शॉर्टकट और तेज़ तरीके

इकाइयाँ, एक ही कदम में

इस अध्याय में बहुत-से अंक तरीके की वजह से नहीं, इकाइयों की वजह से कटते हैं। रेलगाड़ी की लंबाई मीटर में दी होती है और चाल किमी/घंटा में, और छात्र इकाई बदले बिना ही भाग कर देते हैं। या कोई 1 घंटा 12 मिनट को 1.12 घंटे लिख देता है।

इसलिए पहले इकाइयाँ ठीक करेंगे। उसके बाद एक-एक करके अनुपात, औसत चाल, रेलगाड़ियाँ, नावें, दौड़ और वृत्ताकार पथ लेंगे। हर विधि में पहले देखेंगे कि वह कब लगती है, फिर एक उदाहरण हल करके उसका जल्दी वाला हिसाब समझेंगे। अंत में यह भी देखेंगे कि वही विधि कहाँ गलत उत्तर दे देती है।

किमी/घंटा और मीटर/सेकंड, बिना कलम

रेलगाड़ी, दौड़ और वृत्ताकार पथ वाले प्रश्नों में अक्सर चाल किमी/घंटा में दी होती है, जबकि लंबाइयाँ मीटर में और समय सेकंड में। कभी इसका उलटा भी होता है। ऐसे में पहले इकाई बदलनी पड़ती है।

नियम सीधा है। किमी/घंटा को मीटर/सेकंड में बदलना हो तो $\frac{5}{18}$ से गुणा कीजिए, और मीटर/सेकंड को किमी/घंटा में बदलना हो तो $\frac{18}{5}$ से, यानी 3.6 से। मन में करना हो, तो 18-18 करके गिनिए। हर 18 किमी/घंटा, 5 मीटर/सेकंड के बराबर होता है।

• चाल 18 का गुणज हो, तो उत्तर तुरंत आ जाता है। 126 किमी/घंटा = 7 × 18 है, तो यह 7 × 5 = 35 मीटर/सेकंड हुई।
• चाल 9 का गुणज हो, तब भी यही तरीका चलता है, बस गिनती में आधा आ जाता है। 153 किमी/घंटा = 8.5 × 18 है, तो चाल 8.5 × 5 = 42.5 मीटर/सेकंड हुई।
• मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलना हो, तो 3.6 की जगह 4 से गुणा कीजिए और फिर नतीजे का दसवाँ भाग घटा दीजिए। 24 मीटर/सेकंड के लिए 24 × 4 = 96, और 96 − 9.6 = 86.4 किमी/घंटा।

मीटर प्रति मिनट

कभी चाल मीटर प्रति मिनट में दी होती है। 1 किमी/घंटा का मतलब है 60 मिनट में 1,000 मीटर, यानी $\frac{50}{3}$ मीटर प्रति मिनट। इसलिए मीटर/मिनट वाली चाल को $\frac{3}{50}$ से गुणा कर दीजिए, किमी/घंटा आ जाएगी। जैसे 250 मीटर प्रति मिनट के लिए 250 × 3 ÷ 50 = 15 किमी/घंटा।

मिनट से घंटे

समय मिनटों में हो और चाल किमी/घंटा में चाहिए, तो मिनटों को 60 से भाग देकर भिन्न बनाइए। आगे भाग देने से पहले इस भिन्न को काटकर छोटा कर लीजिए। 9 मिनट = $\frac{9}{60} = \frac{3}{20}$ घंटा। इसी तरह 1 घंटा 12 मिनट = $1\frac{12}{60}$ = 1.2 घंटे।

मान लीजिए एक साइकिल सवार 9 मिनट में 2.7 किमी जाता है। उसकी चाल = 2.7 ÷ $\frac{3}{20}$ = 2.7 × $\frac{20}{3}$ = 18 किमी/घंटा, जो 5 मीटर/सेकंड है।

इकाई बदलते समय ये तीन गलतियाँ बहुत होती हैं।

• गलत भिन्न से गुणा कर देना। यह गलती उत्तर देखकर ही पकड़ में आ जाती है। पैदल चलने वाला 1 से 2 मीटर/सेकंड चलता है, और रेलगाड़ियाँ लगभग 10 से 40 मीटर/सेकंड। उत्तर में रेलगाड़ी 300 मीटर/सेकंड से चलती दिखे, या पैदल यात्री 18 मीटर/सेकंड से, तो समझ लीजिए कि भिन्न उलटी लग गई है।
• चाल की इकाई बदल दी, पर समय की नहीं। 1 घंटा 12 मिनट को 1.2 घंटे लिखिए, 1.12 घंटे नहीं।
• एक ही हिसाब में किमी और मीटर, या घंटे और सेकंड, दोनों मिला देना। शुरू में ही एक इकाई चुन लीजिए और अंत तक वही रखिए।

[SSC टिप] आँकड़े मीटर और सेकंड में हों और उत्तर किमी/घंटा में माँगा गया हो, तो पूरा प्रश्न मीटर/सेकंड में ही हल कीजिए। इकाई केवल एक बार बदलिए, बिल्कुल अंत में।

एक दूरी: व्युत्क्रम अनुपात

जब दूरी वही रहे और केवल चाल बदले, या दो लोग एक ही दूरी अलग-अलग चालों से तय करें, तो समय चाल के व्युत्क्रम अनुपात में होता है। चाल बढ़ेगी तो समय घटेगा। चालों का अनुपात a : b हो, तो समयों का अनुपात b : a होगा। फिर एक भाग का मान निकालिए, बाकी सब उसी से आ जाता है।

उदाहरण के लिए A और B एक ही सड़क पर बराबर दूरी तय करते हैं और उनकी चालें 7 : 9 के अनुपात में हैं। A को 18 मिनट अधिक लगते हैं। तो समय 9 : 7 के अनुपात में होंगे। दोनों समयों में 2 भागों का अंतर है, और यही 18 मिनट है। 1 भाग = 9 मिनट, तो A को 81 मिनट लगते हैं और B को 63 मिनट।

सामान्य चाल का कोई भाग

प्रश्न कुछ इस तरह आता है, "अपनी सामान्य चाल के $\frac{3}{4}$ से चलने पर वह 20 मिनट देर से पहुँचता है"। यहाँ दूरी नहीं बदलती। चाल सामान्य चाल की $\frac{a}{b}$ हो जाए, तो समय सामान्य समय का $\frac{b}{a}$ हो जाता है। यानी अतिरिक्त समय, सामान्य समय का $\frac{b - a}{a}$ है। इसी से यह सूत्र निकलता है।

$$\text{सामान्य समय} = \text{देरी} \times \frac{a}{b - a}$$

इसे ऐसे याद रखिए। चाल $\frac{3}{4}$ रह जाए, तो सामान्य समय देरी का 3 गुना होता है। $\frac{4}{5}$ रह जाए तो 4 गुना, और $\frac{2}{3}$ रह जाए तो 2 गुना।

चाल प्रतिशत में दी हो, तो पहले उसे भिन्न में बदलिए। 25% धीमी चाल मतलब $\frac{3}{4}$, और 20% तेज़ चाल मतलब $\frac{6}{5}$। आधी चाल मतलब $\frac{1}{2}$, तो समय दोगुना हो जाता है और देरी ठीक सामान्य समय के बराबर होती है।

मान लीजिए राजू अपनी सामान्य चाल के $\frac{3}{4}$ से चलकर विद्यालय 14 मिनट देर से पहुँचा। तो सामान्य समय = 3 × 14 = 42 मिनट। जाँच कर लीजिए। धीमी चाल से उसे 42 × $\frac{4}{3}$ = 56 मिनट लगे, जो 14 मिनट अधिक है।

सामान्य से तेज़

अब उलटी स्थिति लेते हैं, जब चाल बढ़ जाए। चाल सामान्य चाल की $\frac{a}{b}$ हो, जहाँ a, b से बड़ा है, तो जितना समय बचता है, वह सामान्य समय का $\frac{a - b}{a}$ होता है। जैसे 20% तेज़ चलने का मतलब है चाल का $\frac{6}{5}$ हो जाना। तब सामान्य समय का $\frac{1}{6}$ बचता है। अगर यह बचत 9 मिनट है, तो सामान्य समय 54 मिनट है।

ऐसे प्रश्नों में छात्र अक्सर चार जगहों पर चूकते हैं।

• अनुपात को उसी क्रम में लिख देना। तेज़ चलने वाले को कम समय लगता है, इसलिए चाल 7 : 9 हो तो समय 9 : 7 होगा।
• देरी को ही नया समय मान लेना। 14 मिनट देर से पहुँचने का मतलब यह नहीं कि अब चलने में 14 मिनट लगे।
• यह मान लेना कि चाल जितने प्रतिशत बदली, समय भी उतने ही प्रतिशत बदला। चाल 25% बढ़े तो समय 20% बचता है, और चाल 20% घटे तो समय 25% बढ़ता है।
• दूरी भी बदल रही हो, फिर भी यही विधि लगा देना। ऐसे में सीधे दूरी = चाल × समय से हल कीजिए।

औसत चाल, एक पंक्ति में

यात्रा कई हिस्सों में हो और हर हिस्से की चाल अलग हो, तो पूरी यात्रा की औसत चाल पूछी जाती है। इसका मूल नियम एक ही है। औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। आगे जितने भी छोटे तरीके देखेंगे, सब इसी नियम से निकले हैं। बस उनमें हिसाब पहले से करके रख दिया गया है।

बराबर दूरियाँ, दो चालें

दो बराबर दूरियाँ x और y चालों से तय हों, जैसे जाना एक चाल से और लौटना दूसरी से, तो

$$\text{औसत} = \frac{2xy}{x + y}$$

जैसे एक कार किसी कस्बे तक 35 किमी/घंटा से गई और 63 किमी/घंटा से लौटी। औसत = $\frac{2 \times 35 \times 63}{98}$ = 45 किमी/घंटा। दोनों चालें जोड़कर आधा करने से 49 आता है, जो गलत है।

बराबर दूरियाँ, तीन चालें

तीन बराबर हिस्से तीन अलग चालों से तय हों, तो सूत्र यह है।

$$\text{औसत} = \frac{3xyz}{xy + yz + zx}$$

परीक्षा में इससे भी जल्दी का तरीका यह है कि हर हिस्से की लंबाई चालों का ल.स. (LCM) मान लीजिए। जैसे चालें 8, 10 और 40 किमी/घंटा हैं, तो हर हिस्सा 40 किमी मानिए। तब तीनों हिस्सों में 5, 4 और 1 घंटा लगते हैं। कुल 120 किमी, 10 घंटे में तय हुए, यानी औसत 12 किमी/घंटा।

बराबर समय

यात्रा बराबर दूरियों में नहीं, बराबर समयों में बँटी हो, तो सीधा औसत ही सही है। कोई 3 घंटे 44 किमी/घंटा से चले और 3 घंटे 56 किमी/घंटा से, तो उसकी औसत चाल 50 किमी/घंटा है।

छूटी हुई चाल

कभी आने-जाने की यात्रा की औसत चाल A दी होती है, साथ में एक ओर की चाल x भी। पूछा जाता है कि दूसरी ओर की चाल क्या थी। तब यह सूत्र लगाइए।

$$y = \frac{Ax}{2x - A}$$

मान लीजिए आने-जाने का औसत 24 किमी/घंटा है और जाना 20 किमी/घंटा से हुआ। तो लौटने की चाल = $\frac{24 \times 20}{40 - 24}$ = 30 किमी/घंटा।

औसत चाल में सबसे ज़्यादा अंक इन तीन बातों पर कटते हैं।

• बराबर दूरियों पर चालें जोड़कर आधा कर देना। यह केवल बराबर समयों पर सही है।
• हिस्से बराबर न हों, फिर भी $\frac{2xy}{x + y}$ लगा देना। जैसे प्रश्न में लिखा हो, "पहला 40% एक चाल से और बाकी दूसरी चाल से", तो वापस कुल दूरी ÷ कुल समय पर आइए। कुल दूरी कोई सुविधाजनक संख्या मान लीजिए, जैसे 100 किमी।
• छूटी चाल वाले सूत्र में यह भूल जाना कि 2x का A से बड़ा होना ज़रूरी है। जाना 20 किमी/घंटा से हुआ हो, तो आने-जाने का औसत कभी 40 किमी/घंटा नहीं हो सकता, लौटना चाहे कितना भी तेज़ हो।

देर-जल्दी और चाल वाला द्विघात

एक चाल पर देर, दूसरी पर जल्दी

प्रश्न ऐसा होता है, "x किमी/घंटा पर वह m मिनट देर से पहुँचता है, और y किमी/घंटा पर n मिनट जल्दी। दूरी ज्ञात कीजिए।" इसमें यह सूत्र लगाइए।

$$D = \frac{\text{चालों का गुणनफल} \times \text{समय का अंतर}}{\text{चालों का अंतर}}$$

एक बार देर हो और एक बार जल्दी, तो समय का अंतर m + n है। दोनों बार देर हो, या दोनों बार जल्दी, तो m और n का अंतर लीजिए। और इसे घंटों में बदलना न भूलिए।

जैसे 4 किमी/घंटा से चलने पर मीना 10 मिनट देर से पहुँचती है और 6 किमी/घंटा से 10 मिनट जल्दी। समय का अंतर 20 मिनट है, यानी $\frac{1}{3}$ घंटा। D = $\frac{4 \times 6 \times \frac{1}{3}}{2}$ = 4 किमी। जाँच भी कर लेते हैं। 4 किमी जाने में 4 किमी/घंटा से 60 मिनट लगते हैं और 6 किमी/घंटा से 40 मिनट, तो ठीक समय 50 मिनट है।

जब दोनों बार देर हो। मान लीजिए एक बस 30 किमी/घंटा से चलने पर 40 मिनट देर से पहुँचती है और 40 किमी/घंटा से 10 मिनट देर से। अब मिनट घटाने हैं। अंतर 30 मिनट है, यानी $\frac{1}{2}$ घंटा। तो D = $\frac{30 \times 40 \times \frac{1}{2}}{10}$ = 60 किमी।

चाल k अधिक, समय t कम

कभी दूरी दी होती है और कहा जाता है कि चाल k किमी/घंटा अधिक होती, तो t घंटे कम लगते। सामान्य चाल x मान लीजिए। तब $\frac{D}{x} - \frac{D}{x + k} = t$, और इसे सरल करने पर यह मिलता है।

$$x(x + k) = \frac{Dk}{t}$$

यानी ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं, जिनका अंतर k हो और गुणनफल $\frac{Dk}{t}$। प्रायः विकल्पों को देखते ही ये संख्याएँ मिल जाती हैं।

एक उदाहरण लीजिए। 420 किमी की यात्रा है, और चाल 10 किमी/घंटा अधिक होती तो 1 घंटा कम लगता। तो x(x + 10) = 4,200। अब 60 × 70 = 4,200 है, इसलिए चाल 60 किमी/घंटा है। जाँच कर लीजिए, 60 किमी/घंटा पर 7 घंटे लगते हैं और 70 किमी/घंटा पर 6 घंटे।

उलटा प्रश्न भी आता है कि चाल k किमी/घंटा कम होती तो यात्रा में t घंटे अधिक लगते। तब x(x − k) = $\frac{Dk}{t}$ लिखिए।

इस हिस्से में चार भूलें बार-बार होती हैं।

• समय को मिनटों में ही छोड़ देना। चालें किमी/घंटा में हैं, तो समय का अंतर घंटों में लीजिए।
• दोनों बार देर होने पर मिनट जोड़ देना, या एक बार देर और एक बार जल्दी होने पर घटा देना।
• द्विघात का ऋणात्मक मूल ले लेना। चाल हमेशा धनात्मक होती है।
• जोड़ी में से गलत संख्या चुन लेना। x(x + k) में छोटी संख्या सामान्य चाल है, और x(x − k) में बड़ी।

[SSC टिप] विकल्प दिए हों, तो बीजगणित छोड़ दीजिए। हर विकल्प के लिए D ÷ विकल्प और D ÷ (विकल्प + k) निकालिए, और देखिए कि दोनों समयों का अंतर t आता है या नहीं। एक विकल्प जाँचने में कुछ ही सेकंड लगते हैं।

ठहराव और दो साधन

ठहराव

प्रश्न आता है, "ठहराव रहित एक बस x किमी/घंटा की चाल से चलती है, और ठहराव सहित उसकी औसत चाल y किमी/घंटा है। बस प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है?" इसका सूत्र यह है।

$$\text{प्रति घंटे रुकने का समय} = \frac{x - y}{x} \times 60 \text{ मिनट}$$

भाग हमेशा तेज़ चाल से दीजिए, यानी बिना ठहराव वाली चाल से।

जैसे बिना ठहराव के बस 80 किमी/घंटा से चलती है और ठहराव सहित 68 किमी/घंटा से। रुकने का समय = $\frac{12}{80}$ × 60 = 9 मिनट प्रति घंटा।

यह सूत्र क्यों चलता है, यह भी समझ लीजिए। हर घंटे में बस कुल 68 किमी ही जाती है। 80 किमी/घंटा की चाल से इतनी दूरी के लिए केवल 51 मिनट चलना काफ़ी है। बाकी 9 मिनट बस खड़ी रहती है।

अगर पूरी यात्रा में रुकने का समय पूछा हो, तो प्रति घंटे वाले समय को ठहराव सहित यात्रा के घंटों से गुणा कर दीजिए। या सीधे ठहराव सहित लगे समय में से ठहराव रहित समय घटा दीजिए।

एक ओर पैदल, वापसी सवारी से

ऐसे प्रश्नों में तीन समयों की बात होती है। एक ओर पैदल जाकर सवारी से लौटने का समय, दोनों ओर सवारी से जाने-आने का समय, और दोनों ओर पैदल चलने का समय। इनमें से दो दिए होते हैं और तीसरा पूछा जाता है।

एक ओर पैदल का समय w मान लीजिए और एक ओर सवारी का r। तो "पैदल और सवारी" = w + r, "दोनों ओर सवारी" = 2r और "दोनों ओर पैदल" = 2w। इसलिए

दोनों ओर पैदल = 2 × (एक ओर पैदल, वापसी सवारी) − (दोनों ओर सवारी)

मान लीजिए एक ओर पैदल जाकर सवारी से लौटने में 3 घंटे 50 मिनट लगते हैं, और दोनों ओर सवारी में 2 घंटे 20 मिनट। पहले वाले समय का दोगुना 7 घंटे 40 मिनट हुआ, तो दोनों ओर पैदल = 7 घंटे 40 मिनट − 2 घंटे 20 मिनट = 5 घंटे 20 मिनट। जाँच कर लीजिए। एक ओर सवारी में 1 घंटा 10 मिनट लगते हैं, तो एक ओर पैदल 2 घंटे 40 मिनट हुआ।

उलटा भी पूछा जा सकता है। दोनों ओर पैदल और दोनों ओर सवारी के समय दिए हों, तो एक ओर पैदल और वापसी सवारी का समय इन दोनों का औसत होता है।

ठहराव और दो साधनों वाले प्रश्नों में ये तीन गलतियाँ आम हैं।

• ठहराव वाले सूत्र में धीमी चाल से भाग दे देना। बस वाले उदाहरण में $\frac{12}{68}$ × 60 करने पर लगभग 10.6 मिनट आता है, और यही गलत संख्या अक्सर विकल्पों में होती है।
• पूरी यात्रा में रुकने का समय पूछा हो, और उत्तर प्रति घंटे वाला लिख देना।
• दो साधनों वाले प्रश्नों में घंटे और मिनट मिला देना। पहले सब कुछ मिनटों में बदल लीजिए।

सापेक्ष चाल, मिलन, वर्गमूल नियम

सापेक्ष चाल, एक पंक्ति में

जब दो चीज़ें एक साथ चल रही हों और प्रश्न उनके बीच के फ़ासले का हो, तो सापेक्ष चाल लगाइए। दोनों विपरीत दिशा में चलें, चाहे एक-दूसरे की ओर या एक-दूसरे से दूर, तो फ़ासला चालों के योग से बदलता है। एक ही दिशा में चलें, तो चालों के अंतर से। फिर समय = फ़ासला ÷ सापेक्ष चाल।

कहाँ मिलेंगे

मान लीजिए D लंबाई वाली सड़क के दोनों छोरों से A और B एक साथ चलते हैं, A की चाल a है और B की b। वे $\frac{D}{a + b}$ समय बाद मिलेंगे। इतने समय में दोनों की तय दूरियाँ चालों के अनुपात a : b में होती हैं। इसलिए मिलन बिंदु A वाले छोर से $D \times \frac{a}{a + b}$ दूरी पर होता है।

उदाहरण के लिए कस्बे P और Q, 351 किमी दूर हैं। एक कार P से 42 किमी/घंटा से चलती है, और ठीक उसी क्षण दूसरी कार Q से 36 किमी/घंटा से। दोनों मिलकर हर घंटे 78 किमी फ़ासला घटाती हैं, तो वे 351 ÷ 78 = 4.5 घंटे बाद मिलेंगी। तब तक P वाली कार 351 × $\frac{42}{78}$ = 189 किमी चल चुकी होगी।

जब एक बाद में चले। दोनों एक साथ न चलें, तो पहले देखिए कि दूसरे के चलने तक पहला कितनी दूरी तय कर चुका है। उसके बाद जो दूरी बचे, उसे दोनों मिलकर तय करते हैं।

मान लीजिए दो शहर 360 किमी दूर हैं। एक कार पहले शहर से पूर्वाह्न 7 बजे 36 किमी/घंटा से चलती है, और दूसरी कार दूसरे शहर से पूर्वाह्न 9:30 बजे 54 किमी/घंटा से। पूर्वाह्न 9:30 बजे तक पहली कार 90 किमी चल चुकी है। अब 270 किमी बचे, जो 90 किमी/घंटा की सापेक्ष चाल से 3 घंटे में तय होंगे। तो दोनों अपराह्न 12:30 बजे मिलेंगी। इन 3 घंटों में पहली कार 108 किमी और चलती है, इसलिए मिलन पहले शहर से 90 + 108 = 198 किमी पर होगा।

मिलने के बाद: वर्गमूल नियम

दो व्यक्ति ठीक एक ही क्षण A और B से एक-दूसरे की ओर चलते हैं। मिलने के बाद सामने वाले छोर तक पहुँचने में एक को $t_1$ घंटे और लगते हैं और दूसरे को $t_2$ घंटे। तब

$$\frac{S_1}{S_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$$

और दोनों चलने के $\sqrt{t_1 t_2}$ घंटे बाद मिलते हैं।

जैसे मिलने के बाद अनिल को 3 घंटे 36 मिनट और लगते हैं, और सुनील को 2 घंटे 30 मिनट। घंटों में ये 3.6 और 2.5 हैं। तो अनिल और सुनील की चालों का अनुपात $\sqrt{2.5 : 3.6}$ = $\sqrt{25 : 36}$ = 5 : 6 है। दोनों $\sqrt{3.6 \times 2.5}$ = 3 घंटे बाद मिले थे।

जाँच भी कर लेते हैं। चालें 5 और 6 भाग प्रति घंटा मानें, तो 3 घंटे में अनिल सड़क के 15 भाग चला और सुनील 18 भाग। मिलने के बाद अनिल को सुनील वाले 18 भाग चलने हैं, जिसमें 18 ÷ 5 = 3.6 घंटे लगते हैं। सुनील को 15 भाग चलने हैं, जिसमें 15 ÷ 6 = 2.5 घंटे।

मिलन वाले प्रश्नों में पाँच जगह गड़बड़ होती है।

• एक-दूसरे की ओर आते लोगों पर चालों का अंतर ले लेना, या एक ही दिशा में चलने वालों पर योग।
• किसी के देर से चलने की बात भूल जाना। जो बाद में चला, वह कम समय चला है।
• वर्गमूल नियम उलटा लगा देना। मिलने के बाद जिसे ज़्यादा समय लगता है, वही धीमा है।
• वर्गमूल लेना ही भूल जाना। समयों से सीधे 25 : 36 आता है, पर चालों का अनुपात इसका वर्गमूल है, यानी 5 : 6।
• दोनों एक ही क्षण नहीं चले, फिर भी यह नियम लगा देना।

बढ़त के साथ पीछा

कोई पुलिसकर्मी, या कोई दूसरी कार, उसी सड़क पर आगे चल रहे किसी का पीछा करे, तो पकड़ने का समय इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{पकड़ने में लगा समय} = \frac{\text{बढ़त}}{\text{तेज़ चाल} - \text{धीमी चाल}}$$

बढ़त कभी समय में दी होती है। तब पहले उसे दूरी में बदल लीजिए। दूरी वाली बढ़त = धीमी चाल × बढ़त का समय।

पकड़ने तक पीछा करने वाला कितनी दूरी तय करता है, यह भी सीधे निकल आता है।

$$\text{बढ़त} \times \frac{\text{पीछा करने वाले की चाल}}{\text{चालों का अंतर}}$$

पहले बढ़त मीटर में देखते हैं। एक चोर पुलिसकर्मी से 300 मीटर आगे है। चोर 10 किमी/घंटा से भागता है और पुलिसकर्मी 13 किमी/घंटा से पीछा करता है। फ़ासला 3 किमी/घंटा से घटता है, जो $\frac{5}{6}$ मीटर/सेकंड है। पकड़ने में 300 ÷ $\frac{5}{6}$ = 360 सेकंड लगेंगे, यानी 6 मिनट। इतने में पुलिसकर्मी 300 × $\frac{13}{3}$ = 1,300 मीटर दौड़ता है, और चोर 1,000 मीटर।

अब बढ़त घंटों में। एक लॉरी डिपो से पूर्वाह्न 7 बजे 36 किमी/घंटा से निकलती है। एक कार उसी डिपो से पूर्वाह्न 9 बजे 60 किमी/घंटा से उसी सड़क पर निकलती है। पूर्वाह्न 9 बजे तक लॉरी 72 किमी आगे जा चुकी है। फ़ासला 24 किमी/घंटा से घटता है, तो कार 3 घंटे बाद, यानी दोपहर 12 बजे लॉरी को पकड़ लेगी। तब दोनों डिपो से 180 किमी पर होंगी।

पकड़ से ठीक पहले का फ़ासला

कभी पूछा जाता है, "पकड़ से 5 मिनट पहले दोनों कितनी दूर हैं?" इसके लिए बढ़त की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। बढ़त कितनी भी रही हो, उत्तर सापेक्ष चाल × 5 मिनट होगा। जैसे सापेक्ष चाल 6 किमी/घंटा हो, तो 6 × $\frac{5}{60}$ = 0.5 किमी।

पीछा करने वाले प्रश्नों में गलती प्रायः यहाँ होती है।

• चालों का योग ले लेना। पीछा करते समय दोनों एक ही दिशा में चलते हैं, इसलिए हमेशा अंतर लीजिए।
• पुलिसकर्मी की दूरी पूछी हो और चोर की दूरी लिख देना, या इसका उलटा। पीछा करने वाला हमेशा बढ़त जितना अधिक दौड़ता है।
• गलत समय से गिनना। लॉरी और कार वाले उदाहरण में 3 घंटे पूर्वाह्न 9 बजे से गिनने हैं, पूर्वाह्न 7 बजे से नहीं।
• फ़ासला मीटर में हो, फिर भी चाल किमी/घंटा में ही रखना। पहले सापेक्ष चाल को मीटर/सेकंड में बदलिए, या फ़ासले को किमी में।

रेलगाड़ियाँ: लंबाई जोड़, सापेक्ष चाल

रेलगाड़ी किसी भी चीज़ को पार करे, समय एक ही नियम से निकलता है।

$$\text{समय} = \frac{\text{पार करने की कुल लंबाई}}{\text{सापेक्ष चाल}}$$

बस यह देखना है कि पार करने की लंबाई कितनी है और कौन-सी चाल लेनी है। सारी स्थितियाँ इस तालिका में एक साथ देख लीजिए।

मान लीजिए 210 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 63 किमी/घंटा से चल रही है, जो 17.5 मीटर/सेकंड है। यह खंभे को 210 ÷ 17.5 = 12 सेकंड में पार करेगी। 140 मीटर का पुल पार करने के लिए इसे 350 मीटर तय करने हैं, तो 350 ÷ 17.5 = 20 सेकंड लगेंगे। उसी दिशा में 9 किमी/घंटा से चलते व्यक्ति के लिए सापेक्ष चाल 54 किमी/घंटा है, यानी 15 मीटर/सेकंड। उसे पार करने में 14 सेकंड लगेंगे।

दो रेलगाड़ियाँ

135 मीटर और 165 मीटर लंबी दो रेलगाड़ियाँ 45 किमी/घंटा और 27 किमी/घंटा से चल रही हैं। दोनों विपरीत दिशा में चलें, तो सापेक्ष चाल 72 किमी/घंटा = 20 मीटर/सेकंड है, और दोनों की लंबाइयों का जोड़, 300 मीटर, 15 सेकंड में पार हो जाता है। एक ही दिशा में चलें, तो सापेक्ष चाल 18 किमी/घंटा = 5 मीटर/सेकंड है। तब तेज़ रेलगाड़ी को 300 ÷ 5 = 60 सेकंड लगेंगे।

दो बार पार करना: लंबाई, चाल

एक मालगाड़ी खंभे को 20 सेकंड में पार करती है और 250 मीटर के प्लेटफ़ॉर्म को 30 सेकंड में। जो 10 सेकंड अधिक लगे, वे केवल प्लेटफ़ॉर्म के लिए हैं। तो चाल = 250 ÷ 10 = 25 मीटर/सेकंड, यानी 90 किमी/घंटा। और लंबाई = 25 × 20 = 500 मीटर।

[Tier 2] पार-समयों से चाल-अनुपात

दो रेलगाड़ियाँ किसी खड़े व्यक्ति को $t_1$ और $t_2$ सेकंड में पार करती हैं। विपरीत दिशाओं में चलते हुए वे एक-दूसरे को $t_3$ सेकंड में पार करती हैं। तब उनकी चालों का अनुपात यह होता है।

$$S_1 : S_2 = (t_3 - t_2) : (t_1 - t_3)$$

जैसे ये समय 21 सेकंड, 15 सेकंड और 17 सेकंड हों, तो अनुपात 2 : 4 = 1 : 2 है।

रेलगाड़ियों में ज़्यादातर गलत उत्तर इन चार कारणों से आते हैं।

• खंभे के लिए प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई जोड़ देना, या पुल के लिए जोड़ना भूल जाना।
• व्यक्ति, खंभे या सिग्नल की भी कोई लंबाई मान लेना। इनकी कोई लंबाई नहीं होती।
• एक ही दिशा वाली रेलगाड़ियों पर चालों का योग लेना। एक ही दिशा में अंतर लिया जाता है।
• लंबाई मीटर में और समय सेकंड में हो, फिर भी चाल किमी/घंटा में रखना। पहले चाल मीटर/सेकंड में बदलिए।

नाव-धारा: आधा योग, आधा अंतर

नदी में नाव हो, तैराक हो या नाव खेने वाला, सबका हिसाब एक ही है। शांत जल में नाव की चाल b लीजिए और धारा की चाल s। तब ये दो बातें निकलती हैं।

• अनुप्रवाह (downstream) चाल d = b + s और ऊर्ध्वप्रवाह (upstream) चाल u = b − s होती है।
• b = $\frac{d + u}{2}$, यानी योग का आधा, और s = $\frac{d - u}{2}$, यानी अंतर का आधा।

जैसे एक नाव 3 घंटे में 66 किमी अनुप्रवाह जाती है और 5 घंटे में 50 किमी ऊर्ध्वप्रवाह। तो d = 22 और u = 10। नाव की अपनी चाल 16 किमी/घंटा है और धारा की 6 किमी/घंटा।

आने-जाने की यात्रा

नाव हर ओर D किमी जाए, तो आने-जाने का कुल समय

$$T = \frac{D}{b + s} + \frac{D}{b - s} = \frac{2Db}{b^2 - s^2}$$

दूरी चाहिए, तो इसे उलटकर $D = \frac{T(b^2 - s^2)}{2b}$ लिखिए।

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल 11 किमी/घंटा है, धारा की 3 किमी/घंटा, और आने-जाने में 5 घंटे 30 मिनट लगते हैं। तो D = $\frac{5.5 \times 112}{22}$ = 28 किमी। जाँच कर लीजिए। अनुप्रवाह में 28 ÷ 14 = 2 घंटे लगते हैं और ऊर्ध्वप्रवाह में 28 ÷ 8 = 3.5 घंटे।

समयों का अनुपात

कभी कहा जाता है कि ऊर्ध्वप्रवाह में उतनी ही दूरी तय करने में अनुप्रवाह का k गुना समय लगता है। तब $\frac{b + s}{b - s} = k$, और इससे b : s = (k + 1) : (k − 1) आता है।

जैसे ऊर्ध्वप्रवाह में दोगुना समय लगे, तो b : s = 3 : 1। अब अगर नाव की शांत जल में चाल 21 किमी/घंटा है, तो धारा की चाल 7 किमी/घंटा होगी।

नाव वाले प्रश्नों में तीन बातें याद रखिए।

• आने-जाने की औसत चाल b नहीं होती। यह $\frac{du}{b}$ होती है, जो हमेशा b से कम है। आने-जाने वाले उदाहरण की नाव में d = 14 और u = 8 है, तो औसत $\frac{112}{11}$ है, लगभग 10.2 किमी/घंटा, 11 नहीं।
• दोनों चालें आपस में न उलझाइए। अनुप्रवाह चाल हमेशा तेज़ होती है। और धारा नाव से धीमी होती है, वरना नाव ऊर्ध्वप्रवाह में जा ही न पाए।
• "व्यक्ति की चाल" या "शांत जल में दर" को d न समझिए। इनका मतलब b है।

दौड़: अंतर से चाल-अनुपात

दौड़ के प्रश्नों में ऐसी भाषा आती है, "A, B को x मीटर से हराता है", "t सेकंड से", "h मीटर की बढ़त देता है" या "बराबरी पर समाप्त दौड़" (dead heat)। इन सबको समझने के लिए बस उस क्षण को देखिए, जब A अपने L मीटर पूरे करता है। उस समय तक B केवल L − x मीटर दौड़ा होता है। दोनों ने बराबर समय दौड़ा है, इसलिए

$$S_A : S_B = L : (L - x)$$

जैसे 200 मीटर की दौड़ में A, B को 16 मीटर से हराता है। तो A : B = 200 : 184 = 25 : 23।

x मीटर या t सेकंड से हराना

कहा जाए कि A, B को "x मीटर या t सेकंड से" हराता है, तो इसका मतलब है कि B ने वे आख़िरी x मीटर t सेकंड में दौड़े। इससे B की चाल $\frac{x}{t}$ मिल जाती है। B का पूरा समय $L \div \frac{x}{t}$ है, और A का समय उससे t सेकंड कम।

750 मीटर की दौड़ में A, B को 30 मीटर या 5 सेकंड से हराता है। तो B की चाल 6 मीटर/सेकंड है और उसे 125 सेकंड लगते हैं। A को 120 सेकंड लगते हैं।

सेकंड वाला अंतर, मीटर में

अंतर सेकंड में दिया हो और मीटर में चाहिए, तो सेकंड को हारने वाले की चाल से गुणा कीजिए। मान लीजिए 900 मीटर की दौड़ A 2 मिनट 50 सेकंड में पूरी करता है और B को 10 सेकंड से हराता है। तो B को 180 सेकंड लगते हैं और उसकी चाल 5 मीटर/सेकंड है। अंतर = 10 × 5 = 50 मीटर।

बढ़त और बराबरी पर समाप्त दौड़

"A, B को h मीटर की बढ़त देता है" का मतलब है कि B को केवल L − h मीटर दौड़ना है। और दौड़ बराबरी पर समाप्त हो, यानी दोनों साथ पहुँचें, तो A और B की चालों का अनुपात L : (L − h) होना चाहिए।

जैसे A की चाल B की $\frac{8}{5}$ है और A, B को 75 मीटर की बढ़त देता है। दौड़ बराबरी पर समाप्त होने के लिए $\frac{L}{L - 75} = \frac{8}{5}$ होना चाहिए, जिससे L = 200 मीटर आता है।

तीन धावक

200 मीटर की एक दौड़ में A, B को 20 मीटर से हराता है, और 200 मीटर की दूसरी दौड़ में B, C को 10 मीटर से। जब A अपने 200 मीटर पूरे करता है, तब B 180 मीटर पर होता है। B के हर 200 मीटर में C 10 मीटर पीछे रहता है, तो B के 180 मीटर में C, 180 × $\frac{190}{200}$ = 171 मीटर दौड़ता है। यानी A, C को 29 मीटर से हराता है, 30 से नहीं।

दौड़ के प्रश्नों में ये तीन उलझनें सबसे ज़्यादा होती हैं।

• तीन धावकों वाले प्रश्न में दोनों अंतर जोड़ देना।
• सेकंड को मीटर में बदलते समय विजेता की चाल ले लेना। ये अतिरिक्त सेकंड हारने वाले के हैं, तो उसी की चाल लगेगी।
• बढ़त और जीत का अंतर एक समझ लेना। बढ़त हारने वाले की दौड़ को छोटा कर देती है। जीत का अंतर वह दूरी है, जो विजेता के पहुँचते समय हारने वाले की दौड़ में बची रहती है।

वृत्ताकार पथ पर मिलन

दो या तीन धावक वृत्ताकार पथ के एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करें, तो मिलने वाले प्रश्न तीन तरह के होते हैं। मान लीजिए दो धावकों की चालें a और b हैं, और a बड़ी है।

• एक ही दिशा में दौड़ें, तो वे पथ पर कहीं भी पहली बार $\frac{\text{पथ}}{a - b}$ समय बाद मिलते हैं। तेज़ धावक को धीमे से एक पूरा चक्कर आगे निकलना होता है।
• विपरीत दिशा में दौड़ें, तो वे कहीं भी पहली बार $\frac{\text{पथ}}{a + b}$ समय बाद मिलते हैं, क्योंकि दोनों मिलकर एक चक्कर पूरा करते हैं।
• आरंभ बिंदु पर पहला मिलन चक्कर-समयों के ल.स. पर होता है। यहाँ दिशा से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

उदाहरण के लिए 420 मीटर के पथ पर दो धावक 5 मीटर/सेकंड और 2 मीटर/सेकंड से दौड़ते हैं। उनके चक्कर-समय 84 सेकंड और 210 सेकंड हैं।

• एक ही दिशा में पहला मिलन 420 ÷ 3 = 140 सेकंड बाद होगा।
• विपरीत दिशा में 420 ÷ 7 = 60 सेकंड बाद।
• आरंभ बिंदु पर 84 और 210 के ल.स. पर, यानी 420 सेकंड = 7 मिनट बाद।

तीन धावक हों, तो तीनों पहली बार आरंभ बिंदु पर एक साथ तब होंगे, जब तीनों चक्कर-समयों का ल.स. पूरा हो। और एक ही दिशा में दौड़ते हुए वे कहीं भी पहली बार एक साथ कब होंगे, यह जोड़ियों के पहले मिलन-समयों के ल.स. से निकलता है।

भिन्न वाले चक्कर-समय

चक्कर-समय भिन्न में आएँ, तो उन्हें सेकंड में बदल लीजिए। या भिन्नों का ल.स. सीधे निकालिए, जो $\frac{\text{अंशों का ल.स.}}{\text{हरों का म.स.}}$ होता है।

जैसे 2 किमी का पथ है और चालें 15 किमी/घंटा और 25 किमी/घंटा हैं। चक्कर-समय 8 मिनट और $\frac{24}{5}$ मिनट आते हैं। तो आरंभ बिंदु पर वे ल.स.($\frac{40}{5}$, $\frac{24}{5}$) = $\frac{120}{5}$ = 24 मिनट बाद मिलेंगे। विपरीत दिशा में दौड़ें, तो पहला मिलन 2 ÷ 40 घंटे = 3 मिनट बाद होगा।

[Tier 2] कितने मिलन बिंदु

चालों को सबसे छोटे अनुपात a : b में लिखिए। एक ही दिशा में दौड़ें, तो वे पथ पर a − b अलग-अलग बिंदुओं पर मिलते हैं। विपरीत दिशा में दौड़ें, तो a + b बिंदुओं पर। जैसे 5 : 2 हो, तो एक ही दिशा में 3 बिंदु और विपरीत दिशा में 7।

वृत्ताकार पथ पर चार गलतियाँ बहुत होती हैं।

• कहीं भी पहला मिलन पूछा हो और उत्तर ल.स. वाला दे देना। दोनों आरंभ बिंदु पर लौटें, उससे पहले वे प्रायः कई बार मिल चुके होते हैं।
• एक ही दिशा में योग ले लेना, या विपरीत दिशा में अंतर।
• चक्कर-समयों की जगह चालों का ल.स. ले लेना।
• किमी/घंटा और मीटर मिला देना। इकाइयाँ एक बार, शुरू में ही बदल लीजिए।

विकल्प हटाना

पूरा हल करने से पहले, या जब घड़ी में समय कम बचा हो, चारों विकल्पों पर ये झटपट जाँचें कर लीजिए।

• औसत चाल: बराबर दूरियों पर औसत चाल दोनों चालों के बीच होती है, और धीमी चाल के अधिक पास। सीधा औसत लगभग हमेशा जाल वाला विकल्प होता है।
• पार करने का समय: प्लेटफ़ॉर्म, पुल या दूसरी रेलगाड़ी को पार करने में खंभे वाले समय से अधिक समय लगता है।
• एक ही दिशा धीमी: किसी रेलगाड़ी से आगे निकलने में, सामने से आती रेलगाड़ी को पार करने से अधिक समय लगता है।
• नावें: अनुप्रवाह चाल > शांत जल में चाल > ऊर्ध्वप्रवाह चाल। और धारा नाव से धीमी होती है।
• मिलन बिंदु: यह धीमे वाले के आरंभ बिंदु के अधिक पास होता है।
• पीछा: पीछा करने वाला बढ़त से अधिक दौड़ता है।
• दौड़: तीन धावकों वाले प्रश्न में A की C पर जीत का अंतर, दोनों अंतरों के योग से कम होता है।
• वृत्ताकार पथ: आरंभ बिंदु पर पहले मिलन तक हर धावक पूरे-पूरे चक्कर लगाता है।

जैसे एक कार 28 किमी/घंटा से जाती है और 42 किमी/घंटा से लौटती है। औसत चाल के विकल्प हैं (a) 35 किमी/घंटा (b) 33.6 किमी/घंटा (c) 36.4 किमी/घंटा (d) 31.5 किमी/घंटा। (a) सीधा औसत है, और (c) तेज़ चाल के अधिक पास है, तो दोनों हट गए। अब (b) और (d) में से चुनना है, तो हिसाब कर लीजिए। $\frac{2 \times 28 \times 42}{70}$ = 33.6, यानी उत्तर (b) है।

एक और देखिए। 225 मीटर की रेलगाड़ी खंभे को 9 सेकंड में पार करती है। 250 मीटर का प्लेटफ़ॉर्म पार करने में कितना समय लगेगा? विकल्प हैं (a) 10 सेकंड (b) 19 सेकंड (c) 9 सेकंड (d) 6 सेकंड। (c) और (d) खंभे वाले समय से अधिक नहीं हैं, तो ये बाहर। (a) केवल प्लेटफ़ॉर्म का समय है, 250 ÷ 25। चाल 225 ÷ 9 = 25 मीटर/सेकंड है और पार करने की लंबाई 475 मीटर, तो समय 19 सेकंड है, यानी (b)।

पर इस तरीके की भी दो सीमाएँ हैं।

• कभी दो विकल्प हर जाँच में पास हो जाते हैं। तब पूरा हल करना ही पड़ता है।
• "धीमी के पास" वाली जाँच केवल बराबर दूरियों पर चलती है। अगर बहुत अधिक दूरी तेज़ चाल से तय हुई हो, तो औसत तेज़ चाल के पास भी हो सकता है।

[SSC टिप] जाल वाले विकल्प प्रायः गिने-चुने ही होते हैं, जैसे चालों का सीधा औसत, प्लेटफ़ॉर्म के बिना वाला समय, पीछा वाले प्रश्न में चालों का योग, उलटा अनुपात, तीन धावकों में दोनों अंतरों का जोड़, और कहीं भी पहले मिलन के लिए ल.स. वाला उत्तर। आपका उत्तर इनमें से कोई निकले, तो निशान लगाने से पहले वह कदम एक बार फिर देख लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब इन्हीं तेज़ तरीकों से कुछ प्रश्न हल करते हैं। हर प्रश्न के साथ यह भी देखेंगे कि उसमें मोटा-मोटा कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

एक रेलगाड़ी 1 मिनट 24 सेकंड में 2.1 किमी की दूरी तय करती है। किमी/घंटा में उसकी चाल कितनी है?

उत्तर: पहले सब कुछ मीटर और सेकंड में कर लेते हैं। 1 मिनट 24 सेकंड = 84 सेकंड, और 2.1 किमी = 2,100 मीटर। चाल = 2,100 ÷ 84 = 25 मीटर/सेकंड। इसे 3.6 से गुणा करें, तो 90 किमी/घंटा आता है। अभ्यास हो, तो यह 10 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 2

अपनी सामान्य चाल के $\frac{6}{7}$ से चलने पर एक व्यक्ति अपने कार्यालय 8 मिनट देर से पहुँचता है। यह दूरी पैदल तय करने में उसका सामान्य समय कितना है?

उत्तर: चाल सामान्य की $\frac{6}{7}$ हुई, तो समय सामान्य समय का $\frac{7}{6}$ हो गया। यानी सामान्य समय का $\frac{1}{6}$ अतिरिक्त लगा, और यही 8 मिनट है। तो सामान्य समय = 6 × 8 = 48 मिनट। इसमें मुश्किल से 8 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

A और B एक ही दूरी क्रमशः 5 घंटे और 6 घंटे में तय करते हैं। A, B से 9 किमी/घंटा तेज़ है। दूरी कितनी है?

उत्तर: दूरी एक ही है, तो समयों का अनुपात 5 : 6 है और चालों का उलटा, 6 : 5। दोनों चालों में 1 भाग का अंतर है, जो 9 किमी/घंटा के बराबर है। तो A की चाल 54 किमी/घंटा और B की 45 किमी/घंटा। दूरी = 54 × 5 = 270 किमी। पूरा हल करीब 15 सेकंड का है।

प्रश्न 4

एक व्यक्ति एक पहाड़ी सड़क पर 18 किमी/घंटा की चाल से गाड़ी चलाकर ऊपर जाता है और उसी सड़क से 27 किमी/घंटा की चाल से नीचे लौटता है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल कितनी है?

उत्तर: ऊपर जाने और नीचे आने की दूरी बराबर है, तो $\frac{2 \times 18 \times 27}{45}$ लगाते हैं। इससे 21.6 किमी/घंटा आता है। जल्दी में कई लोग दोनों चालों का सीधा औसत 22.5 किमी/घंटा लिख देते हैं, जो गलत है। सूत्र याद हो, तो यह 10 सेकंड में निकल आता है।

प्रश्न 5

एक साइकिल सवार किसी सड़क के तीन बराबर भाग क्रमशः 6 किमी/घंटा, 10 किमी/घंटा और 15 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। पूरी सड़क के लिए उसकी औसत चाल कितनी है?

उत्तर: हर भाग की लंबाई चालों का ल.स. मान लेते हैं, यानी 30 किमी। तब तीनों भागों में 5, 3 और 2 घंटे लगते हैं। कुल 90 किमी, 10 घंटे में तय हुए, तो औसत चाल 9 किमी/घंटा है। यह सब लगभग 15 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 6

14 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाने पर प्रिया स्टेशन 9 मिनट देर से पहुँचती है। 21 किमी/घंटा की चाल से वह 6 मिनट जल्दी पहुँच जाती है। स्टेशन कितनी दूर है?

उत्तर: एक बार देर हुई और एक बार जल्दी, तो दोनों समय जुड़ेंगे। समय का अंतर 9 + 6 = 15 मिनट है, यानी $\frac{1}{4}$ घंटा। D = $\frac{14 \times 21 \times \frac{1}{4}}{7}$ = 10.5 किमी। जाँच कर लेते हैं। 14 किमी/घंटा पर 45 मिनट लगते हैं और 21 किमी/घंटा पर 30 मिनट, तो ठीक समय 36 मिनट है। इस प्रश्न पर भी करीब 15 सेकंड ही खर्च होते हैं।

प्रश्न 7

एक कार एक समान चाल से 300 किमी की दूरी तय करती है। यदि उसकी चाल 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो यात्रा में 2 घंटे कम लगते। कार की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चाल x मान लें, तो x(x + 5) = $\frac{300 \times 5}{2}$ = 750। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका अंतर 5 हो और गुणनफल 750। 25 × 30 = 750 है, तो कार की चाल 25 किमी/घंटा है। जाँच भी कर लेते हैं। 25 किमी/घंटा पर 12 घंटे लगते हैं और 30 किमी/घंटा पर 10 घंटे। इसमें करीब 20 सेकंड जाते हैं।

प्रश्न 8

ठहराव रहित एक रेलगाड़ी 96 किमी/घंटा की चाल से चलती है, जबकि ठहराव सहित उसकी औसत चाल 84 किमी/घंटा है। रेलगाड़ी प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है?

उत्तर: भाग बिना ठहराव वाली चाल, यानी 96 से देना है। $\frac{96 - 84}{96}$ × 60 = 7.5 मिनट। 84 से भाग देने पर लगभग 8.6 मिनट आता है, पर वह गलत है। यह लगभग 10 सेकंड का काम है।

प्रश्न 9

X और Y के बीच की दूरी 448 किमी है। दो रेलगाड़ियाँ एक ही समय पर X और Y से चलना शुरू करती हैं और क्रमशः 52 किमी/घंटा और 60 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। वे X से कितनी दूरी पर मिलेंगी?

उत्तर: रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे की ओर आ रही हैं, तो फ़ासला 52 + 60 = 112 किमी/घंटा से घटता है। 448 ÷ 112 = 4, यानी वे 4 घंटे बाद मिलेंगी। तब तक X वाली रेलगाड़ी 52 × 4 = 208 किमी चल चुकी होगी। इसे हल करने में 10 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 10

दो कारें एक ही समय पर A और B से एक-दूसरे की ओर चलना शुरू करती हैं। एक-दूसरे को पार करने के बाद, A से चली कार को B तक पहुँचने में 2 घंटे 40 मिनट लगते हैं और B से चली कार को A तक पहुँचने में 6 घंटे। यदि A से चली कार की चाल 60 किमी/घंटा है, तो दूसरी कार की चाल कितनी है?

उत्तर: पहले दोनों समय घंटों में लिख लेते हैं। 2 घंटे 40 मिनट = $\frac{8}{3}$ घंटे, और दूसरा 6 घंटे। वर्गमूल नियम से A वाली कार और B वाली कार की चालों का अनुपात $\sqrt{6 : \frac{8}{3}}$ = $\sqrt{9 : 4}$ = 3 : 2 है। तो दूसरी कार की चाल = 60 × $\frac{2}{3}$ = 40 किमी/घंटा। यह उत्तर समझ में भी आता है, क्योंकि मिलने के बाद B वाली कार को ज़्यादा समय लगा, तो वही धीमी है। इसमें 20 सेकंड के करीब लग जाते हैं।

प्रश्न 11

एक पुलिसकर्मी को 175 मीटर दूर एक चोर दिखाई देता है। चोर 6 किमी/घंटा की चाल से भागता है और पुलिसकर्मी 8 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। चोर को पकड़ने से पहले पुलिसकर्मी कितनी दूरी दौड़ेगा?

उत्तर: पुलिसकर्मी की दूरी = 175 × $\frac{8}{8 - 6}$ = 700 मीटर। साथ में पकड़ने का समय भी निकल आता है। फ़ासला 2 किमी/घंटा, यानी $\frac{5}{9}$ मीटर/सेकंड से घटता है, तो वह चोर को 315 सेकंड में, यानी 5 मिनट 15 सेकंड में पकड़ लेगा। पूरा प्रश्न 15 सेकंड के आसपास निपट जाता है।

प्रश्न 12

245 मीटर और 115 मीटर लंबी दो रेलगाड़ियाँ समानांतर पटरियों पर एक ही दिशा में क्रमशः 68 किमी/घंटा और 50 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। तेज़ रेलगाड़ी को धीमी रेलगाड़ी को पूरी तरह पार करने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: तेज़ रेलगाड़ी को दोनों की लंबाई जितना आगे निकलना है, यानी 245 + 115 = 360 मीटर। दिशा एक ही है, तो सापेक्ष चाल 68 − 50 = 18 किमी/घंटा है, जो 5 मीटर/सेकंड हुई। समय = 360 ÷ 5 = 72 सेकंड। सापेक्ष चाल मन में बदल लें, तो 12 सेकंड काफ़ी हैं।

प्रश्न 13

एक नाव अनुप्रवाह में 52 किमी की दूरी 4 घंटे में और ऊर्ध्वप्रवाह में 30 किमी की दूरी 5 घंटे में तय करती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुप्रवाह चाल d = 52 ÷ 4 = 13 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह चाल u = 30 ÷ 5 = 6 किमी/घंटा। धारा की चाल इनके अंतर का आधा है, यानी 3.5 किमी/घंटा। साथ में नाव की शांत जल में चाल भी मिल जाती है, जो योग का आधा, 9.5 किमी/घंटा है। हल में लगभग 12 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 14

400 मीटर की एक दौड़ में A, B को 32 मीटर या 4 सेकंड से हराता है। दौड़ पूरी करने में A को कितना समय लगता है?

उत्तर: B आख़िरी 32 मीटर 4 सेकंड में दौड़ता है, तो उसकी चाल 8 मीटर/सेकंड है। पूरी दौड़ में B को 400 ÷ 8 = 50 सेकंड लगते हैं। A को इससे 4 सेकंड कम लगते हैं, यानी 46 सेकंड। यह भी 12 सेकंड के आसपास हो जाता है।

प्रश्न 15

दो साइकिल सवार 1.5 किमी लंबे एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ चलना शुरू करते हैं और क्रमशः 20 किमी/घंटा और 30 किमी/घंटा की चाल से विपरीत दिशाओं में साइकिल चलाते हैं। कितने मिनट बाद वे पहली बार आरंभ बिंदु पर एक साथ होंगे?

उत्तर: पहले दोनों के चक्कर-समय निकालते हैं। 1.5 ÷ 20 घंटे = 4.5 मिनट और 1.5 ÷ 30 घंटे = 3 मिनट। अब ल.स.($\frac{9}{2}$, $\frac{6}{2}$) = $\frac{18}{2}$ = 9 मिनट। ध्यान रखिए कि पथ पर कहीं भी तो वे इससे बहुत पहले मिल जाते हैं, 1.5 ÷ 50 घंटे = 1.8 मिनट बाद। यही 1 मिनट 48 सेकंड जाल वाला उत्तर है। पूरे हल में करीब 25 सेकंड लगते हैं।