नाव और धारा, दौड़ और वृत्ताकार पथ

नाव और धारा: अनुप्रवाह, ऊर्ध्वप्रवाह

शांत झील पर नाव जिस चाल से चलती है, वही उसकी अपनी चाल है। इसे शांत जल में चाल कहते हैं। नदी में जो भी चीज़ हो, नदी उसे अपनी चाल से अपने साथ बहा ले जाती है। नदी की इस चाल को धारा की चाल कहते हैं। प्रश्नों में कहीं-कहीं इसे बहाव या बहाव की दर भी कहा जाता है।

• नाव धारा के साथ चले, तो इसे अनुप्रवाह (downstream) कहते हैं। यहाँ पानी नाव की मदद करता है, इसलिए दोनों चालें जुड़ जाती हैं।
• नाव धारा के विरुद्ध चले, तो इसे ऊर्ध्वप्रवाह (upstream) कहते हैं। यहाँ पानी नाव को पीछे धकेलता है, इसलिए नाव की चाल में से धारा की चाल घट जाती है।

शांत जल में नाव की चाल $b$ और धारा की चाल $s$ मान लीजिए। तब

$$\text{अनुप्रवाह में चाल} = b + s, \qquad \text{ऊर्ध्वप्रवाह में चाल} = b - s$$

ये दोनों सूत्र असल में सापेक्ष चाल से ही निकलते हैं। सापेक्ष चाल अभी नहीं पढ़ी है, तो पहले "सापेक्ष चाल, पीछा और रेलगाड़ियाँ" वाला खंड देख लीजिए।

प्रश्न के शब्दों को ऐसे पहचानिए।

अब एक प्रश्न लीजिए। "शांत जल में एक मोटरबोट 13 किमी/घंटा की चाल से चलती है और नदी 3 किमी/घंटा की चाल से बहती है।" मान लीजिए मोटरबोट को 48 किमी जाना है।

• अनुप्रवाह में चाल 13 + 3 = 16 किमी/घंटा होगी, तो 48 किमी में 48 ÷ 16 = 3 घंटे लगेंगे।
• ऊर्ध्वप्रवाह में चाल 13 − 3 = 10 किमी/घंटा होगी, तो उसी 48 किमी में 4.8 घंटे लगेंगे, जो 4 घंटे 48 मिनट हुए।

नाव वही है और दूरी भी वही 48 किमी, फिर भी ऊर्ध्वप्रवाह वाली यात्रा में ज़्यादा समय लगता है।

ध्यान रखिए, शांत जल में यही दूरी 48 ÷ 13 घंटे में तय होती। यह समय इन दोनों में से कोई नहीं है, पर SSC इसे अक्सर विकल्पों में रख देता है। ऊर्ध्वप्रवाह वाला समय पूछा जाए, तो अनुप्रवाह वाला समय भी विकल्पों में दिया होता है।

तैरती वस्तुएँ। बेड़ा, लट्ठा, पानी में गिरी गेंद या बंद इंजन वाली नाव की अपनी कोई चाल नहीं होती। ये बस धारा की चाल से बहती हैं। ऊपर वाली नदी में ये 3 किमी/घंटा से बहेंगी।

नाव खेने वाले और तैराक। प्रश्न में लिखा हो, "एक व्यक्ति शांत जल में 7 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है", तो यही उसका $b$ है। तैराक पर भी यही दो सूत्र लगते हैं। अगर $s$, $b$ के बराबर हो या उससे अधिक हो, तो वह ऊर्ध्वप्रवाह में ज़रा भी आगे नहीं बढ़ पाता।

इकाइयाँ एक जैसी रखिए। कभी पूछा जाता है, "एक नाव अनुप्रवाह में 16 किमी/घंटा की चाल से चलती है। 15 मिनट में वह कितनी दूरी तय करेगी?" चाल घंटे के हिसाब से है, तो समय भी घंटे में लीजिए। 15 मिनट = $\frac{1}{4}$ घंटा, तो दूरी 16 × $\frac{1}{4}$ = 4 किमी हुई।

चालें मीटर/सेकंड में दी हों, तो जोड़-घटाव भी मीटर/सेकंड में ही कीजिए, और इकाई अंत में बदलिए। जैसे एक तैराक शांत जल में 1.5 मीटर/सेकंड से तैरता है और धारा 0.5 मीटर/सेकंड की है। उसकी अनुप्रवाह चाल 2 मीटर/सेकंड और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 1 मीटर/सेकंड होगी। किमी/घंटा में बदलने के लिए $\frac{18}{5}$ से गुणा कीजिए, तो ये 7.2 किमी/घंटा और 3.6 किमी/घंटा हो जाती हैं।

नाव और धारा की चाल

अब इसका उलटा देखते हैं। प्रश्न में अनुप्रवाह और ऊर्ध्वप्रवाह चालें दी हों और नाव या धारा की चाल पूछी हो, तो ऊपर वाले दोनों सूत्र उलट दीजिए। अनुप्रवाह चाल में एक $s$ अधिक है और ऊर्ध्वप्रवाह चाल में एक $s$ कम। इसलिए नाव की चाल इन दोनों के ठीक बीच में होती है, और दोनों चालों का अंतर $2s$ होता है।

$$b = \frac{\text{अनुप्रवाह चाल} + \text{ऊर्ध्वप्रवाह चाल}}{2}, \qquad s = \frac{\text{अनुप्रवाह चाल} - \text{ऊर्ध्वप्रवाह चाल}}{2}$$

जैसे, "एक नाव की अनुप्रवाह चाल 26 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 14 किमी/घंटा है।"

• शांत जल में नाव की चाल = $\frac{26 + 14}{2}$ = 20 किमी/घंटा
• धारा की चाल = $\frac{26 - 14}{2}$ = 6 किमी/घंटा

उत्तर लिखने से पहले जाँच लीजिए, 20 + 6 = 26 और 20 − 6 = 14। इसमें तीन सेकंड लगते हैं, और ज़्यादातर गलतियाँ यहीं पकड़ में आ जाती हैं।

दूरी और समय दिए हों। तब पहले दोनों चालें निकालिए, फिर जोड़ या अंतर का आधा लीजिए। मान लीजिए प्रश्न है, "एक नाव अनुप्रवाह में 65 किमी की दूरी 5 घंटे में और ऊर्ध्वप्रवाह में 27 किमी की दूरी 3 घंटे में तय करती है।" अनुप्रवाह चाल = 65 ÷ 5 = 13 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल = 27 ÷ 3 = 9 किमी/घंटा। तो शांत जल में नाव की चाल 11 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा।

समय मिनटों में हो। इस प्रश्न को देखिए। "एक व्यक्ति 1.5 किमी अनुप्रवाह में 5 मिनट में नाव खेकर जाता है और वही 1.5 किमी 9 मिनट में खेकर लौटता है।" 5 मिनट = $\frac{1}{12}$ घंटा, तो अनुप्रवाह चाल 1.5 × 12 = 18 किमी/घंटा हुई। 9 मिनट = $\frac{3}{20}$ घंटा, तो ऊर्ध्वप्रवाह चाल 1.5 ÷ $\frac{3}{20}$ = 10 किमी/घंटा हुई। इससे शांत जल में चाल 14 किमी/घंटा और धारा की चाल 4 किमी/घंटा निकलती है।

एक चाल के साथ $b$ या $s$ दिया हो। मान लीजिए अनुप्रवाह चाल 22 किमी/घंटा है और धारा की चाल 5 किमी/घंटा। तो नाव की चाल 22 − 5 = 17 किमी/घंटा है, और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 17 − 5 = 12 किमी/घंटा। झटपट निकालना हो, तो याद रखिए कि ऊर्ध्वप्रवाह चाल = अनुप्रवाह चाल − $2s$।

बराबर समय में अलग-अलग दूरियाँ। कई बार पूछा जाता है, "जितने समय में एक नाव अनुप्रवाह में 40 किमी जाती है, उतने समय में वह ऊर्ध्वप्रवाह में केवल 24 किमी जाती है। धारा 2 किमी/घंटा की चाल से बहती है। शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।"

समय बराबर है, तो दूरियाँ चालों के अनुपात में होंगी। अनुप्रवाह चाल : ऊर्ध्वप्रवाह चाल = 40 : 24 = 5 : 3। चालें $5k$ और $3k$ मान लीजिए। इनका अंतर $2k$ है, और यह धारा की चाल का दोगुना है। तो $2k$ = 4 और $k$ = 2। अनुप्रवाह चाल 10 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 6 किमी/घंटा हुई, तो नाव की चाल 8 किमी/घंटा है। दोनों समय भी देख लीजिए, 40 ÷ 10 = 4 घंटे और 24 ÷ 6 = 4 घंटे। दोनों बराबर हैं।

[SSC टिप] यहाँ दो गलतियाँ बार-बार होती हैं। पहली, अनुप्रवाह चाल में से ऊर्ध्वप्रवाह चाल घटाकर उसी को धारा की चाल लिख देना। इसे आधा करना था, क्योंकि यह अंतर तो $2s$ है। दूसरी, प्रश्न में शांत जल वाली चाल पूछी हो और उत्तर में अनुप्रवाह चाल लिख देना। इसलिए उत्तर पर निशान लगाने से पहले प्रश्न की आख़िरी पंक्ति एक बार फिर पढ़ लीजिए।

ऊर्ध्वप्रवाह-अनुप्रवाह समयों का अनुपात

दूरी एक ही हो, तो चाल बढ़ने पर समय घटता है और चाल घटने पर समय बढ़ता है। इसे व्युत्क्रम अनुपात कहते हैं, जो "चाल, दूरी और समय की मूल बातें" वाले खंड में आया था। नदी में एक ही दूरी को ऊर्ध्वप्रवाह और अनुप्रवाह में तय करने पर यह नियम ऐसे लिखा जाता है।

$$\frac{\text{ऊर्ध्वप्रवाह का समय}}{\text{अनुप्रवाह का समय}} = \frac{b + s}{b - s}$$

ऊर्ध्वप्रवाह में दोगुना समय। प्रश्न ऐसे आता है, "किसी दूरी को ऊर्ध्वप्रवाह में नाव खेकर तय करने में एक व्यक्ति को, उसी दूरी को अनुप्रवाह में तय करने से दोगुना समय लगता है।" दूरी वही है, तो दोगुने समय का मतलब है कि अनुप्रवाह चाल, ऊर्ध्वप्रवाह चाल की दोगुनी है। इससे समीकरण $b + s = 2(b - s)$ मिलता है, और $b = 3s$ आता है। मतलब $b : s$ = 3 : 1।

सामान्य नियम। ऊर्ध्वप्रवाह का समय : अनुप्रवाह का समय = $m : n$ हो, तो

$$b : s = (m + n) : (m - n)$$

कुछ अनुपातों पर लगाकर देखिए।

• समय 2 : 1 में हों, तो नाव और धारा की चालें 3 : 1 में होंगी।
• समय 3 : 1 में हों, तो चालें 4 : 2 = 2 : 1 में होंगी।
• समय 5 : 3 में हों, तो चालें 8 : 2 = 4 : 1 में होंगी।

यहाँ लोग अक्सर समयों वाला अनुपात ही $b : s$ लिख देते हैं। "दोगुना समय" का मतलब 3 : 1 है, 2 : 1 नहीं।

जाने और लौटने के समय दिए हों। यह प्रश्न देखिए। "एक नाव को P से Q तक ऊर्ध्वप्रवाह में जाने में 4 घंटे और वापस आने में 3 घंटे लगते हैं। शांत जल में उसकी चाल 28 किमी/घंटा है। धारा की चाल और दूरी PQ ज्ञात कीजिए।"

समयों का अनुपात 4 : 3 है, तो $b : s$ = (4 + 3) : (4 − 3) = 7 : 1। धारा की चाल = 28 ÷ 7 = 4 किमी/घंटा। ऊर्ध्वप्रवाह चाल 24 किमी/घंटा है, तो PQ = 24 × 4 = 96 किमी। वापसी से जाँच कर लीजिए। अनुप्रवाह चाल 32 किमी/घंटा है, और 3 घंटे में भी 96 किमी ही होता है।

उलटा प्रश्न। कभी नाव और धारा की चालों का अनुपात दिया होता है और समयों का अनुपात पूछा जाता है। मान लीजिए $b : s$ = 7 : 3 है। तब अनुप्रवाह चाल : ऊर्ध्वप्रवाह चाल = (7 + 3) : (7 − 3) = 10 : 4 = 5 : 2। दूरी एक ही है, इसलिए समय इसके उलटे क्रम में होंगे। ऊर्ध्वप्रवाह का समय : अनुप्रवाह का समय = 5 : 2 होगा।

एक अनुपात और एक यात्रा। मान लीजिए प्रश्न में दिया है, "शांत जल में एक नाव की चाल और धारा की चाल का अनुपात 5 : 1 है। नाव अनुप्रवाह में 36 किमी की दूरी 3 घंटे में तय करती है। वापस आने में उसे कितना समय लगेगा?"

अनुप्रवाह चाल = 36 ÷ 3 = 12 किमी/घंटा। यह 5 + 1 = 6 भाग है, तो 1 भाग = 2 किमी/घंटा। नाव की चाल 10 किमी/घंटा हुई और धारा की 2 किमी/घंटा। ऊर्ध्वप्रवाह चाल 4 भाग है, जो 8 किमी/घंटा हुई। वापसी में 36 ÷ 8 = 4.5 घंटे लगेंगे, मतलब 4 घंटे 30 मिनट।

आने-जाने की यात्रा

जब नाव $d$ किमी अनुप्रवाह जाकर वही $d$ किमी ऊर्ध्वप्रवाह में लौटती है, तो जाने और लौटने का समय अलग-अलग निकालकर जोड़ना पड़ता है।

$$T = \frac{d}{b + s} + \frac{d}{b - s} = \frac{2bd}{b^2 - s^2}$$

कुल समय। मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल 7 किमी/घंटा है, नदी 3 किमी/घंटा से बहती है, और नाव को एक तरफ़ 20 किमी जाना है। अनुप्रवाह चाल 10 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 4 किमी/घंटा होगी, तो कुल समय 20 ÷ 10 + 20 ÷ 4 = 2 + 5 = 7 घंटे। सूत्र से भी $\frac{2 \times 7 \times 20}{49 - 9} = \frac{280}{40}$ = 7 ही आता है।

दूरी निकालनी हो। तब सूत्र को उलटकर लिखिए, $d = \frac{T(b^2 - s^2)}{2b}$। एक प्रश्न लीजिए। "एक व्यक्ति शांत जल में 10 किमी/घंटा की चाल से नाव खेता है, और नदी 4 किमी/घंटा की चाल से बहती है। किसी स्थान तक नाव खेकर जाने और वापस आने में उसे 1 घंटा 40 मिनट लगते हैं। वह स्थान कितनी दूर है?"

यहाँ T = $\frac{5}{3}$ घंटे है, तो $d = \frac{5}{3} \times \frac{100 - 16}{20} = \frac{5}{3} \times \frac{84}{20}$ = 7 किमी। जाँच के लिए दोनों समय जोड़िए, 7 ÷ 14 + 7 ÷ 6 = $\frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{5}{3}$ घंटे।

आने-जाने की औसत चाल। यहाँ दोनों हिस्सों की दूरी बराबर है, और चालें $b + s$ और $b - s$ हैं। ऐसे में बराबर दूरियों वाला औसत चाल का सूत्र $\frac{2xy}{x + y}$ लगता है। हरात्मक माध्य वाला यह सूत्र "चाल, दूरी और समय की मूल बातें" वाले खंड में आ चुका है। इसमें दोनों चालें रखकर सरल करें, तो यह मिलता है।

$$\text{औसत चाल} = \frac{(b + s)(b - s)}{b} = \frac{b^2 - s^2}{b}$$

जैसे ऊपर वाली 7 किमी/घंटा की नाव के लिए औसत चाल $\frac{49 - 9}{7} = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$ किमी/घंटा है, 7 किमी/घंटा नहीं। धीमे हिस्से पर नाव ज़्यादा समय बिताती है, इसलिए औसत चाल हमेशा शांत जल वाली चाल से कम आती है।

धारा की चाल निकालनी हो। उदाहरण के लिए, "शांत जल में 18 किमी/घंटा की चाल वाली एक नाव अनुप्रवाह में 40 किमी जाकर 5 घंटे में वापस आ जाती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।" सूत्र में रखने पर $\frac{2 \times 18 \times 40}{324 - s^2} = 5$ आता है। इससे $324 - s^2 = 288$ और $s^2 = 36$ निकलता है, तो $s$ = 6 किमी/घंटा। पक्का करना हो, तो 40 ÷ 24 + 40 ÷ 12 = $1\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3}$ = 5 घंटे देख लीजिए।

नाव की चाल निकालनी हो। "धारा 4 किमी/घंटा की चाल से बहती है। एक नाव अनुप्रवाह में 45 किमी जाकर 7 घंटे में वापस आ जाती है। शांत जल में उसकी चाल ज्ञात कीजिए।" ऐसे प्रश्न में समीकरण द्विघात बन जाता है, इसलिए विकल्प आज़माना तेज़ रहता है। 14 किमी/घंटा लेकर देखिए। 45 ÷ 18 + 45 ÷ 10 = 2.5 + 4.5 = 7 घंटे। बस, उत्तर मिल गया।

ऊर्ध्वप्रवाह में कितना अधिक समय। परीक्षा में यह रूप भी मिलता है। "शांत जल में एक नाव की चाल 17 किमी/घंटा है और नदी 7 किमी/घंटा की चाल से बहती है। ऊर्ध्वप्रवाह में 60 किमी जाने में, अनुप्रवाह में 60 किमी जाने से कितना अधिक समय लगता है?" ऊर्ध्वप्रवाह चाल 10 किमी/घंटा है और अनुप्रवाह चाल 24 किमी/घंटा। अंतर = 60 ÷ 10 − 60 ÷ 24 = 6 − 2.5 घंटे, यानी 3 घंटे 30 मिनट। सामान्य रूप में अतिरिक्त समय = $\frac{2sd}{b^2 - s^2}$ होता है।

[SSC टिप] सबसे आम गलती है दोनों ओर $b$ लेकर समय = $\frac{2d}{b}$ लिख देना। नदी में आने-जाने में हमेशा शांत जल से ज़्यादा समय लगता है। इसलिए $\frac{2d}{b}$ से छोटा कोई भी विकल्प सीधे हटा दीजिए।

दो यात्राएँ, मिलन, तैरती वस्तु

[Tier 2] दो यात्राएँ, दो समीकरण। इस तरह का प्रश्न आता है, "एक नाव 5 घंटे में ऊर्ध्वप्रवाह में 16 किमी और अनुप्रवाह में 42 किमी जाती है। वह 7 घंटे में ऊर्ध्वप्रवाह में 40 किमी और अनुप्रवाह में 28 किमी जाती है। चालें ज्ञात कीजिए।"

ऊर्ध्वप्रवाह चाल $U$ और अनुप्रवाह चाल $D$ मान लीजिए, और $x = \frac{1}{U}$, $y = \frac{1}{D}$ रखिए। तब दो समीकरण मिलते हैं।

• 16x + 42y = 5
• 40x + 28y = 7

$x$ वाले पद बराबर करने के लिए पहले समीकरण को 5 से और दूसरे को 2 से गुणा कीजिए। 80x + 210y = 25 और 80x + 56y = 14 मिलेंगे। घटाने पर 154y = 11 आता है। तो $y = \frac{1}{14}$ और $D$ = 14 किमी/घंटा। अब पहले समीकरण में 42y = 3 रखिए, तो 16x = 5 − 3 = 2। इससे $x = \frac{1}{8}$ और $U$ = 8 किमी/घंटा। तो नाव की चाल 11 किमी/घंटा और धारा की चाल 3 किमी/घंटा हुई। जाँच के लिए दोनों यात्राओं के समय देखिए, 2 + 3 = 5 घंटे और 5 + 2 = 7 घंटे।

परीक्षा में विकल्प आज़माना ज़्यादा तेज़ है। मान लीजिए एक विकल्प "11 किमी/घंटा और 3 किमी/घंटा" है। तब चालें 8 और 14 किमी/घंटा होंगी, और 16 ÷ 8 + 42 ÷ 14 = 5 तुरंत मिल जाता है।

एक ही नदी पर दो नावें। अब ऐसा प्रश्न लीजिए, "कस्बे P और Q के बीच की दूरी 90 किमी है, और P ऊर्ध्वप्रवाह की ओर है। नाव X, P से अनुप्रवाह की ओर और नाव Y, Q से ऊर्ध्वप्रवाह की ओर एक ही समय पर चलती हैं। शांत जल में उनकी चालें क्रमशः 10 किमी/घंटा और 8 किमी/घंटा हैं, और नदी 3 किमी/घंटा की चाल से बहती है। वे कब मिलेंगी?"

X की चाल 10 + 3 = 13 किमी/घंटा हो जाती है और Y की 8 − 3 = 5 किमी/घंटा। दोनों 18 किमी/घंटा से पास आती हैं, तो 90 ÷ 18 = 5 घंटे बाद मिलेंगी, P से 65 किमी पर। ध्यान दीजिए कि 18 बस 10 + 8 है। धारा एक नाव को जितना तेज़ करती है, दूसरी को ठीक उतना ही धीमा करती है, इसलिए धारा का असर कट जाता है। एक ही नदी पर एक नाव दूसरी का पीछा करे, तब भी यही होता है।

[Tier 2] पानी में कुछ गिर जाए। यह प्रश्न देखिए। "ऊर्ध्वप्रवाह में जाती एक नाव से, एक पुल के नीचे से गुज़रते समय एक गेंद गिर जाती है। चालक दल को 20 मिनट बाद इसका पता चलता है, तो वे नाव मोड़ते हैं और इंजन की उसी चाल से चलकर पुल से 2 किमी अनुप्रवाह की ओर गेंद उठा लेते हैं। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।"

इसे बहते पानी के हिसाब से सोचिए। नदी नाव और गेंद, दोनों को एक जैसा बहाती है। इसलिए पानी के सापेक्ष गेंद एक ही जगह टिकी रहती है, और नाव अपनी चाल $b$ से उससे दूर जाती है, फिर उसी चाल से लौटती है। 20 मिनट दूर गई, तो लौटने में भी 20 मिनट लगे। इस तरह गेंद कुल 40 मिनट बही, जो $\frac{2}{3}$ घंटा है, और इतने में वह 2 किमी गई। धारा की चाल = 2 ÷ $\frac{2}{3}$ = 3 किमी/घंटा। नाव की चाल कहीं काम नहीं आई।

[Tier 2] तैरकर नदी पार करना। SSC में यह बहुत कम आता है। अगर आए, तो दो में से एक स्थिति होती है। मान लीजिए नदी 400 मीटर चौड़ी है, व्यक्ति शांत जल में 5 किमी/घंटा से तैरता है और धारा 3 किमी/घंटा की है।

• वह मुँह सीधे सामने वाले किनारे की ओर रखकर तैरे, तो पार करने की चाल उसकी अपनी 5 किमी/घंटा ही रहती है। इसमें 0.4 ÷ 5 = 0.08 घंटा लगता है, जो 4.8 मिनट है। इतने में नदी उसे 3 × 0.08 = 0.24 किमी (240 मीटर) अनुप्रवाह की ओर बहा ले जाती है।
• उसे ठीक सामने वाले बिंदु पर उतरना हो, तो थोड़ा ऊर्ध्वप्रवाह की ओर मुँह करके तैरना पड़ता है। तब सीधे पार करने की चाल $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16}$ = 4 किमी/घंटा रह जाती है। अब पार करने में 0.4 ÷ 4 = 0.1 घंटा, यानी 6 मिनट लगते हैं।

दौड़: "हराता है" का अर्थ

दौड़ के प्रश्न भी समय, चाल और दूरी के ही प्रश्न हैं, बस इनमें कुछ ख़ास शब्द आते हैं। दौड़ की लंबाई $L$ मान लीजिए। अब इन शब्दों का मतलब समझिए।

• "A, B को $x$ मीटर से हराता है" का मतलब है कि जब A अंतिम रेखा पार करता है, तब B अभी $x$ मीटर पीछे होता है। एक ही समय में A ने $L$ दौड़ा और B ने $L - x$। इसलिए उनकी चालों का अनुपात यह है।

$$A : B = L : (L - x)$$

• "A, B को $t$ सेकंड से हराता है" का मतलब है कि B, A के $t$ सेकंड बाद पहुँचता है। तब B का समय = A का समय + $t$।
• "A, B को $x$ मीटर या $t$ सेकंड से हराता है" में दोनों बातें एक साथ सच हैं। मतलब आख़िरी $x$ मीटर दौड़ने में B को ठीक $t$ सेकंड लगते हैं। इसलिए B की चाल = $\frac{x}{t}$।
• बराबरी पर समाप्त दौड़ (dead heat) का मतलब है कि दोनों धावक ठीक एक ही क्षण अंतिम रेखा पर पहुँचते हैं।
• "A, B को $x$ मीटर की बढ़त देता है" का मतलब है कि B, $x$ मीटर आगे से शुरू करता है और उसे केवल $L - x$ दौड़ना होता है। इसी तरह "$t$ सेकंड की बढ़त" का मतलब है कि B, A से $t$ सेकंड पहले दौड़ना शुरू करता है।

मीटर वाले अंतर से। मान लीजिए कहा गया है, "700 मीटर की एक दौड़ में A, B को 140 मीटर से हराता है।" यहाँ A : B = 700 : 560 = 5 : 4। A 5 मीटर/सेकंड से दौड़े, तो B 4 मीटर/सेकंड से दौड़ेगा। A को 140 सेकंड लगेंगे और B को 175 सेकंड। तो A 35 सेकंड से भी जीतता है। और देखिए, B की 4 मीटर/सेकंड वाली चाल पर 140 मीटर दौड़ने में ठीक 35 सेकंड लगते हैं। यही "$x$ मीटर या $t$ सेकंड" वाला नियम है।

"$x$ मीटर या $t$ सेकंड से" हराना। एक प्रश्न लीजिए। "1 किमी की एक दौड़ में A, B को 60 मीटर या 15 सेकंड से हराता है। A को कितना समय लगता है?" B 60 मीटर 15 सेकंड में दौड़ता है, तो उसकी चाल 4 मीटर/सेकंड है। पूरी दौड़ में B को 1000 ÷ 4 = 250 सेकंड लगते हैं। A उससे 15 सेकंड पहले पहुँचता है, तो A का समय 235 सेकंड है, जो 3 मिनट 55 सेकंड हुआ। जाँच कर लीजिए, 235 सेकंड में B 4 × 235 = 940 मीटर दौड़ता है, जो ठीक 60 मीटर कम है।

दोनों के समय दिए हों। कभी दोनों धावकों के पूरे समय दिए होते हैं। जैसे, "A, 800 मीटर की दूरी 2 मिनट 24 सेकंड में और B, 2 मिनट 40 सेकंड में दौड़ता है। A कितने मीटर से जीतता है?" A को 144 सेकंड लगते हैं और B को 160 सेकंड, तो A 16 सेकंड से जीतता है। B की चाल 800 ÷ 160 = 5 मीटर/सेकंड है। इन 16 सेकंड में B 5 × 16 = 80 मीटर दौड़ता है, और यही जीत का अंतर है। मिलान भी कर लीजिए, 144 सेकंड पर B 5 × 144 = 720 मीटर पर होता है, जो 800 से 80 कम है।

अंकों वाले खेल। कहीं लिखा होता है, "100 अंकों के एक खेल में A, B को 20 अंक दे सकता है"। इसका मतलब है कि A के 100 अंक होने पर B के 80 अंक होते हैं। इसे 100 मीटर की दौड़ समझिए, जिसमें A, B को 20 मीटर से हराता है। तो A : B = 5 : 4।

[SSC टिप] $\frac{x}{t}$ वाला नियम हारने वाले धावक की चाल बताता है। समय वाले अंतर को विजेता की चाल से मीटर में बदलना गलत है। ऊपर वाली 800 मीटर की दौड़ में कोई 16 सेकंड को A की चाल $\frac{50}{9}$ मीटर/सेकंड से गुणा कर दे, तो $88\frac{8}{9}$ मीटर आता है। यह गलत संख्या भी विकल्पों में दी होती है।

बढ़त और बराबरी पर समाप्त दौड़

ऐसे हर प्रश्न में पहले मार्ग का छोटा-सा चित्र बना लीजिए। उसमें आरंभ रेखा, B के शुरू होने का बिंदु और अंतिम रेखा दिखाइए। याद रखिए, बढ़त मिलने का मतलब है कि दूसरे धावक को कम दूरी दौड़नी है।

बढ़त देकर भी जीत। प्रश्न आता है, "2 किमी की एक दौड़ में A, B को 160 मीटर की बढ़त देता है और फिर भी उसे 80 मीटर से हरा देता है।" A के 2000 मीटर दौड़ने तक B, 160 मीटर वाले निशान से 1920 मीटर वाले निशान तक पहुँचता है। B कुल 2000 − 160 − 80 = 1760 मीटर दौड़ा। तो A : B = 2000 : 1760 = 25 : 22। अगर बढ़त या जीत का अंतर घटाना भूल गए, तो 2000 : 1840 या 2000 : 1920 आता है। ये दोनों गलत अनुपात भी विकल्पों में दिए होते हैं।

बराबरी के लिए दौड़ कितनी लंबी हो। इस प्रश्न को देखिए। "A, B से $\frac{9}{5}$ गुना तेज़ दौड़ता है। A, B को 96 मीटर की बढ़त देता है। दौड़ कितनी लंबी हो, ताकि वह बराबरी पर समाप्त हो?" एक ही समय में A 9 भाग दौड़ता है और B 5 भाग। बराबरी के लिए A पूरी दौड़ दौड़ेगा और B दौड़ से 96 मीटर कम। ये 96 मीटर 4 भागों का अंतर हैं, तो एक भाग = 24 मीटर। दौड़ = 9 भाग = 216 मीटर। मिलान कर लीजिए, B 216 − 96 = 120 मीटर दौड़ता है, और 216 : 120 = 9 : 5।

इसे सूत्र में लिखें, तो

$$L = \text{बढ़त} \times \frac{a}{a - b} \quad \text{जहाँ चालों का अनुपात } a : b$$

बराबरी के लिए कितनी बढ़त। अब उलटा पूछा जाए, "1200 मीटर की एक दौड़ में A और B की चालों का अनुपात 6 : 5 है। दौड़ बराबरी पर समाप्त हो, इसके लिए A, B को कितनी बढ़त दे?" A के 1200 मीटर दौड़ने तक B 1200 × $\frac{5}{6}$ = 1000 मीटर दौड़ता है। तो B को 200 मीटर की बढ़त देनी होगी।

बढ़त मीटर में, जीत सेकंड में। उदाहरण के लिए, "450 मीटर की एक दौड़ में A, 9 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ता है। वह B को 30 मीटर की बढ़त देता है और फिर भी उसे 10 सेकंड से हरा देता है। B की चाल ज्ञात कीजिए।" A दौड़ 50 सेकंड में पूरी करता है, तो B आरंभ के 60 सेकंड बाद पहुँचता है। B को 450 − 30 = 420 मीटर दौड़ना था, तो उसकी चाल = 420 ÷ 60 = 7 मीटर/सेकंड। हिसाब ठीक है, क्योंकि A के पहुँचते समय B 30 + 7 × 50 = 380 मीटर पर है, और आख़िरी 70 मीटर में उसे 10 सेकंड लगते हैं।

बढ़त सेकंड में। एक और प्रश्न। "A, 400 मीटर की दूरी 64 सेकंड में और B, 80 सेकंड में दौड़ता है। A, B को 6 सेकंड की बढ़त देता है। कौन जीतेगा, और कितने से?" B की चाल 400 ÷ 80 = 5 मीटर/सेकंड है। A को दौड़ पूरी करने में 64 सेकंड लगते हैं, और तब तक B 64 + 6 = 70 सेकंड दौड़ चुका होता है। इतने में वह 350 मीटर ही दौड़ पाता है। तो A 50 मीटर से जीतता है।

समय में देखें, तो B अपनी शुरुआत के 80 सेकंड बाद पहुँचता है, यानी A के चलने के 74 सेकंड बाद। इस तरह A 10 सेकंड से जीतता है। दोनों उत्तर मेल खाते हैं, क्योंकि 5 मीटर/सेकंड पर 50 मीटर दौड़ने में 10 सेकंड ही लगते हैं।

जब धीमा धावक जीत जाए। कभी बढ़त इतनी ज़्यादा होती है कि B ही जीत जाता है। जैसे, "500 मीटर की एक दौड़ में A और B की चालों का अनुपात 5 : 4 है, और B को 120 मीटर की बढ़त मिली है।" A के 500 मीटर दौड़ने तक B 400 मीटर दौड़ लेता है। उस समय B 520 मीटर वाले निशान पर होता, जो अंतिम रेखा से आगे है। तो B जीतता है।

अंतर निकालने के लिए घड़ी तब रोकिए, जब B दौड़ पूरी करे। B को केवल 380 मीटर दौड़ना है, और इतने समय में A 380 × $\frac{5}{4}$ = 475 मीटर दौड़ता है। तो B 25 मीटर से जीतता है। A के पहुँचने के क्षण पर नापकर यह कहना कि B "20 मीटर आगे" है, गलत है। तब तक तो B रुक चुका होता है।

तीन धावक, पथ पर दौड़

अनुपातों की कड़ी, अंतरों का जोड़ नहीं। मान लीजिए प्रश्न है, "640 मीटर की एक दौड़ में A, B को 64 मीटर से और B, C को 40 मीटर से हराता है। A, C को कितने से हराता है?"

A के दौड़ पूरी करते समय B 576 मीटर पर है। B के 640 मीटर में C 600 मीटर दौड़ता है, तो B के 576 मीटर में C 576 × $\frac{600}{640}$ = 540 मीटर दौड़ेगा। इसलिए A, C को 640 − 540 = 100 मीटर से हराता है, 104 मीटर से नहीं।

वजह यह है कि C पर B की 40 मीटर की जीत उस क्षण नापी गई थी, जब B ने दौड़ पूरी की। पर जब A पहुँचता है, तब B अभी रेखा से पीछे है। उस समय C भी B से 40 मीटर से कम पीछे होता है।

एक ही लंबाई $L$ वाली दौड़ में दोनों अंतर $x$ और $y$ हों, तो सीधा सूत्र यह है।

$$\text{C पर A की जीत का अंतर = } x + y - \frac{xy}{L}$$

यहाँ 64 + 40 − $\frac{2560}{640}$ = 100 आता है।

अलग-अलग लंबाई की दौड़ें। कभी दोनों अंतर अलग-अलग दौड़ों के होते हैं। "120 मीटर की दौड़ में A, B को 12 मीटर से हराता है, और 450 मीटर की दौड़ में B, C को 45 मीटर से हराता है। 600 मीटर की दौड़ में A, C को कितने से हराएगा?" पहले चालों के अनुपात निकालिए। A : B = 120 : 108 = 10 : 9 और B : C = 450 : 405 = 10 : 9। अब B का हिस्सा बराबर कीजिए। A : B = 100 : 90 और B : C = 90 : 81, तो A : C = 100 : 81। A के 600 मीटर में C 600 × $\frac{81}{100}$ = 486 मीटर दौड़ता है, तो A 114 मीटर से जीतता है। कुछ लोग दोनों अंतरों को 600 मीटर की दौड़ के हिसाब से बढ़ाकर जोड़ देते हैं और 60 मीटर + 60 मीटर = 120 मीटर लिखते हैं। यह गलत है।

A दोनों को हराए, तो B और C। यह प्रश्न लीजिए, "900 मीटर की एक दौड़ में A, B को 60 मीटर से और C को 102 मीटर से हराता है। 900 मीटर की दौड़ में B, C को कितने से हराएगा?" A के पहुँचते समय B 840 मीटर पर है और C 798 मीटर पर। तो B : C = 840 : 798 = 20 : 19। B के 900 मीटर में C 855 मीटर दौड़ता है, तो B 45 मीटर से जीतता है। यहाँ 102 − 60 = 42 मीटर लिखना गलत है, क्योंकि यह फ़ासला केवल उस क्षण का है जब A पहुँचा।

[Tier 2] दौड़ की लंबाई निकालना। कभी दौड़ की लंबाई ही नहीं दी होती। "A, B को 30 मीटर से और C को 49 मीटर से हराता है, और उतनी ही लंबी दौड़ में B, C को 20 मीटर से हराता है।" A के पहुँचते समय B और C, $L - 30$ और $L - 49$ पर हैं। तो $\frac{L - 30}{L - 49} = \frac{L}{L - 20}$। तिरछा गुणा करने पर $L^2 - 50L + 600 = L^2 - 49L$ आता है, जिससे $L$ = 600 मीटर निकलता है। दोनों तरफ़ से B : C देखिए, 570 : 551 और 600 : 580, दोनों 30 : 29 हैं।

सेकंड वाले अंतर जुड़ते हैं। जैसे, "1 किमी की एक दौड़ में A, B को 12 सेकंड से और B, C को 8 सेकंड से हराता है।" C, B के 8 सेकंड बाद पहुँचता है और B, A के 12 सेकंड बाद। तो A, C को 20 सेकंड से हराता है। तीनों एक ही दूरी दौड़ते हैं और हर अंतर बस पहुँचने के समयों का फ़ासला है। इसलिए मीटर नहीं जुड़ते, पर सेकंड जुड़ जाते हैं।

वृत्ताकार पथ पर दौड़। अब गोल पथ पर एक दौड़ लीजिए। "A और B, 400 मीटर लंबे एक वृत्ताकार पथ पर 5 किमी की दौड़ दौड़ते हैं। उनकी चालों का अनुपात 5 : 4 है। A, B को कितनी बार पार करता है?"

A के 5000 मीटर पूरे होने तक B 4000 मीटर दौड़ता है। A अब 1000 मीटर आगे है, जो 2.5 चक्कर हुए। A जब भी B से एक और पूरा चक्कर आगे निकलता है, उसे पार करता है। यह 400 मीटर आगे होने पर और 800 मीटर आगे होने पर होता है, यानी 2 बार। साथ शुरू करना पार करना नहीं है, और अंत में बचा आधा चक्कर भी पार करना नहीं गिना जाता।

वृत्ताकार पथ: पहला मिलन

मान लीजिए वृत्ताकार पथ की लंबाई $C$ है। दो धावक उस पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं, और उनकी चालें a और b हैं। पहला मिलन कब होगा, यह सापेक्ष चाल से तय होता है। इसके नियम "सापेक्ष चाल, पीछा और रेलगाड़ियाँ" वाले खंड में आ चुके हैं।

• एक ही दिशा: तेज़ धावक को धीमे से एक पूरा चक्कर आगे निकलना होता है। समय = $\frac{C}{a - b}$।
• विपरीत दिशा: दोनों एक-दूसरे की ओर आते हैं और मिलकर एक चक्कर पूरा करते हैं। समय = $\frac{C}{a + b}$।

"एक पथ 650 मीटर लंबा है। A, 9 मीटर/सेकंड और B, 4 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ता है।" ऐसा दिया हो, तो पहला मिलन इस तरह निकलेगा।

• एक ही दिशा में 650 ÷ (9 − 4) = 130 सेकंड लगेंगे।
• विपरीत दिशा में 650 ÷ (9 + 4) = 50 सेकंड लगेंगे।

एक ही दिशा वाले उत्तर को जाँचकर देखिए। 130 सेकंड में A 1170 मीटर (1.8 चक्कर) दौड़ता है और B 520 मीटर (0.8 चक्कर)। A ठीक एक चक्कर अधिक दौड़ा, तो दोनों साथ-साथ हैं।

चालें किमी/घंटा में, पथ मीटर में। मान लीजिए A 14.4 किमी/घंटा से और B 32.4 किमी/घंटा से साइकिल चलाते हैं, पथ 500 मीटर का है और दोनों एक ही दिशा में चलते हैं। मीटर/सेकंड में चालें 4 और 9 हैं, और अंतर 5 मीटर/सेकंड। तो मिलन 500 ÷ 5 = 100 सेकंड, यानी 1 मिनट 40 सेकंड बाद होगा। चाहें तो किमी में ही कीजिए। 0.5 किमी ÷ 18 किमी/घंटा = $\frac{1}{36}$ घंटा, जो वही 100 सेकंड है।

चालों की जगह चक्कर के समय। कभी चालें नहीं, चक्कर के समय दिए होते हैं। A एक चक्कर $t_1$ में लगाता है और B $t_2$ में, जहाँ $t_1$, $t_2$ से कम है। तब

$$\text{एक ही दिशा: } \frac{t_1 t_2}{t_2 - t_1}, \qquad \text{विपरीत: } \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$$

जैसे A का चक्कर 36 सेकंड का है और B का 45 सेकंड का। एक ही दिशा में मिलन $\frac{36 \times 45}{9}$ = 180 सेकंड बाद होगा, और विपरीत दिशा में $\frac{36 \times 45}{81}$ = 20 सेकंड बाद।

इकाई विधि भी चलती है। पथ 180 मीटर मान लीजिए, जो 36 और 45 का ल.स. (LCM) है। तब A की चाल 5 मीटर/सेकंड और B की 4 मीटर/सेकंड होगी। दोनों उत्तर 180 ÷ 1 और 180 ÷ 9 से निकल आते हैं।

व्यास या त्रिज्या दी हो। तब पथ की लंबाई $\pi d$ या $2\pi r$ होगी, जहाँ $\pi = \frac{22}{7}$। जैसे व्यास 140 मीटर है, तो पथ $\frac{22}{7} \times 140$ = 440 मीटर लंबा है। दो साइकिल सवार 6 मीटर/सेकंड और 5 मीटर/सेकंड से विपरीत दिशा में चलें, तो 440 ÷ 11 = 40 सेकंड में मिलेंगे। गलती से $2\pi d$ ले लिया, तो उत्तर दोगुना आएगा।

एक ही बिंदु से शुरू न हो। मान लीजिए 650 मीटर वाले उसी पथ पर B, A से 120 मीटर आगे है। दोनों एक ही दिशा में दौड़ते हैं, B 4 मीटर/सेकंड से और A 9 मीटर/सेकंड से। तब A को केवल 120 मीटर का फ़ासला पाटना है, जिसमें 120 ÷ 5 = 24 सेकंड लगेंगे। उसके बाद वे हर 130 सेकंड पर मिलेंगे।

चक्कर प्रति घंटे में चालें, और $n$वाँ मिलन। कभी चाल चक्करों में दी होती है। "M किसी पार्क के चारों ओर 4 चक्कर प्रति घंटे की दर से टहलता है और N, 7 चक्कर प्रति घंटे की दर से दौड़ता है। दोनों एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में चलते हैं।" N हर घंटे M से 7 − 4 = 3 चक्कर आगे निकलता है। तो वे हर $\frac{1}{3}$ घंटे, यानी हर 20 मिनट पर मिलते हैं।

ये मिलन बराबर अंतराल पर होते हैं। चौथा मिलन 4 × 20 = 80 मिनट पर होगा। 2 घंटे 30 मिनट में वे 7 बार मिलेंगे, क्योंकि 150 ÷ 20 = 7.5 है, और इसमें पूरे मिलन 7 ही हैं। अगर दोनों विपरीत दिशा में चलें, तो दोनों मिलकर हर घंटे 4 + 7 = 11 चक्कर लगाते हैं, और वे हर $\frac{60}{11}$ मिनट पर मिलते हैं।

आरंभ बिंदु और मिलन बिंदु

आरंभ बिंदु पर पहला मिलन। कोई धावक आरंभ बिंदु पर तभी लौटता है जब उसके पूरे चक्कर हो जाएँ। A हर $t_1$ सेकंड पर वहाँ आता है और B हर $t_2$ सेकंड पर। दोनों पहली बार एक साथ वहाँ चक्कर के समयों के ल.स. पर होंगे। दिशा से इसमें कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

जैसे, "1320 मीटर के पथ पर A, 8 मीटर/सेकंड और B, 3 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ता है।" चक्कर के समय 1320 ÷ 8 = 165 सेकंड और 1320 ÷ 3 = 440 सेकंड हैं। इनका ल.स. 1320 सेकंड है, जो 22 मिनट हुए। इतने में A के 8 चक्कर पूरे होते हैं और B के 3।

ऐसे प्रश्न में दो गलतियाँ होती हैं, और दोनों से बने गलत उत्तर विकल्पों में दिए होते हैं। पहली, चालों का ल.स. 24 लेकर 1320 ÷ 24 = 55 सेकंड लिख देना। इस संख्या का कोई मतलब ही नहीं है। दूसरी, कहीं भी होने वाला पहला मिलन निकाल लेना, जो एक ही दिशा में 1320 ÷ 5 = 264 सेकंड पर होता है। वह आरंभ बिंदु वाला मिलन नहीं है।

भिन्न वाले चक्कर-समय। भिन्नों का ल.स. = $\frac{\text{अंशों का ल.स.}}{\text{हरों का म.स.}}$ होता है। जैसे A का चक्कर $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ मिनट का है और B का $7\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ मिनट का। तो ल.स. $\frac{45}{2}$ = $22\frac{1}{2}$ मिनट होगा। इतने में A के 5 चक्कर होते हैं और B के 3। भिन्नों से बचना हो, तो पहले सेकंड में बदल लीजिए। 270 सेकंड और 450 सेकंड का ल.स. 1350 सेकंड है।

आरंभ बिंदु पर तीन धावक। तीन धावक हों, तो तीनों के चक्कर-समयों का ल.स. लीजिए। मान लीजिए पथ 1080 मीटर का है और चालें 4, 5 और 6 मीटर/सेकंड हैं। चक्कर के समय 270 सेकंड, 216 सेकंड और 180 सेकंड हुए, और इनका ल.स. 1080 सेकंड आता है, मतलब 18 मिनट।

[Tier 2] तीन सवार, कहीं भी एक साथ। तीनों एक ही दिशा में चलें, तो वे तभी साथ होंगे जब उसी क्षण A और B साथ हों और B और C भी साथ हों। इसके लिए दोनों जोड़ियों के मिलन-समयों का ल.स. लीजिए। जैसे पथ 1260 मीटर का है और A, B, C की चालें 7, 11 और 17 मीटर/सेकंड हैं। B, A से 4 मीटर/सेकंड से आगे निकलता है, तो ये दोनों हर 315 सेकंड पर मिलते हैं। C, B से 6 मीटर/सेकंड से आगे निकलता है, तो ये हर 210 सेकंड पर मिलते हैं। तीनों का पहला मिलन इनके ल.स., 630 सेकंड पर होगा। देख लीजिए, इतने में वे 4410 मीटर, 6930 मीटर और 10710 मीटर चलते हैं, और हर एक पूरे चक्करों से 630 मीटर आगे है।

तीनों एक साथ आरंभ बिंदु पर तो 1260 सेकंड बाद ही पहुँचेंगे। यह चक्कर-समयों 180, $\frac{1260}{11}$ और $\frac{1260}{17}$ का ल.स. है।

कितने मिलन बिंदु। पहले चालों को सबसे छोटे अनुपात $a : b$ में लिखिए।

• एक ही दिशा में वे $a - b$ अलग-अलग बिंदुओं पर मिलते हैं।
• विपरीत दिशा में वे $a + b$ अलग-अलग बिंदुओं पर मिलते हैं।

ये बिंदु पथ पर बराबर दूरी पर फैले होते हैं। दोनों के फिर से आरंभ बिंदु पर पहुँचने तक वे ठीक इतनी ही बार मिलते हैं।

जैसे 1320 मीटर वाले पथ पर 8 : 3 वाले धावक एक ही दिशा में दौड़ें। वे हर 264 सेकंड पर मिलते हैं, पहले 792 मीटर वाले निशान पर, फिर 264 मीटर, 1056 मीटर और 528 मीटर वाले निशानों पर, और फिर आरंभ बिंदु पर। कुल 5 बिंदु हुए, हर 264 मीटर पर एक। विपरीत दिशा में 11 बिंदु होंगे, हर 120 मीटर पर एक।

[SSC टिप] "पहली बार मिलना" और "पहली बार आरंभ बिंदु पर मिलना" अलग-अलग प्रश्न हैं। पहले में सापेक्ष चाल लगती है, और दूसरे में चक्कर-समयों का ल.स. निकालना होता है। हल शुरू करने से पहले देख लीजिए कि कौन-सा पूछा गया है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

शांत जल में एक नाव की चाल 16 किमी/घंटा है और धारा की चाल 4 किमी/घंटा है। 24 मिनट में नाव अनुप्रवाह में कितनी दूरी तय करेगी? (a) 4.8 किमी (b) 6.4 किमी (c) 8 किमी (d) 9.6 किमी

उत्तर: अनुप्रवाह में धारा नाव की मदद करती है, तो चाल 16 + 4 = 20 किमी/घंटा हुई। अब 24 मिनट = $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ घंटा। दूरी = 20 × $\frac{2}{5}$ = (c) 8 किमी। 4.8 किमी तब आता है, जब कोई जल्दबाज़ी में ऊर्ध्वप्रवाह वाली 12 किमी/घंटा ले लेता है।

प्रश्न 2

एक नाव अनुप्रवाह में 57 किमी की दूरी 3 घंटे में और ऊर्ध्वप्रवाह में 44 किमी की दूरी 4 घंटे में तय करती है। धारा की चाल कितनी है? (a) 4 किमी/घंटा (b) 15 किमी/घंटा (c) 8 किमी/घंटा (d) 2 किमी/घंटा

उत्तर: पहले दोनों चालें निकाल लेते हैं। अनुप्रवाह चाल 57 ÷ 3 = 19 किमी/घंटा है और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 44 ÷ 4 = 11 किमी/घंटा। इनका अंतर धारा की चाल का दोगुना होता है, तो धारा की चाल = $\frac{19 - 11}{2}$ = (a) 4 किमी/घंटा। नाव की अपनी चाल $\frac{19 + 11}{2}$ = 15 किमी/घंटा है। जल्दी में कई लोग यही 15 चुन लेते हैं, जो धारा की नहीं, नाव की चाल है। जाँच भी कर लेते हैं, 15 + 4 = 19 और 15 − 4 = 11।

प्रश्न 3

शांत जल में एक मोटरबोट 24 किमी/घंटा की चाल से चल सकती है। किसी दूरी को ऊर्ध्वप्रवाह में तय करने में उसे, उसी दूरी को अनुप्रवाह में तय करने से तीन गुना समय लगता है। धारा की चाल कितनी है? (a) 8 किमी/घंटा (b) 16 किमी/घंटा (c) 6 किमी/घंटा (d) 12 किमी/घंटा

उत्तर: दूरी एक ही है, तो चालें समय के उलटे क्रम में होंगी। अनुप्रवाह चाल, ऊर्ध्वप्रवाह चाल की 3 गुनी होगी। धारा की चाल s मानें, तो 24 + s = 3(24 − s), जिससे 4s = 48 और s = (d) 12 किमी/घंटा आता है। अनुपात वाले नियम से भी यही मिलता है। ऊर्ध्वप्रवाह का समय : अनुप्रवाह का समय = 3 : 1 है। इससे $b : s$ = (3 + 1) : (3 − 1) = 2 : 1 आता है, और धारा की चाल 24 की आधी निकलती है। आख़िर में मिलान कर लेते हैं। अनुप्रवाह चाल 36 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 12 किमी/घंटा है, और 36 सच में 12 का तीन गुना है।

प्रश्न 4

एक व्यक्ति शांत जल में 6 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है, और नदी 2 किमी/घंटा की चाल से बहती है। किसी स्थान तक नाव खेकर जाने और वापस आने में उसे 3 घंटे लगते हैं। वह स्थान कितनी दूर है? (a) 9 किमी (b) 8 किमी (c) 6 किमी (d) 12 किमी

उत्तर: अनुप्रवाह चाल 8 किमी/घंटा है और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 4 किमी/घंटा। स्थान d किमी दूर मान लेते हैं, तो $\frac{d}{8} + \frac{d}{4} = 3$। 8 को हर बनाने पर $\frac{d + 2d}{8} = 3$ आता है। तो 3d = 24 और d = (b) 8 किमी। अब देखते हैं, जाने में 8 ÷ 8 = 1 घंटा लगा और लौटने में 8 ÷ 4 = 2 घंटे, कुल 3 घंटे।

प्रश्न 5

शांत जल में एक नाव की चाल 12 किमी/घंटा है। वह अनुप्रवाह में 35 किमी जाकर कुल 6 घंटे में वापस आरंभ बिंदु पर आ जाती है। धारा की चाल कितनी है? (a) 2 किमी/घंटा (b) 1.5 किमी/घंटा (c) 2.5 किमी/घंटा (d) 3 किमी/घंटा

उत्तर: यहाँ सबसे तेज़ तरीका विकल्प आज़माना है। धारा 2 किमी/घंटा लेकर देखते हैं। तब अनुप्रवाह चाल 14 किमी/घंटा होगी और जाने में 35 ÷ 14 = 2.5 घंटे लगेंगे। ऊर्ध्वप्रवाह चाल 10 किमी/घंटा होगी और लौटने में 35 ÷ 10 = 3.5 घंटे। कुल 6 घंटे हो गए, तो धारा की चाल (a) 2 किमी/घंटा है। बीजगणित से करें, तो $\frac{2 \times 12 \times 35}{144 - s^2} = 6$ से $144 - s^2 = 140$ और $s^2 = 4$ आता है।

प्रश्न 6

एक नाव अनुप्रवाह में 39 किमी की दूरी उतने ही समय में तय करती है, जितने समय में वह ऊर्ध्वप्रवाह में 21 किमी की दूरी तय करती है। यदि धारा की चाल 3 किमी/घंटा है, तो शांत जल में नाव की चाल कितनी है? (a) 13 किमी/घंटा (b) 7 किमी/घंटा (c) 10 किमी/घंटा (d) 12 किमी/घंटा

उत्तर: समय बराबर है, तो दूरियाँ चालों के अनुपात में होंगी। अनुप्रवाह : ऊर्ध्वप्रवाह = 39 : 21 = 13 : 7। चालें 13k और 7k मान लेते हैं। इनका अंतर 6k है, जो धारा की चाल का दोगुना है। धारा 3 किमी/घंटा है, तो 6k = 6 और k = 1। अनुप्रवाह चाल 13 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 7 किमी/घंटा हुई। नाव की अपनी चाल इनके ठीक बीच में है, $\frac{13 + 7}{2}$ = (c) 10 किमी/घंटा। दोनों समय भी बराबर निकलते हैं, 39 ÷ 13 = 3 घंटे और 21 ÷ 7 = 3 घंटे।

प्रश्न 7

[Tier 2] एक नाव 7 घंटे में ऊर्ध्वप्रवाह में 20 किमी और अनुप्रवाह में 27 किमी जाती है। वह 8 घंटे में ऊर्ध्वप्रवाह में 15 किमी और अनुप्रवाह में 45 किमी जाती है। शांत जल में नाव की चाल कितनी है? (a) 2 किमी/घंटा (b) 7 किमी/घंटा (c) 9 किमी/घंटा (d) 5 किमी/घंटा

उत्तर: ऊर्ध्वप्रवाह चाल $U$ और अनुप्रवाह चाल $D$ मान लेते हैं, और $x = \frac{1}{U}$ और $y = \frac{1}{D}$ रखते हैं। तब 20x + 27y = 7 और 15x + 45y = 8। x वाले पद बराबर करने के लिए पहले को 3 से और दूसरे को 4 से गुणा करते हैं, तो 60x + 81y = 21 और 60x + 180y = 32 मिलते हैं। घटाने पर 99y = 11 आता है, तो $y = \frac{1}{9}$ और अनुप्रवाह चाल 9 किमी/घंटा। फिर 20x = 7 − 3 = 4 से $x = \frac{1}{5}$ मिलता है, और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 5 किमी/घंटा। शांत जल में चाल = $\frac{9 + 5}{2}$ = (b) 7 किमी/घंटा, और धारा की चाल 2 किमी/घंटा। दोनों यात्राओं में समय 4 + 3 = 7 घंटे और 3 + 5 = 8 घंटे आता है, तो हल ठीक है। परीक्षा में विकल्प आज़माकर यह और जल्दी हो जाता है। 7 किमी/घंटा और धारा 2 किमी/घंटा लें, तो चालें 5 और 9 किमी/घंटा होती हैं, और 20 ÷ 5 + 27 ÷ 9 = 7 तुरंत मिल जाता है।

प्रश्न 8

एक नाव अनुप्रवाह में P से Q तक 3 घंटे में जाती है और Q से P तक 5 घंटे में लौटती है। शांत जल में नाव की चाल 20 किमी/घंटा है। आने-जाने की पूरी यात्रा में नाव की औसत चाल कितनी है? (a) 20 किमी/घंटा (b) 15 किमी/घंटा (c) 17.5 किमी/घंटा (d) 18.75 किमी/घंटा

उत्तर: दूरी एक ही है और समय 3 : 5 में हैं, तो चालें 5 : 3 में होंगी। अब $b : s$ = (5 + 3) : (5 − 3) = 4 : 1। यहाँ $b$ = 20 है, तो धारा की चाल 5 किमी/घंटा, अनुप्रवाह चाल 25 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 15 किमी/घंटा हुई। PQ = 25 × 3 = 75 किमी। औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय = 150 ÷ 8 = (d) 18.75 किमी/घंटा। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{b^2 - s^2}{b} = \frac{400 - 25}{20}$। कई लोग सीधे 20 किमी/घंटा लिख देते हैं, पर यह ठीक नहीं है। धीमे हिस्से पर नाव ज़्यादा समय लगाती है, इसलिए औसत चाल शांत जल वाली चाल से कम ही रहती है।

प्रश्न 9

48 किमी दूर स्थित किसी स्थान तक नाव खेकर जाने और वापस आने में एक व्यक्ति को 10 घंटे लगते हैं। वह पाता है कि जितने समय में वह अनुप्रवाह में 3 किमी नाव खे सकता है, उतने ही समय में ऊर्ध्वप्रवाह में 2 किमी। धारा की चाल कितनी है? (a) 10 किमी/घंटा (b) 4 किमी/घंटा (c) 2 किमी/घंटा (d) 1 किमी/घंटा

उत्तर: एक ही समय में वह 3 किमी अनुप्रवाह और 2 किमी ऊर्ध्वप्रवाह जाता है, तो अनुप्रवाह चाल : ऊर्ध्वप्रवाह चाल = 3 : 2। दूरी वही 48 किमी है, इसलिए समय उलटे क्रम में 2 : 3 होंगे। 10 घंटे को इसी तरह बाँटें, तो 4 घंटे जाने में और 6 घंटे लौटने में लगे। अनुप्रवाह चाल = 48 ÷ 4 = 12 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल = 48 ÷ 6 = 8 किमी/घंटा। धारा की चाल = $\frac{12 - 8}{2}$ = (c) 2 किमी/घंटा, और शांत जल में वह 10 किमी/घंटा से नाव खेता है। दोनों समय जोड़ें, तो 4 + 6 = 10 घंटे ही आते हैं।

प्रश्न 10

[Tier 2] एक मोटरबोट ऊर्ध्वप्रवाह में जा रही है। एक पुल के नीचे से गुज़रते समय नाव से एक गेंद गिर जाती है और धारा के साथ बहने लगती है। 15 मिनट बाद चालक दल को इसका पता चलता है, तो वे नाव को मोड़ते हैं और इंजन की उसी चाल से चलकर पुल से 2 किमी अनुप्रवाह की ओर गेंद उठा लेते हैं। धारा की चाल कितनी है? (a) 4 किमी/घंटा (b) 8 किमी/घंटा (c) 2 किमी/घंटा (d) 6 किमी/घंटा

उत्तर: नदी नाव और गेंद को साथ-साथ बहाती है, तो बहते पानी के सापेक्ष गेंद एक ही जगह टिकी है। नाव अपनी चाल से 15 मिनट दूर गई और उसी चाल से लौटी, तो लौटने में भी 15 मिनट लगे। गेंद कुल 30 मिनट बही और इतने में 2 किमी गई, तो धारा की चाल = 2 ÷ $\frac{1}{2}$ = (a) 4 किमी/घंटा। नाव की चाल की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। जो केवल पहले 15 मिनट गिनते हैं, उन्हें 8 किमी/घंटा मिलता है।

प्रश्न 11

1600 मीटर की एक दौड़ में A, B को 64 मीटर या 16 सेकंड से हराता है। दौड़ पूरी करने में A को कितना समय लगता है? (a) 6 मिनट 40 सेकंड (b) 6 मिनट 56 सेकंड (c) 6 मिनट 8 सेकंड (d) 6 मिनट 24 सेकंड

उत्तर: B जिन 64 मीटर से पीछे रह गया, उन्हें दौड़ने में उसे ठीक 16 सेकंड लगते हैं। तो B की चाल 64 ÷ 16 = 4 मीटर/सेकंड है। पूरी दौड़ में B को 1600 ÷ 4 = 400 सेकंड लगते हैं, और A उससे 16 सेकंड पहले पहुँचता है। तो A का समय 384 सेकंड, यानी (d) 6 मिनट 24 सेकंड है। पक्का करने के लिए देखते हैं, 384 सेकंड में B 4 × 384 = 1536 मीटर दौड़ता है, जो 1600 मीटर से 64 मीटर कम है। 4 मीटर/सेकंड को A की चाल मान लें, तो 6 मिनट 40 सेकंड आता है, पर वह तो B का समय है।

प्रश्न 12

A, B से $1\frac{2}{5}$ गुना तेज़ दौड़ता है। यदि A, B को 84 मीटर की बढ़त देता है, तो दौड़ कितनी लंबी होनी चाहिए, ताकि दोनों एक साथ विजय स्तंभ पर पहुँचें? (a) 210 मीटर (b) 294 मीटर (c) 117.6 मीटर (d) 588 मीटर

उत्तर: $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है, तो चालें A : B = 7 : 5 में हैं। एक ही समय में A 7 भाग दौड़ता है और B 5 भाग। बराबरी के लिए A पूरी दौड़ दौड़ेगा और B दौड़ से 84 मीटर कम। ये 84 मीटर 2 भागों का अंतर हैं, तो एक भाग = 42 मीटर और दौड़ = 7 भाग = (b) 294 मीटर। B को 294 − 84 = 210 मीटर दौड़ना पड़ा, और 294 : 210 = 7 : 5 ही है।

प्रश्न 13

1 किमी की एक दौड़ में A, B को 140 मीटर की बढ़त देता है और फिर भी उसे 20 मीटर से हरा देता है। यदि A की चाल 8 मीटर/सेकंड है, तो B की चाल कितनी है? (a) 6.88 मीटर/सेकंड (b) 6.72 मीटर/सेकंड (c) 7.04 मीटर/सेकंड (d) 7.84 मीटर/सेकंड

उत्तर: A को 1000 मीटर दौड़ने में 1000 ÷ 8 = 125 सेकंड लगते हैं। इतने समय में B, 140 मीटर आगे से शुरू करके अंतिम रेखा से 20 मीटर पहले तक पहुँचा। तो B कुल 1000 − 140 − 20 = 840 मीटर दौड़ा। B की चाल = 840 ÷ 125 = (b) 6.72 मीटर/सेकंड।

प्रश्न 14

960 मीटर की एक दौड़ में A, B को 96 मीटर से और B, C को 60 मीटर से हराता है। A, C को कितने मीटर से हराता है? (a) 156 मीटर (b) 144 मीटर (c) 150 मीटर (d) 160 मीटर

उत्तर: A के 960 मीटर पूरे होने पर B 864 मीटर पर है। B के 960 मीटर में C 900 मीटर दौड़ता है, तो B के 864 मीटर में C 864 × $\frac{900}{960}$ = 810 मीटर दौड़ेगा। A की C पर जीत = 960 − 810 = (c) 150 मीटर। दोनों अंतर जोड़कर 156 मीटर लिखना गलत है। C पर B की 60 मीटर की जीत तब नापी गई थी, जब B ने दौड़ पूरी की। A के पहुँचते समय B अभी रेखा से 96 मीटर पीछे है, तो उस समय C, B से 60 मीटर से थोड़ा कम पीछे होता है।

प्रश्न 15

600 मीटर की एक दौड़ में A, B को 10 सेकंड की बढ़त देता है और फिर भी उसे 60 मीटर से हरा देता है। B की चाल 6 मीटर/सेकंड है। A की चाल कितनी है? (a) 27 किमी/घंटा (b) 24 किमी/घंटा (c) 21.6 किमी/घंटा (d) 7.5 किमी/घंटा

उत्तर: A के रेखा पार करते समय B 60 मीटर पीछे है, तो B 540 मीटर ही दौड़ा। 6 मीटर/सेकंड पर इसमें B को 90 सेकंड लगे। B, A से 10 सेकंड पहले चला था, तो A केवल 90 − 10 = 80 सेकंड दौड़ा। A की चाल = 600 ÷ 80 = 7.5 मीटर/सेकंड = 7.5 × $\frac{18}{5}$ = (a) 27 किमी/घंटा।

प्रश्न 16

900 मीटर की एक दौड़ में A और B की चालों का अनुपात 4 : 3 है। A, B को 240 मीटर की बढ़त देता है। कौन जीतता है, और कितने से? (a) B, 15 मीटर से जीतता है (b) A, 15 मीटर से जीतता है (c) A, 20 मीटर से जीतता है (d) B, 20 मीटर से जीतता है

उत्तर: B को केवल 900 − 240 = 660 मीटर दौड़ना है। A के 900 मीटर में B 900 × $\frac{3}{4}$ = 675 मीटर दौड़ लेता है, जो उसकी ज़रूरत से अधिक है। मतलब B पहले पहुँच जाता है। अंतर के लिए घड़ी B के पहुँचने पर रोकते हैं। B के 660 मीटर पूरे होने तक A 660 × $\frac{4}{3}$ = 880 मीटर ही दौड़ पाता है। इसलिए (d) B, 20 मीटर से जीतता है। "B, 15 मीटर से जीतता है" वाला विकल्प A के पहुँचने के क्षण का फ़ासला है, पर तब तक B रुक चुका होता है।

प्रश्न 17

260 मीटर की दौड़ में A, B को 26 मीटर से हराता है, और 360 मीटर की दौड़ में B, C को 18 मीटर से हराता है। 500 मीटर की दौड़ में A, C को कितने मीटर से हराएगा? (a) 72.5 मीटर (b) 75 मीटर (c) 44 मीटर (d) 70 मीटर

उत्तर: हर अंतर से चालों का अनुपात निकालते हैं। A : B = 260 : 234 = 10 : 9 और B : C = 360 : 342 = 20 : 19। B का हिस्सा बराबर करने पर A : B = 10 : 9 = 200 : 180 और B : C = 20 : 19 = 180 : 171, तो A : C = 200 : 171। A के 500 मीटर में C 500 × $\frac{171}{200}$ = 427.5 मीटर दौड़ता है। इसलिए A की जीत (a) 72.5 मीटर से होती है।

प्रश्न 18

A और B, 2.7 किमी लंबे एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ चलना शुरू करते हैं और क्रमशः 15 किमी/घंटा और 24 किमी/घंटा की चाल से एक ही दिशा में साइकिल चलाते हैं। कितने मिनट बाद वे पहली बार मिलेंगे? (a) 10.8 मिनट (b) $4\frac{2}{13}$ मिनट (c) 6.75 मिनट (d) 18 मिनट

उत्तर: दोनों एक ही दिशा में हैं, तो B, A से 24 − 15 = 9 किमी/घंटा से आगे निकलता है। वे तब मिलेंगे जब B, 2.7 किमी का एक पूरा चक्कर आगे हो जाए। समय = 2.7 ÷ 9 = 0.3 घंटा = (d) 18 मिनट। जाँच के लिए, 18 मिनट में A 4.5 किमी और B 7.2 किमी चलता है, और फ़ासला ठीक 2.7 किमी है।

प्रश्न 19

दो धावक एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और विपरीत दिशाओं में दौड़ते हैं। एक धावक एक चक्कर 48 सेकंड में और दूसरा 72 सेकंड में पूरा करता है। कितने सेकंड बाद वे पहली बार मिलेंगे? (a) 144 सेकंड (b) 60 सेकंड (c) 28.8 सेकंड (d) 24 सेकंड

उत्तर: पथ 144 मीटर मान लेते हैं, जो 48 और 72 का ल.स. है। तब पहला धावक 3 मीटर/सेकंड से दौड़ता है और दूसरा 2 मीटर/सेकंड से। दोनों एक-दूसरे की ओर 3 + 2 = 5 मीटर/सेकंड से पास आते हैं, तो वे 144 ÷ 5 = (c) 28.8 सेकंड बाद मिलेंगे। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = \frac{48 \times 72}{120}$।

प्रश्न 20

720 मीटर लंबे एक वृत्ताकार पथ पर A और B एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और क्रमशः 4 मीटर/सेकंड और 9 मीटर/सेकंड की चाल से एक ही दिशा में दौड़ते हैं। कितने समय बाद वे पहली बार फिर से आरंभ बिंदु पर एक साथ होंगे? (a) 2 मिनट 24 सेकंड (b) 12 मिनट (c) 36 सेकंड (d) 20 सेकंड

उत्तर: A हर 720 ÷ 4 = 180 सेकंड पर एक चक्कर पूरा करता है, और B हर 720 ÷ 9 = 80 सेकंड पर। दोनों एक साथ आरंभ बिंदु पर 180 और 80 के ल.स. पर होंगे, यानी 720 सेकंड = (b) 12 मिनट बाद। तब तक A के 4 चक्कर होते हैं और B के 9।

प्रश्न 21

A, B और C, 2.4 किमी लंबे एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ चलना शुरू करते हैं और क्रमशः 8 किमी/घंटा, 10 किमी/घंटा और 16 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाते हैं। कितने मिनट बाद तीनों पहली बार आरंभ बिंदु पर एक साथ होंगे? (a) 18 मिनट (b) 126 मिनट (c) 1 मिनट 48 सेकंड (d) 72 मिनट

उत्तर: पहले तीनों के चक्कर के समय निकाल लेते हैं। A का 2.4 ÷ 8 = 0.3 घंटा = 18 मिनट, B का 2.4 ÷ 10 = 0.24 घंटा = 14.4 मिनट, और C का 2.4 ÷ 16 = 0.15 घंटा = 9 मिनट। सेकंड में ये 1080, 864 और 540 हैं, और इनका ल.स. 4320 सेकंड = (d) 72 मिनट है। 72 मिनट में A के 4 चक्कर, B के 5 और C के 8 चक्कर पूरे होते हैं, तो हिसाब ठीक है। 14.4 मिनट को गोल करके 14 कर दें, तो 18, 14 और 9 का ल.स. 126 आता है, जो सही नहीं है।

प्रश्न 22

दो साइकिल सवार एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ चलना शुरू करते हैं और विपरीत दिशाओं में साइकिल चलाते हैं। उनकी चालों का अनुपात 8 : 5 है। वे पथ के कितने अलग-अलग बिंदुओं पर मिलेंगे? (a) 13 (b) 3 (c) 8 (d) 40

उत्तर: पथ 13 इकाई का मान लेते हैं, और चालें 8 और 5 इकाई प्रति मिनट। दोनों एक-दूसरे की ओर 13 इकाई प्रति मिनट से पास आते हैं, तो हर मिनट एक बार मिलते हैं। 1 मिनट बाद पहला सवार 8 वाले निशान पर होता है, 2 मिनट बाद 16 वाले, यानी 3 वाले निशान पर, और इसी तरह आगे। दोनों फिर आरंभ बिंदु पर केवल 13 मिनट बाद आते हैं। तो वे (a) 13 अलग-अलग बिंदुओं पर मिलते हैं, जो पथ पर बराबर दूरी पर फैले हैं। नियम यह है कि चालों का अनुपात सबसे छोटे रूप में $a : b$ हो, तो विपरीत दिशा में $a + b$ बिंदु होते हैं और एक ही दिशा में $a - b$ बिंदु, जो यहाँ 3 होते।

प्रश्न 23

A और B, 300 मीटर लंबे एक वृत्ताकार पथ पर 2.4 किमी की दौड़ दौड़ते हैं। उनकी चालों का अनुपात 7 : 4 है। दौड़ के दौरान A, B को कितनी बार पार करेगा (आरंभ को न गिनें)? (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 8

उत्तर: A के 2400 मीटर पूरे होने तक B 2400 × $\frac{4}{7}$ = $1371\frac{3}{7}$ मीटर दौड़ता है। अब A, $1028\frac{4}{7}$ मीटर आगे है, जो $3\frac{3}{7}$ चक्कर है। हर बार एक पूरा चक्कर आगे निकलने पर A, B को एक बार पार करता है। यह 300 मीटर, 600 मीटर और 900 मीटर आगे होने पर होता है, तो वह (c) 3 बार पार करेगा।

प्रश्न 24

[Tier 2] A, B और C, 600 मीटर लंबे एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और क्रमशः 5 मीटर/सेकंड, 9 मीटर/सेकंड और 15 मीटर/सेकंड की चाल से एक ही दिशा में दौड़ते हैं। कितने सेकंड बाद तीनों पहली बार पथ पर कहीं भी एक साथ होंगे? (a) 600 सेकंड (b) 300 सेकंड (c) 150 सेकंड (d) 60 सेकंड

उत्तर: B, A से 4 मीटर/सेकंड से आगे निकलता है, तो A और B हर 600 ÷ 4 = 150 सेकंड पर साथ होते हैं। C, B से 6 मीटर/सेकंड से आगे निकलता है, तो B और C हर 600 ÷ 6 = 100 सेकंड पर साथ होते हैं। तीनों तभी साथ होंगे जब ये दोनों बातें एक ही क्षण हों, यानी 150 और 100 के ल.स. पर, (b) 300 सेकंड बाद। देख भी लेते हैं। 300 सेकंड में A 1500 मीटर, B 2700 मीटर और C 4500 मीटर दौड़ चुके हैं। 600 मीटर के पूरे चक्कर घटाने पर तीनों 300 मीटर वाले निशान पर हैं।