्तमान आयु 2 : 3 : 4 में है और योग 72 है। 9 इकाई = 72, तो 1 इकाई = 8। आयु 16, 24 और 32 वर्ष है। 8 वर्ष बाद ये 24, 32 और 40 होंगी, यानी 3 : 4 : 5।

तीन व्यक्ति, किसी और समय का योग: वर्तमान आयु 3 : 4 : 5 में है। छह वर्ष पहले तीनों का योग 54 था। तब तीनों में से हर एक 6 वर्ष छोटा था, तो वर्तमान योग = 54 + 3 × 6 = 72। 12 इकाई = 72, तो आयु 18, 24 और 30 वर्ष है। यहाँ लोग अक्सर 18 की जगह केवल 6 जोड़ देते हैं।

दो अनुपातों से तीन व्यक्ति: आयु का अनुपात A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 है, और तीनों की आयु का योग 105 है। B का पद बराबर कीजिए, तो A : B : C = 8 : 12 : 15। 35 इकाई = 105, तो 1 इकाई = 3। आयु 24, 36 और 45 वर्ष है। अनुपातों को मिलाना हम "अनुपात की मूल बातें और संक्रियाएँ" वाले खंड में देख चुके हैं।

जन्म के समय: पुत्र के जन्म के समय पिता 30 वर्ष के थे। अब दोनों की आयु 8 : 3 में है। पुत्र के जन्म पर पिता की जो आयु थी, वह बस दोनों की आयु का अंतर है। तो 30 वर्ष का अंतर 5 इकाई है, और 1 इकाई = 6। पिता 48 वर्ष के हैं और पुत्र 18 वर्ष का।

"इतने गुना" भी अनुपात है: दस वर्ष पहले A की आयु B की आधी थी, और अब दोनों की आयु 3 : 4 में है। दस वर्ष पहले अनुपात 1 : 2 था, जिसमें अंतर 1 है। अब 3 : 4 है, अंतर फिर 1। 1 : 2 से 3 : 4 होने में 2 इकाई बढ़ीं, जो 10 वर्ष हैं। 1 इकाई = 5, तो अब आयु 15 और 20 वर्ष है।

[Tier 2] एक अनुपात में अलग-अलग समय की आयु: कभी एक ही अनुपात की दोनों आयु अलग-अलग समय की होती हैं। जैसे A की 5 वर्ष पहले की आयु और B की 5 वर्ष बाद की आयु 3 : 2 में है। A की 5 वर्ष बाद की आयु और B की 5 वर्ष पहले की आयु 4 : 1 में है। यहाँ अंतर वाला तरीका सीधे नहीं चलता, इसलिए दो समीकरण बनाइए।

$$2(A - 5) = 3(B + 5), \quad A + 5 = 4(B - 5)$$

दूसरे से A = 4B − 25। इसे पहले में रखिए, तो 8B − 60 = 3B + 15, यानी B = 15 और A = 35। जाँच कर लीजिए, 30 : 20 = 3 : 2 और 40 : 10 = 4 : 1।

विकल्प आज़माना: आयु के प्रश्नों में विकल्प आज़माना अक्सर सबसे तेज़ रहता है। कोई विकल्प लीजिए और दोनों आयु निकालिए। फिर दोनों आयु में दिए गए वर्ष जोड़िए या घटाइए, और देखिए कि दोनों अनुपात ठीक आते हैं या नहीं।

तीन व्यक्ति हों, तो हर "n वर्ष पहले" या "n वर्ष बाद" से योग में 3n का बदलाव होता है, n का नहीं। चार लोगों का परिवार हो, तो 4n का।

समूह के भीतर अनुपात: उत्तीर्ण, अनुत्तीर्ण, कुल

कई प्रश्नों में पहले पूरे समूह का अनुपात दिया होता है, फिर हर भाग का कोई हिस्सा भिन्न या प्रतिशत में, जैसे कितने लड़के उत्तीर्ण हुए, कितनी महिलाएँ स्नातक हैं या कितने विद्यार्थी संगीत सीखते हैं।

हर भाग इकाइयों में: लड़के : लड़कियाँ = 4 : 5 है। $\frac{3}{4}$ लड़के और $\frac{3}{5}$ लड़कियाँ उत्तीर्ण हुईं। लड़के 4 इकाई हैं, और 4 का $\frac{3}{4}$ = 3 इकाई उत्तीर्ण हुए। लड़कियाँ 5 इकाई हैं, और 5 का $\frac{3}{5}$ = 3 इकाई उत्तीर्ण हुईं। तो 9 में से 6 इकाई उत्तीर्ण हुए, यानी कक्षा का $\frac{2}{3}$, जो $66\frac{2}{3}\%$ है। उत्तीर्ण लड़के : उत्तीर्ण लड़कियाँ = 3 : 3 = 1 : 1।

एक भाग से कुल: कक्षा में लड़के : लड़कियाँ = 7 : 5 है। 36 लड़कियाँ उत्तीर्ण हुईं, जो लड़कियों का $\frac{3}{5}$ है। कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं? लड़कियाँ = 36 ÷ $\frac{3}{5}$ = 60, और यही 5 इकाई है। 1 इकाई = 12, तो लड़के 84 हैं और कक्षा में 144 विद्यार्थी।

प्रतिशत के साथ: किसी गाँव में पुरुष : महिलाएँ = 5 : 3 है। 60% पुरुष और 40% महिलाएँ साक्षर हैं। 5 × 0.6 = 3 और 3 × 0.4 = 1.2, तो साक्षर पुरुष : साक्षर महिलाएँ = 3 : 1.2 = 5 : 2। गाँव में साक्षर लोग (3 + 1.2) ÷ 8 = 52.5% हैं।

उप-समूह का अनुपात: लड़के : लड़कियाँ = 3 : 2 है। $\frac{1}{3}$ लड़के और $\frac{1}{4}$ लड़कियाँ संगीत सीखते हैं। संगीत सीखने वाले लड़के : लड़कियाँ = $3 \times \frac{1}{3} : 2 \times \frac{1}{4}$ = 1 : $\frac{1}{2}$ = 2 : 1। संगीत सीखने वाले 5 इकाइयों में से 1.5 हैं, यानी विद्यालय का $\frac{3}{10}$।

अनुत्तीर्ण: लड़के : लड़कियाँ = 6 : 5 है। $\frac{1}{6}$ लड़के और $\frac{1}{5}$ लड़कियाँ अनुत्तीर्ण हुईं, और कुल 60 विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए। अनुत्तीर्ण लड़के 1 इकाई हैं और अनुत्तीर्ण लड़कियाँ भी 1 इकाई। 2 इकाई = 60, तो 1 इकाई = 30, और कक्षा = 11 × 30 = 330।

दो समूह एक साथ: कक्षा A में 40 विद्यार्थी हैं और लड़के : लड़कियाँ = 3 : 2। कक्षा B में 48 विद्यार्थी हैं और अनुपात 5 : 3। A में 24 लड़के और 16 लड़कियाँ हैं, B में 30 लड़के और 18 लड़कियाँ। कुल 54 लड़के और 34 लड़कियाँ हुईं, यानी 27 : 17। हमेशा असली संख्याएँ निकालकर जोड़िए। अनुपात जोड़कर (3 + 5) : (2 + 3) = 8 : 5 लिखना गलत है।

अच्छी संख्याएँ चुनना: भिन्नों के हर 3 और 4 हों, तो लड़कों की संख्या 3 का गुणज लीजिए और लड़कियों की 4 का गुणज, और ध्यान रखिए कि अनुपात भी वही रहे। तब सारी संख्याएँ पूरी-पूरी आती हैं, हिसाब साफ़ रहता है और उत्तर जाँचना भी आसान होता है।

[SSC टिप] भिन्न अपने ही समूह पर लगती है, पूरी कक्षा पर नहीं। पहले उदाहरण में लड़कियाँ 5 इकाई हैं, तो "लड़कियों का $\frac{3}{5}$" मतलब 3 इकाई, सारी 9 इकाइयों का $\frac{3}{5}$ नहीं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

हिंदी, अंग्रेज़ी और गणित में रितु के अंकों का अनुपात 6 : 7 : 9 है। उसे गणित में हिंदी से 27 अंक अधिक मिले। प्रत्येक प्रश्नपत्र 100 अंकों का है। उसने कुल अंकों का कितना प्रतिशत प्राप्त किया?

उत्तर: गणित और हिंदी के अंकों में 9 − 6 = 3 इकाई का फ़र्क है, और यही 27 अंक हैं। तो 1 इकाई = 9। अंक 54, 63 और 81 हुए, जिनका योग 198 है। कुल 300 अंकों में से 198 मिले, तो प्रतिशत = 198 ÷ 3 = 66%।

प्रश्न 2

एक कॉपी, एक पेन और एक ज्यामिति बॉक्स के मूल्यों का अनुपात 4 : 1 : 9 है। तीन कॉपियों, पाँच पेन और एक ज्यामिति बॉक्स का कुल मूल्य ₹520 है। ज्यामिति बॉक्स का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले इकाइयाँ गिन लेते हैं। 3 कॉपी = 3 × 4 = 12 इकाई, 5 पेन = 5 इकाई और 1 बॉक्स = 9 इकाई। कुल 26 इकाई = ₹520, तो 1 इकाई = ₹20। ज्यामिति बॉक्स का मूल्य = 9 × 20 = ₹180। साथ में एक कॉपी ₹80 की और एक पेन ₹20 का निकलता है।

प्रश्न 3

मोहन की मासिक आय और उसके व्यय का अनुपात 11 : 8 है, और वह प्रति माह ₹7,500 बचाता है। (i) उसका व्यय ज्ञात कीजिए। (ii) यदि उसकी आय ₹2,500 बढ़ जाए और व्यय उतना ही रहे, तो आय और व्यय का नया अनुपात क्या होगा?

उत्तर: (i) बचत = 11 − 8 = 3 इकाई, और यही ₹7,500 है। तो 1 इकाई = ₹2,500, और व्यय = 8 × 2500 = ₹20,000। आय ₹27,500 है। (ii) आय बढ़कर ₹30,000 हो गई, और व्यय अब भी ₹20,000 है। तो नया अनुपात 30,000 : 20,000 = 3 : 2 है।

प्रश्न 4

P और Q की आय का अनुपात 4 : 3 है और उनके व्यय का अनुपात 7 : 5 है। दोनों में से प्रत्येक प्रति माह ₹4,000 बचाता है। P की मासिक आय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों की बचत बराबर है, तो आय का अंतर व्यय के अंतर के बराबर होगा। आय 4 : 3 में अंतर 1 है और व्यय 7 : 5 में अंतर 2। तो आय को 8 : 6 लिख लेते हैं। अब P की बचत 8 − 7 = 1 इकाई और Q की 6 − 5 = 1 इकाई है, तो 1 इकाई = ₹4,000। P की आय = 8 × 4000 = ₹32,000। Q की आय ₹24,000 है, और दोनों के व्यय ₹28,000 और ₹20,000।

प्रश्न 5

P और Q की आय का अनुपात 6 : 5 है और दोनों हर महीने बराबर राशि खर्च करते हैं। उनकी बचत का अनुपात 2 : 1 है। यदि P ₹9,000 बचाता है, तो Q की आय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों का व्यय बराबर है, तो आय का अंतर बचत के अंतर के बराबर होगा। 6 : 5 और 2 : 1, दोनों में अंतर 1 है, तो इकाइयाँ पहले से मेल खाती हैं। आय 6k और 5k हुई, बचत 2k और k, और हर एक का व्यय 4k। P की बचत 2k = ₹9,000, तो k = ₹4,500। Q की आय = 5 × 4500 = ₹22,500। दोनों का व्यय ₹18,000 निकलता है, जो सचमुच बराबर है।

प्रश्न 6

[Tier 2] A और B की आय का अनुपात 5 : 6 है, उनके व्यय का अनुपात 6 : 7 है और उनकी बचत का अनुपात 3 : 4 है। यदि B ₹8,000 बचाता है, तो A की आय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आय 5x और 6x, और व्यय 6y और 7y मान लेते हैं। बचत का अनुपात दिया है, तो

$$\frac{5x - 6y}{6x - 7y} = \frac{3}{4}$$

तिरछा गुणा करने पर 20x − 24y = 18x − 21y, यानी 2x = 3y। इसलिए x = 3k और y = 2k रख लेते हैं। आय 15k और 18k हुई, व्यय 12k और 14k, और बचत 3k और 4k। B की बचत 4k = ₹8,000, तो k = ₹2,000। A की आय = 15 × 2000 = ₹30,000।

प्रश्न 7

रवि और सोहन के वेतन का अनुपात 5 : 8 है। दोनों के वेतन में ₹6,000 की वृद्धि होती है और अनुपात 7 : 10 हो जाता है। वृद्धि से पहले उनके वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों को बराबर वृद्धि मिली, तो वेतनों का अंतर वही रहेगा। 5 : 8 का अंतर 3 है, और 7 : 10 का भी 3, तो इकाइयाँ पहले से मेल खाती हैं। 5 : 8 से 7 : 10 होने में हर वेतन 2 इकाई बढ़ा, जो ₹6,000 है। तो 1 इकाई = ₹3,000, और वेतन ₹15,000 और ₹24,000 थे। वृद्धि के बाद वेतन ₹21,000 और ₹30,000 हुए, और 21,000 : 30,000 = 7 : 10 ही है।

प्रश्न 8

X और Y के वेतन में क्रमशः 10% और 20% की वृद्धि होती है, और नए वेतनों का अनुपात 11 : 15 हो जाता है। X का नया वेतन ₹33,000 है। वृद्धि से पहले Y का वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हमें पीछे जाना है, तो हर पद को उसके गुणक से भाग देते हैं। $\frac{11}{1.1} : \frac{15}{1.2}$ = 10 : 12.5 = 4 : 5। X का पुराना वेतन = 33,000 ÷ 1.1 = ₹30,000, और यह 4 इकाई है। तो 1 इकाई = ₹7,500, और Y का पुराना वेतन = 5 × 7500 = ₹37,500। जाँच भी कर लेते हैं। Y का नया वेतन ₹45,000 है, और 33,000 : 45,000 = 11 : 15।

प्रश्न 9

एक डिब्बे में ₹5, ₹2 और ₹1 के सिक्के 2 : 5 : 9 के अनुपात में हैं। सिक्कों का कुल मूल्य ₹1,160 है। ₹2 के कितने सिक्के हैं?

उत्तर: सिक्के 2k, 5k और 9k मान लेते हैं। इनका मूल्य 5 × 2k = 10k, 2 × 5k = 10k और 1 × 9k = 9k रुपये है। कुल 29k = 1,160, तो k = 40। ₹2 के सिक्के = 5 × 40 = 200। ₹5 के 80 सिक्के हैं और ₹1 के 360।

प्रश्न 10

एक बटुए में ₹2, ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के हैं, जिनके मूल्यों का अनुपात 4 : 3 : 2 : 1 है। कुल 260 सिक्के हैं। 25 पैसे के कितने सिक्के हैं, और कुल राशि कितनी है?

उत्तर: यहाँ मूल्यों का अनुपात दिया है। संख्या का अनुपात निकालने के लिए हर मूल्य को उसके मूल्यवर्ग से भाग देते हैं, $\frac{4}{2} : \frac{3}{1} : \frac{2}{0.5} : \frac{1}{0.25}$ = 2 : 3 : 4 : 4। कुल 13 इकाई = 260 सिक्के, तो 1 इकाई = 20। सिक्के 40, 60, 80 और 80 हैं, यानी 25 पैसे के 80 सिक्के। इनके मूल्य ₹80, ₹60, ₹40 और ₹20 हैं, तो कुल राशि ₹200 है।

प्रश्न 11

एक दुकान की नकदी पेटी में ₹10, ₹20 और ₹50 के नोट 5 : 3 : 2 के अनुपात में हैं। कुल राशि ₹4,200 है। कुल कितने नोट हैं?

उत्तर: तीनों तरह के नोट 5k, 3k और 2k लेते हैं। इनका मूल्य 50k + 60k + 100k = 210k रुपये है। 210k = 4,200, तो k = 20। नोट 100, 60 और 40 हुए, यानी कुल 200 नोट। इनका मूल्य 1,000 + 1,200 + 2,000 = ₹4,200 है, जो प्रश्न में दिया है।

प्रश्न 12

एक विद्यालय में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 8 : 5 है। 45 और लड़कियों के प्रवेश लेने के बाद अनुपात 6 : 5 हो जाता है। विद्यालय में कितने लड़के हैं?

उत्तर: केवल लड़कियों की संख्या बदली, लड़के उतने ही रहे। तो दोनों अनुपातों में लड़कों का पद बराबर कर लेते हैं, 8 : 5 = 24 : 15 और 6 : 5 = 24 : 20। लड़कियाँ 15 से 20 इकाई हुईं, तो 5 इकाई = 45 और 1 इकाई = 9। लड़के = 24 × 9 = 216। साथ में लड़कियाँ 135 से 180 हुईं, और 216 : 180 = 6 : 5 आता है।

प्रश्न 13

एक थैले में सफ़ेद और काली गेंदों का अनुपात 7 : 4 है। यदि 12 सफ़ेद गेंदें निकाल ली जाएँ और 12 काली गेंदें डाल दी जाएँ, तो अनुपात 6 : 5 हो जाता है। शुरू में कितनी सफ़ेद गेंदें थीं?

उत्तर: जितनी गेंदें निकलीं, उतनी ही डाली गईं, तो कुल गेंदें उतनी ही रहीं। दोनों अनुपातों का योग 11 है, तो इकाइयाँ पहले से मेल खाती हैं। सफ़ेद गेंदें 7 से 6 इकाई हुईं, तो 1 इकाई = 12। शुरू में 7 × 12 = 84 सफ़ेद गेंदें थीं, और 48 काली। अब 72 सफ़ेद और 60 काली गेंदें हैं, और 72 : 60 = 6 : 5।

प्रश्न 14

[Tier 2] यदि किसी कक्षा से 15 लड़के चले जाएँ, तो लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3 : 4 हो जाता है। यदि इसके स्थान पर 20 लड़कियाँ चली जाएँ, तो यह अनुपात 9 : 4 हो जाता है। कक्षा में कितने विद्यार्थी हैं?

उत्तर: लड़के B और लड़कियाँ G मान लेते हैं। पहली शर्त से B − 15 = $\frac{3}{4}$G, तो B = $\frac{3}{4}$G + 15। दूसरी शर्त से 4B = 9(G − 20), जिससे B = $\frac{9}{4}$G − 45 आता है। दोनों को बराबर रखने पर $\frac{6}{4}$G = 60, तो G = 40 और B = 45। कक्षा में 85 विद्यार्थी हैं। दोनों शर्तें भी पूरी होती हैं, 30 : 40 = 3 : 4 और 45 : 20 = 9 : 4।

प्रश्न 15

45 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4 : 1 है। (i) अनुपात 3 : 2 करने के लिए इसमें कितना पानी मिलाना होगा? (ii) यदि इसके स्थान पर दूध मिलाया जाए, तो अनुपात 6 : 1 करने के लिए कितना दूध चाहिए?

उत्तर: मिश्रण में दूध 36 लीटर है और पानी 9 लीटर। (i) पानी मिलाने पर दूध 36 लीटर ही रहेगा। 3 : 2 के लिए पानी = 36 × $\frac{2}{3}$ = 24 लीटर चाहिए, तो 15 लीटर पानी मिलाना होगा। (ii) दूध मिलाने पर पानी 9 लीटर ही रहेगा। 6 : 1 के लिए दूध 54 लीटर चाहिए, तो 18 लीटर दूध मिलाना होगा।

प्रश्न 16

एक महाविद्यालय में कला, वाणिज्य और विज्ञान की सीटों का अनुपात 4 : 5 : 6 है। सीटों में क्रमशः 25%, 40% और 50% की वृद्धि की जाती है। नया अनुपात ज्ञात कीजिए। यदि पहले 1,200 सीटें थीं, तो अब कितनी सीटें हैं?

उत्तर: हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा करते हैं। 4 × 1.25 = 5, 5 × 1.4 = 7 और 6 × 1.5 = 9, तो नया अनुपात 5 : 7 : 9 है। पुराना अनुपात 15 इकाई का है, तो 1 इकाई = 1200 ÷ 15 = 80 सीटें। अब कुल 80 × (5 + 7 + 9) = 1,680 सीटें हैं।

प्रश्न 17

एक कस्बे में पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 9 : 7 है। पुरुषों की संख्या 10% और महिलाओं की संख्या 20% बढ़ जाती है, और जनसंख्या 45,750 हो जाती है। वृद्धि से पहले कितनी महिलाएँ थीं, और नया अनुपात क्या है?

उत्तर: पुरुष 9k और महिलाएँ 7k लेते हैं। वृद्धि के बाद पुरुष 9.9k और महिलाएँ 8.4k हुए, कुल 18.3k। 18.3k = 45,750, तो k = 2,500। शुरू में 7 × 2500 = 17,500 महिलाएँ थीं। नया अनुपात 9.9 : 8.4 = 99 : 84 = 33 : 28 है।

प्रश्न 18

एक फ्रिज और एक टीवी के मूल्यों का अनुपात 5 : 4 है। फ्रिज का मूल्य 12% और टीवी का मूल्य ₹2,000 बढ़ जाता है, और नया अनुपात 7 : 6 हो जाता है। टीवी का मूल मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: फ्रिज का मूल्य 5p और टीवी का 4p रखते हैं। फ्रिज का मूल्य अब 5p × 1.12 = 5.6p है, और टीवी का 4p + 2000।

$$\frac{5.6p}{4p + 2000} = \frac{7}{6}$$

तिरछा गुणा करने पर 33.6p = 28p + 14000, तो 5.6p = 14000 और p = 2500। टीवी का मूल मूल्य = 4 × 2500 = ₹10,000 है, और फ्रिज का ₹12,500। जाँचें तो नए मूल्यों का अनुपात 14,000 : 12,000 = 7 : 6 आता है।

प्रश्न 19

अनु और उसके चाचा की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 5 है। छह वर्ष पहले यह अनुपात 1 : 2 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आयु का अंतर हमेशा वही रहता है। 3 : 5 का अंतर 2 है और 1 : 2 का 1, तो पुराना अनुपात 2 : 4 लिख लेते हैं। 2 : 4 से 3 : 5 होने में हर आयु 1 इकाई बढ़ी, जो 6 वर्ष है। तो 1 इकाई = 6, और अभी आयु 18 और 30 वर्ष है। छह वर्ष पहले आयु 12 और 24 थी, जो सचमुच 1 : 2 है।

प्रश्न 20

आठ वर्ष पहले P और Q की आयु का अनुपात 2 : 5 था। आठ वर्ष बाद यह अनुपात 2 : 3 होगा। उनकी वर्तमान आयु का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2 : 5 का अंतर 3 है और 2 : 3 का 1, तो भविष्य के अनुपात को 6 : 9 कर देते हैं। 2 : 5 से 6 : 9 होने में हर आयु 4 इकाई बढ़ी। बीच का समय 8 + 8 = 16 वर्ष है, तो 1 इकाई = 4। आठ वर्ष पहले आयु 8 और 20 थी, अब 16 और 28 है, तो योग 44 वर्ष है। 8 वर्ष बाद आयु 24 और 36 होगी, यानी 2 : 3, तो हल ठीक है।

प्रश्न 21

A, B और C की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 5 : 7 है। चार वर्ष पहले उनकी आयु का योग 63 था। 5 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात क्या होगा?

उत्तर: चार वर्ष पहले तीनों में से हर एक 4 वर्ष छोटा था। तो वर्तमान योग = 63 + 3 × 4 = 75। 15 इकाई = 75, तो 1 इकाई = 5, और आयु 15, 25 और 35 वर्ष है। 5 वर्ष बाद ये 20, 30 और 40 होंगी, तो अनुपात 2 : 3 : 4 होगा।

प्रश्न 22

एक पिता और उसके पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 7 : 2 है, और उनकी आयु का गुणनफल 504 है। कितने वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 2 : 1 होगा?

उत्तर: पिता की आयु 7k और पुत्र की 2k लेते हैं। गुणनफल $14k^2 = 504$, तो $k^2 = 36$ और k = 6। पिता 42 वर्ष के हैं और पुत्र 12 वर्ष का, यानी अंतर 30 वर्ष है। 2 : 1 में अंतर 1 इकाई होता है, तो पुत्र 30 और पिता 60 वर्ष के होने चाहिए। ऐसा 18 वर्ष बाद होगा।

प्रश्न 23

एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3 : 2 है। एक परीक्षा में लड़कों में से $\frac{3}{4}$ और लड़कियों में से $\frac{5}{8}$ उत्तीर्ण हुए। कक्षा के कितने प्रतिशत विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए, और उत्तीर्ण लड़कों तथा उत्तीर्ण लड़कियों का अनुपात क्या है?

उत्तर: भिन्नों से बचने के लिए 24 लड़के और 16 लड़कियाँ मान लेते हैं। यह भी 3 : 2 ही है, और 24 का चौथाई और 16 का आठवाँ भाग पूरे-पूरे आते हैं। उत्तीर्ण हुए 18 लड़के और 10 लड़कियाँ, यानी 40 में से 28। तो कक्षा के 70% विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए, और उत्तीर्ण लड़के : उत्तीर्ण लड़कियाँ = 18 : 10 = 9 : 5।

प्रश्न 24

एक कार्यालय में पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 7 : 4 है। पुरुषों में से $\frac{2}{7}$ और महिलाओं में से $\frac{3}{4}$ स्नातक हैं। 200 पुरुष स्नातक नहीं हैं। कार्यालय में कुल कितने लोग काम करते हैं?

उत्तर: पुरुष 7k हों, तो इनमें 2k स्नातक हैं और 5k स्नातक नहीं हैं। 5k = 200, तो k = 40। पुरुष 280 हैं और महिलाएँ 4 × 40 = 160, तो कार्यालय में 440 लोग काम करते हैं। इसी से यह भी पता चलता है कि 120 महिलाएँ स्नातक हैं।