अनुपात की मूल बातें और उसके प्रकार

  • अनुपात केवल एक जैसी राशियों का निकाला जाता है, और दोनों को एक ही इकाई में लिखना होता है। जैसे 40 पैसे : ₹2 = 40 : 200 = 1 : 5। अनुपात की अपनी कोई इकाई नहीं होती।
  • दो अनुपातों की तुलना तिरछा गुणा करके कीजिए। 6 : 11 और 5 : 9 में 6 × 9 = 54 और 11 × 5 = 55 आते हैं, तो 5 : 9 बड़ा है।
  • a : b और c : d का मिश्रित अनुपात (compound ratio) ac : bd होता है।
  • a : b का वर्गानुपात (duplicate ratio) a2:b2a^2 : b^2 होता है और घनानुपात (triplicate ratio) a3:b3a^3 : b^3। इसी तरह वर्गमूलानुपात (sub-duplicate ratio) a:b\sqrt{a} : \sqrt{b} होता है और घनमूलानुपात (sub-triplicate ratio) a3:b3\sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}।
  • a : b का व्युत्क्रम अनुपात b : a होता है।

अनुपातों को मिलाना, 2A = 3B = 5C

  • A : B और B : C दिए हों, तो ल.स. लेकर दोनों में B बराबर कीजिए। जैसे 4 : 7 और 3 : 5 से 12 : 21 : 35 मिलता है।
  • अनुपातों की श्रृंखला दी हो और A : D निकालना हो, तो सीधे AD=AB×BC×CD\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D} लिखिए।
  • 2A = 3B = 5C हो, तो A : B : C = 12:13:15\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}। इसे 30 से गुणा करने पर 15 : 10 : 6 आता है।
  • A3=B4=C5\frac{A}{3} = \frac{B}{4} = \frac{C}{5} हो, तो कुछ उलटना नहीं पड़ता। सीधे 3 : 4 : 5 लिख दीजिए।
  • A का 35\frac{3}{5} = B का 23\frac{2}{3} हो, तो दोनों भिन्नों की अदला-बदली कर दीजिए। इससे A : B = 10 : 9 आता है।

राशि बाँटना, संख्याएँ ज्ञात करना

  • N को a : b : c में बाँटना हो, तो पहले 1 भाग निकालिए। 1 भाग = N ÷ (a + b + c)।
  • अनुपात भिन्नों में हो, तो सबको ल.स. से गुणा कीजिए। जैसे 4, 5 और 10 के व्युत्क्रम अनुपात में बाँटना है, तो अनुपात 14:15:110\frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{10} = 5 : 4 : 2 होगा।
  • प्रश्न में "A को B से ₹k अधिक मिलता है" जैसी बात हो, तो देखिए कि दोनों के पदों में कितने भाग का अंतर है। उतने भाग ₹k के बराबर होंगे।
  • अनुपात a : b हो, तो योग (a + b) भाग होता है और अंतर (b − a) भाग।
  • संख्याएँ ax और bx मानिए। वर्गों का योग S दिया हो, तो (a2+b2)x2=S(a^2 + b^2)x^2 = S लिखिए, और गुणनफल P दिया हो, तो abx2=Pabx^2 = P।

संख्या जोड़कर अनुपात बदलना

  • a : b के दोनों पदों में x जोड़ने पर अनुपात c : d हो जाता है, तो a+xb+x=cd\frac{a + x}{b + x} = \frac{c}{d} लिखिए। इससे x=bc−add−cx = \frac{bc - ad}{d - c} आता है।
  • जैसे 5 : 9 को 3 : 4 बनाना है, तो x = 27 − 20 = 7। जाँचने पर 12 : 16 = 3 : 4 ही आता है।
  • संख्या घटानी हो, तो पद a − x और b − x लीजिए।
  • एक संख्या में k जोड़ना हो और दूसरी में से k घटाना, तो संख्याएँ ax और bx लिखकर हल कीजिए।
  • ऐसे प्रश्नों में विकल्प रखकर जाँच लेना अक्सर ज़्यादा तेज़ पड़ता है।

समानुपात और तीनों समानुपाती

  • a : b :: c : d हो, तो ad = bc। मतलब बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
  • a, b, c का चतुर्थानुपाती (fourth proportional) bca\frac{bc}{a} होता है। जैसे 3, 5, 12 का चतुर्थानुपाती 20 है।
  • a, b का तृतीयानुपाती (third proportional) b2a\frac{b^2}{a} होता है। जैसे 4 और 10 का तृतीयानुपाती 25 है।
  • a और b का मध्यानुपाती (mean proportional) ab\sqrt{ab} होता है। जैसे 9 और 25 का मध्यानुपाती 15 है।
  • a, b, c सतत समानुपात (continued proportion) में हों, तो b2=acb^2 = ac होता है।
  • चारों संख्याओं में से x घटाकर उन्हें समानुपाती बनाना हो, तो (a − x)(d − x) = (b − x)(c − x) हल कीजिए। x2x^2 वाले पद दोनों ओर से कट जाते हैं।

समानुपात के गुण, व्यंजकों के मान

  • k-विधि में a : b = 5 : 3 हो, तो a = 5k और b = 3k लीजिए। अंत में k अपने आप कट जाता है।
  • ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} हो, तो योगांतरानुपात (componendo and dividendo) से a+ba−b=c+dc−d\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} होता है। जैसे (a + b) : (a − b) = 9 : 5 हो, तो a : b = 7 : 2।
  • प्रतिलोमानुपात (invertendo) से b : a = d : c मिलता है, और एकांतरानुपात (alternendo) से a : c = b : d।
  • मान लीजिए 2x+yx−y=5\frac{2x + y}{x - y} = 5 है। तब 2x + y = 5x − 5y होगा, और इससे x : y = 2 : 1 निकलता है।

विचरण

  • अनुक्रम विचरण (direct variation) में x∝yx \propto y का मतलब है x = ky। व्युत्क्रम विचरण (inverse variation) में x∝1yx \propto \frac{1}{y} का मतलब है xy = k।
  • संयुक्त विचरण (joint variation) में x∝yzx \propto yz हो, तो x = kyz। x, y के अनुक्रमानुपाती और z के व्युत्क्रमानुपाती हो, तो x=kyzx = \frac{ky}{z}।
  • x, y2y^2 के अनुक्रमानुपाती हो, तो x=ky2x = ky^2। तब y तीन गुना होने पर x नौ गुना हो जाता है।
  • सबसे पहले मानों की दी गई जोड़ी रखकर अचर k निकाल लीजिए।
  • कुछ खर्च तय हो और कुछ बदलता हो, तो लागत = a + bn लिखिए। मानों की दो जोड़ियों से a और b निकल आते हैं।
  • काम तय हो, तो आदमी और दिन में भी व्युत्क्रम विचरण होता है।

आय, व्यय और बचत

  • बचत = आय − व्यय। आय : व्यय = 7 : 4 हो, तो बचत 3 भाग होगी।
  • दो लोगों की आय a : b में और व्यय c : d में हो, और दोनों की बचत S हो, तो ax − cy = S और bx − dy = S लिखिए। बचत बराबर है, इसलिए पहले दोनों बाएँ पक्ष आपस में बराबर रख दीजिए।
  • बचत अलग-अलग हो, तो किसी एक अक्षर के पद बराबर करके दोनों समीकरण हल कीजिए।
  • मान लीजिए आय : व्यय = 5 : 4 है। आय में 20% और व्यय में 15% वृद्धि हो, तो बचत 1 से बढ़कर 6 − 4.6 = 1.4 हो जाती है, यानी 40% अधिक।

सिक्के और नोट

  • संख्या का अनुपात दिया हो, तो पहले एक सेट का मूल्य निकालिए। जैसे ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 3 : 2 : 4 में हों, तो एक सेट = 3 + 1 + 1 = ₹5। कुल मूल्य को एक सेट के मूल्य से भाग देने पर सेटों की संख्या मिलती है।
  • मूल्य का अनुपात दिया हो, तो कुल मूल्य को उसी अनुपात में बाँटिए। फिर हर तरह के सिक्कों के मूल्य को उस सिक्के के मूल्यवर्ग से भाग दीजिए।
  • पैसों को रुपयों में बदलकर लिखिए, जैसे 25 पैसे = ₹0.25।
  • कुल मूल्य को संख्या के अनुपात में कभी न बाँटिए। छात्र अक्सर यही गलती करते हैं।
  • ₹10, ₹20 और ₹50 के नोटों में भी ठीक यही तरीका चलता है।

बदलते अनुपात और प्रतिशत परिवर्तन

  • कुछ लोग आ जाएँ या चले जाएँ, तो पुरानी संख्याएँ ax और bx मानिए। जितने आए या गए, उन्हें जोड़िए या घटाइए, और नतीजे को नए अनुपात के बराबर रखिए।
  • एक समूह न बदले, तो उसके भाग वही रहते हैं। जैसे लड़के : लड़कियाँ = 4 : 3 है, और 12 लड़कियाँ और आने पर अनुपात 1 : 1 हो जाता है। लड़कियाँ 3 भाग से 4 भाग हो गईं, तो 1 भाग = 12 और लड़के = 48।
  • हर पद का प्रतिशत बदलाव अलग हो, तो हर पद पर उसका अपना बदलाव लगाइए। जैसे 5 : 4 में 20% और 10% वृद्धि हो, तो 6 : 4.4 = 15 : 11।
  • कुल राशि में बदलाव निकालना हो, तो प्रतिशतों का भारित औसत लीजिए।

आयु

  • वर्तमान आयु ax और bx मानिए। n वर्ष बाद अनुपात (ax + n) : (bx + n) होगा, और n वर्ष पहले (ax − n) : (bx − n)।
  • दो व्यक्तियों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता।
  • तीन व्यक्ति हों, तो n वर्ष पहले उनकी आयु का योग आज से 3n कम था।
  • जैसे अभी अनुपात 3 : 4 है और 5 वर्ष बाद 4 : 5 होगा। 3x+54x+5=45\frac{3x + 5}{4x + 5} = \frac{4}{5} से x = 5 आता है, यानी आयु 15 और 20 वर्ष है।

साझेदारी की मूल बातें, पूँजी × समय

  • लाभ हो या हानि, दोनों पूँजी × समय के अनुपात में बँटते हैं।
  • समय बराबर हो, तो लाभ पूँजियों के अनुपात में बँटता है। पूँजी बराबर हो, तो समयों के अनुपात में।
  • सक्रिय साझेदार (working partner) व्यवसाय चलाता है, जबकि निष्क्रिय साझेदार (sleeping partner) केवल निवेश करता है।
  • समय हमेशा महीनों में गिनिए। कोई साझेदार 3 महीने बाद जुड़ता है, तो उसकी पूँजी 9 महीने ही लगती है।
  • पूँजियाँ एक-दूसरे के प्रतिशत या भिन्न के रूप में दी हों, तो उनमें से एक को 100 मान लीजिए।
  • समय या पूँजी ज्ञात करनी हो, तो लाभ के अनुपात को पूँजी × समय के अनुपात के बराबर रखिए।

वर्ष के बीच पूँजी में परिवर्तन

  • हर साझेदार के वर्ष को अवधियों में बाँट लीजिए। हर अवधि का पूँजी × महीने निकालिए और सबको जोड़ दीजिए।
  • जैसे पहले 4 महीने ₹50,000 लगे और फिर 8 महीने ₹30,000, तो 2,00,000 + 2,40,000 = 4,40,000।
  • साझेदार पूरे वर्ष रहा हो, तो उसकी अवधियों के महीनों का योग 12 होना चाहिए।
  • हिस्सों का अंतर दिया हो, तो उसी से भाग निकालिए। जैसे अनुपात 11 : 9 है और पहले को ₹4,000 अधिक मिलते हैं, तो 2 भाग = ₹4,000।
  • कई वर्ष हों और हर वर्ष पूँजी अलग हो, तो हर वर्ष का लाभ उसी वर्ष के अनुपात में बाँटिए।
  • कोई साझेदार जल्दी छोड़ देता है, तो आख़िरी अवधि में उसकी कोई पूँजी नहीं गिनी जाती।

वेतन, कमीशन, ब्याज और दान

  • सबसे पहले तय राशियाँ अलग निकाल दीजिए, जैसे वेतन, कमीशन, पूँजी पर ब्याज, दान या आरक्षित निधि। बँटवारा केवल बची राशि का होता है।
  • लाभ का x% कमीशन में जाए, तो बाँटने के लिए (100 − x)% बचता है।
  • r% वार्षिक ब्याज हो, तो हर साझेदार को अपनी ही पूँजी का r% मिलता है।
  • बाकी लाभ भी पूँजी के अनुपात में बँटे, तो पहले ब्याज देने से कोई फ़र्क नहीं पड़ता। फ़र्क तब पड़ता है, जब बाकी लाभ बराबर या किसी और अनुपात में बँटे।
  • सक्रिय साझेदार को कुल मिलने वाली राशि = वेतन या कमीशन + बाकी लाभ में उसका हिस्सा।

चराई का किराया

  • चराई का किराया पशु × महीने के अनुपात में बँटता है, ठीक पूँजी × समय की तरह।
  • पशु अलग-अलग हों, तो पहले सबको एक ही प्रकार में बदलिए। जैसे 3 घोड़े उतना चरें जितना 5 गायें, तो 1 घोड़ा = 53\frac{5}{3} गाय।
  • मान लीजिए A ने 7 गायें 4 महीने चराईं (28 गाय-महीने) और B ने 4 गायें 9 महीने (36)। किराया ₹3,200 है, तो अनुपात 28 : 36 = 7 : 9 है और A को ₹1,400 देने होंगे।
  • प्रति गाय-महीना किराया = कुल किराया ÷ कुल गाय-महीने।