चाल, दूरी और समय की मूल बातें

एक सूत्र, तीन रूप

चाल (speed) का मतलब है एक इकाई समय में तय की गई दूरी। इस अध्याय का हर प्रश्न इसी एक संबंध से शुरू होता है। इसे तीन तरह से लिख सकते हैं।

$$\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} \qquad \text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय} \qquad \text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$

• एक स्कूटर 3 घंटे में 135 किमी चलता है। उसकी चाल = 135 ÷ 3 = 45 किमी/घंटा।
• कोई 45 किमी/घंटा की चाल से 2 घंटे 20 मिनट चलता है। पहले समय को घंटों में बदल लीजिए। 2 घंटे 20 मिनट = $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ घंटे। तो दूरी = $45 \times \frac{7}{3}$ = 105 किमी।
• 63 किमी की दूरी 45 किमी/घंटा की चाल से तय करनी है। तब समय = $\frac{63}{45} = \frac{7}{5}$ घंटे, यानी 1 घंटा 24 मिनट।

इकाइयाँ एक जैसी रखिए: चाल किमी/घंटा में हो, तो समय घंटों में और दूरी किमी में लीजिए। चाल मीटर/सेकंड में हो, तो दूरी मीटर में और समय सेकंड में। इस अध्याय में ज़्यादातर गलत उत्तर इन दोनों तरह की इकाइयों को आपस में मिला देने से ही आते हैं।

मिनट से घंटे: मिनट को घंटे में बदलना हो, तो 60 से भाग दीजिए। नीचे वाले मान बार-बार आते हैं, इन्हें याद कर लीजिए।

उलटा, यानी घंटे से मिनट निकालने हों, तो पूरे घंटे अलग रखिए और बचे हुए भाग को 60 से गुणा कीजिए। 0.4 घंटा = 24 मिनट। इसी तरह 1.35 घंटे में 1 पूरा घंटा है और 0.35 × 60 = 21 मिनट, तो यह 1 घंटा 21 मिनट हुआ।

मिनटों में दिया समय: एक कार 35 मिनट में 28 किमी चलती है। चाल निकालने के लिए 35 मिनट को घंटों में लिखकर भाग दीजिए। $28 \div \frac{35}{60} = 28 \times \frac{60}{35}$ = 48 किमी/घंटा। इसे दूसरी तरह भी सोच सकते हैं। 35 मिनट में 28 किमी, तो 5 मिनट में 4 किमी, और 60 मिनट में 48 किमी।

घड़ी का समय: एक लॉरी पूर्वाह्न 9:40 बजे चलती है और 52 किमी/घंटा की चाल से 182 किमी जाती है। रास्ते में $\frac{182}{52} = 3\frac{1}{2}$ घंटे लगेंगे, तो लॉरी अपराह्न 1:10 बजे पहुँचेगी। जब गिनती दोपहर के पार जाए, तो दो कदमों में गिनिए। पहले पूर्वाह्न 9:40 बजे से अपराह्न 12:40 बजे तक 3 घंटे गिनिए, फिर 30 मिनट और जोड़ दीजिए।

आगे क्या आएगा: जब एक ही चीज़ चल रही हो, तो SSC में इकाइयों, चाल और समय के अनुपात, औसत चाल, देर से या जल्दी पहुँचने, ठहराव और आने-जाने की यात्रा पर प्रश्न आते हैं। इस खंड में यही सब देखेंगे। जब दो चीज़ें एक साथ चलें, जैसे दो लोगों का मिलना, किसी का पीछा करना या दो रेलगाड़ियाँ, तो वहाँ से सापेक्ष चाल की बात शुरू होती है।

[SSC टिप] दशमलव में लिखे घंटे को "घंटे.मिनट" की तरह न पढ़िए। 2.4 घंटे का मतलब 2 घंटे 24 मिनट है, 2 घंटे 40 मिनट नहीं। इसी तरह 3.75 घंटे = 3 घंटे 45 मिनट। SSC विकल्पों में ठीक इसी चूक वाला एक गलत उत्तर ज़रूर रखता है।

किमी/घंटा से मीटर/सेकंड और वापस

एक किमी में 1000 मीटर होते हैं और एक घंटे में 3600 सेकंड। इसी से दोनों इकाइयों का संबंध निकलता है।

$$1 \text{ किमी/घंटा} = \frac{1000}{3600} \text{ मीटर/सेकंड} = \frac{5}{18} \text{ मीटर/सेकंड} \qquad 1 \text{ मीटर/सेकंड} = \frac{18}{5} \text{ किमी/घंटा} = 3.6 \text{ किमी/घंटा}$$

• किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलना हो, तो $\frac{5}{18}$ से गुणा कीजिए। जैसे 72 किमी/घंटा = $72 \times \frac{5}{18}$ = 20 मीटर/सेकंड।
• मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलना हो, तो $\frac{18}{5}$ से गुणा कीजिए। जैसे 15 मीटर/सेकंड = $15 \times \frac{18}{5}$ = 54 किमी/घंटा।

किमी/घंटा वाली संख्या 18 का गुणज हो, तो मीटर/सेकंड में पूरी संख्या आती है। नीचे वाले मान ज़बानी याद होने चाहिए।

सही भिन्न की पहचान: मीटर/सेकंड वाली संख्या हमेशा छोटी होती है। वह किमी/घंटा वाली संख्या के चौथाई से थोड़ी अधिक होती है। अगर 54 किमी/घंटा को बदलने पर 54 से बड़ी संख्या आ गई, तो आपने गलत भिन्न से गुणा किया है।

जब लंबाई मीटर में दी हो और चाल किमी/घंटा में, तो सबसे पहले चाल को मीटर/सेकंड में बदल लीजिए। रेलगाड़ी, पुलिस और चोर का पीछा, और दौड़ वाले प्रश्न ज़्यादातर ऐसे ही होते हैं।

दो छोटे उदाहरण: दोनों में बस ऊपर वाला गुणा लगाना है।

• एक धावक 25 सेकंड में 200 मीटर दौड़ता है, यानी 8 मीटर/सेकंड। किमी/घंटा में यह 8 × 3.6 = 28.8 किमी/घंटा हुआ।
• एक बस 66 किमी/घंटा से चल रही है। देखना है कि 15 सेकंड में वह कितनी दूर जाती है। $66 \times \frac{5}{18} = \frac{55}{3}$ मीटर/सेकंड, तो दूरी = $\frac{55}{3} \times 15$ = 275 मीटर।

मीटर प्रति मिनट: 1 किमी/घंटा = $\frac{1000}{60} = \frac{50}{3}$ मीटर प्रति मिनट। तो 12 किमी/घंटा = 200 मीटर प्रति मिनट। अब उलटा देखिए। कोई 4 मिनट में 900 मीटर चलता है, तो उसकी चाल 225 मीटर प्रति मिनट है। एक घंटे में वह 225 × 60 = 13,500 मीटर चलेगा, यानी 13.5 किमी/घंटा।

पहिए: पहिया एक पूरा चक्कर लगाता है, तो वह अपनी परिधि जितना आगे बढ़ता है। परिधि = $\pi d$, या $2\pi r$। मान लीजिए पहिए का व्यास 1.4 मीटर है। एक चक्कर में वह $\frac{22}{7} \times 1.4$ = 4.4 मीटर चलेगा। अगर वह एक मिनट में 125 चक्कर लगाता है, तो एक मिनट में 550 मीटर चलेगा, और एक घंटे में 33,000 मीटर। यानी उसकी चाल 33 किमी/घंटा है।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। सूत्र में व्यास चाहिए, और छात्र उसकी जगह त्रिज्या रख देते हैं। तब उत्तर आधा आता है, और SSC यह आधा मान विकल्पों में ज़रूर रखता है।

अनुपात विधि: दूरी, समय या चाल समान

दूरी = चाल × समय है, इसलिए ये तीनों राशियाँ आपस में जुड़ी हुई हैं। इनमें से कोई एक समान रहे, तो बाकी दो का अनुपात सीधे लिख सकते हैं। कभी वे एक ही अनुपात में होती हैं, और कभी व्युत्क्रम अनुपात (inverse ratio) में।

दूरी एक, चालें अलग: दो लोगों की चालें 3 : 4 हैं और दूरी एक ही है। तो उनके समय 4 : 3 होंगे। मान लीजिए धीमे वाले को 20 मिनट अधिक लगते हैं। समय का अंतर 4 − 3 = 1 भाग है, तो 1 भाग = 20 मिनट। यानी दोनों के समय 80 और 60 मिनट हैं। न कोई सूत्र लगा, न कोई समीकरण।

सामान्य चाल का कुछ भाग: ऐसा प्रश्न अक्सर आता है, "अपनी सामान्य चाल के $\frac{4}{5}$ से चलने पर एक व्यक्ति 12 मिनट देर से पहुँचता है। उसका सामान्य समय कितना है?" यहाँ सामान्य चाल और नई चाल का अनुपात 5 : 4 है। तो सामान्य समय और नए समय का अनुपात 4 : 5 होगा। नए समय में 1 भाग अधिक है, और यही 12 मिनट की देरी है। तो सामान्य समय = 4 × 12 = 48 मिनट।

तेज़ चलने वाले प्रश्न भी इसी तरह हल होते हैं। मान लीजिए कोई अपनी सामान्य चाल के $\frac{6}{5}$ से चलकर 10 मिनट जल्दी पहुँचता है। तब सामान्य समय और नए समय का अनुपात 6 : 5 है। 1 भाग = 10 मिनट, तो सामान्य समय 60 मिनट है।

समय एक, चालें अलग: यह प्रश्न देखिए, "यदि कुणाल 12 किमी/घंटा के स्थान पर 15 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाता, तो उतने ही समय में वह 9 किमी अधिक दूरी तय कर लेता। उसने वास्तव में कितनी दूरी तय की?" चाल 3 किमी/घंटा अधिक होने से दूरी 9 किमी अधिक हो जाती। इसका मतलब कुणाल ने 3 घंटे साइकिल चलाई। तो उसने वास्तव में 12 × 3 = 36 किमी की दूरी तय की।

प्रतिशत परिवर्तन: 3 घंटे की यात्रा अब 2 घंटे 30 मिनट में करनी है। समय का अनुपात 6 : 5 हुआ, तो चालें 5 : 6 होंगी। यानी चाल $\frac{1}{5}$ बढ़ानी होगी, जो 20% है।

इसका उलटा भी देख लीजिए। चाल 20% बढ़े, तो चालें 5 : 6 होती हैं, और समय 6 भाग से घटकर 5 भाग रह जाता है। यानी समय $\frac{1}{6} = 16\frac{2}{3}\%$ कम लगता है। चाल 20% घटे, तो चालें 5 : 4 होती हैं। अब समय 4 भाग से बढ़कर 5 भाग हो जाता है, यानी 25% अधिक।

चालों का अनुपात: A 4 घंटे में 240 किमी जाता है और B 5 घंटे में 210 किमी। पहले दोनों की चाल निकाल लीजिए। A की चाल 60 किमी/घंटा है और B की 42 किमी/घंटा, तो A : B = 10 : 7।

समय का अनुपात: दो लोगों की दूरियाँ 3 : 4 हैं और चालें 5 : 6। समय = दूरी ÷ चाल, तो समय का अनुपात $\frac{3}{5} : \frac{4}{6}$ हुआ। दोनों को 30 से गुणा कीजिए, 18 : 20 आएगा, यानी 9 : 10।

औसत चाल: बराबर दूरियाँ और बराबर समय

औसत चाल (average speed) हमेशा कुल दूरी को कुल समय से भाग देकर निकलती है।

$$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$$

हर प्रश्न में इसी पर भरोसा कीजिए। चालों का सीधा औसत केवल एक खास स्थिति में सही आता है।

बराबर दूरियाँ: रेखा साइकिल से अपने माता-पिता के कस्बे जाती है, जो 72 किमी दूर है। जाते समय उसकी चाल 24 किमी/घंटा है और लौटते समय 36 किमी/घंटा। जाने में 3 घंटे लगे और लौटने में 2 घंटे। यानी 5 घंटे में 144 किमी, तो औसत चाल 28.8 किमी/घंटा हुई, 30 नहीं। वजह यह है कि धीमी चाल पर रेखा ने ज़्यादा समय बिताया, इसलिए औसत 24 के ज़्यादा पास आ गया।

दो बराबर दूरियाँ x और y चालों से तय हों, तो हर बार यही हिसाब लगता है।

$$\text{औसत चाल} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2 \times 24 \times 36}{24 + 36} = \frac{1728}{60} = 28.8 \text{ किमी/घंटा}$$

तीन बराबर दूरियाँ: चालें x, y और z हों, तो औसत चाल $\frac{3xyz}{xy + yz + zx}$ होती है। पर इससे सरल रास्ता भी है। हर हिस्से की लंबाई ऐसी मान लीजिए जो हर चाल से पूरी-पूरी बँट जाए। जैसे चालें 15, 30 और 90 किमी/घंटा हैं, तो हर हिस्सा 90 किमी मान लीजिए। समय 6, 3 और 1 घंटा आएँगे। 270 किमी में 10 घंटे लगे, तो औसत चाल 27 किमी/घंटा है। सूत्र से जाँच कर लीजिए, $\frac{3 \times 15 \times 30 \times 90}{450 + 2700 + 1350} = \frac{121500}{4500} = 27$।

दूरी मान लेने वाला यह तरीका कितने भी बराबर हिस्सों में चलता है, और तब भी जब प्रश्न में दूरी दी ही न हो, क्योंकि उत्तर इस पर निर्भर नहीं करता कि आपने दूरी कितनी मानी।

बराबर समय: एक टैक्सी 2 घंटे 50 किमी/घंटा से चलती है और फिर 2 घंटे 70 किमी/घंटा से। दूरी 100 + 140 = 240 किमी हुई और समय 4 घंटे, तो औसत चाल 60 किमी/घंटा है। यह दोनों चालों का सीधा औसत ही है। समय बराबर हों, तो हर चाल को बराबर भार मिलता है। इसलिए यहाँ $\frac{x + y}{2}$ सही है, पर केवल यहीं।

झटपट जाँच: कोई भी उत्तर निकले, इन तीन बातों से उसे जाँच लीजिए।

• औसत चाल हमेशा सबसे कम और सबसे अधिक चाल के बीच होती है।
• दूरियाँ बराबर हों, तो औसत चाल चालों के सीधे औसत से कम होती है।
• हर चाल दोगुनी कर दें, तो औसत चाल भी दोगुनी हो जाती है।

बराबर दूरियाँ बार-बार: औसत चाल का यह हरात्मक माध्य वाला रूप प्रश्नों में बार-बार आता है, बस शब्द बदल जाते हैं। आने-जाने की यात्रा, "दफ़्तर जाकर लौट आना", "पहला आधा भाग और दूसरा आधा भाग", "त्रिभुज की तीन बराबर भुजाएँ", इन सबमें दूरियाँ बराबर हैं। ऐसा कोई वाक्यांश दिखे, तो $\frac{2xy}{x + y}$ लगाइए या दूरी मान लीजिए।

[SSC टिप] औसत चाल के हर प्रश्न में चालों का सीधा औसत एक विकल्प के रूप में दिया होता है। ऊपर वाले उदाहरण में यह 30 किमी/घंटा था। इसलिए सबसे पहले ख़ुद से पूछिए कि बराबर दूरियाँ हैं या बराबर समय। $\frac{x + y}{2}$ केवल बराबर समय पर लगता है।

औसत चाल: असमान हिस्से और छूटी हुई चाल

दूरियाँ दी हों: एक वैन 45 किमी/घंटा से 30 किमी चलती है, फिर 60 किमी/घंटा से 50 किमी। पहले हिस्से में $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$ घंटा लगा और दूसरे में $\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ घंटा। दोनों का जोड़ $\frac{3}{2}$ घंटे हुआ। कुल दूरी 80 किमी है, तो औसत चाल = $80 \div \frac{3}{2} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3}$ किमी/घंटा।

दूरी की भिन्नों में हिस्से: प्रश्न ऐसा हो सकता है, "आधी यात्रा 30 किमी/घंटा से, एक-तिहाई 40 किमी/घंटा से और शेष 20 किमी/घंटा से।" यहाँ कुल दूरी ऐसी मानिए कि हर हिस्सा आसान रहे। 120 किमी लेना ठीक रहेगा।

• 60 किमी, 30 किमी/घंटा से, यानी 2 घंटे।
• 40 किमी, 40 किमी/घंटा से, यानी 1 घंटा।
• 20 किमी, 20 किमी/घंटा से, यानी 1 घंटा।

4 घंटे में 120 किमी हुए, तो औसत चाल 30 किमी/घंटा है।

समय की भिन्नों में हिस्से: अब प्रश्न ऐसा है, "कुल समय के $\frac{2}{5}$ भाग तक 50 किमी/घंटा से और शेष समय 75 किमी/घंटा से।" यहाँ हर चाल को उसके समय वाले भाग से गुणा करके जोड़ सकते हैं।

$$\frac{2}{5} \times 50 + \frac{3}{5} \times 75 = 20 + 45 = 65 \text{ किमी/घंटा}$$

संख्याओं से देखना हो, तो कुल समय 5 घंटे मान लीजिए। 2 घंटे में 100 किमी और 3 घंटे में 225 किमी हुए, यानी 5 घंटे में 325 किमी। फिर से 65 किमी/घंटा आया।

ध्यान रखिए, भिन्नों से गुणा करके जोड़ने का यह तरीका केवल समय की भिन्नों पर चलता है। 120 किमी वाले प्रश्न में कोई दूरी की भिन्नों से ऐसा करे, तो $\frac{1}{2} \times 30 + \frac{1}{3} \times 40 + \frac{1}{6} \times 20 = 31\frac{2}{3}$ आता है, जो गलत है। SSC यही संख्या विकल्प में रखता है।

छूटी हुई चाल: यह प्रश्न देखिए, "एक साइकिल सवार महिला किसी मार्ग का आधा भाग 30 किमी/घंटा की चाल से तय करती है। शेष आधा भाग उसे किस चाल से तय करना चाहिए, ताकि उसकी औसत चाल 40 किमी/घंटा हो?" हर आधा भाग 120 किमी मान लीजिए। पहले आधे में 4 घंटे लगे। पूरे 240 किमी 40 किमी/घंटा की औसत से तय करने हैं, तो कुल 6 घंटे चाहिए। दूसरे 120 किमी के लिए 2 घंटे बचे, यानी चाल 60 किमी/घंटा होनी चाहिए। जाँच कर लीजिए, $\frac{2 \times 30 \times 60}{30 + 60} = 40$।

जब ऐसा हो ही न सके: उसी साइकिल सवार को अब औसत 60 किमी/घंटा चाहिए, जो उसकी पहली चाल की दोगुनी है। पूरे 240 किमी 60 किमी/घंटा पर केवल 4 घंटे में होने चाहिए। पर ये पूरे 4 घंटे तो पहले आधे में ही ख़र्च हो गए। अब वह कितनी भी तेज़ चले, यह औसत नहीं आ सकता। याद रखिए, दो बराबर दूरियों पर औसत चाल पहली चाल की दोगुनी कभी नहीं हो सकती।

समय दिया हो: एक कार को 5 घंटे में 60 किमी/घंटा की औसत चाल रखनी है, यानी 300 किमी जाना है। पहले 3 घंटे वह 50 किमी/घंटा से चली, तो 150 किमी हुए। बचे 2 घंटों में बाकी 150 किमी तय करने हैं, तो चाल 75 किमी/घंटा होनी चाहिए।

देर से और जल्दी पहुँचना: दो चालें, एक दूरी

सबसे आम प्रश्न कुछ ऐसा होता है, "5 किमी/घंटा की चाल से चलने पर तनु स्कूल 7 मिनट देर से पहुँचती है। 6 किमी/घंटा की चाल से चलने पर वह 5 मिनट जल्दी पहुँचती है। स्कूल कितनी दूर है?"

पहला कदम, समय का अंतर: एक बार तनु घंटी के 7 मिनट बाद पहुँचती है और दूसरी बार 5 मिनट पहले। तो दोनों बार चलने के समय में 7 + 5 = 12 मिनट का अंतर है, यानी $\frac{1}{5}$ घंटा। पर दोनों बार देर हो, तो घटाना पड़ता है। जैसे 30 मिनट और 6 मिनट की देर हो, तो अंतर 24 मिनट है। दोनों बार जल्दी हो, तब भी घटाते हैं। 20 और 5 मिनट जल्दी हो, तो अंतर 15 मिनट है।

चाल किमी/घंटा में हो, तो सूत्र में रखने से पहले मिनटों को घंटों में ज़रूर बदलिए। 12 को 12 ही छोड़ दिया, तो उत्तर 60 गुना बड़ा आएगा।

दूसरा कदम, अनुपात विधि से: दूरी एक है और चालें 5 : 6, तो समय 6 : 5 होंगे। दोनों समयों में 1 भाग का अंतर है, और यही 12 मिनट है। तो दोनों समय 72 और 60 मिनट हुए। 5 किमी/घंटा से $\frac{72}{60}$ घंटे चलने पर दूरी 6 किमी आती है।

दूसरा कदम, सूत्र से: चालें x और y हों (y तेज़ वाली) और समय का अंतर t घंटे हो, तो दूरी सीधे इस सूत्र से मिलती है।

$$D = \frac{xy}{y - x} \times t = \frac{5 \times 6}{6 - 5} \times \frac{1}{5} = 6 \text{ किमी}$$

यह सूत्र सीधे $\frac{D}{x} - \frac{D}{y} = t$ से निकलता है। दोनों में से जो तरीका आपको तेज़ लगे, वही अपनाइए। अनुपात विधि का एक फ़ायदा यह है कि दोनों समय भी साथ में मिल जाते हैं।

सही समय: 5 किमी/घंटा पर तनु को 72 मिनट लगते हैं और वह 7 मिनट देर से पहुँचती है। तो सही समय 65 मिनट है। 6 किमी/घंटा पर 60 मिनट लगते हैं और वह 5 मिनट जल्दी पहुँचती है। इससे भी 65 मिनट ही आता है। इस तरह दोनों चालों से मिलान कर लें, तो ज़्यादातर गलतियाँ पकड़ में आ जाती हैं।

दोनों बार देर: अब यह प्रश्न देखिए, "4 किमी/घंटा की चाल से चलने पर एक व्यक्ति 30 मिनट देर से पहुँचता है, और 5 किमी/घंटा की चाल से चलने पर 6 मिनट देर से।" यहाँ दोनों बार देर है, तो अंतर 30 − 6 = 24 मिनट है, यानी $\frac{2}{5}$ घंटा।

$$D = \frac{4 \times 5}{5 - 4} \times \frac{2}{5} = 8 \text{ किमी}$$

उत्तर को परख लेते हैं। 8 किमी चलने में 4 किमी/घंटा पर 120 मिनट लगते हैं और 5 किमी/घंटा पर 96 मिनट। पहली बार 30 मिनट की देर है, तो सही समय 90 मिनट हुआ। 96 मिनट इससे ठीक 6 मिनट ज़्यादा है, यानी दूसरी बार की देर भी मिल गई।

ठीक समय पर पहुँचने के लिए चाल: पिछले उदाहरण में सही समय 90 मिनट है, यानी $\frac{3}{2}$ घंटे। तो ठीक समय पर पहुँचने के लिए चाल = $8 \div \frac{3}{2} = 5\frac{1}{3}$ किमी/घंटा होनी चाहिए। यहाँ दोनों चालों का औसत 4.5 किमी/घंटा लिखना गलत है।

एक ही चाल वाला रूप: "सामान्य चाल के $\frac{4}{5}$ से चलने पर 12 मिनट देर" भी यही देर से पहुँचने वाला प्रश्न है। बस इसमें एक ही यात्रा दी होती है, और इसे ऊपर वाली अनुपात विधि से हल करते हैं।

चाल में बदलाव: समय की बचत, देरी की भरपाई, खराबी

चाल अधिक, समय कम: प्रश्न कुछ ऐसे आता है, "चाल k किमी/घंटा अधिक होती, तो t घंटे कम लगते।" दूरी D और चाल s हो, तो समीकरण यह होगा।

$$\frac{D}{s} - \frac{D}{s + k} = t \Rightarrow s(s + k) = \frac{Dk}{t}$$

एक उदाहरण लीजिए, "एक कार 240 किमी की दूरी तय करती है। यदि उसकी चाल 20 किमी/घंटा अधिक होती, तो यात्रा में 1 घंटा कम लगता। कार की चाल ज्ञात कीजिए।" यहाँ s(s + 20) = 240 × 20 = 4800 है। 60 × 80 = 4800 होता है, तो s = 60 किमी/घंटा। जाँच भी कर लीजिए। 240 ÷ 60 = 4 घंटे और 240 ÷ 80 = 3 घंटे।

परीक्षा में द्विघात समीकरण हल करने की ज़रूरत नहीं पड़ती। ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनमें k का अंतर हो और जिनका गुणनफल $\frac{Dk}{t}$ हो। या फिर विकल्प जाँचिए। हर विकल्प के लिए D ÷ विकल्प में से D ÷ (विकल्प + k) घटाइए। जिस विकल्प पर t आए, वही उत्तर है।

"k किमी/घंटा कम होती, तो t घंटे अधिक लगते" वाले प्रश्न में भी यही समीकरण लगता है, बस s और s − k के साथ।

देर से चलने की भरपाई: यह प्रश्न देखिए, "एक बस 30 मिनट देर से चलती है। अपनी सामान्य चाल से 10 किमी/घंटा तेज़ चलकर वह 150 किमी की दूरी तय करती है और ठीक समय पर पहुँच जाती है। उसकी सामान्य चाल कितनी है?" यहाँ t = $\frac{1}{2}$ है। तो s(s + 10) = 150 × 10 × 2 = 3000, और s = 50 किमी/घंटा। देखिए, 150 किमी चलने में 50 किमी/घंटा पर 3 घंटे लगते हैं और 60 किमी/घंटा पर $2\frac{1}{2}$ घंटे।

रास्ते में खराबी: "एक कार 1 घंटे तक 60 किमी/घंटा की चाल से चलती है। फिर टायर में खराबी के कारण वह उस चाल के $\frac{3}{4}$ से ही चल पाती है, और 30 मिनट देर से पहुँचती है। यात्रा कितनी लंबी है?" खराबी के बाद चालें 4 : 3 हो गईं, तो उस हिस्से पर समय 3 : 4 होगा। अतिरिक्त 1 भाग ही 30 मिनट की देरी है। तो वह हिस्सा 60 किमी/घंटा पर 3 × 30 = 90 मिनट का है, यानी 90 किमी। पूरी यात्रा = 60 + 90 = 150 किमी।

[Tier 2] खराबी, दो स्थितियाँ: "45 किमी चलने के बाद एक रेलगाड़ी में खराबी आ जाती है और वह अपनी चाल के $\frac{2}{3}$ से चलती है, जिससे वह 1 घंटा 30 मिनट देर से पहुँचती है। यदि खराबी 30 किमी और आगे जाकर आती, तो वह 1 घंटा 10 मिनट देर से पहुँचती। चाल और दूरी ज्ञात कीजिए।"

• चाल के $\frac{2}{3}$ पर चलने से किसी भी हिस्से पर समय $\frac{1}{2}$ बढ़ जाता है।
• दोनों स्थितियों में फ़र्क केवल एक 30 किमी के हिस्से का है। देरी 90 मिनट और 70 मिनट है। यानी खराबी 30 किमी आगे आने से 90 − 70 = 20 मिनट बचते हैं। ये 20 मिनट उस 30 किमी के सामान्य समय का $\frac{1}{2}$ हैं, तो सामान्य समय 40 मिनट हुआ। 40 मिनट में 30 किमी, यानी चाल = 45 किमी/घंटा।
• पहली स्थिति में 90 मिनट की देरी खराबी के बाद वाले हिस्से के सामान्य समय का $\frac{1}{2}$ है। तो वह हिस्सा 180 मिनट का है, यानी 135 किमी। कुल दूरी = 45 + 135 = 180 किमी।

अब मिलाकर देख लेते हैं। सामान्य रूप से 180 ÷ 45 = 4 घंटे लगते। खराबी के साथ 1 घंटा + $\frac{135}{30}$ घंटे = 5.5 घंटे लगे, यानी 1 घंटा 30 मिनट अधिक।

[SSC टिप] $s(s + k) = \frac{Dk}{t}$ में t घंटों में ही रखिए। "30 मिनट बचते हैं" का मतलब t = $\frac{1}{2}$ है, यानी दायाँ पक्ष दोगुना हो जाता है। बहुत से छात्र t = 30 रख देते हैं। तब जो चाल आती है, वह किसी विकल्प से नहीं मिलती। उससे भी बुरा तब होता है, जब वह किसी गलत विकल्प से मिल जाती है।

ठहराव और विश्राम

बस या रेलगाड़ी रास्ते में जगह-जगह रुकती है। इस रुकने को ठहराव (stoppage) कहते हैं।

ठहराव सहित और ठहराव रहित चाल: ऐसा प्रश्न आता है, "ठहराव रहित किसी बस की चाल 60 किमी/घंटा है। ठहराव सहित उसकी औसत चाल 45 किमी/घंटा है। बस प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है?" ठहराव के कारण बस हर घंटे 60 − 45 = 15 किमी कम चलती है। चलते समय उसकी चाल 60 किमी/घंटा है, तो 15 किमी चलने में $\frac{15}{60}$ घंटा लगता है। यानी बस हर घंटे 15 मिनट रुकती है।

मान लीजिए ठहराव रहित चाल x है और ठहराव सहित चाल y। तब सूत्र यह है।

$$\text{प्रति घंटे ठहराव का समय} = \frac{x - y}{x} \times 60 \text{ मिनट}$$

अनुपात से भी यही दिखता है। एक घंटे में बस 60 की जगह 45 किमी चलती है। तो वह घंटे के $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ भाग में चलती है और बाकी $\frac{1}{4}$ भाग में खड़ी रहती है।

उलटा प्रश्न: एक रेलगाड़ी हर घंटे 10 मिनट रुकती है और चलते समय उसकी चाल 66 किमी/घंटा है। यानी हर घंटे वह 50 मिनट चलती है और $66 \times \frac{50}{60}$ = 55 किमी जाती है। तो ठहराव सहित चाल 55 किमी/घंटा है। 165 किमी की यात्रा में ठहराव सहित 3 घंटे लगेंगे।

कुल समय से चलने की चाल: एक कार 4 घंटे में 210 किमी जाती है, और रास्ते में कुल मिलाकर 30 मिनट रुकती है। यानी वह $3\frac{1}{2}$ घंटे चलती रही। चलने की चाल = 210 ÷ 3.5 = 60 किमी/घंटा। ठहराव सहित औसत चाल 210 ÷ 4 = 52.5 किमी/घंटा है।

पैदल यात्रा में विश्राम: "एक महिला 4 किमी/घंटा की चाल से 12 किमी पैदल चलती है और हर 3 किमी के बाद 10 मिनट विश्राम करती है। पूरी पैदल यात्रा में कितना समय लगता है?" चलने का समय 3 घंटे है। विश्राम तीसरे, छठे और नौवें किमी के बाद होगा। 12वें किमी के बाद विश्राम नहीं होगा, क्योंकि तब तक यात्रा पूरी हो चुकी होगी। तो 3 विश्राम हुए, यानी 30 मिनट, और कुल 3 घंटे 30 मिनट लगते हैं।

याद रखिए, n बराबर हिस्से हों, तो बीच में n − 1 विश्राम होते हैं। जैसे सीढ़ी के 4 हिस्से हों, तो उनके बीच 3 ही जोड़ होते हैं, 4 नहीं।

[SSC टिप] हर घंटे जो दूरी कम चली गई, उसे हमेशा ठहराव रहित चाल से भाग दीजिए। ठहराव सहित चाल से भाग देने पर $\frac{15}{45} \times 60$ = 20 मिनट आता है, और विकल्पों में अक्सर यही गलत मान दिया होता है।

आने-जाने की यात्रा, दो साधन, कुल समय से दूरी

जाना एक चाल से, लौटना दूसरी से: आने-जाने की यात्रा (round trip) में अक्सर जाने की चाल अलग होती है और लौटने की अलग। जैसे, "इरा 12 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाकर बाज़ार जाती है और 4 किमी/घंटा की चाल से पैदल लौटती है। आने-जाने में 2 घंटे लगते हैं। बाज़ार कितनी दूर है?" बाज़ार की दूरी D मान लीजिए। तब $\frac{D}{12} + \frac{D}{4} = 2$, यानी $\frac{D + 3D}{12} = 2$। इससे D = 6 किमी आता है।

एक ओर की दूरी D हो, जाते समय चाल x हो, लौटते समय y हो और कुल समय T हो, तो सूत्र यह है।

$$D = T \times \frac{xy}{x + y}$$

अनुपात विधि से भी यह जल्दी होता है। चालें 12 : 4 = 3 : 1 हैं, तो समय 1 : 3 होंगे। 2 घंटे को इसी अनुपात में बाँटने पर $\frac{1}{2}$ घंटा और $1\frac{1}{2}$ घंटे आते हैं। तो D = 12 × $\frac{1}{2}$ = 6 किमी।

ध्यान रखिए, प्रश्न में एक ओर की दूरी पूछी गई है। आने-जाने की पूरी दूरी 12 किमी है, इसलिए यहाँ 12 किमी लिखना गलत होगा।

एक ओर पैदल, दूसरी ओर सवारी: यह प्रश्न देखिए, "स्टेशन तक पैदल जाने और सवारी से लौटने में 5 घंटे 40 मिनट लगते हैं। दोनों ओर पैदल जाने-आने में 8 घंटे 20 मिनट लगते हैं। दोनों ओर सवारी से जाने-आने में कितना समय लगेगा?" दोनों समय मिनटों में लिख लेते हैं, 340 मिनट और 500 मिनट।

• एक ओर पैदल = 500 ÷ 2 = 250 मिनट, यानी 4 घंटे 10 मिनट।
• एक ओर सवारी = 340 − 250 = 90 मिनट।
• दोनों ओर सवारी = 180 मिनट, यानी 3 घंटे।

इसका एक छोटा रास्ता भी है। दोनों ओर सवारी = 2 × (एक ओर पैदल + सवारी से वापसी) − दोनों ओर पैदल, यानी 680 − 500 = 180 मिनट। मिनटों में हिसाब करने से मिश्र भिन्नों से छुटकारा मिल जाता है। उलटा पूछा जाए, तो भी यही तरीका है। दोनों ओर पैदल = 2 × (पैदल + सवारी) − दोनों ओर सवारी।

रास्ते का कुछ भाग हर साधन से: "मोहन 7 घंटे में 50 किमी की दूरी तय करता है, कुछ पैदल 5 किमी/घंटा की चाल से और कुछ साइकिल से 10 किमी/घंटा की चाल से। उसने कितनी दूरी पैदल तय की?" मान लीजिए मोहन पूरे 7 घंटे साइकिल पर रहा। तब वह 70 किमी जाता, जो 20 किमी अधिक है। साइकिल की जगह एक घंटा पैदल चलने से 5 किमी कम होते हैं। तो वह 20 ÷ 5 = 4 घंटे पैदल चला, और पैदल 20 किमी गया। साइकिल से उसने 30 किमी 3 घंटे में तय किए। दोनों बातें मिल जाती हैं, 4 + 3 = 7 घंटे और 20 + 30 = 50 किमी।

आधी-आधी दूरी और कुल समय: "किसी यात्रा का आधा भाग रेलगाड़ी से 60 किमी/घंटा की चाल से और शेष आधा भाग कार से 40 किमी/घंटा की चाल से तय करने में 5 घंटे लगते हैं। यात्रा कितनी लंबी है?" हर आधा भाग $\frac{D}{2}$ है। तो $\frac{D}{120} + \frac{D}{80} = 5$, यानी $\frac{2D + 3D}{240} = 5$, और D = 240 किमी। देखिए, रेलगाड़ी से 120 किमी में 2 घंटे लगे और कार से 120 किमी में 3 घंटे, कुल 5 घंटे।

बीच में रुकना: प्रश्न में बीच का कोई ठहराव हो, जैसे बाज़ार में 30 मिनट रुकना, तो पहले उसे कुल समय में से घटा दीजिए। फिर बचे हुए समय पर सूत्र लगाइए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

एक साइकिल सवार 2 मिनट 30 सेकंड में 750 मीटर की दूरी तय करता है। किमी/घंटा में उसकी चाल कितनी है? (a) 18 किमी/घंटा (b) 5 किमी/घंटा (c) 15 किमी/घंटा (d) 22.5 किमी/घंटा

उत्तर: पहले समय को सेकंड में लिख लेते हैं, 2 मिनट 30 सेकंड = 150 सेकंड। तो चाल = 750 ÷ 150 = 5 मीटर/सेकंड। किमी/घंटा के लिए $\frac{18}{5}$ से गुणा करना है, यानी 5 × 3.6 = (a) 18 किमी/घंटा। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 5 पर ही रुककर 5 किमी/घंटा लिख देते हैं, जो गलत है। 5 तो मीटर/सेकंड वाली संख्या है, उस पर किमी/घंटा नहीं लगा सकते।

प्रश्न 2

एक कार 3 घंटे 36 मिनट तक 65 किमी/घंटा की चाल से चलती है। वह कितनी दूरी तय करती है? (a) 218.4 किमी (b) 195 किमी (c) 234 किमी (d) 260 किमी

उत्तर: 36 मिनट = $\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$ = 0.6 घंटा। तो कुल समय 3.6 घंटे है, 3.36 नहीं। दूरी = 65 × 3.6 = (c) 234 किमी।

प्रश्न 3

एक बस किसी कस्बे से पूर्वाह्न 7:50 बजे चलती है और 54 किमी/घंटा की एकसमान चाल से 189 किमी की दूरी तय करती है। वह किस समय पहुँचेगी? (a) पूर्वाह्न 11:40 बजे (b) पूर्वाह्न 10:50 बजे (c) पूर्वाह्न 11:05 बजे (d) पूर्वाह्न 11:20 बजे

उत्तर: समय = 189 ÷ 54 = 3.5 घंटे, यानी 3 घंटे 30 मिनट। इसे 3 घंटे 50 मिनट नहीं समझना है। पूर्वाह्न 7:50 बजे में 3 घंटे जोड़ने पर पूर्वाह्न 10:50 बजे होते हैं, फिर 30 मिनट और जोड़ते हैं। तो बस (d) पूर्वाह्न 11:20 बजे पहुँचेगी।

प्रश्न 4

28 सेमी त्रिज्या वाला एक पहिया हर मिनट 375 पूरे चक्कर लगाता है। किमी/घंटा में उसकी चाल कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 19.8 किमी/घंटा (b) 39.6 किमी/घंटा (c) 11 किमी/घंटा (d) 79.2 किमी/घंटा

उत्तर: एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि जितना आगे जाता है, यानी $2 \times \frac{22}{7} \times 28$ = 176 सेमी। एक मिनट में 375 × 176 = 66,000 सेमी, यानी 660 मीटर। एक घंटे में 660 × 60 = 39,600 मीटर, तो चाल (b) 39.6 किमी/घंटा है। अगर $2\pi r$ की जगह $\pi r$ लगा दिया, तो उत्तर आधा, यानी 19.8 किमी/घंटा आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 5

अपनी सामान्य चाल के $\frac{8}{11}$ से चलने पर राघव अपने कार्यालय 9 मिनट देर से पहुँचता है। उसे सामान्यतः कितना समय लगता है? (a) 33 मिनट (b) 72 मिनट (c) 24 मिनट (d) 27 मिनट

उत्तर: दूरी वही है, तो समय चाल के उलटे अनुपात में होगा। सामान्य चाल और अभी की चाल का अनुपात 11 : 8 है, तो सामान्य समय और अभी के समय का अनुपात 8 : 11 होगा। अभी 3 भाग अधिक लगते हैं, और यही 3 भाग 9 मिनट की देरी हैं। तो 1 भाग = 3 मिनट, और सामान्य समय = 8 × 3 = (c) 24 मिनट।

प्रश्न 6

A और B की चालों का अनुपात 5 : 8 है। समान दूरी तय करने में A को B से 36 मिनट अधिक लगते हैं। B को कितना समय लगता है? (a) 1 घंटा (b) 1 घंटा 36 मिनट (c) 12 मिनट (d) 1 घंटा 20 मिनट

उत्तर: दूरी समान है, तो समय व्युत्क्रम अनुपात में होंगे, यानी 8 : 5। A को B से 3 भाग अधिक लगते हैं, और ये 3 भाग 36 मिनट हैं। तो 1 भाग = 12 मिनट। B को 5 भाग = 60 मिनट = (a) 1 घंटा लगता है, और A को 96 मिनट।

प्रश्न 7

यदि हर्ष 40 किमी/घंटा के स्थान पर 52 किमी/घंटा की चाल से गाड़ी चलाता, तो उतने ही समय में वह 36 किमी अधिक दूरी तय कर लेता। उसने वास्तव में कितनी दूरी तय की? (a) 156 किमी (b) 120 किमी (c) 90 किमी (d) 144 किमी

उत्तर: समय दोनों बार एक ही है, तो 36 किमी का फ़र्क केवल चाल के फ़र्क से आया। चाल 12 किमी/घंटा अधिक है और दूरी 36 किमी अधिक, तो समय = 36 ÷ 12 = 3 घंटे। 40 किमी/घंटा पर दूरी = 40 × 3 = (b) 120 किमी। 156 किमी लिखना गलत है। वह तो 52 किमी/घंटा पर तय होने वाली दूरी है, जो पूछी ही नहीं गई।

प्रश्न 8

एक साइकिल सवार 3 घंटे में 66 किमी और एक धावक 3 घंटे 15 मिनट में 39 किमी की दूरी तय करता है। साइकिल सवार की चाल और धावक की चाल का अनुपात क्या है? (a) 22 : 13 (b) 13 : 22 (c) 6 : 11 (d) 11 : 6

उत्तर: पहले दोनों की चाल अलग-अलग निकाल लेते हैं। साइकिल सवार की चाल 66 ÷ 3 = 22 किमी/घंटा है। धावक का समय 3 घंटे 15 मिनट = $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ घंटे है, तो उसकी चाल 39 ÷ $\frac{13}{4}$ = 39 × $\frac{4}{13}$ = 12 किमी/घंटा। अनुपात = 22 : 12 = (d) 11 : 6।

प्रश्न 9

एक व्यक्ति P से Q तक 42 किमी/घंटा की चाल से गाड़ी चलाकर जाता है और Q से P तक 70 किमी/घंटा की चाल से लौटता है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल कितनी है? (a) 52.5 किमी/घंटा (b) 56 किमी/घंटा (c) 54 किमी/घंटा (d) 50 किमी/घंटा

उत्तर: जाने और लौटने की दूरी बराबर है, तो $\frac{2xy}{x + y} = \frac{2 \times 42 \times 70}{42 + 70} = \frac{5880}{112}$ = (a) 52.5 किमी/घंटा। दूरी मानकर भी यही आता है। PQ = 210 किमी लें, तो जाने में 5 घंटे लगे और लौटने में 3 घंटे। 8 घंटे में 420 किमी हुए, यानी फिर 52.5 किमी/घंटा। 56 किमी/घंटा तो 42 और 70 का सीधा औसत है। यह तभी सही होता, जब वह दोनों चालों से बराबर समय तक गाड़ी चलाता।

प्रश्न 10

एक व्यक्ति तीन बराबर दूरियाँ क्रमशः 14 किमी/घंटा, 21 किमी/घंटा और 42 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। पूरी दूरी के लिए उसकी औसत चाल कितनी है? (a) $25\frac{2}{3}$ किमी/घंटा (b) 24 किमी/घंटा (c) 20 किमी/घंटा (d) 21 किमी/घंटा

उत्तर: हर दूरी 42 किमी मान लेते हैं, क्योंकि 42 में 14, 21 और 42 तीनों का भाग पूरा-पूरा जाता है। तब समय 3, 2 और 1 घंटा आते हैं, यानी 126 किमी में 6 घंटे। औसत चाल = 126 ÷ 6 = (d) 21 किमी/घंटा।

प्रश्न 11

एक व्यक्ति किसी यात्रा का $\frac{1}{4}$ भाग 18 किमी/घंटा की चाल से, $\frac{1}{2}$ भाग 45 किमी/घंटा की चाल से और शेष भाग 30 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल कितनी है? (a) 31 किमी/घंटा (b) 30 किमी/घंटा (c) 34.5 किमी/घंटा (d) 32 किमी/घंटा

उत्तर: पूरी यात्रा 180 किमी मान लेते हैं, ताकि हर हिस्सा पूरी संख्या में आए। पहला हिस्सा 45 किमी का है, जिसमें 18 किमी/घंटा पर $2\frac{1}{2}$ घंटे लगते हैं। दूसरा 90 किमी का है, 45 किमी/घंटा पर 2 घंटे। अंतिम 45 किमी 30 किमी/घंटा पर $1\frac{1}{2}$ घंटे में होते हैं। कुल 6 घंटे में 180 किमी, तो औसत चाल (b) 30 किमी/घंटा है।

प्रश्न 12

एक महिला किसी यात्रा का पहला आधा भाग 40 किमी/घंटा की चाल से गाड़ी चलाकर तय करती है। दूसरा आधा भाग उसे किस चाल से तय करना चाहिए, ताकि पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल 60 किमी/घंटा हो? (a) 120 किमी/घंटा (b) 80 किमी/घंटा (c) 100 किमी/घंटा (d) 90 किमी/घंटा

उत्तर: हर आधा भाग 120 किमी मान लेते हैं। पहले आधे में 120 ÷ 40 = 3 घंटे लगे। औसत 60 किमी/घंटा चाहिए, तो पूरे 240 किमी 4 घंटे में होने चाहिए। दूसरे 120 किमी के लिए केवल 1 घंटा बचता है, तो चाल (a) 120 किमी/घंटा चाहिए। 80 किमी/घंटा "बराबर समय" वाला उत्तर है, क्योंकि 40 और 80 का औसत 60 है। पर यहाँ दोनों आधे भागों की दूरी बराबर है, तो 80 किमी/घंटा से औसत $\frac{2 \times 40 \times 80}{120}$, यानी केवल $53\frac{1}{3}$ किमी/घंटा आता।

प्रश्न 13

4 किमी/घंटा की चाल से चलने पर एक छात्रा 9 मिनट देर से स्कूल पहुँचती है। 5 किमी/घंटा की चाल से चलने पर वह 6 मिनट जल्दी पहुँचती है। उसके घर से स्कूल कितनी दूर है? (a) 1 किमी (b) 4 किमी (c) 5 किमी (d) 6 किमी

उत्तर: एक बार वह देर से पहुँचती है और एक बार जल्दी, तो दोनों बार चलने के समय में अंतर 9 + 6 = 15 मिनट है। चालें 4 : 5 हैं, तो समय 5 : 4 होंगे। दोनों में 1 भाग का अंतर है, तो 1 भाग = 15 मिनट। धीमी चाल वाला समय = 5 × 15 = 75 मिनट, तो दूरी = 4 × $\frac{75}{60}$ = (c) 5 किमी। सही समय 75 − 9 = 66 मिनट हुआ। 5 किमी/घंटा पर 5 किमी में 60 मिनट लगते हैं, और 66 − 60 = 6, यानी वह सचमुच 6 मिनट जल्दी पहुँचती है।

प्रश्न 14

36 किमी/घंटा की चाल से चलने पर एक कार अपने गंतव्य पर 25 मिनट देर से पहुँचती है, और 45 किमी/घंटा की चाल से चलने पर 5 मिनट देर से। गंतव्य कितनी दूर है? (a) 90 किमी (b) 45 किमी (c) 72 किमी (d) 60 किमी

उत्तर: दोनों बार देर है, तो समय का अंतर 25 − 5 = 20 मिनट है। चालें 36 : 45 = 4 : 5 हैं, तो समय 5 : 4 होंगे। 1 भाग = 20 मिनट, तो 36 किमी/घंटा वाली यात्रा 100 मिनट की है। दूरी = 36 × $\frac{100}{60}$ = (d) 60 किमी। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{36 \times 45}{9} \times \frac{20}{60} = 60$।

प्रश्न 15

एक रेलगाड़ी 450 किमी की दूरी तय करती है। यदि उसकी चाल 15 किमी/घंटा अधिक होती, तो इस यात्रा में उसे 1 घंटा कम लगता। रेलगाड़ी की चाल कितनी है? (a) 90 किमी/घंटा (b) 75 किमी/घंटा (c) 60 किमी/घंटा (d) 50 किमी/घंटा

उत्तर: यहाँ विकल्प जाँचना सबसे जल्दी होता है। 75 किमी/घंटा पर 450 ÷ 75 = 6 घंटे लगते हैं, और 75 + 15 = 90 किमी/घंटा पर 450 ÷ 90 = 5 घंटे। ठीक 1 घंटे की बचत हुई, तो चाल (b) 75 किमी/घंटा है। बीजगणित से देखें, तो s(s + 15) = 450 × 15 = 6750, और 75 × 90 = 6750।

प्रश्न 16

एक रेलगाड़ी 20 मिनट देर से चलती है। 160 किमी दूर अपने गंतव्य पर ठीक समय पर पहुँचने के लिए वह अपनी सामान्य चाल से 16 किमी/घंटा तेज़ चलती है। उसकी सामान्य चाल कितनी है? (a) 96 किमी/घंटा (b) 64 किमी/घंटा (c) 80 किमी/घंटा (d) 72 किमी/घंटा

उत्तर: तेज़ चाल से 20 मिनट बचाने हैं, यानी $\frac{1}{3}$ घंटा। 80 किमी/घंटा वाला विकल्प जाँचते हैं। सामान्य समय 160 ÷ 80 = 2 घंटे है, और 96 किमी/घंटा पर 160 ÷ 96 = $1\frac{2}{3}$ घंटे। बचत $\frac{1}{3}$ घंटा है, तो सामान्य चाल (c) 80 किमी/घंटा है। सूत्र में $\frac{1}{3}$ की जगह t = 20 रख दिया, तो सारा हिसाब बिगड़ जाता है।

प्रश्न 17

एक रेलगाड़ी 72 किमी/घंटा की चाल से चलती है। 1 घंटे बाद इंजन में खराबी आने से उसकी चाल पहले की $\frac{2}{3}$ रह जाती है, और वह अपने गंतव्य पर 1 घंटा देर से पहुँचती है। यात्रा कितनी लंबी है? (a) 216 किमी (b) 144 किमी (c) 288 किमी (d) 180 किमी

उत्तर: खराबी के बाद चालें 3 : 2 हो गईं, तो बाकी रास्ते पर समय 2 : 3 होगा। अतिरिक्त 1 भाग ही 1 घंटे की देरी है, तो बाकी रास्ता सामान्य चाल से 2 घंटे का है, यानी 72 × 2 = 144 किमी। इसमें पहले घंटे के 72 किमी जोड़ते हैं, तो यात्रा (a) 216 किमी की है। सामान्य रूप से 216 किमी में 3 घंटे लगते। खराबी के साथ 1 घंटा + 144 ÷ 48 = 4 घंटे लगे, यानी ठीक 1 घंटे की देर।

प्रश्न 18

ठहराव रहित किसी बस की चाल 75 किमी/घंटा है और ठहराव सहित उसकी औसत चाल 60 किमी/घंटा है। बस प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है? (a) 15 मिनट (b) 10 मिनट (c) 20 मिनट (d) 12 मिनट

उत्तर: ठहराव के कारण बस हर घंटे 75 − 60 = 15 किमी कम चलती है। चलने की चाल 75 किमी/घंटा है, तो 15 किमी में $\frac{15}{75}$ घंटा = $\frac{1}{5}$ घंटा लगता है, यानी (d) 12 मिनट। 15 किमी को 60 किमी/घंटा से भाग देना गलत है, क्योंकि 60 तो ठहराव सहित चाल है। इससे 15 मिनट आता है, और यही आम गलत विकल्प है।

प्रश्न 19

अंकित को स्टेशन तक पैदल जाने और सवारी से लौटने में 3 घंटे 20 मिनट लगते हैं। यदि वह दोनों ओर सवारी से जाए-आए, तो उसे 2 घंटे 10 मिनट लगते हैं। दोनों ओर पैदल जाने-आने में उसे कितना समय लगेगा? (a) 5 घंटे 30 मिनट (b) 4 घंटे 30 मिनट (c) 2 घंटे 15 मिनट (d) 4 घंटे 10 मिनट

उत्तर: दोनों ओर सवारी में 130 मिनट लगते हैं, तो एक ओर सवारी 65 मिनट की है। पैदल + सवारी = 200 मिनट, तो एक ओर पैदल = 200 − 65 = 135 मिनट। दोनों ओर पैदल = 270 मिनट = (b) 4 घंटे 30 मिनट। छोटा रास्ता भी है, 2 × 200 − 130 = 270।

प्रश्न 20

एक व्यक्ति 5 घंटे में 38 किमी की दूरी तय करता है, कुछ पैदल 4 किमी/घंटा की चाल से और कुछ साइकिल से 10 किमी/घंटा की चाल से। वह कितनी दूरी पैदल चलता है? (a) 30 किमी (b) 12 किमी (c) 8 किमी (d) 10 किमी

उत्तर: मान लेते हैं कि वह पूरे 5 घंटे साइकिल पर रहा। तब 50 किमी होते, जो 12 किमी अधिक है। साइकिल की जगह पैदल बिताया हर घंटा 10 − 4 = 6 किमी कम करता है। तो पैदल समय = 12 ÷ 6 = 2 घंटे, और पैदल दूरी = 4 × 2 = (c) 8 किमी। बाकी 3 घंटे में साइकिल से 30 किमी हुए, और 8 + 30 = 38 किमी, तो हिसाब ठीक है।

प्रश्न 21

एक व्यक्ति 15 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाकर एक झील तक जाता है और उसी सड़क से 10 किमी/घंटा की चाल से लौटता है। आने-जाने में 2 घंटे 30 मिनट लगते हैं। झील कितनी दूर है? (a) 15 किमी (b) 30 किमी (c) 12.5 किमी (d) 18 किमी

उत्तर: चालें 15 : 10 = 3 : 2 हैं, तो समय 2 : 3 होंगे। कुल 150 मिनट को इसी अनुपात में बाँटते हैं, तो 60 और 90 मिनट आते हैं। जाने में 15 किमी/घंटा पर 1 घंटा लगा, तो झील (a) 15 किमी दूर है। लौटते समय 10 किमी/घंटा पर 15 किमी में $1\frac{1}{2}$ घंटे लगते हैं, और 1 + $1\frac{1}{2}$ = $2\frac{1}{2}$ घंटे पूरे हो जाते हैं।