हल किए गए प्रश्न

प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 36 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। ये अध्याय के चारों विषयों से हैं और किसी तय क्रम में नहीं हैं। साझेदारी वाले प्रश्न के ठीक बाद सिक्कों वाला प्रश्न भी आ सकता है।

इसलिए हर प्रश्न में पहले यह तय कीजिए कि वह किस प्रकार का है। कहीं राशि को दिए गए अनुपात में बाँटना होता है, कहीं कोई अनुपात बदलता है, और कहीं पूँजी × समय देखना होता है। प्रकार पहचान में आ गया, तो प्रायः एक ही पंक्ति में हल निकल आता है।

हर प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, टाइमर चालू रखकर। उत्तर उसके बाद ही पढ़िए। कोशिश यह रहे कि एक प्रश्न 36 से 45 सेकंड में हो जाए।

किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो देखिए कि किस कदम पर समय गया। अक्सर अनुपात मिलाते समय ल.स. (LCM) निकालने में, या साझेदारी में महीने गिनने में देर होती है। ऐसा प्रश्न अगले दिन दोबारा कीजिए।

प्रश्नों का बँटवारा कुछ ऐसा है। लगभग पाँचवाँ भाग अनुपात की मूल बातों का है, जैसे अनुपातों को मिलाना, राशि बाँटना और संख्याएँ ज्ञात करना। एक और पाँचवाँ भाग समानुपात, मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती, चतुर्थानुपाती, व्यंजकों और विचरण (variation) का है। लगभग 30% प्रश्न अनुप्रयोग के हैं, जैसे आय और बचत, सिक्के और नोट, बदलते अनुपात, प्रतिशत के साथ अनुपात और आयु। बाकी 30% प्रश्न साझेदारी के हैं, क्योंकि हाल के CGL पेपरों में ऐसे प्रश्न पहले के वर्षों से अधिक आ रहे हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे प्रश्न में टियर 1 के आम प्रश्न से एक कदम ज़्यादा होता है, जैसे पूँजी वर्ष में कई बार बदलती हो, या व्यय का कुछ भाग स्थिर रहता हो। टियर 1 की तैयारी कर रहे छात्र भी इन्हें ज़रूर करें, क्योंकि तरीका वही है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 4 और C : D = 6 : 7 है। ₹10,200 की राशि A, B, C और D में इसी अनुपात में बाँटी जाती है। D को कितनी राशि मिलती है?

उत्तर: तीनों अनुपात एक-दूसरे से कड़ी की तरह जुड़े हैं, तो इन्हें एक के नीचे एक लिखकर गुणा करते चलते हैं। A = 2 × 5 × 6 = 60, B = 3 × 5 × 6 = 90, C = 3 × 4 × 6 = 72 और D = 3 × 4 × 7 = 84। सबको 6 से भाग देने पर 10 : 15 : 12 : 14 मिलता है, जिसका योग 51 है। 1 इकाई = 10,200 ÷ 51 = 200, तो D को 14 × 200 = ₹2,800 मिलते हैं।

प्रश्न 2

A ₹36,000 का निवेश 8 महीने के लिए, B ₹48,000 का निवेश 9 महीने के लिए और C ₹54,000 का निवेश 4 महीने के लिए करता है। लाभ में B का हिस्सा, C के हिस्से से ₹10,800 अधिक है। कुल लाभ कितना है?

उत्तर: पूँजी को हज़ारों में लेकर महीनों से गुणा कर लेते हैं। A के लिए 36 × 8 = 288, B के लिए 48 × 9 = 432 और C के लिए 54 × 4 = 216। तीनों को 72 से भाग दीजिए, तो A : B : C = 4 : 6 : 3 आता है। B को C से 3 इकाई ज़्यादा मिलती हैं, और यही 3 इकाई ₹10,800 हैं। तो 1 इकाई = 3,600, और कुल लाभ 13 × 3,600 = ₹46,800 है।

प्रश्न 3

एक कस्बे में पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 9 : 8 है। कुछ वर्षों में पुरुषों की संख्या 10% और महिलाओं की संख्या 15% बढ़ जाती है, और जनसंख्या 38,200 हो जाती है। आरंभ में कितनी महिलाएँ थीं?

उत्तर: हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा करते हैं। नया अनुपात 9 × 1.1 : 8 × 1.15 है, यानी 9.9 : 9.2 = 99 : 92। कुल 191 इकाई 38,200 लोगों के बराबर हैं, तो 1 इकाई = 200। अभी महिलाएँ 92 × 200 = 18,400 हैं। पर प्रश्न आरंभ की संख्या पूछ रहा है, इसलिए 15% की वृद्धि हटानी होगी। 18,400 ÷ 1.15 = 16,000 महिलाएँ। जाँच कर लेते हैं। आरंभ में पुरुष 18,000 थे और महिलाएँ 16,000, जो 9 : 8 है। बढ़ने के बाद 19,800 + 18,400 = 38,200 हो जाते हैं।

प्रश्न 4

यदि x, 18 और 32 का मध्यानुपाती है, y, x और 36 का तृतीयानुपाती है तथा z, x, y और 8 का चतुर्थानुपाती है, तो z का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक-एक करके चलते हैं। दो संख्याओं का मध्यानुपाती (mean proportional) उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है, तो x = $\sqrt{18 \times 32} = \sqrt{576}$ = 24। अब y, 24 और 36 का तृतीयानुपाती (third proportional) है, तो y = $\frac{36^2}{24} = \frac{1296}{24}$ = 54। अंत में z, 24, 54 और 8 का चतुर्थानुपाती (fourth proportional) है, तो z = $\frac{54 \times 8}{24}$ = 18। हर मान लिखकर ही अगले पर जाइए। इससे क्रम में गड़बड़ी नहीं होती।

प्रश्न 5

एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के संख्या में 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं। सिक्कों का कुल मूल्य ₹210 है। 25 पैसे के कितने सिक्के हैं?

उत्तर: पहले संख्या के अनुपात को मूल्य के अनुपात में बदलते हैं। मूल्य का अनुपात 5 × 1 : 6 × 0.5 : 8 × 0.25 है, यानी 5 : 3 : 2, कुल 10 इकाई। ₹210 को 10 से भाग दिया, तो 1 इकाई = ₹21। 25 पैसे वाले सिक्कों का मूल्य 2 × 21 = ₹42 है। एक रुपये में ऐसे चार सिक्के आते हैं, तो ₹42 में 42 × 4 = 168 सिक्के होंगे। तीनों तरह के सिक्के 105, 126 और 168 हुए। ये 5 : 6 : 8 में ही हैं, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 6

X ₹80,000 से एक व्यवसाय शुरू करता है। 3 महीने बाद Y ₹1,20,000 लेकर उसमें जुड़ता है। वर्ष पूरा होने से 2 महीने पहले X व्यवसाय छोड़ देता है। वर्ष का लाभ ₹94,000 है। Y का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले देखते हैं कि कौन कितने महीने व्यवसाय में रहा। X वर्ष पूरा होने से 2 महीने पहले चला गया, तो वह 12 − 2 = 10 महीने रहा। Y 3 महीने बाद आया, तो वह 12 − 3 = 9 महीने रहा। अब पूँजी को हज़ारों में लेकर महीनों से गुणा करते हैं। X के लिए 80 × 10 = 800 और Y के लिए 120 × 9 = 1,080। X : Y = 800 : 1,080 = 20 : 27, कुल 47 इकाई। 1 इकाई = 94,000 ÷ 47 = 2,000, तो Y का हिस्सा 27 × 2,000 = ₹54,000 है।

प्रश्न 7

₹8,400 को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A का हिस्सा, B और C के हिस्सों के योग का $\frac{2}{3}$ है तथा B का हिस्सा, A और C के हिस्सों के योग का $\frac{1}{4}$ है। C का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहली शर्त का मतलब है कि B और C के मिलाकर 3 इकाई हों, तो A की 2 इकाई होंगी। पूरी राशि 5 इकाई हुई, जिसमें से 2 इकाई A की हैं। तो A = $\frac{2}{5}$ × 8,400 = 3,360। दूसरी शर्त में B की 1 इकाई पर A और C की मिलाकर 4 इकाई हैं। मतलब पूरी राशि का पाँचवाँ भाग B को मिलता है, तो B = 1,680। बाकी राशि C की है, 8,400 − 3,360 − 1,680 = ₹3,360।

प्रश्न 8

एक व्यक्ति और उसके भतीजे की वर्तमान आयु का अनुपात 5 : 3 है। दस वर्ष पहले यह अनुपात 5 : 2 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ एक बात काम आती है। दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। अभी 5 : 3 में अंतर 2 इकाई है, और दस वर्ष पहले 5 : 2 में 3 इकाई। दोनों अंतर 6 कर लेते हैं, तो अभी का अनुपात 15 : 9 और तब का 10 : 4 हो जाता है। व्यक्ति 10 वर्ष में 10 इकाई से 15 इकाई का हुआ, तो 5 इकाई = 10 वर्ष और 1 इकाई = 2 वर्ष। दोनों की वर्तमान आयु 30 और 18 वर्ष है। दस वर्ष पहले दोनों 20 और 8 वर्ष के थे, और 20 : 8 = 5 : 2 ही है।

प्रश्न 9

यदि $\frac{5a - 3b}{3a + 2b} = \frac{9}{13}$ है, तो a : b तथा $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले तिरछा गुणा करते हैं। 13(5a − 3b) = 9(3a + 2b), यानी 65a − 39b = 27a + 18b। a वाले पद एक ओर और b वाले दूसरी ओर ले जाने पर 38a = 57b आता है। दोनों ओर 19 से भाग देने पर 2a = 3b, तो a : b = 3 : 2। दूसरे भाग के लिए बस a = 3 और b = 2 रख दीजिए। $\frac{9 + 4}{9 - 4} = \mathbf{\frac{13}{5}}$।

प्रश्न 10

M और N क्रमशः ₹1,40,000 और ₹60,000 का निवेश करते हैं। दोनों को अपनी-अपनी पूँजी पर 10% वार्षिक ब्याज मिलता है, और शेष लाभ दोनों में बराबर बाँटा जाता है। वर्ष का लाभ ₹46,000 है। प्रत्येक को कितनी राशि मिलती है?

उत्तर: पहले ब्याज दे देते हैं। M को अपनी पूँजी पर 14,000 ब्याज मिला और N को 6,000। इस तरह कुल 20,000 ब्याज में चले गए। बचे 26,000 बराबर बँटेंगे, तो हर एक को 13,000 और मिलेंगे। M = 14,000 + 13,000 = ₹27,000 और N = 6,000 + 13,000 = ₹19,000। कुछ लोग पूरे ₹46,000 को पूँजी के अनुपात 7 : 3 में बाँटकर M को ₹32,200 दे देते हैं। यह गलत है, क्योंकि इसमें ब्याज वाला कदम छूट गया।

प्रश्न 11

एक क्लब में पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 9 : 5 है। इसके बाद 8 पुरुष क्लब छोड़ देते हैं और 20 महिलाएँ क्लब में शामिल हो जाती हैं, जिससे अनुपात 5 : 4 हो जाता है। आरंभ में क्लब में कितने सदस्य थे?

उत्तर: पुरुष 9k और महिलाएँ 5k मान लेते हैं। बदलाव के बाद (9k − 8) : (5k + 20) = 5 : 4 होना चाहिए। तिरछा गुणा करने पर 4(9k − 8) = 5(5k + 20), जिससे 36k − 32 = 25k + 100 आता है। तो 11k = 132 और k = 12। आरंभ में पुरुष 108 थे और महिलाएँ 60, यानी कुल 168 सदस्य। मिला लीजिए, बदलाव के बाद 100 पुरुष और 80 महिलाएँ हुईं, और 100 : 80 = 5 : 4।

प्रश्न 12

2 : 3 के वर्गानुपात, 81 : 64 के वर्गमूलानुपात और 5 : 6 के व्युत्क्रम अनुपात का मिश्रित अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों अनुपात एक-एक करके निकालते हैं। 2 : 3 के वर्गानुपात (duplicate ratio) में दोनों पदों का वर्ग लेते हैं, तो 4 : 9 मिला। 81 : 64 के वर्गमूलानुपात (sub-duplicate ratio) में दोनों का वर्गमूल लेते हैं, तो 9 : 8 मिला। 5 : 6 का व्युत्क्रम अनुपात (inverse ratio) बस उलटकर 6 : 5 है। मिश्रित अनुपात (compound ratio) में इन सबका गुणा करना होता है। (4 × 9 × 6) : (9 × 8 × 5) = 216 : 360 = 3 : 5।

प्रश्न 13

A ₹36,000 से एक व्यवसाय शुरू करता है। कुछ महीने बाद B ₹54,000 लेकर उसमें जुड़ता है। वर्ष के अंत में लाभ 8 : 5 के अनुपात में बाँटा जाता है। B कितने महीने बाद व्यवसाय में जुड़ा?

उत्तर: हज़ारों में A के लिए पूँजी × महीने = 36 × 12 = 432। लाभ 8 : 5 में बँटा है, तो B का यह गुणनफल A वाले का $\frac{5}{8}$ होगा। 432 × $\frac{5}{8}$ = 270। B की पूँजी 54 है, तो वह 270 ÷ 54 = 5 महीने व्यवसाय में रहा। इसका मतलब B 7 महीने बाद जुड़ा। यहाँ बहुत लोग 5 लिख देते हैं, जो गलत है। 5 महीने यह बताता है कि B कितने समय रहा, यह नहीं कि वह कब आया।

प्रश्न 14

A और B की आय का अनुपात 4 : 5 है और उनके व्यय का अनुपात 3 : 4 है। दोनों में से प्रत्येक ₹7,500 बचाता है। B का व्यय कितना है?

उत्तर: इसे तिरछा गुणा करके जल्दी निकाल सकते हैं। आय a : b = 4 : 5 और व्यय c : d = 3 : 4 लीजिए। ad − bc = 16 − 15 = 1 और d − c = 4 − 3 = 1। तो आय की 1 इकाई = 7,500 × 1 ÷ 1 = ₹7,500। B की आय 5 × 7,500 = 37,500 हुई, तो B का व्यय = 37,500 − 7,500 = ₹30,000। जाँच के लिए A को देखिए। उसकी आय 30,000 है और व्यय 22,500, और 22,500 : 30,000 = 3 : 4।

प्रश्न 15

धातु की एक छड़ का भार उसकी लंबाई और उसकी त्रिज्या के वर्ग के संयुक्त रूप से अनुक्रमानुपाती है। 2 मीटर लंबी और 3 सेमी त्रिज्या वाली छड़ का भार 18 किग्रा है। 3 मीटर लंबी और 2 सेमी त्रिज्या वाली छड़ का भार कितना होगा?

उत्तर: यह संयुक्त विचरण (joint variation) है। भार, लंबाई × $r^2$ के अनुक्रमानुपाती है। लंबाई 2 से 3 मीटर हुई और त्रिज्या 3 से 2 सेमी। तो नया भार = 18 × $\frac{3}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$ = 18 × $\frac{3}{2} \times \frac{4}{9}$ = 12 किग्रा। नई छड़ लंबी तो है, पर पतली भी है, और पतलेपन का असर ज़्यादा होता है, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग लिया जाता है।

प्रश्न 16

A, B और C क्रमशः ₹1,25,000, ₹1,75,000 और ₹2,00,000 लगाकर समान अवधि के लिए एक व्यवसाय शुरू करते हैं। लाभ ₹1,10,000 है। C का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबका समय बराबर है, तो केवल पूँजी देखनी है। हज़ारों में 125 : 175 : 200 = 5 : 7 : 8, कुल 20 इकाई। 1 इकाई = 1,10,000 ÷ 20 = 5,500, तो C को 8 × 5,500 = ₹44,000 मिलते हैं।

प्रश्न 17

₹19,600 को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A के हिस्से का $\frac{3}{4}$ = B के हिस्से का $\frac{2}{3}$ = C के हिस्से का $\frac{4}{5}$ है। B का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों बराबर हैं, तो इन्हें एक ही राशि मान लेते हैं। हर हिस्सा उस राशि को अपनी भिन्न से भाग देकर मिलेगा। इसलिए A : B : C = $\frac{4}{3} : \frac{3}{2} : \frac{5}{4}$। भिन्न हटाने के लिए 12 से गुणा किया, तो 16 : 18 : 15 मिला, कुल 49 इकाई। 1 इकाई = 19,600 ÷ 49 = 400, तो B का हिस्सा 18 × 400 = ₹7,200 है। उलटकर भी देख लेते हैं। 6,400 का $\frac{3}{4}$, 7,200 का $\frac{2}{3}$ और 6,000 का $\frac{4}{5}$, तीनों 4,800 आते हैं।

प्रश्न 18

एक कॉलेज में हिंदी, अंग्रेज़ी और संस्कृत की सीटों का अनुपात 3 : 4 : 7 है। इन सीटों में क्रमशः 40%, 75% और 50% की वृद्धि की जाती है। नया अनुपात तथा कुल सीटों में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर पद को उसके अपने गुणक से गुणा करते हैं। 3 × 1.4 : 4 × 1.75 : 7 × 1.5 से 4.2 : 7 : 10.5 मिलता है। दशमलव हटाने के लिए 10 से गुणा किया, तो 42 : 70 : 105 हुआ, जो 6 : 10 : 15 है। अब कुल सीटें देखिए। पहले 14 इकाई थीं, अब 4.2 + 7 + 10.5 = 21.7 इकाई हैं। 14 पर 7.7 की वृद्धि हुई, जो 55% है।

प्रश्न 19 [Tier 2]

A, B और C ₹8,100 में एक चरागाह किराए पर लेते हैं। A उसमें 10 घोड़े 4 महीने तक, B 24 गायें 3 महीने तक और C 30 भेड़ें 5 महीने तक चराता है। 2 घोड़े उतना खाते हैं जितना 3 गायें खाती हैं, और 5 भेड़ें उतना खाती हैं जितना 1 गाय खाती है। C कितना किराया देता है?

उत्तर: सब कुछ गायों में बदल लेते हैं और हर एक के लिए गायें × महीने निकालते हैं। A के 10 घोड़े 15 गायों के बराबर हैं, तो 15 × 4 = 60। B के लिए 24 × 3 = 72। C की 30 भेड़ें 6 गायों के बराबर हैं, तो 6 × 5 = 30। अनुपात 60 : 72 : 30 = 10 : 12 : 5 है, कुल 27 इकाई। 1 इकाई = 8,100 ÷ 27 = 300, तो C ₹1,500 देता है।

प्रश्न 20

3, 11, 9 और 23 में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए, जिससे प्राप्त संख्याएँ समानुपात में हों?

उत्तर: संख्याएँ a, b, c, d हों, तो जोड़ी जाने वाली संख्या x = (bc − ad) ÷ ((a + d) − (b + c)) होती है। यहाँ x = $\frac{11 \times 9 - 3 \times 23}{26 - 20} = \frac{99 - 69}{6}$ = 5। 5 जोड़ने पर संख्याएँ 8, 16, 14 और 28 हो जाती हैं, और 8 : 16 = 14 : 28 = 1 : 2।

प्रश्न 21

A, B और C की वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 5 : 7 है। 5 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 120 होगा। 7 वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात क्या था?

उत्तर: 5 वर्ष में तीनों 5 वर्ष बड़े हो जाएँगे, तो योग 15 बढ़ेगा। अभी का योग 120 − 15 = 105 है, जो 15 इकाई के बराबर है। तो 1 इकाई = 7, और तीनों की आयु 21, 35 और 49 वर्ष है। सात वर्ष पहले वे 14, 28 और 42 वर्ष के थे, तो अनुपात 1 : 2 : 3 था।

प्रश्न 22

A और B क्रमशः ₹42,000 और ₹56,000 का निवेश करते हैं। लाभ का 15% दान में दिया जाता है और शेष उनकी पूँजी के अनुपात में बाँटा जाता है। A को ₹10,200 मिलते हैं। कुल लाभ कितना था?

उत्तर: पूँजी 42 : 56 = 3 : 4 है, तो दान के बाद बचे लाभ का $\frac{3}{7}$ A को मिलता है। A को 10,200 मिले, तो बचा लाभ = 10,200 × $\frac{7}{3}$ = 23,800। 15% दान में गया, इसलिए यह पूरे लाभ का 85% है। लाभ = 23,800 ÷ 0.85 = ₹28,000। मिलान भी कर लेते हैं। दान में ₹4,200 गए, और बचे 23,800 में से A को 10,200 और B को 13,600 मिले।

प्रश्न 23

निम्नलिखित अनुपातों में से सबसे बड़ा अनुपात कौन-सा है: 3 : 7, 5 : 11, 7 : 15, 4 : 9?

उत्तर: हर अनुपात को दशमलव में बदलकर देखते हैं। 3 ÷ 7 लगभग 0.429 है, 5 ÷ 11 लगभग 0.455, 7 ÷ 15 लगभग 0.467 और 4 ÷ 9 लगभग 0.444। तो सबसे बड़ा 7 : 15 है। यहाँ इससे भी जल्दी हो सकता है, क्योंकि हर अनुपात आधे से ज़रा-सा कम है। 7 : 15 आधे से केवल $\frac{1}{30}$ कम है। 3 : 7 में यह कमी $\frac{1}{14}$ है, 5 : 11 में $\frac{1}{22}$ और 4 : 9 में $\frac{1}{18}$। जिसमें कमी सबसे छोटी है, वही सबसे बड़ा अनुपात है।

प्रश्न 24 [Tier 2]

A और B के वेतन का अनुपात 4 : 5 है। A के वेतन में 25% की वृद्धि होती है और B के वेतन में ₹4,000 की वृद्धि होती है, जिससे उनका अनुपात 10 : 11 हो जाता है। वेतन वृद्धि से पहले B का वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वेतन 4k और 5k मान लेते हैं। वृद्धि के बाद A का वेतन 4k × 1.25 = 5k हो गया, और B का 5k + 4,000। अब 5k : (5k + 4,000) = 10 : 11 है। तिरछा गुणा करने पर 55k = 50k + 40,000 आता है, तो k = 8,000। B का पुराना वेतन 5 × 8,000 = ₹40,000 था। जाँच के लिए देखिए, A का वेतन 32,000 से 40,000 हुआ और B का 40,000 से 44,000। अब 40,000 : 44,000 = 10 : 11 ही है।

प्रश्न 25

A ₹48,000 से एक व्यवसाय शुरू करता है। 4 महीने बाद B उसमें जुड़ता है। वर्ष के अंत में ₹72,000 के लाभ में से B को ₹40,000 मिलते हैं। B ने कितनी पूँजी लगाई थी?

उत्तर: A को 72,000 − 40,000 = 32,000 मिले, तो A : B = 32 : 40 = 4 : 5। हज़ारों में A के लिए पूँजी × महीने = 48 × 12 = 576 है। तो B का यह गुणनफल 576 × $\frac{5}{4}$ = 720 होगा। B 4 महीने बाद आया, इसलिए वह 8 महीने व्यवसाय में रहा। उसकी पूँजी = 720 ÷ 8 = 90 हज़ार, यानी ₹90,000।

प्रश्न 26 [Tier 2]

$\frac{\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 6}}{\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 6}} = 3$ को हल कीजिए।

उत्तर: ऊपर दो वर्गमूलों का योग है और नीचे उन्हीं का अंतर, तो योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगेगा। इससे $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$ = 2 आता है। दोनों ओर वर्ग करने पर x + 6 = 4(x − 6), तो 3x = 30 और x = 10। x = 10 रखकर देखिए। $\sqrt{16}$ = 4 और $\sqrt{4}$ = 2, और $\frac{4 + 2}{4 - 2}$ = 3 ही है।

प्रश्न 27

एक नकदी पेटी में ₹10, ₹20 और ₹50 के नोट हैं। तीनों प्रकार के नोटों के मूल्यों का अनुपात 3 : 4 : 5 है, और कुल 180 नोट हैं। पेटी में कुल कितनी राशि है?

उत्तर: संख्या का अनुपात निकालने के लिए हर प्रकार के नोटों के कुल मूल्य को उस नोट के मूल्य से भाग देते हैं। $\frac{3}{10} : \frac{4}{20} : \frac{5}{50}$ = 0.3 : 0.2 : 0.1 = 3 : 2 : 1। कुल 180 नोट हैं, तो ये 90, 60 और 30 हुए। राशि = 900 + 1,200 + 1,500 = ₹3,600। मूल्यों का अनुपात भी मिला लीजिए, 900 : 1,200 : 1,500 = 3 : 4 : 5 ही है।

प्रश्न 28 [Tier 2]

A, B और C एक व्यवसाय शुरू करते हैं। A पूरे वर्ष के लिए ₹60,000 लगाता है। B आरंभ में ₹20,000 लगाता है और हर 3 महीने के अंत में ₹20,000 और जोड़ता है। C 4 महीने बाद ₹75,000 लेकर जुड़ता है और 8वें महीने के अंत में ₹25,000 निकाल लेता है। लाभ ₹1,82,000 है। प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पूँजी हज़ारों में लेकर एक-एक साझेदार का पूँजी × महीने निकालते हैं।

• A पूरे वर्ष 60 लगाए रखता है, तो 60 × 12 = 720।
• B की पूँजी 0 से 3 महीने तक 20, 3 से 6 तक 40, 6 से 9 तक 60 और 9 से 12 महीने तक 80 रहती है। हर दौर 3 महीने का है, तो (20 + 40 + 60 + 80) × 3 = 600।
• C की पूँजी 4 से 8 महीने तक 75 और 8 से 12 महीने तक 50 रहती है। तो 300 + 200 = 500।

अब A : B : C = 720 : 600 : 500 = 36 : 30 : 25, कुल 91 इकाई। 1 इकाई = 1,82,000 ÷ 91 = 2,000, तो A को ₹72,000, B को ₹60,000 और C को ₹50,000 मिलते हैं।

प्रश्न 29

तीन संख्याएँ 3 : 4 : 6 के अनुपात में हैं, और उनके वर्गों का योग 1,525 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याएँ 3k, 4k और 6k मान लेते हैं। उनके वर्गों का योग $9k^2 + 16k^2 + 36k^2 = 61k^2$ है। $61k^2$ = 1,525 से $k^2$ = 25 आता है, तो k = 5। सबसे बड़ी संख्या 6 × 5 = 30 है। तीनों संख्याएँ 15, 20 और 30 हैं।

प्रश्न 30

एक डिब्बे में लाल और हरी गेंदों का अनुपात 9 : 7 है। 48 लाल गेंदें निकाल लेने के बाद यह अनुपात 3 : 5 हो जाता है। डिब्बे में कितनी हरी गेंदें हैं?

उत्तर: हरी गेंदें नहीं बदलतीं, तो दोनों अनुपातों में हरी वाले पद बराबर कर लेते हैं। 7 और 5 का ल.स. 35 है, तो 9 : 7 को 45 : 35 और 3 : 5 को 21 : 35 लिखते हैं। लाल गेंदें 45 इकाई से घटकर 21 इकाई रह गईं। ये 24 इकाई 48 गेंदें हैं, तो 1 इकाई = 2। हरी गेंदें 35 × 2 = 70 हैं। अब मिलाइए, लाल गेंदें 90 से 42 रह गईं, और 42 : 70 = 3 : 5।

प्रश्न 31

यदि (x + 2), (x + 5) और (x + 11) सतत समानुपात में हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सतत समानुपात (continued proportion) में बीच वाले पद का वर्ग बाकी दोनों के गुणनफल के बराबर होता है। तो $(x + 5)^2 = (x + 2)(x + 11)$। दोनों ओर खोलने पर $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 13x + 22$ मिलता है, जिससे 3x = 3 और x = 1। x = 1 रखने पर संख्याएँ 3, 6 और 12 आती हैं, और 3 : 6 = 6 : 12 है।

प्रश्न 32 [Tier 2]

A और B क्रमशः ₹1,80,000 और ₹2,70,000 का निवेश करते हैं। A व्यवसाय का प्रबंधन करता है और इसके लिए उसे ₹3,500 प्रति माह मिलते हैं। शेष लाभ पूँजी के अनुपात में बाँटा जाता है। वर्ष भर में A को कुल ₹74,000 मिलते हैं। कुल लाभ कितना था?

उत्तर: A का वर्ष भर का वेतन 3,500 × 12 = 42,000 हुआ। तो बाकी लाभ में से उसे 74,000 − 42,000 = 32,000 मिले। पूँजी 180 : 270 = 2 : 3 है, इसलिए A को बाकी लाभ का $\frac{2}{5}$ मिलता है। बाकी लाभ = 32,000 × $\frac{5}{2}$ = 80,000। कुल लाभ = 80,000 + 42,000 = ₹1,22,000।

प्रश्न 33

एक पिता की वर्तमान आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी है। आठ वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 5 गुनी थी। पिता की वर्तमान आयु कितनी है?

उत्तर: अभी अनुपात 3 : 1 है, जिसमें अंतर 2 इकाई है। आठ वर्ष पहले 5 : 1 था, जिसमें अंतर 4 इकाई है। अंतर बराबर करने के लिए अभी वाले अनुपात को 6 : 2 लिखते हैं। अब 8 वर्ष पीछे जाने पर पुत्र 2 इकाई से 1 इकाई का रह गया, तो 1 इकाई = 8 वर्ष। पिता की आयु 6 × 8 = 48 वर्ष है और पुत्र की 16 वर्ष। आठ वर्ष पहले दोनों 40 और 8 वर्ष के थे, और 40 सचमुच 8 का 5 गुना है।

प्रश्न 34 [Tier 2]

एक छात्रावास को चलाने का मासिक व्यय आंशिक रूप से स्थिर है और आंशिक रूप से विद्यार्थियों की संख्या के साथ बदलता है। 120 विद्यार्थियों पर यह व्यय ₹2,64,000 और 150 विद्यार्थियों पर ₹3,15,000 है। 180 विद्यार्थियों पर यह व्यय कितना होगा?

उत्तर: 30 अतिरिक्त विद्यार्थियों पर व्यय 3,15,000 − 2,64,000 = 51,000 बढ़ा, तो हर विद्यार्थी पर ₹1,700 लगते हैं। 120 विद्यार्थियों पर यह बदलने वाला व्यय 120 × 1,700 = 2,04,000 है। इसे 2,64,000 में से घटाइए, तो स्थिर भाग 2,64,000 − 2,04,000 = ₹60,000 आता है। 180 विद्यार्थियों पर बदलने वाला व्यय 180 × 1,700 = 3,06,000 होगा। इसमें स्थिर ₹60,000 जोड़िए, तो कुल व्यय = 60,000 + 3,06,000 = ₹3,66,000। इसे और जल्दी भी कर सकते हैं। 150 से 180 तक भी 30 विद्यार्थी ही बढ़ते हैं, तो ₹3,15,000 में बस ₹51,000 और जोड़ दीजिए।

प्रश्न 35 [Tier 2]

A कुल पूँजी का $\frac{1}{3}$ भाग कुल समय के $\frac{1}{4}$ भाग के लिए लगाता है, B पूँजी का $\frac{1}{4}$ भाग समय के $\frac{1}{2}$ भाग के लिए लगाता है, और C शेष पूँजी पूरे समय के लिए लगाता है। व्यवसाय में ₹22,500 की हानि होती है। इस हानि में से C को कितनी राशि वहन करनी होगी?

उत्तर: C की पूँजी का भाग = 1 − $\frac{1}{3}$ − $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{12}$। अब हर एक के लिए पूँजी × समय लेते हैं। A के लिए यह $\frac{1}{12}$ आता है, B के लिए $\frac{1}{8}$ और C के लिए $\frac{5}{12}$। 24 से गुणा करने पर 2 : 3 : 10 मिलता है, कुल 15 इकाई। हानि भी लाभ की तरह ही बँटती है। 1 इकाई = 22,500 ÷ 15 = 1,500, तो C को 10 × 1,500 = ₹15,000 वहन करने होंगे।

प्रश्न 36

दो संख्याएँ 5 : 8 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में से 6 घटाने पर अनुपात 2 : 5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों में से एक ही संख्या घटाई गई है, तो उनका अंतर नहीं बदलता। दोनों अनुपातों में अंतर 3 इकाई ही है, इसलिए इन्हें बदलना नहीं पड़ता। पहली संख्या 5 इकाई से 2 इकाई रह गई, तो 3 इकाई = 6 और 1 इकाई = 2। संख्याएँ 10 और 16 हैं। 10 और 16 में से 6 घटाने पर 4 और 10 बचते हैं, और 4 : 10 = 2 : 5।