हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 36 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनका कोई तय क्रम नहीं है, सब मिले-जुले हैं। औसत चाल (average speed) वाले प्रश्न के ठीक बाद रेलगाड़ी वाला प्रश्न भी आ सकता है।

इसलिए हर प्रश्न में सबसे पहले यह देखिए कि चल क्या रहा है। कहीं एक ही चीज़ चल रही होती है। कहीं दो चीज़ें होती हैं, जो एक-दूसरे की ओर या एक-दूसरे के पीछे चलती हैं। और कहीं नाव या धावक होता है। यह तय हो जाए, तो आगे का हल छोटा हो जाता है।

उत्तर ढककर हर प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, और साथ में घड़ी चालू रखिए। परीक्षा में ऐसे प्रश्न पर 36 से 45 सेकंड लगने चाहिए। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में उसकी विधि देखिए। फिर अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

प्रश्नों का बँटवारा कुछ ऐसा है। लगभग एक-तिहाई प्रश्न मूल बातों के हैं। इनमें इकाई बदलना, औसत चाल, देर से या जल्दी पहुँचना, चाल और समय के अनुपात और ठहराव (stoppage) आते हैं, और ऐसी यात्राएँ भी, जिनका कुछ हिस्सा पैदल तय होता है। लगभग इतने ही प्रश्न सापेक्ष चाल (relative speed) के हैं। इनमें लोगों का मिलना, पीछा करना, आगे निकलना और रेलगाड़ी वाले हर तरह के प्रश्न आते हैं। बाकी प्रश्न नाव और धारा (boats and streams), दौड़ और वृत्ताकार पथ (circular track) के हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे प्रश्नों में एक चरण अधिक होता है। टियर 1 में भी इन्हीं बातों पर छोटे प्रश्न आते हैं, इसलिए इन्हें भी ज़रूर कीजिए।

हर प्रश्न शुरू करने से पहले एक ही इकाई तय कर लीजिए। चाल किमी/घंटा में ले रहे हैं, तो समय घंटे में रखिए, और मीटर/सेकंड में ले रहे हैं, तो सेकंड में। फिर बीच में इकाई मत बदलिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक साइकिल सवार 13.5 किमी की दूरी 45 मिनट में तय करती है। उसकी चाल मीटर/सेकंड में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 45 मिनट घंटे का $\frac{3}{4}$ होता है। तो चाल = 13.5 ÷ $\frac{3}{4}$ = 18 किमी/घंटा। इसे मीटर/सेकंड में बदलने के लिए 18 × $\frac{5}{18}$ करते हैं, और 5 मीटर/सेकंड आ जाता है।

प्रश्न 2

कस्बे A और B एक-दूसरे से 297 किमी दूर हैं। एक कार पूर्वाह्न 8 बजे 45 किमी/घंटा की चाल से A से चलती है, और दूसरी कार पूर्वाह्न 9 बजे 63 किमी/घंटा की चाल से B से A की ओर चलती है। दोनों कारें कब और कहाँ मिलेंगी?

उत्तर: पूर्वाह्न 9 बजे तक पहली कार अकेली 45 किमी चल चुकी है, तो बीच में 252 किमी बचते हैं। अब दोनों एक-दूसरे की ओर चल रही हैं, इसलिए यह दूरी हर घंटे 45 + 63 = 108 किमी घटती है। समय = 252 ÷ 108 = $2\frac{1}{3}$ घंटे, यानी 2 घंटे 20 मिनट। तो दोनों कारें पूर्वाह्न 11:20 बजे मिलेंगी। तब तक पहली कार 45 + 45 × $\frac{7}{3}$ = 150 किमी चल चुकी होगी, यानी मिलने की जगह A से 150 किमी दूर है। जाँच भी कर लेते हैं। दूसरी कार 63 × $\frac{7}{3}$ = 147 किमी चली, और 150 + 147 = 297।

प्रश्न 3

एक व्यक्ति 4 घंटे में 44 किमी अनुप्रवाह और 3 घंटे में 21 किमी ऊर्ध्वप्रवाह नाव खेकर जाता है। धारा की चाल कितनी है?

उत्तर: अनुप्रवाह (downstream) चाल 44 ÷ 4 = 11 किमी/घंटा है और ऊर्ध्वप्रवाह (upstream) चाल 21 ÷ 3 = 7 किमी/घंटा। धारा की चाल इन दोनों के अंतर का आधा होती है, यानी 2 किमी/घंटा। इसी से व्यक्ति की शांत जल में चाल (speed in still water) भी मिल जाती है। वह दोनों के योग का आधा है, 9 किमी/घंटा।

प्रश्न 4

A और B की चालों का अनुपात 3 : 4 है। एक निश्चित दूरी तय करने में A को B से 30 मिनट अधिक लगते हैं। A को कितना समय लगता है?

उत्तर: दूरी वही है, तो समय चाल के व्युत्क्रम अनुपात में होगा। यानी A और B के समय 4 : 3 हैं। दोनों में 1 भाग का अंतर है, और यही 30 मिनट है। तो A का समय 4 भाग = 120 मिनट = 2 घंटे।

प्रश्न 5

दो रेलगाड़ियाँ एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं, एक P से Q की ओर और दूसरी Q से P की ओर। एक-दूसरे को पार करने के बाद पहली रेलगाड़ी को Q तक पहुँचने में 2 घंटे 15 मिनट लगते हैं और दूसरी रेलगाड़ी को P तक पहुँचने में 4 घंटे लगते हैं। यदि दूसरी रेलगाड़ी की चाल 54 किमी/घंटा है, तो पहली रेलगाड़ी की चाल कितनी है?

उत्तर: मिलने के बाद वाले समयों से चालों का अनुपात निकलता है। पहली की चाल : दूसरी की चाल = $\sqrt{4 : 2.25}$ = 2 : 1.5 = 4 : 3। पार होने के बाद पहली रेलगाड़ी को कम समय लगा, तो वही तेज़ है। उसकी चाल = 54 × $\frac{4}{3}$ = 72 किमी/घंटा। यह भी निकाल सकते हैं कि दोनों चलने के $\sqrt{2.25 \times 4}$ = 3 घंटे बाद एक-दूसरे को पार करती हैं। तो P और Q के बीच की दूरी (72 + 54) × 3 = 378 किमी है।

प्रश्न 6

रमेश 14 किमी/घंटा की चाल से एक गाँव जाता है और 10 किमी/घंटा की चाल से वापस आता है। पूरी यात्रा में 6 घंटे लगते हैं। गाँव कितनी दूर है?

उत्तर: गाँव की दूरी D किमी मान लेते हैं। जाने और लौटने का समय जोड़ें, तो $\frac{D}{14} + \frac{D}{10} = 6$। पूरे समीकरण को 70 से गुणा करने पर 5D + 7D = 420 आता है, तो D = 35 किमी। देख लीजिए, जाने में 2.5 घंटे लगते हैं और लौटने में 3.5 घंटे, कुल 6 घंटे।

प्रश्न 7

शांत जल में एक नाव की चाल 14 किमी/घंटा है और धारा 6 किमी/घंटा की चाल से बहती है। नाव को 30 किमी अनुप्रवाह जाने और वापस आने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: अनुप्रवाह चाल 14 + 6 = 20 किमी/घंटा है, तो जाने में 1.5 घंटे लगेंगे। ऊर्ध्वप्रवाह चाल 14 − 6 = 8 किमी/घंटा है, तो लौटने में 3.75 घंटे। कुल 5.25 घंटे लगेंगे, यानी 5 घंटे 15 मिनट। कई लोग दोनों ओर 14 किमी/घंटा ही ले लेते हैं और $4\frac{2}{7}$ घंटे लिख देते हैं। यह बहुत कम है, क्योंकि इसमें धारा का असर छूट गया।

प्रश्न 8

एक चोर अपराह्न 3:10 बजे एक कार चुराता है और 42 किमी/घंटा की चाल से भाग जाता है। चोरी का पता अपराह्न 3:50 बजे चलता है, और कार का मालिक दूसरी कार से 56 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। मालिक चोर को किस समय पकड़ेगा?

उत्तर: चोरी का पता 40 मिनट बाद चला। इन 40 मिनट में चोर 42 × $\frac{2}{3}$ = 28 किमी आगे निकल गया। मालिक हर घंटे उसके 14 किमी पास आता है, तो उसे पकड़ने में 28 ÷ 14 = 2 घंटे लगेंगे। यानी 3:50 के 2 घंटे बाद, सायं 5:50 बजे मालिक चोर को पकड़ लेगा। उत्तर सही है या नहीं, यह दूरी से पता चल जाता है। चोर 42 किमी/घंटा पर $2\frac{2}{3}$ घंटे चला और मालिक 56 किमी/घंटा पर 2 घंटे, तो दोनों की दूरी 112 किमी आती है।

प्रश्न 9

एक कार किसी यात्रा का पहला 40% भाग 32 किमी/घंटा की चाल से और शेष भाग 48 किमी/घंटा की चाल से तय करती है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल कितनी है?

उत्तर: पूरी यात्रा 100 किमी मान लेते हैं। पहले 40 किमी में $\frac{40}{32} = \frac{5}{4}$ घंटे लगे, और बाकी 60 किमी में $\frac{60}{48} = \frac{5}{4}$ घंटे। तो 100 किमी में $\frac{5}{2}$ घंटे लगे, और औसत चाल = 100 × $\frac{2}{5}$ = 40 किमी/घंटा। यहाँ दोनों भागों में समय बराबर लगा है, इसीलिए 32 और 48 का सादा औसत भी 40 ही आता है। याद रखिए, सादा औसत तभी सही होता है जब समय बराबर हो।

प्रश्न 10

एक व्यक्ति शांत जल में 9 किमी/घंटा की चाल से नाव चला सकता है। किसी दूरी को ऊर्ध्वप्रवाह तय करने में उसे उतनी ही दूरी को अनुप्रवाह तय करने की तुलना में दोगुना समय लगता है। धारा की चाल कितनी है?

उत्तर: धारा की चाल s किमी/घंटा मान लेते हैं। एक ही दूरी में दोगुना समय लगने का मतलब है आधी चाल। यानी अनुप्रवाह चाल, ऊर्ध्वप्रवाह चाल की दोगुनी है। तो 9 + s = 2(9 − s), जिससे 3s = 9 आता है और धारा की चाल 3 किमी/घंटा निकलती है। अब अनुप्रवाह चाल 12 किमी/घंटा हुई और ऊर्ध्वप्रवाह चाल 6 किमी/घंटा, जो ठीक आधी है।

प्रश्न 11

एक पुलिसकर्मी अपने से 250 मीटर आगे एक चोर को देखता है और उसका पीछा करना शुरू कर देता है। चोर 9 किमी/घंटा की चाल से और पुलिसकर्मी 14 किमी/घंटा की चाल से दौड़ता है। पकड़े जाने तक चोर कितनी दूरी दौड़ चुका होगा?

उत्तर: दोनों के बीच की दूरी 5 किमी/घंटा की दर से घटती है, और चोर 9 किमी/घंटा से दौड़ रहा है। तो जितने समय में यह 250 मीटर का अंतर ख़त्म होता है, उतने में चोर उसका $\frac{9}{5}$ गुना दौड़ लेता है। चोर की दूरी = 250 × $\frac{9}{5}$ = 450 मीटर। पुलिसकर्मी को इससे 250 मीटर अधिक, यानी 700 मीटर दौड़ना पड़ता है।

प्रश्न 12

एक बस 2 घंटे 42 किमी/घंटा की चाल से और फिर 4 घंटे 54 किमी/घंटा की चाल से चलती है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल कितनी है?

उत्तर: बस ने कुल 84 + 216 = 300 किमी तय किए, और इसमें 6 घंटे लगे। तो औसत चाल 50 किमी/घंटा है। जल्दबाज़ी में लोग सादा औसत 48 किमी/घंटा लिख देते हैं, जो यहाँ गलत है। बस 54 किमी/घंटा पर दोगुने समय तक चली है, इसलिए औसत 54 के ज़्यादा पास आता है।

प्रश्न 13

250 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी, उसी दिशा में 5 किमी/घंटा की चाल से पैदल चल रहे एक व्यक्ति को 18 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की चाल कितनी है?

उत्तर: व्यक्ति को पार करने में रेलगाड़ी उससे अपनी लंबाई जितना आगे निकलती है। तो सापेक्ष चाल = 250 ÷ 18 = $\frac{125}{9}$ मीटर/सेकंड। किमी/घंटा में यह $\frac{125}{9}$ × $\frac{18}{5}$ = 50 किमी/घंटा है। व्यक्ति उसी दिशा में चल रहा है, तो रेलगाड़ी की चाल = 50 + 5 = 55 किमी/घंटा।

प्रश्न 14 [Tier 2]

एक नाव 6 घंटे में 24 किमी ऊर्ध्वप्रवाह और 36 किमी अनुप्रवाह जाती है। वह 6 घंटे 30 मिनट में 36 किमी ऊर्ध्वप्रवाह और 24 किमी अनुप्रवाह जाती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लेते हैं कि ऊर्ध्वप्रवाह में हर किमी पर p घंटे लगते हैं और अनुप्रवाह में q घंटे। तब 24p + 36q = 6 और 36p + 24q = 6.5। दोनों को जोड़ने पर 60(p + q) = 12.5 आता है, और दूसरे में से पहला घटाने पर 12(p − q) = 0.5। इनसे p + q = $\frac{5}{24}$ और p − q = $\frac{1}{24}$, तो p = $\frac{1}{8}$ और q = $\frac{1}{12}$। मतलब ऊर्ध्वप्रवाह चाल 8 किमी/घंटा है और अनुप्रवाह चाल 12 किमी/घंटा। तो शांत जल में नाव की चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा।

प्रश्न 15

5 किमी/घंटा की चाल से पैदल चलने पर एक लड़का स्कूल 8 मिनट देर से पहुँचता है। 8 किमी/घंटा की चाल से जॉगिंग करने पर वह 10 मिनट जल्दी पहुँचता है। स्कूल कितनी दूर है?

उत्तर: एक बार वह देर से पहुँचता है और एक बार जल्दी, तो दोनों समयों का अंतर 8 + 10 = 18 मिनट है, यानी $\frac{3}{10}$ घंटा। अब सूत्र से दूरी = $\frac{5 \times 8 \times \frac{3}{10}}{8 - 5}$ = 4 किमी। 4 किमी जाने में 5 किमी/घंटा पर 48 मिनट लगते हैं और 8 किमी/घंटा पर 30 मिनट। सही समय 40 मिनट है, तो एक बार 8 मिनट देर हुई और एक बार 10 मिनट जल्दी, जैसा प्रश्न में दिया है।

प्रश्न 16

एक रेलगाड़ी 120 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को 18 सेकंड में और 270 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को 24 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की लंबाई कितनी है?

उत्तर: दूसरा प्लेटफ़ॉर्म 150 मीटर अधिक लंबा है, और उसमें 6 सेकंड अधिक लगते हैं। यानी रेलगाड़ी 6 सेकंड में 150 मीटर चलती है, तो उसकी चाल 25 मीटर/सेकंड (90 किमी/घंटा) है। 18 सेकंड में रेलगाड़ी 450 मीटर चलती है, और यह उसकी अपनी लंबाई और 120 मीटर का जोड़ है। तो रेलगाड़ी की लंबाई 330 मीटर है। दूसरे प्लेटफ़ॉर्म से मिलान कर लीजिए। 330 + 270 = 600 मीटर, जो 25 मीटर/सेकंड से ठीक 24 सेकंड में तय होता है।

प्रश्न 17

500 मीटर की एक दौड़ में A, B को 40 मीटर की बढ़त देता है और फिर भी उसे 20 मीटर से हरा देता है। उनकी चालों का अनुपात कितना है?

उत्तर: B को 40 मीटर की बढ़त (head start) मिली है, तो उसे केवल 460 मीटर दौड़ना है। फिर भी जब A दौड़ पूरी करता है, तब B 20 मीटर पीछे रह जाता है। मतलब A के 500 मीटर के समय में B 440 मीटर ही दौड़ पाता है। तो A : B = 500 : 440 = 25 : 22।

प्रश्न 18

अपनी सामान्य चाल के $\frac{4}{7}$ से चलने पर एक रेलगाड़ी 45 मिनट देर से पहुँचती है। इस यात्रा में रेलगाड़ी का सामान्य समय कितना है?

उत्तर: चाल सामान्य चाल का $\frac{4}{7}$ हो, तो समय सामान्य समय का $\frac{7}{4}$ हो जाता है। यानी देरी सामान्य समय का $\frac{3}{4}$ है। अब सामान्य समय का $\frac{3}{4}$ = 45 मिनट, तो सामान्य समय 60 मिनट है, यानी 1 घंटा।

प्रश्न 19

175 मीटर और 225 मीटर लंबी दो रेलगाड़ियाँ समानांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। वे एक-दूसरे को 16 सेकंड में पूरी तरह पार कर लेती हैं। एक रेलगाड़ी की चाल 54 किमी/घंटा है। दूसरी रेलगाड़ी की चाल कितनी है?

उत्तर: एक-दूसरे को पूरी तरह पार करने के लिए दोनों लंबाइयाँ मिलाकर 400 मीटर तय करनी होती हैं। इसमें 16 सेकंड लगे, तो सापेक्ष चाल 25 मीटर/सेकंड, यानी 90 किमी/घंटा है। दिशाएँ विपरीत हैं, इसलिए यह दोनों चालों का जोड़ है। अब दूसरी रेलगाड़ी की चाल = 90 − 54 = 36 किमी/घंटा।

प्रश्न 20

एक हवाई जहाज़ 720 किमी की उड़ान भरता है। तूफ़ान के कारण उसकी चाल 120 किमी/घंटा कम हो जाती है, और उड़ान में 1 घंटा अधिक लगता है। उड़ान का सामान्य समय कितना है?

उत्तर: सामान्य चाल x किमी/घंटा मान लेते हैं। तब x(x − 120) = $\frac{720 \times 120}{1}$ = 86,400 आता है। अब ऐसी दो संख्याएँ खोजनी हैं, जिनका अंतर 120 हो और गुणनफल 86,400। 360 × 240 = 86,400, तो सामान्य चाल 360 किमी/घंटा है। सामान्य समय = 720 ÷ 360 = 2 घंटे। घटी हुई चाल, 240 किमी/घंटा, पर उड़ान 3 घंटे की होती है, यानी 1 घंटा अधिक।

प्रश्न 21

1.5 किमी की एक दौड़ में A, B को 75 मीटर या 15 सेकंड से हराता है। A को यह दौड़ पूरी करने में कितना समय लगता है?

उत्तर: B आख़िरी 75 मीटर 15 सेकंड में दौड़ता है, तो उसकी चाल 5 मीटर/सेकंड है। पूरी दौड़ 1,500 मीटर की है, तो B को 1,500 ÷ 5 = 300 सेकंड लगते हैं। A उससे 15 सेकंड कम लेता है, यानी 285 सेकंड = 4 मिनट 45 सेकंड।

प्रश्न 22 [Tier 2]

एक रेलगाड़ी, अपनी ही दिशा में पैदल चल रहे दो व्यक्तियों को, जिनकी चालें 3 किमी/घंटा और 6 किमी/घंटा हैं, क्रमशः 12 सेकंड और 13 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की चाल और लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेलगाड़ी की चाल v मीटर/सेकंड मान लेते हैं। मीटर/सेकंड में दोनों व्यक्तियों की चालें $\frac{5}{6}$ और $\frac{5}{3}$ हैं। रेलगाड़ी की लंबाई दोनों तरह से लिखकर बराबर रखते हैं, $12(v - \frac{5}{6}) = 13(v - \frac{5}{3})$। इससे 12v − 10 = 13v − $\frac{65}{3}$, तो v = $\frac{35}{3}$ मीटर/सेकंड = 42 किमी/घंटा। लंबाई = 12 × ($\frac{35}{3} - \frac{5}{6}$) = 12 × $\frac{65}{6}$ = 130 मीटर। दूसरे व्यक्ति से भी यही आता है, 13 × ($\frac{35}{3} - \frac{5}{3}$) = 13 × 10 = 130।

प्रश्न 23

ठहराव रहित एक बस की चाल 70 किमी/घंटा है और ठहराव सहित उसकी औसत चाल 63 किमी/घंटा है। बस प्रति घंटे कितने मिनट रुकती है?

उत्तर: ठहराव के कारण चाल 7 किमी/घंटा कम हो जाती है। तो रुकने का समय = $\frac{7}{70}$ × 60 = 6 मिनट प्रति घंटा। इसे ऐसे भी समझ सकते हैं। बस हर घंटे 63 किमी जाती है, और 70 किमी/घंटा की चाल से इसके लिए उसे 54 मिनट चलना पड़ता है। बाकी 6 मिनट वह रुकी रहती है।

प्रश्न 24

300 मीटर की एक दौड़ में A, B को 30 मीटर से हराता है। 300 मीटर की एक अन्य दौड़ में B, C को 20 मीटर से हराता है। 300 मीटर की दौड़ में A, C को कितने मीटर से हराएगा?

उत्तर: A के 300 मीटर दौड़ने तक B 270 मीटर दौड़ता है। B के 300 मीटर पर C 280 मीटर दौड़ता है, तो B के 270 मीटर पर C 270 × $\frac{280}{300}$ = 252 मीटर दौड़ता है। मतलब A, C को 48 मीटर से हराता है। 30 और 20 को सीधे जोड़कर 50 मीटर मत लिखिए।

प्रश्न 25

किसी किले तक पैदल जाने और सवारी से वापस आने में 6 घंटे 45 मिनट लगते हैं। दोनों ओर पैदल जाने-आने में 9 घंटे 30 मिनट लगते हैं। दोनों ओर सवारी से जाने-आने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: दोनों ओर पैदल 9 घंटे 30 मिनट लगते हैं, तो एक ओर पैदल इसका आधा, यानी 4 घंटे 45 मिनट। एक ओर सवारी से = 6 घंटे 45 मिनट − 4 घंटे 45 मिनट = 2 घंटे। तो दोनों ओर सवारी से 4 घंटे लगेंगे।

प्रश्न 26 [Tier 2]

दो रेलगाड़ियाँ प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े एक व्यक्ति को क्रमशः 30 सेकंड और 18 सेकंड में पार करती हैं। विपरीत दिशाओं में चलते हुए वे एक-दूसरे को 26 सेकंड में पार करती हैं। उनकी चालों का अनुपात कितना है?

उत्तर: दोनों रेलगाड़ियों की चालें x और y मान लेते हैं। खड़े व्यक्ति को पार करने में रेलगाड़ी केवल अपनी लंबाई चलती है, तो लंबाइयाँ 30x और 18y हैं। एक-दूसरे को पार करते समय दोनों लंबाइयाँ x + y की चाल से तय होती हैं, तो $\frac{30x + 18y}{x + y} = 26$। इससे 30x + 18y = 26x + 26y, यानी 4x = 8y, और x : y = 2 : 1। एक छोटा रास्ता भी है। (26 − 18) : (30 − 26) = 8 : 4, और इससे भी यही उत्तर आता है।

प्रश्न 27

A, B से $2\frac{1}{4}$ गुना तेज़ दौड़ता है। यदि A, B को 100 मीटर की बढ़त देता है, तो दौड़ कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि दोनों एक साथ दौड़ पूरी करें?

उत्तर: दौड़ की लंबाई L मीटर मान लेते हैं। चालों का अनुपात A : B = 9 : 4 है। दोनों को एक साथ पहुँचना है, यानी यह बराबरी पर समाप्त दौड़ (dead heat) होनी चाहिए। तो जितने समय में A पूरे L मीटर दौड़ता है, उतने में B को L − 100 मीटर दौड़ना है। तो $\frac{L}{L - 100} = \frac{9}{4}$। इससे 4L = 9L − 900, और L = 180 मीटर। उत्तर रखकर देखिए। A के 180 मीटर के समय में B 80 मीटर दौड़ता है, और 180 : 80 = 9 : 4 ही है।

प्रश्न 28

कार A, कार B की चाल के $\frac{5}{4}$ से चलती है और 210 किमी की दूरी तय करने में उसे कार B से 1 घंटा 24 मिनट कम लगते हैं। कार A की चाल कितनी है?

उत्तर: चालें 5 : 4 हैं, तो समय 4 : 5 होंगे। दोनों में 1 भाग का अंतर है, जो 1 घंटा 24 मिनट, यानी 84 मिनट है। तो B का समय 420 मिनट = 7 घंटे है, और A का 5 घंटे 36 मिनट। B की चाल = 210 ÷ 7 = 30 किमी/घंटा, तो A की चाल = 30 × $\frac{5}{4}$ = 37.5 किमी/घंटा।

प्रश्न 29

दो कारें एक ही स्थान से एक ही समय पर एक ही दिशा में 52 किमी/घंटा और 65 किमी/घंटा की चाल से चलती हैं। कितने समय बाद उनके बीच की दूरी 39 किमी होगी?

उत्तर: दोनों एक ही दिशा में चल रही हैं, तो उनके बीच का अंतर हर घंटे 65 − 52 = 13 किमी बढ़ता है। 39 किमी का अंतर होने में 39 ÷ 13 = 3 घंटे लगेंगे।

प्रश्न 30

दो धावक 1.8 किमी लंबे एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और विपरीत दिशाओं में 7.2 किमी/घंटा और 10.8 किमी/घंटा की चाल से दौड़ते हैं। कितने समय बाद वे पहली बार मिलेंगे?

उत्तर: धावक विपरीत दिशाओं में दौड़ रहे हैं, तो चालें जुड़ती हैं। 7.2 + 10.8 = 18 किमी/घंटा, यानी 5 मीटर/सेकंड। पहली बार मिलने के लिए दोनों को मिलकर एक चक्कर (lap) पूरा करना है, जो 1,800 मीटर का है। इसमें 360 सेकंड लगेंगे, यानी 6 मिनट।

प्रश्न 31 [Tier 2]

चलने के दो घंटे बाद एक रेलगाड़ी के साथ दुर्घटना हो जाती है और वह अपनी चाल के $\frac{3}{5}$ से आगे चलती है। वह 1 घंटा 20 मिनट देर से पहुँचती है। यदि दुर्घटना 40 किमी और आगे जाकर हुई होती, तो वह केवल 1 घंटा देर से पहुँचती। रेलगाड़ी की सामान्य चाल और यात्रा की कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चाल $\frac{3}{5}$ रह जाए, तो हर हिस्से में सामान्य समय का $\frac{5}{3}$ लगता है। मतलब जितनी देरी होती है, वह दुर्घटना के बाद वाले हिस्से के सामान्य समय का $\frac{2}{3}$ है। दुर्घटना 40 किमी आगे होती, तो देरी 20 मिनट कम होती। यानी उन 40 किमी के सामान्य समय का $\frac{2}{3}$ = 20 मिनट, तो 40 किमी का सामान्य समय 30 मिनट है और सामान्य चाल 80 किमी/घंटा। अब पहली स्थिति देखिए। यहाँ देरी 1 घंटा 20 मिनट, यानी 80 मिनट है। तो दुर्घटना के बाद वाले हिस्से के सामान्य समय का $\frac{2}{3}$ = 80 मिनट, यानी उस हिस्से का सामान्य समय 2 घंटे है। 80 किमी/घंटा से 2 घंटे में 160 किमी, तो दुर्घटना के बाद 160 किमी बचे थे। दुर्घटना से पहले भी रेलगाड़ी 80 किमी/घंटा पर 2 घंटे चली थी, यानी 160 किमी। तो पूरी यात्रा 160 + 160 = 320 किमी की है।

प्रश्न 32

एक व्यक्ति 15 किमी/घंटा की चाल से साइकिल चलाते हुए एक गाँव से निकलता है। दो घंटे बाद उसका मित्र मोटरसाइकिल से उसके पीछे निकलता है और गाँव से 50 किमी की दूरी पर उससे आगे निकल जाता है। मोटरसाइकिल की चाल कितनी है?

उत्तर: 50 किमी वाले बिंदु तक पहुँचने में साइकिल सवार को 50 ÷ 15 = $3\frac{1}{3}$ घंटे लगे। मित्र 2 घंटे बाद चला था, तो उसने वही 50 किमी $1\frac{1}{3}$ घंटे में तय किए। मोटरसाइकिल की चाल = 50 ÷ $\frac{4}{3}$ = 37.5 किमी/घंटा।

प्रश्न 33

A, B और C एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और एक चक्कर पूरा करने में क्रमशः 36 सेकंड, 48 सेकंड और 54 सेकंड लेते हैं। कितने समय बाद तीनों पहली बार आरंभ बिंदु पर एक साथ होंगे?

उत्तर: यहाँ 36, 48 और 54 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) चाहिए, जिसे छोटे में ल.स. लिखते हैं। 36 = $2^2 \times 3^2$, 48 = $2^4 \times 3$ और 54 = $2 \times 3^3$। तो ल.स. = $2^4 \times 3^3$ = 432। मतलब 432 सेकंड बाद, यानी 7 मिनट 12 सेकंड बाद तीनों आरंभ बिंदु पर एक साथ होंगे।

प्रश्न 34

एक व्यक्ति 50 किमी/घंटा की चाल से गाड़ी चलाकर P से Q तक जाता है। वापसी में उसे किस चाल से गाड़ी चलानी होगी, ताकि आने-जाने की पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल 60 किमी/घंटा हो?

उत्तर: यहाँ सूत्र सीधे लग जाता है। वापसी की चाल = $\frac{60 \times 50}{2 \times 50 - 60} = \frac{3000}{40}$ = 75 किमी/घंटा। दोनों चालें रखकर औसत निकालें, तो $\frac{2 \times 50 \times 75}{125}$ = 60 आता है। कई लोग 60 को सादा औसत मानकर 70 किमी/घंटा लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 35

दो रेलगाड़ियाँ एक ही दिशा में 80 किमी/घंटा और 62 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। तेज़ रेलगाड़ी, धीमी रेलगाड़ी में बैठे एक व्यक्ति को 24 सेकंड में पार करती है। तेज़ रेलगाड़ी की लंबाई कितनी है?

उत्तर: व्यक्ति धीमी रेलगाड़ी में बैठा है, तो वह भी उसी की चाल से चल रहा है। तेज़ रेलगाड़ी उससे 80 − 62 = 18 किमी/घंटा, यानी 5 मीटर/सेकंड की दर से आगे बढ़ती है। उसे पार करने में तेज़ रेलगाड़ी को केवल अपनी लंबाई तय करनी है। तो लंबाई = 5 × 24 = 120 मीटर।

प्रश्न 36 [Tier 2]

A और B एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं और 9 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ते हैं। यदि वे विपरीत दिशाओं में दौड़ें, तो पथ पर कितने अलग-अलग बिंदुओं पर मिलेंगे? यदि वे एक ही दिशा में दौड़ें, तो कितने बिंदुओं पर मिलेंगे?

उत्तर: पहले चालों का अनुपात सबसे छोटे रूप में लाते हैं, 9 : 6 = 3 : 2। विपरीत दिशाओं में दौड़ें, तो 3 + 2 = 5, यानी मिलने के 5 बिंदु होंगे। एक ही दिशा में दौड़ें, तो 3 − 2 = 1, यानी मिलने का 1 बिंदु होगा, और वह आरंभ बिंदु ही है। 9 + 6 = 15 बिंदु मत मान लीजिए। पहले अनुपात को छोटा करना ज़रूरी है। 5 ही क्यों आता है, यह भी समझ लीजिए। विपरीत दिशाओं में दौड़ते हुए वे तब-तब मिलते हैं, जब-जब दोनों मिलकर एक चक्कर पूरा करते हैं, और उस चक्कर का $\frac{3}{5}$ भाग A दौड़ता है। तो हर बार वे पिछली मिलने की जगह से $\frac{3}{5}$ चक्कर आगे मिलते हैं, और 5 बार मिलने के बाद ही फिर आरंभ बिंदु पर पहुँचते हैं।