अनुपात की मूल बातें और संक्रियाएँ

अनुपात क्या है

जब एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना करनी हो, तो हम अनुपात लिखते हैं। अनुपात से पता चलता है कि एक राशि दूसरी की कितनी गुनी है। a का b से अनुपात a : b लिखा जाता है और "a अनुपात b" पढ़ा जाता है। इसे भिन्न $\frac{a}{b}$ के रूप में भी लिख सकते हैं।

अनुपात के पहले पद को पूर्वपद (antecedent) और दूसरे पद को उत्तरपद (consequent) कहते हैं।

मान लीजिए किसी कक्षा में 24 लड़के और 18 लड़कियाँ हैं। तब लड़के : लड़कियाँ = 24 : 18 = 4 : 3 होगा। मतलब हर 4 लड़कों पर 3 लड़कियाँ हैं।

तीन बुनियादी नियम। अनुपात लिखते समय ये तीन बातें हमेशा ध्यान में रखिए।

• एक ही प्रकार: 40 मिनट की तुलना 2 घंटे से हो सकती है, क्योंकि दोनों समय हैं। पर 5 किग्रा की तुलना 3 मीटर से नहीं हो सकती।
• एक ही इकाई: पहले दोनों राशियों को एक ही इकाई में बदलिए। 40 मिनट : 2 घंटे = 40 : 120 = 1 : 3 होगा, 40 : 2 नहीं।
• उत्तर में इकाई नहीं: अनुपात में इकाइयाँ आपस में कट जाती हैं, इसलिए अनुपात एक शुद्ध संख्या होता है। 1 : 3 लिखिए, "1 : 3 मिनट" नहीं।

अनुपात में पदों का क्रम भी बहुत ज़रूरी है। लड़के : लड़कियाँ = 4 : 3 है, तो लड़कियाँ : लड़के = 3 : 4 होगा। परीक्षा की जल्दबाज़ी में लोग अक्सर क्रम उलट देते हैं। यह गलती बहुत आसानी से हो जाती है।

सरलतम रूप। अनुपात को सरलतम रूप में लाने के लिए दोनों पदों को उनके म.स. से भाग दीजिए। जैसे 84 : 126 में दोनों का म.स. 42 है। 42 से भाग देने पर 2 : 3 मिलता है। जब दोनों पदों का म.स. 1 रह जाए, तो समझिए कि अनुपात सरलतम रूप में आ गया।

तुल्य अनुपात। अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा करें या भाग दें, तो अनुपात नहीं बदलता। बस वह संख्या शून्य न हो। ऐसे अनुपातों को तुल्य अनुपात (equivalent ratios) कहते हैं। जैसे 2 : 3 = 4 : 6 = 10 : 15 = 2k : 3k। अनुपात के ज़्यादातर प्रश्न इसी बात से हल होते हैं।

अनुपात केवल यह बताता है कि राशियाँ आपस में कितनी छोटी-बड़ी हैं। असली संख्याएँ उससे पता नहीं चलतीं। लड़के : लड़कियाँ = 4 : 3 हो, तो असली संख्याएँ 4k और 3k होंगी, और k कोई भी संख्या हो सकती है। k = 6 लें तो 24 लड़के और 18 लड़कियाँ होंगी। k = 10 लें तो 40 और 30।

इससे एक बात और निकलती है। कुल संख्या 4 + 3 = 7 का गुणज होनी चाहिए। 4 : 3 वाली कक्षा में 42 या 56 विद्यार्थी हो सकते हैं, पर 50 कभी नहीं। SSC कभी-कभी ठीक यही पूछता है, "इनमें से कौन-सी संख्या कुल नहीं हो सकती?"

भाग और कुल। A : B = 4 : 3 हो, तो A के 4 भाग हैं और B के 3 भाग। मतलब कुल 7 भाग हुए। इससे ये बातें तुरंत पता चल जाती हैं।

• A कुल का $\frac{4}{7}$ है और B कुल का $\frac{3}{7}$।
• A : कुल = 4 : 7 और कुल : B = 7 : 3।
• अंतर A − B = 1 भाग है, यानी कुल का $\frac{1}{7}$।

दीर्घ और लघु असमता। 5 : 3 जैसे अनुपात में पहला पद बड़ा है। इसे दीर्घ असमता का अनुपात (ratio of greater inequality) कहते हैं। 3 : 5 में पहला पद छोटा है, तो यह लघु असमता का अनुपात (ratio of lesser inequality) है। और 4 : 4 जैसा अनुपात समता का अनुपात कहलाता है। ये नाम प्रश्नों में कम ही आते हैं, पर अनुपातों की तुलना करते समय यह बात काम आती है।

मुख्य बात: अनुपात a : b हो, तो दोनों राशियाँ ak और bk मान लीजिए। k मान लेने के बाद लगभग हर अनुपात वाला प्रश्न एक छोटे-से समीकरण से हल हो जाता है।

अनुपात को सरल करना: भिन्न, दशमलव और इकाइयाँ

अनुपात का उत्तर अंत में पूर्ण संख्याओं में लिखा जाता है, और उसके पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं रहना चाहिए। पद भिन्न में हों, दशमलव में हों या अलग-अलग इकाइयों में, तो पहले उन पर थोड़ा काम करना पड़ता है।

भिन्न। हर पद को सभी हरों के ल.स. से गुणा कर दीजिए।

• $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} : \frac{5}{6}$ में हर 3, 4 और 6 हैं। इनका ल.स. 12 है, तो 12 से गुणा करने पर 8 : 9 : 10 मिलता है।
• $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ को 12 से गुणा कीजिए, 6 : 4 : 3 आ जाएगा।
• मिश्रित भिन्न हो, तो पहले उसे विषम भिन्न में बदलिए। $1\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3} = \frac{3}{2} : \frac{7}{3}$, और अब 6 से गुणा करने पर 9 : 14 आता है।

केवल दो पद हों, तो इससे भी तेज़ तरीका है। $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ = ad : bc। जैसे $\frac{3}{5} : \frac{4}{7}$ = 21 : 20।

भिन्नों वाले अनुपात में उत्तर की जाँच भी आसानी से हो जाती है। उत्तर के हर पद को उसकी अपनी भिन्न से भाग दीजिए। हर बार एक ही संख्या आनी चाहिए। जैसे 8 : 9 : 10 को $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ से जाँचिए। 8 ÷ $\frac{2}{3}$ = 12, 9 ÷ $\frac{3}{4}$ = 12 और 10 ÷ $\frac{5}{6}$ = 12। तीनों बार 12 आया, तो उत्तर सही है।

दशमलव। हर पद को 10, 100 या 1000 से गुणा कीजिए, ताकि दशमलव बिंदु हट जाए। फिर अनुपात को सरल कर लीजिए।

• 0.75 : 1.2 = 75 : 120 = 5 : 8
• 0.4 : 0.06 : 1.2 = 40 : 6 : 120 = 20 : 3 : 60
• 2.5 : 0.125 = 2500 : 125 = 20 : 1

ध्यान रखिए, सभी पदों को एक ही संख्या से गुणा करना है। कई छात्र 0.4 को 10 से और 0.06 को 100 से गुणा कर देते हैं। यह आम गलती है, क्योंकि इससे अनुपात ही बदल जाता है।

अलग-अलग इकाइयाँ। दोनों पदों को छोटी इकाई में बदल लीजिए।

इकाई बदले बिना हल करेंगे, तो गलत विकल्प पर पहुँचेंगे। 75 पैसे : ₹3 को सीधे 75 : 3 = 25 : 1 लिख दिया, तो इसका मतलब हुआ कि 75 पैसे बड़ी राशि है। यह साफ़ गलत है। लिखने से पहले एक बार देख लीजिए कि कौन-सी राशि बड़ी है। इसमें एक पल लगता है, और यह गलती तुरंत पकड़ में आ जाती है।

वर्गमूल और घातें। पहले हर पद को सरल कीजिए। $\sqrt{12} : \sqrt{27} = 2\sqrt{3} : 3\sqrt{3}$, यानी 2 : 3। इसी तरह $2^5 : 4^2$ = 32 : 16 = 2 : 1।

अनुपातों की तुलना और क्रम

दो अनुपातों की तुलना ठीक वैसे ही करते हैं, जैसे दो भिन्नों की।

तिरछा गुणा। a : b और c : d की तुलना करनी हो, तो a × d की तुलना b × c से कीजिए। a × d बड़ा हो, तो a : b बड़ा अनुपात है।

$$\frac{5}{7} \text{ बनाम } \frac{7}{10}: \quad 5 \times 10 = 50, \quad 7 \times 7 = 49$$

50 > 49 है, इसलिए 5 : 7, 7 : 10 से बड़ा है। दो अनुपात बराबर तभी होते हैं, जब दोनों तिरछे गुणनफल बराबर हों।

दशमलव में बदलकर। विकल्पों में चार अनुपात हों, तो हर एक को दशमलव में बदल लीजिए। अक्सर यही सबसे तेज़ तरीका होता है। जैसे 3 : 5, 5 : 8, 7 : 11 और 4 : 7 की तुलना करनी है।

इनमें सबसे बड़ा 7 : 11 है और सबसे छोटा 4 : 7। आरोही क्रम में ये 4 : 7, 3 : 5, 5 : 8, 7 : 11 होंगे। अध्याय 3 (प्रतिशत) की भिन्न-प्रतिशत तालिका याद हो, तो इनमें से ज़्यादातर मान तुरंत निकल आते हैं।

एक पद बराबर करके। दोनों अनुपातों के पूर्वपद या उत्तरपद बराबर कर लीजिए, फिर दूसरे पदों की तुलना कीजिए। जैसे 3 : 4 और 5 : 7 में दोनों पूर्वपद 15 कर लीजिए। तब ये 15 : 20 और 15 : 21 हो जाते हैं। पूर्वपद बराबर हों, तो जिसका उत्तरपद छोटा है, वही अनुपात बड़ा होता है। इसलिए 3 : 4 बड़ा है।

"1 के पास" वाली बात। किसी अनुपात के दोनों पदों में एक ही धनात्मक संख्या जोड़ दें, तो अनुपात 1 के और पास आ जाता है।

• 1 से कम अनुपात बढ़ जाता है। 3 : 5 = 0.6, पर 4 : 6 = 0.667।
• 1 से अधिक अनुपात घट जाता है। 5 : 3 = 1.667, पर 6 : 4 = 1.5।

जैसे 5 : 7, 7 : 9 और 9 : 11 में हर उत्तरपद अपने पूर्वपद से 2 अधिक है। ये तीनों 1 से कम हैं, तो सबसे बड़े पदों वाला 9 : 11 सबसे बड़ा है। 7 : 5, 9 : 7 और 11 : 9 में बात उलटी है। यहाँ 7 : 5 सबसे बड़ा है।

किसी संक्रिया के बाद तुलना। कभी पूछा जाता है कि 2 : 3 का वर्गानुपात बड़ा है या अनुपात 3 : 5। पहले वर्गानुपात निकालिए, जो 4 : 9 है (वर्गानुपात अगले भाग में विस्तार से देखेंगे)। अब तिरछा गुणा कीजिए। 4 × 5 = 20 और 9 × 3 = 27, तो 3 : 5 बड़ा है।

तालिका से अनुपात। तालिका वाले प्रश्न में पूछा जा सकता है, "किस वर्ष लड़कों और लड़कियों का अनुपात सबसे अधिक था?" यहाँ भी यही तरीका है। हर वर्ष का अनुपात दशमलव में बदलिए और सबसे बड़ा चुन लीजिए। केवल संख्याओं का आकार देखकर कभी फ़ैसला न कीजिए।

[SSC टिप] अनुपातों की तुलना पदों के आकार से नहीं होती। 7 : 12 की संख्याएँ 3 : 5 से बड़ी हैं, फिर भी 7 : 12 छोटा अनुपात है। 7 : 12 का मान 0.583 है और 3 : 5 का 0.6। इसलिए हमेशा a ÷ b का मान देखिए।

मिश्रित अनुपात, वर्गानुपात, घनानुपात और व्युत्क्रम अनुपात

ये सब अनुपातों पर की जाने वाली संक्रियाओं के नाम हैं। SSC इन्हें अकेले भी पूछता है, और कभी एक ही प्रश्न में दो-तीन को मिलाकर भी।

वर्गानुपात में पदों का वर्ग लेना होता है, उन्हें दोगुना नहीं करना होता। 3 : 5 का वर्गानुपात 9 : 25 है। दोनों पदों को दोगुना करके 6 : 10 लिखेंगे, तो वह फिर से वही 3 : 5 हुआ। छात्र यह गलती बहुत आसानी से कर बैठते हैं। इसी तरह वर्गमूलानुपात में वर्गमूल लेना है, पदों को आधा नहीं करना।

मिश्रित अनुपात। कई अनुपातों का मिश्रित अनुपात (compound ratio) निकालने के लिए सभी पूर्वपदों को आपस में गुणा कीजिए, और सभी उत्तरपदों को आपस में।

$$\text{मिश्रित अनुपात: } a : b,\ c : d,\ e : f = ace : bdf$$

जैसे 3 : 4, 8 : 9 और 15 : 16 का मिश्रित अनुपात (3 × 8 × 15) : (4 × 9 × 16) = 360 : 576 = 5 : 8 है। गुणा करने से पहले ही संख्याएँ काट लें, तो काम बहुत कम हो जाता है। $\frac{3 \times 8 \times 15}{4 \times 9 \times 16} = \frac{5}{8}$।

किसी अनुपात का अपने ही साथ मिश्रित अनुपात उसका वर्गानुपात होता है। इसी तरह किसी अनुपात और उसके व्युत्क्रम का मिश्रित अनुपात हमेशा 1 : 1 होता है।

तीन पदों का व्युत्क्रम। a : b : c का व्युत्क्रम $\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$ है, c : b : a नहीं। जैसे 2 : 3 : 4 का व्युत्क्रम $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ = 6 : 4 : 3 है। केवल क्रम उलटकर 4 : 3 : 2 लिख देना गलत है। क्रम उलटना केवल दो पदों वाले अनुपात में चलता है।

मिली-जुली संक्रियाएँ। पहले हर अनुपात अलग-अलग निकालिए, फिर उन सबका मिश्रित अनुपात लीजिए। मान लीजिए 2 : 3 के वर्गानुपात, 27 : 8 के घनमूलानुपात और 4 : 9 के व्युत्क्रम अनुपात का मिश्रित अनुपात चाहिए।

• 2 : 3 का वर्गानुपात = 4 : 9
• 27 : 8 का घनमूलानुपात = 3 : 2
• 4 : 9 का व्युत्क्रम = 9 : 4

अब मिश्रित अनुपात = (4 × 3 × 9) : (9 × 2 × 4) = 108 : 72 = 3 : 2।

मिश्रित अनुपात से पद निकालना। कभी मिश्रित अनुपात दिया होता है और कोई पद पूछा जाता है। जैसे 5 : 8 और x : 3 के वर्गानुपात का मिश्रित अनुपात 10 : 9 है। x : 3 के वर्गानुपात का उत्तरपद 9 है, तो मिश्रित अनुपात का उत्तरपद 8 × 9 = 72 होगा। अब समीकरण बना लीजिए।

$$\frac{5x^2}{72} = \frac{10}{9} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$$

करणी के साथ। $2\sqrt{2} : 3\sqrt{5}$ का वर्गानुपात 8 : 45 है, क्योंकि $(2\sqrt{2})^2 = 8$ और $(3\sqrt{5})^2 = 45$।

अनुपातों को मिलाना: A : B और B : C

हाल के CGL पेपरों में ऐसे प्रश्न बार-बार आए हैं। इनमें दो अनुपात दिए होते हैं और एक राशि दोनों में होती है। फिर तीनों राशियों का एक साथ अनुपात पूछा जाता है।

नियम। उभयनिष्ठ पद को दोनों अनुपातों में बराबर बनाइए। मान लीजिए A : B = 3 : 5 और B : C = 2 : 3 है। B पहले अनुपात में 5 है और दूसरे में 2। 5 और 2 का ल.स. 10 है, तो दोनों अनुपातों को ऐसी संख्याओं से गुणा कीजिए कि B दोनों में 10 हो जाए।

• A : B = 3 : 5 = 6 : 10 (2 से गुणा)
• B : C = 2 : 3 = 10 : 15 (5 से गुणा)

अब दोनों में B = 10 है, तो A : B : C = 6 : 10 : 15।

तेज़ तरीका। A : B = a : b और B : C = c : d हो, तो

$$A : B : C = ac : bc : bd$$

मतलब पहले अनुपात को c से गुणा कीजिए, जो दूसरे अनुपात में B का मान है। फिर दूसरे अनुपात को b से गुणा कीजिए, जो पहले अनुपात में B का मान है। ऊपर वाली संख्याएँ लें, तो (3 × 2) : (5 × 2) : (5 × 3) = 6 : 10 : 15। अंत में तीनों पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड बचे, तो म.स. से भाग दे दीजिए।

सीधे A : C। केवल A : C चाहिए, तो तीन पदों वाला अनुपात बनाने की ज़रूरत नहीं है। A : C = ac : bd, जो दोनों अनुपातों का मिश्रित अनुपात है। यहाँ A : C = 6 : 15 = 2 : 5।

उभयनिष्ठ पद बीच में न हो तब। कभी उभयनिष्ठ पद दोनों अनुपातों में पहले स्थान पर होता है, या दोनों में दूसरे स्थान पर।

• A : B = 3 : 4 और A : C = 5 : 6 में उभयनिष्ठ पद A है। A को 15 बनाइए। A : B = 15 : 20 और A : C = 15 : 18, तो A : B : C = 15 : 20 : 18। इससे B : C = 20 : 18 = 10 : 9।
• A : B = 5 : 6 और C : B = 4 : 9 में उभयनिष्ठ पद B है, पर दोनों में वह दूसरे स्थान पर है। B को 18 बनाइए। A : B = 15 : 18 और C : B = 8 : 18, तो A : B : C = 15 : 18 : 8।

गुणा करने से पहले हर अनुपात के साथ उसके अक्षर लिख लीजिए। ज़्यादातर गलत उत्तर इसी उलझन से आते हैं कि कौन-सा पद किसका है।

भिन्नों में दिए अनुपात। A : B = $\frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ और B : C = $\frac{1}{4} : \frac{1}{5}$ हो, तो पहले दोनों अनुपातों से भिन्न हटा लीजिए। A : B = 3 : 2 और B : C = 5 : 4। अब B को 10 बनाइए, तो A : B : C = 15 : 10 : 8।

कुल राशि के साथ। मान लीजिए A : B = 3 : 4, B : C = 6 : 7 और A + B + C = ₹2,450 है। तो A : B : C = 18 : 24 : 28 = 9 : 12 : 14। कुल 35 भाग हुए, तो एक भाग = ₹70। हिस्से ₹630, ₹840 और ₹980 हैं।

इन्हीं से दूसरे अनुपात। A : B : C मिल जाए, तो बाकी सारे अनुपात उसी से निकल आते हैं। 6 : 10 : 15 से (A + B) : (B + C) = 16 : 25 और C : (A + B + C) = 15 : 31।

[SSC टिप] उभयनिष्ठ पद बराबर किए बिना दो अनुपात कभी न मिलाइए। A : B = 3 : 5 और B : C = 2 : 3 से A : B : C = 3 : 5 : 3 या 3 : 2 : 3 नहीं होता। संख्याएँ बस अगल-बगल लिख देने से यही दोनों आते हैं, और विकल्पों में भी ये दिए होते हैं।

लंबी कड़ियाँ: तीन और चार अनुपात

कभी A : B, B : C और C : D तीनों दिए होते हैं, और A : D या पूरा A : B : C : D पूछा जाता है।

सीधे A : D। इसे मिश्रित अनुपात की तरह सीधे गुणा करके निकालिए।

$$\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}$$

जैसे A : B = 3 : 5, B : C = 2 : 3 और C : D = 6 : 5 है। तो A : D = (3 × 2 × 6) : (5 × 3 × 5) = 36 : 75 = 12 : 25। बीच वाले B और C अपने आप कट जाते हैं।

पूरा A : B : C : D। इसे एक-एक कड़ी जोड़कर बनाइए।

1. A : B : C = 6 : 10 : 15, जो ऊपर "अनुपातों को मिलाना" वाले भाग में निकाला था।
2. यहाँ C = 15 है, जबकि C : D = 6 : 5 में C = 6। 15 और 6 का ल.स. 30 है। तो पहले अनुपात को दोगुना कीजिए, 12 : 20 : 30, और C : D को 5 से गुणा कीजिए, 30 : 25।
3. अब A : B : C : D = 12 : 20 : 30 : 25।

पैटर्न। A : B = a : b, B : C = c : d और C : D = e : f हो, तो

$$A : B : C : D = ace : bce : bde : bdf$$

हर पद के लिए उसकी बाईं ओर की सभी कड़ियों के उत्तरपद और दाईं ओर की सभी कड़ियों के पूर्वपद आपस में गुणा कीजिए। ऊपर वाली संख्याओं से 36 : 60 : 90 : 75 आता है, और 3 से भाग देने पर 12 : 20 : 30 : 25।

उलटी कड़ियाँ। कभी कोई कड़ी उलटी लिखी होती है। जैसे A : B = 3 : 4, C : B = 2 : 5 और D : C = 3 : 4। पहले उलटी कड़ियों को पलट लीजिए, B : C = 5 : 2 और C : D = 4 : 3। अब A : D = (3 × 5 × 4) : (4 × 2 × 3) = 60 : 24 = 5 : 2।

बेतरतीब क्रम। कड़ियाँ किसी भी क्रम में दी जा सकती हैं, जैसे A : B = 4 : 3, B : D = 6 : 7 और C : D = 2 : 5। इन्हें ऐसे क्रम में रखिए कि हर कड़ी का एक अक्षर अगली कड़ी में भी आए, जैसे A : B, B : D, D : C। इसके लिए C : D को पलटकर D : C = 5 : 2 लिखिए। पहली दो कड़ियों से A : B : D = 8 : 6 : 7। फिर D को 35 बनाइए, तो A : B : D : C = 40 : 30 : 35 : 14। इसे सही क्रम में लिखें, तो A : B : C : D = 40 : 30 : 14 : 35।

कड़ियों में भिन्न। A : B = $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$, B : C = $\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$ और C : D = $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ हो, तो पहले हर कड़ी से भिन्न हटाइए। ये 5 : 6, 3 : 4 और 3 : 2 हो जाती हैं। इनसे A : B : C = 5 : 6 : 8 आता है। अब C को 24 बनाइए, तो A : B : C : D = 15 : 18 : 24 : 16।

अंतर के साथ। पूरा अनुपात मिलने के बाद बस राशि बाँटनी होती है। मान लीजिए A : B : C : D = 12 : 20 : 30 : 25 है, और D को A से ₹1,040 अधिक मिलते हैं। D और A में 13 भाग का अंतर है, तो 13 भाग = ₹1,040 और एक भाग = ₹80। B = 20 × 80 = ₹1,600।

बराबर गुणनफल: 2A = 3B = 4C और A का 1/3 = B का 1/4

कई प्रश्नों में राशियों का अनुपात सीधे नहीं दिया होता, बल्कि उनके बीच कोई बराबरी दी होती है। ऐसे प्रश्न तीन रूपों में आते हैं।

रूप 1: pA = qB = rC। हर एक को k मान लीजिए। तब A = $\frac{k}{p}$, B = $\frac{k}{q}$ और C = $\frac{k}{r}$, यानी

$$A : B : C = \frac{1}{p} : \frac{1}{q} : \frac{1}{r}$$

जैसे 2A = 3B = 4C हो, तो A : B : C = $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$। 12 से गुणा करने पर 6 : 4 : 3 मिलता है।

यहाँ संख्याएँ उलट जाती हैं। जिस राशि का गुणांक सबसे बड़ा है, वह राशि सबसे छोटी होती है। इसलिए विकल्पों में 2 : 3 : 4 दिखे, तो समझ लीजिए कि वह गलत विकल्प है। जाँच के लिए संख्याएँ वापस रखिए। 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12 और 4 × 3 = 12, सब बराबर हैं।

दो ही पद हों, तो सीधे उलट दीजिए। 5A = 8B हो, तो A : B = 8 : 5।

तीन पदों के लिए एक छोटा रास्ता भी है, A : B : C = qr : pr : pq। 2A = 3B = 4C में इससे 12 : 8 : 6 = 6 : 4 : 3 आता है।

रूप 2: A/p = B/q = C/r। यहाँ कुछ भी उलटना नहीं पड़ता।

$$\frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5} = k \Rightarrow A : B : C = 3 : 4 : 5$$

साथ में A + B + C = 96 दिया हो, तो 12k = 96, यानी k = 8। तब A = 24, B = 32 और C = 40।

रूप 3: A की कोई भिन्न = B की कोई भिन्न। "A का $\frac{1}{3}$ = B का $\frac{1}{4}$" का अर्थ है $\frac{A}{3} = \frac{B}{4}$, यानी A : B = 3 : 4। इसका सामान्य रूप यह है।

$$\frac{m}{n} \text{ गुना } A = \frac{p}{q} \text{ गुना } B \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{p}{q} \div \frac{m}{n}$$

जैसे A का $\frac{2}{3}$ = B का $\frac{4}{5}$ हो, तो $\frac{A}{B} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{5}$, यानी A : B = 6 : 5।

एक तेज़ जाँच याद रखिए। जिस राशि के साथ छोटी भिन्न लगी है, वह राशि बड़ी होती है।

तीन व्यक्ति हों, तब भी यही तरीका है। मान लीजिए "A का $\frac{1}{2}$ = B का $\frac{2}{3}$ = C का $\frac{3}{4}$" है। हर एक को k मानिए। तब A = 2k, B = $\frac{3k}{2}$ और C = $\frac{4k}{3}$। 6 से गुणा करने पर A : B : C = 12 : 9 : 8 आता है।

मिले-जुले रूप। "4A = 5B और 3B = 7C" हो, तो A : B = 5 : 4 और B : C = 7 : 3। B एक में 4 है और दूसरे में 7, तो इसे 28 बनाइए। A : B : C = 35 : 28 : 12। यह वही मिलाने वाला तरीका है, जो ऊपर "अनुपातों को मिलाना" वाले भाग में देखा था।

प्रतिशत वाले प्रश्न, जैसे A का 20% = B का 30%, भी ठीक रूप 3 की तरह हल होते हैं।

दिए गए अनुपात में बाँटना

किसी राशि को a : b : c में बाँटना हो, तो पहले सारे भाग जोड़ लीजिए। फिर हर व्यक्ति को कुल राशि में से उसके भागों के हिसाब से हिस्सा दीजिए।

$$\text{A का हिस्सा} = \frac{a}{a + b + c} \times \text{कुल राशि}$$

दो भाग। ₹1,800 को 4 : 5 में बाँटना है। कुल 9 भाग हुए, तो एक भाग = ₹200। हिस्से ₹800 और ₹1,000 हैं।

तीन भाग। ₹5,400 को 2 : 3 : 4 में बाँटना है। कुल 9 भाग हुए, तो एक भाग = ₹600। हिस्से ₹1,200, ₹1,800 और ₹2,400 हैं। जाँच के लिए हिस्सों को जोड़कर देख लीजिए कि कुल राशि आती है या नहीं।

भिन्नों में अनुपात। पहले भिन्न हटाइए। ₹3,900 को $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ में बाँटने का मतलब है 6 : 4 : 3 में बाँटना। कुल 13 भाग हुए, तो एक भाग = ₹300। हिस्से ₹1,800, ₹1,200 और ₹900 हैं। यहाँ आम चूक यह है कि लोग भूल से 2 : 3 : 4 में बाँट देते हैं।

संख्याओं के व्युत्क्रम अनुपात में। जैसे "₹4,400 को 4, 5 और 10 के व्युत्क्रम अनुपात में बाँटिए"। इसका मतलब है अनुपात $\frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{10}$ = 5 : 4 : 2। कुल 11 भाग हुए और हर भाग ₹400 का है। हिस्से ₹2,000, ₹1,600 और ₹800 हैं। ध्यान दीजिए, सबसे बड़ी संख्या वाले को सबसे छोटा हिस्सा मिलता है।

एक को दूसरे से अधिक मिले। तब रुपयों का जो अंतर दिया है, वह भागों के अंतर के बराबर होता है। मान लीजिए राशि 5 : 8 में बँटी और दूसरे को ₹1,260 अधिक मिले। भागों का अंतर 3 है, तो 3 भाग = ₹1,260 और एक भाग = ₹420। कुल राशि = 13 × 420 = ₹5,460।

एक हिस्सा पता हो। 4 : 5 : 6 में C का हिस्सा ₹1,500 है। तो एक भाग = 1500 ÷ 6 = ₹250, और कुल राशि = 15 × 250 = ₹3,750।

बाकी लोगों के जोड़ की भिन्न। ऐसा प्रश्न आता है, "₹7,200 को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A को, B और C को मिलकर जितना मिलता है उसका $\frac{1}{3}$ मिले, और B को, A और C को मिलकर जितना मिलता है उसका $\frac{2}{7}$ मिले। C का हिस्सा ज्ञात कीजिए।"

यहाँ A = $\frac{1}{3}$(B + C), यानी A : (B + C) = 1 : 3। तो A को कुल का $\frac{1}{4}$ मिलता है, जो ₹1,800 है। इसी तरह B = $\frac{2}{7}$(A + C), तो B को कुल का $\frac{2}{9}$ मिलता है, यानी ₹1,600। बचा C, जो 7200 − 1800 − 1600 = ₹3,800 है।

नियम याद रखिए। X को बाकी सबके कुल का $\frac{p}{q}$ मिले, तो X का हिस्सा कुल का $\frac{p}{p + q}$ होता है।

बराबर गुणनफल वाली शर्त। जैसे "₹2,220 को A, B और C में इस प्रकार बाँटिए कि A के हिस्से का 4 गुना = B के हिस्से का 5 गुना = C के हिस्से का 6 गुना हो।" यहाँ अनुपात $\frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{6}$ = 15 : 12 : 10 है। कुल 37 भाग हुए और हर भाग ₹60 का है। A को ₹900, B को ₹720 और C को ₹600 मिलते हैं। जाँच कर लीजिए, 4 × 900 = 5 × 720 = 6 × 600 = 3600।

बाँटने से पहले भी एक जाँच काम आती है। कुल राशि भागों के जोड़ का गुणज होनी चाहिए। यहाँ 2220 में 37 का पूरा भाग चला जाता है। पूरा भाग न जाता, तो लगभग पक्का होता कि अनुपात ही गलत लिखा गया है।

अनुपात से संख्याएँ निकालना और अनुपात बदलना

अनुपात से संख्याएँ। दो संख्याएँ a : b में हों, तो उन्हें ak और bk मानिए। प्रश्न में दी गई दूसरी सूचना से k निकल आएगा। अनुपात 3 : 5 के लिए देखिए।

गुणनफल या वर्गों वाले प्रश्नों में k वर्गमूल लेकर मिलता है। वहाँ धनात्मक मूल ही लीजिए, जब तक प्रश्न कुछ और न कहे। तीन संख्याएँ हों, तो इसी तरह ak, bk और ck मानिए।

म.स. या ल.स. के साथ। a : b सरलतम रूप में हो, तो k ही दोनों संख्याओं का म.स. होता है, और उनका ल.स. abk होता है। जैसे दो संख्याएँ 4 : 7 में हैं और उनका ल.स. 336 है। तो 28k = 336, k = 12, और संख्याएँ 48 और 84 हैं।

[Tier 2] जोड़ियों के योग। मान लीजिए (A + B) : (B + C) : (C + A) = 6 : 7 : 8 है और A + B + C = 63। तीनों जोड़ियाँ जोड़ दीजिए। 2(A + B + C) = 126, जो 21 भाग है। तो एक भाग = 6। अब A + B = 36, B + C = 42 और C + A = 48। इनसे C = 63 − 36 = 27, A = 63 − 42 = 21 और B = 63 − 48 = 15।

दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ना। पूछा जाता है कि a : b के दोनों पदों में कौन-सी संख्या x जोड़ें, जिससे अनुपात c : d हो जाए।

$$\frac{a + x}{b + x} = \frac{c}{d} \Rightarrow x = \frac{bc - ad}{d - c}$$

जैसे 5 : 9 को 2 : 3 बनाना है। x = (9 × 2 − 5 × 3) ÷ (3 − 2) = 3। जाँच कीजिए, 8 : 12 = 2 : 3।

दोनों पदों में से घटाना। $\frac{a - x}{b - x} = \frac{c}{d}$ को भी इसी तरह हल कीजिए। जैसे 13 : 19 को 1 : 2 बनाना है। 2(13 − x) = 19 − x, यानी 26 − 2x = 19 − x, तो x = 7। जाँच कीजिए, 6 : 12 = 1 : 2।

दो संख्याओं में जोड़ना। यह प्रश्न देखिए, "दो संख्याएँ 2 : 5 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 8 जोड़ने पर अनुपात 1 : 2 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।" संख्याएँ 2k और 5k मानिए।

$$\frac{2k + 8}{5k + 8} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4k + 16 = 5k + 8 \Rightarrow k = 8$$

संख्याएँ 16 और 40 हैं। जाँच कर लीजिए, 24 : 48 सचमुच 1 : 2 है।

[SSC टिप] "दोनों पदों में x जोड़िए" वाले प्रश्नों में चारों विकल्प जाँचने में कुछ ही सेकंड लगते हैं। हर विकल्प को दोनों पदों में जोड़कर देखिए कि किससे नया अनुपात आता है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

2.4 किग्रा और 960 ग्राम का अनुपात क्या है? (a) 1 : 400 (b) 5 : 2 (c) 2 : 5 (d) 25 : 1

उत्तर: पहले दोनों को एक ही इकाई में लाना होगा। 2.4 किग्रा = 2400 ग्राम। अब अनुपात 2400 : 960 है। दोनों को 480 से भाग देने पर 5 : 2 आता है, तो उत्तर (b) 5 : 2 है। इकाई बदले बिना 2.4 : 960 लिख दें, तो 1 : 400 आएगा। इसका मतलब होगा कि 2.4 किग्रा वाली चीज़ हल्की है, जो गलत है।

प्रश्न 2

$\frac{2}{5} : \frac{3}{4} : \frac{5}{6}$ का सरलतम रूप क्या है? (a) 2 : 3 : 5 (b) 50 : 45 : 24 (c) 8 : 15 : 25 (d) 24 : 45 : 50

उत्तर: तीनों भिन्नों के हर 5, 4 और 6 हैं, जिनका ल.स. 60 है। अब हर पद को 60 से गुणा कर देते हैं। $\frac{2}{5} \times 60 = 24$, $\frac{3}{4} \times 60 = 45$ और $\frac{5}{6} \times 60 = 50$। इन तीनों संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए (d) 24 : 45 : 50 ही सरलतम रूप है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित में से कौन-सा अनुपात सबसे बड़ा है? (a) 4 : 7 (b) 5 : 9 (c) 7 : 12 (d) 9 : 16

उत्तर: चारों को दशमलव में बदल लेते हैं। 4 ÷ 7 ≈ 0.571, 5 ÷ 9 ≈ 0.556, 7 ÷ 12 ≈ 0.583 और 9 ÷ 16 = 0.5625। सबसे बड़ा मान 0.583 है, जो (c) 7 : 12 का है। 9 : 16 की संख्याएँ सबसे बड़ी हैं, पर उसका मान सबसे बड़ा नहीं है, इसलिए उसे चुनना गलत होगा।

प्रश्न 4

4 : 5 के वर्गानुपात, 225 : 64 के वर्गमूलानुपात और 3 : 2 के व्युत्क्रम अनुपात का मिश्रित अनुपात क्या है? (a) 4 : 5 (b) 9 : 5 (c) 1 : 1 (d) 5 : 4

उत्तर: पहले तीनों अनुपात अलग-अलग निकाल लेते हैं। 4 : 5 का वर्गानुपात 16 : 25 है। 225 : 64 के दोनों पदों का वर्गमूल लेने पर वर्गमूलानुपात 15 : 8 आता है। 3 : 2 का व्युत्क्रम 2 : 3 है। अब मिश्रित अनुपात के लिए पहले पदों का आपस में गुणा करते हैं, और दूसरे पदों का आपस में। (16 × 15 × 2) : (25 × 8 × 3) = 480 : 600 = 4 : 5 आता है, यानी विकल्प (a) 4 : 5।

प्रश्न 5

4 : 5 : 6 का व्युत्क्रम अनुपात क्या है? (a) 6 : 5 : 4 (b) 10 : 12 : 15 (c) 15 : 12 : 10 (d) 5 : 4 : 3

उत्तर: व्युत्क्रम अनुपात $\frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{6}$ होगा। 4, 5 और 6 का ल.स. 60 है, तो 60 से गुणा करने पर 15 : 12 : 10 आता है। उत्तर (c) 15 : 12 : 10 है। केवल क्रम उलटकर 6 : 5 : 4 लिखना देखने में ठीक लगता है, पर गलत है। यह तरकीब सिर्फ़ दो पदों वाले अनुपात में चलती है।

प्रश्न 6

यदि 2 : 5 और x : 2 के घनानुपात का मिश्रित अनुपात 27 : 20 है, तो x = ? (a) 9 (b) 3 (c) 6 (d) 2

उत्तर: x : 2 का घनानुपात $x^3 : 8$ है। 2 : 5 के साथ इसका मिश्रित अनुपात $2x^3 : 40$ होगा। यह 27 : 20 के बराबर है, तो $\frac{2x^3}{40} = \frac{27}{20}$। इससे $2x^3 = 54$, फिर $x^3 = 27$ और x = 3। उत्तर (b) 3 है।

प्रश्न 7

यदि A : B = 3 : 5 और B : C = 7 : 4 हो, तो A : B : C = ? (a) 3 : 5 : 4 (b) 21 : 35 : 28 (c) 15 : 35 : 20 (d) 21 : 35 : 20

उत्तर: B पहले अनुपात में 5 है और दूसरे में 7, तो B को 35 बनाते हैं। A : B = 3 : 5 को 7 से गुणा करके 21 : 35 मिलता है, और B : C = 7 : 4 को 5 से गुणा करके 35 : 20। अब दोनों में B बराबर है, तो A : B : C = 21 : 35 : 20। विकल्पों में यह (d) 21 : 35 : 20 है।

प्रश्न 8

₹2,870 की राशि A, B और C में इस प्रकार बाँटी जाती है कि A : B = 5 : 4 और B : C = 6 : 7 हो। C का हिस्सा कितना है? (a) ₹980 (b) ₹840 (c) ₹1,050 (d) ₹1,120

उत्तर: B एक अनुपात में 4 है और दूसरे में 6। इन दोनों का ल.स. 12 है, तो B को 12 बना लेते हैं। A : B = 15 : 12 और B : C = 12 : 14, तो A : B : C = 15 : 12 : 14 हुआ। कुल 41 भाग हुए, तो एक भाग = 2870 ÷ 41 = ₹70। C के 14 भाग हैं, इसलिए उसका हिस्सा 14 × 70 = ₹980 हुआ। उत्तर (a) ₹980 है।

प्रश्न 9

यदि A : B = 3 : 4 और A : C = 2 : 5 हो, तो B : C = ? (a) 4 : 5 (b) 8 : 15 (c) 15 : 8 (d) 3 : 5

उत्तर: यहाँ उभयनिष्ठ पद A है, जो एक अनुपात में 3 है और दूसरे में 2। A को 6 बना लेते हैं। A : B = 6 : 8 और A : C = 6 : 15। अब सीधे B : C = 8 : 15 मिल जाता है, यानी विकल्प (b) 8 : 15। दोनों अनुपातों के दूसरे पद सीधे पढ़कर 4 : 5 लिखना गलत है, क्योंकि दोनों में A का मान अलग था।

प्रश्न 10

यदि A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 7 और C : D = 14 : 15 हो, तो A : D = ? (a) 2 : 15 (b) 28 : 45 (c) 10 : 21 (d) 4 : 9

उत्तर: A : D के लिए तीनों कड़ियों का सीधे गुणा कर देते हैं। $\frac{A}{D} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} = \frac{140}{315} = \frac{4}{9}$, यानी A : D = (d) 4 : 9।

प्रश्न 11

यदि A : B = 3 : 4, B : C = 6 : 5 और C : D = 2 : 3 हो, तो A : B : C : D = ? (a) 9 : 12 : 10 : 15 (b) 3 : 4 : 5 : 6 (c) 9 : 12 : 15 : 10 (d) 18 : 24 : 20 : 15

उत्तर: पहले A : B : C निकालते हैं। B एक में 4 है और दूसरे में 6, तो उसे 12 करना होगा। A : B = 9 : 12 और B : C = 12 : 10, तो A : B : C = 9 : 12 : 10। अब C यहाँ 10 है और C : D = 2 : 3 में 2, तो C : D = 10 : 15 लिखते हैं। इस तरह A : B : C : D = 9 : 12 : 10 : 15 आया, जो विकल्प (a) 9 : 12 : 10 : 15 है। जल्दी से जाँच भी कर लेते हैं। 9 : 12 = 3 : 4, 12 : 10 = 6 : 5 और 10 : 15 = 2 : 3, तीनों कड़ियाँ सही हैं।

प्रश्न 12

यदि P : Q = 3 : 7, R : Q = 2 : 5 और R : S = 4 : 9 हो, तो P : S = ? (a) 8 : 105 (b) 21 : 10 (c) 10 : 21 (d) 4 : 15

उत्तर: बीच वाली कड़ी उलटी लिखी है, तो पहले उसे पलट देते हैं, Q : R = 5 : 2। अब P : S = $\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$, तो P : S = (c) 10 : 21। R : Q को बिना पलटे गुणा करें, तो $\frac{3 \times 2 \times 4}{7 \times 5 \times 9} = \frac{24}{315} = \frac{8}{105}$ आता है, जो गलत है।

प्रश्न 13

यदि 3A = 4B = 9C हो, तो A : B : C = ? (a) 3 : 4 : 9 (b) 12 : 9 : 4 (c) 9 : 4 : 3 (d) 4 : 9 : 12

उत्तर: तीनों को k मान लेते हैं। तब A = $\frac{k}{3}$, B = $\frac{k}{4}$ और C = $\frac{k}{9}$। इसलिए A : B : C = $\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$। 36 से गुणा करने पर 12 : 9 : 4 आता है। उत्तर (b) 12 : 9 : 4 है। जाँच भी हो जाती है, 3 × 12 = 4 × 9 = 9 × 4 = 36।

प्रश्न 14

₹2,940 को A, B और C में इस प्रकार बाँटा जाता है कि A के हिस्से का $\frac{2}{3}$ = B के हिस्से का $\frac{3}{4}$ = C के हिस्से का $\frac{4}{5}$ हो। C का हिस्सा कितना है? (a) ₹1,080 (b) ₹960 (c) ₹840 (d) ₹900

उत्तर: हर एक को k मान लेते हैं। तब A = $\frac{3k}{2}$, B = $\frac{4k}{3}$ और C = $\frac{5k}{4}$। 2, 3 और 4 का ल.स. 12 है, तो 12 से गुणा करके A : B : C = 18 : 16 : 15 मिलता है। कुल 49 भाग हुए, और 2940 ÷ 49 = 60। C का हिस्सा 15 × 60 = ₹900 हुआ, यानी विकल्प (d) ₹900। साथ में A को ₹1,080 और B को ₹960 मिलते हैं। जाँच कर लेते हैं। 1080 का $\frac{2}{3}$ = 720, 960 का $\frac{3}{4}$ = 720 और 900 का $\frac{4}{5}$ = 720, तीनों बराबर हैं।

प्रश्न 15

यदि $\frac{A}{3} = \frac{B}{4}$ और 2B = 3C हो, तो A : B : C = ? (a) 9 : 12 : 8 (b) 3 : 4 : 2 (c) 3 : 4 : 6 (d) 8 : 12 : 9

उत्तर: $\frac{A}{3} = \frac{B}{4}$ से सीधे A : B = 3 : 4 मिलता है। 2B = 3C में संख्याएँ उलट जाती हैं, तो B : C = 3 : 2। अब B एक में 4 है और दूसरे में 3, तो इसे 12 बनाते हैं। A : B = 9 : 12 और B : C = 12 : 8। इसलिए A : B : C = 9 : 12 : 8। विकल्पों में यह (a) 9 : 12 : 8 है।

प्रश्न 16

₹6,200 को A, B और C में $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ के अनुपात में बाँटा जाता है। B का हिस्सा कितना है? (a) ₹1,860 (b) ₹3,000 (c) ₹2,000 (d) ₹1,200

उत्तर: पहले अनुपात से भिन्न हटाते हैं। 2, 3 और 5 का ल.स. 30 है, तो $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ = 15 : 10 : 6। कुल 31 भाग हुए, और 6200 ÷ 31 = 200। B के 10 भाग हैं, तो उसे 10 × 200 = ₹2,000 मिलेंगे। उत्तर (c) ₹2,000 है।

प्रश्न 17

₹5,850 को A, B और C में 2, 3 और 4 के व्युत्क्रम अनुपात में बाँटा जाता है। C को कितनी राशि मिलती है? (a) ₹2,600 (b) ₹1,350 (c) ₹2,700 (d) ₹1,800

उत्तर: व्युत्क्रम अनुपात में बाँटना है, तो अनुपात $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ = 6 : 4 : 3 होगा। कुल 13 भाग हुए, और 5850 ÷ 13 = 450। C को 3 × 450 = ₹1,350 मिलते हैं, यानी विकल्प (b) ₹1,350। अगर कोई सीधे 2 : 3 : 4 में बाँट दे, तो C को ₹2,600 मिलेंगे, जो सबसे बड़ा हिस्सा है। पर C की संख्या सबसे बड़ी है, इसलिए उसे सबसे छोटा हिस्सा मिलना चाहिए।

प्रश्न 18

कोई धनराशि A और B में 7 : 4 के अनुपात में बाँटी जाती है। यदि A को B से ₹1,350 अधिक मिलते हैं, तो कुल धनराशि कितनी है? (a) ₹3,150 (b) ₹4,050 (c) ₹5,400 (d) ₹4,950

उत्तर: A के 7 भाग हैं और B के 4, तो A के 3 भाग अधिक हैं। 3 भाग = ₹1,350, तो 1 भाग = ₹450। कुल 11 भाग हैं, इसलिए पूरी धनराशि 11 × 450 = ₹4,950 हुई। उत्तर (d) ₹4,950 है।

प्रश्न 19

दो संख्याएँ 5 : 7 के अनुपात में हैं और उनका गुणनफल 2240 है। संख्याओं का योग कितना है? (a) 96 (b) 64 (c) 84 (d) 120

उत्तर: संख्याएँ 5k और 7k मान लेते हैं। उनका गुणनफल $35k^2 = 2240$ है, तो $k^2 = 64$ और k = 8। संख्याएँ 40 और 56 हुईं और उनका योग 96 है, जो विकल्प (a) 96 है।

प्रश्न 20

अनुपात 7 : 13 के प्रत्येक पद में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वह 2 : 3 हो जाए? (a) 3 (b) 6 (c) 5 (d) 7

उत्तर: हमें चाहिए कि $\frac{7 + x}{13 + x} = \frac{2}{3}$ हो। तिरछा गुणा करने पर 21 + 3x = 26 + 2x, तो x = 5, यानी विकल्प (c) 5। जाँच भी कर लेते हैं, 12 : 18 = 2 : 3।

प्रश्न 21

दो संख्याएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक में 6 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 5 : 8 हो जाता है। बड़ी संख्या कौन-सी है? (a) 24 (b) 35 (c) 48 (d) 42

उत्तर: संख्याएँ 4k और 7k मान लेते हैं। $\frac{4k + 6}{7k + 6} = \frac{5}{8}$ से 32k + 48 = 35k + 30 आता है। इससे 3k = 18 और k = 6। संख्याएँ 24 और 42 हैं। इनमें बड़ी संख्या 42 है, तो उत्तर (d) 42 है। जाँच कर लीजिए, 30 : 48 = 5 : 8।