सापेक्ष चाल, पीछा और रेलगाड़ियाँ

सापेक्ष चाल: एक ही दिशा और विपरीत दिशा

जब दो चीज़ें एक साथ चल रही हों, तो असली बात यह होती है कि उनके बीच की दूरी कितनी तेज़ी से बदल रही है। दूरी बदलने की इसी दर को सापेक्ष चाल (relative speed) कहते हैं। इसके दो सीधे नियम हैं।

• दोनों विपरीत दिशा में चल रहे हों, चाहे एक-दूसरे की ओर या एक-दूसरे से दूर, तो बीच की दूरी चालों के योग की दर से बदलती है।
• दोनों एक ही दिशा में चल रहे हों, तो बीच की दूरी चालों के अंतर की दर से बदलती है।

समय निकालने के लिए जितनी दूरी पाटनी है या जितनी बढ़नी है, उसे सापेक्ष चाल से भाग दीजिए।

$$\text{समय} = \frac{\text{पाटी जाने वाली या बढ़ने वाली दूरी}}{\text{सापेक्ष चाल}}$$

एक-दूसरे की ओर चलने वाला उदाहरण पहले लेते हैं। दो कारें 210 किमी दूर हैं। एक 40 किमी/घंटा की चाल से और दूसरी 30 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। हर घंटे उनके बीच की दूरी 70 किमी घटती है, तो वे 210 ÷ 70 = 3 घंटे बाद मिलेंगी। जाँच भी कर लीजिए। 3 घंटे में पहली कार 120 किमी चलती है और दूसरी 90 किमी, और 120 + 90 = 210।

एक-दूसरे से दूर जाते समय भी चालें जुड़ती हैं। मान लीजिए यही दोनों कारें एक ही जगह से विपरीत दिशाओं में चल पड़ती हैं। तो $2\frac{1}{2}$ घंटे बाद उनके बीच की दूरी 70 × $2\frac{1}{2}$ = 175 किमी होगी।

एक ही दिशा में चलने पर चालों का अंतर लिया जाता है। अब दोनों कारें एक ही जगह से एक ही दिशा में चलें, तो उनके बीच की दूरी हर घंटे 40 − 30 = 10 किमी ही बढ़ेगी। $2\frac{1}{2}$ घंटे बाद वे केवल 25 किमी दूर होंगी।

इकाइयों के नियम यहाँ भी वही हैं, क्योंकि सापेक्ष चाल भी आख़िर एक चाल ही है। ये नियम "चाल, दूरी और समय की मूल बातें" वाले खंड में आ चुके हैं। जैसे जॉगिंग करते दो लोग 1.2 किमी दूर हैं। एक 7 किमी/घंटा की चाल से और दूसरा 8 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर दौड़ता है। दूरी 15 किमी/घंटा की दर से घटती है, तो वे 1.2 ÷ 15 = $\frac{2}{25}$ घंटे बाद मिलेंगे। इसे मिनट में बदलें, तो 4.8 मिनट आता है, यानी 4 मिनट 48 सेकंड।

मिलने से एक घंटा पहले की दूरी भी पूछी जाती है। प्रश्न ऐसा होता है, "मिलने से 1 घंटा पहले दोनों कारों के बीच कितनी दूरी होगी?" यहाँ शुरू की दूरी से कोई मतलब ही नहीं है। आख़िरी घंटे में दोनों कारें मिलकर ठीक उतनी दूरी पाटती हैं, जितनी सापेक्ष चाल से एक घंटे में तय होती है। तो ऊपर वाली कारें मिलने से 1 घंटा पहले 70 किमी दूर होंगी। इसी तरह मिलने से पंद्रह मिनट पहले वे 70 × $\frac{1}{4}$ = 17.5 किमी दूर होंगी।

दूरी पट जाने के बाद क्या होता है, यह भी समझ लीजिए। एक ही दिशा में चलते हुए तेज़ वाला जैसे ही धीमे वाले के बराबर पहुँचता है, दूरी फिर उसी दर से बढ़ने लगती है। मान लीजिए धीमी कार 30 किमी आगे है और यह दूरी 10 किमी/घंटा की दर से घट रही है। 3 घंटे बाद दोनों बराबर हो जाएँगी, और 5 घंटे बाद तेज़ कार 20 किमी आगे होगी।

सापेक्ष चाल कई तरह के प्रश्नों में लगती है। दो छोरों से चलकर मिलना, पीछा करना, रेलगाड़ी का किसी व्यक्ति या दूसरी रेलगाड़ी को पार करना, ये सब सापेक्ष चाल के ही प्रश्न हैं। आगे इन्हीं को एक-एक करके देखते हैं।

दो छोरों से मिलना: कब और कहाँ

यह प्रश्न देखिए। "P और Q के बीच की दूरी 300 किमी है। A, P से Q की ओर 45 किमी/घंटा की चाल से चलता है, और उसी समय B, Q से P की ओर 55 किमी/घंटा की चाल से चलता है।" इसमें दो बातें पूछी जा सकती हैं। दोनों कब मिलेंगे, और कहाँ मिलेंगे।

कब मिलेंगे, यह सापेक्ष चाल से निकलता है। दोनों एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं, तो दूरी 45 + 55 = 100 किमी/घंटा की दर से घटती है। वे 300 ÷ 100 = 3 घंटे बाद मिलेंगे।

कहाँ मिलेंगे, इसके लिए देखिए कि 3 घंटे में A कितना चला। वह 135 किमी चला, तो मिलन बिंदु P से 135 किमी पर है, और Q से 165 किमी पर। यहाँ प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि दूरी किस शहर से पूछी गई है, क्योंकि 165 किमी भी अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

अनुपात से यह और जल्दी होता है। दोनों ने बराबर समय लिया, तो उनकी दूरियाँ चालों के अनुपात में होंगी, यानी 45 : 55 = 9 : 11। मतलब मिलन बिंदु PQ को 9 : 11 में बाँटता है।

$$\text{P से दूरी} = 300 \times \frac{9}{9 + 11} = 135 \text{ किमी}$$

एक बाद में चले, तो पहले यह देखिए कि दूसरे के चलने तक पहला कितना चल चुका है। जैसे, "P और Q के बीच की दूरी 345 किमी है। A, P से पूर्वाह्न 7 बजे 45 किमी/घंटा की चाल से चलता है, और B, Q से पूर्वाह्न 8 बजे 55 किमी/घंटा की चाल से चलता है।" इसे तीन कदमों में हल कीजिए।

• पूर्वाह्न 8 बजे तक A अकेला 45 किमी चल चुका है। अब दोनों के बीच 300 किमी बचे हैं।
• पूर्वाह्न 8 बजे से यह दूरी 100 किमी/घंटा की दर से घटती है। इसमें 3 घंटे लगेंगे, तो दोनों पूर्वाह्न 11 बजे मिलेंगे।
• A ने कुल 4 घंटे गाड़ी चलाई, तो मिलन बिंदु P से 180 किमी पर है। B ने 3 घंटे गाड़ी चलाई, तो वह Q से 165 किमी पर है। 180 + 165 = 345, यानी उत्तर ठीक है।

यहाँ कई छात्र सीधे 345 को 100 से भाग दे देते हैं। वे भूल जाते हैं कि पहले घंटे में A अकेला चला था।

"एक ने x किमी अधिक तय किया" वाले प्रश्न भी आते हैं। जैसे, "दो रेलगाड़ियाँ एक ही समय पर 55 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। जब वे मिलती हैं, तब तक तेज़ रेलगाड़ी, दूसरी से 25 किमी अधिक दूरी तय कर चुकी होती है। दोनों स्टेशनों के बीच कितनी दूरी थी?" दोनों बराबर समय चलती हैं, तो तेज़ रेलगाड़ी हर घंटे दूसरी से 55 − 45 = 10 किमी ज़्यादा चलती है। 25 किमी ज़्यादा होने में $2\frac{1}{2}$ घंटे लगेंगे। इतने समय में दोनों मिलकर 100 × 2.5 = 250 किमी चल चुकी होंगी, और यही स्टेशनों के बीच की दूरी है।

चालें a और b हों और तेज़ वाली x किमी ज़्यादा चले, तो पूरी दूरी D इस सूत्र से भी निकलती है।

$$D = x \times \frac{a + b}{a - b} = 25 \times \frac{100}{10} = 250 \text{ किमी}$$

अनुपात से देखें, तो दूरियाँ 11 : 9 में हैं। इनका अंतर 2 भाग है, जो 25 किमी के बराबर है। पूरी दूरी 20 भाग है, यानी 250 किमी।

घड़ी का समय दिया हो, तो कोई एक क्षण चुनिए और लिखिए कि उस क्षण दोनों कहाँ-कहाँ हैं। फिर उसी क्षण से सापेक्ष चाल लगाइए। ऊपर हमने पूर्वाह्न 8 बजे को लेकर यही किया था। "बाद में चला" वाले लगभग हर प्रश्न में यही एक आदत काम आती है। कभी दोनों साथ चलते हैं, पर एक कुछ देर रुक जाता है। तब भी बीच की दूरी उस क्षण की लीजिए, जब दोनों फिर से चल रहे हों।

मिलने के बाद: वर्गमूल नियम

कुछ प्रश्नों में मिलने का समय नहीं, मिलने के बाद का समय दिया होता है। जैसे, "A और B एक ही समय पर P और Q से एक-दूसरे की ओर चलते हैं। मिलने के बाद A को Q तक पहुँचने में $t_1$ घंटे और लगते हैं, तथा B को P तक पहुँचने में $t_2$ घंटे और।" ऐसे में ये दो सूत्र लगते हैं।

$$\frac{\text{A की चाल}}{\text{B की चाल}} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}} \qquad \text{मिलने से पहले का समय} = \sqrt{t_1 t_2}$$

यह क्यों सही है, इसे एक बार समझ लीजिए। मान लीजिए दोनों T घंटे बाद मिलते हैं और उनकी चालें a और b हैं। मिलने के बाद A को जितना रास्ता बचता है, वह ठीक उतना है जितना B ने मिलने से पहले तय किया था। तो $a t_1 = b T$। इसी तरह $b t_2 = a T$। अब पहले समीकरण को दूसरे से भाग दीजिए। $\frac{a t_1}{b t_2} = \frac{b}{a}$ आता है, यानी $\frac{a^2}{b^2} = \frac{t_2}{t_1}$। भाग की जगह दोनों समीकरणों का गुणा करें, तो $T^2 = t_1 t_2$ मिलता है।

एक उदाहरण लीजिए। मिलने के बाद A को 3 घंटे और लगते हैं, और B को 1 घंटा 20 मिनट, यानी $\frac{4}{3}$ घंटे।

• चालों का अनुपात $\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{4}{3} \div 3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है, यानी A : B = 2 : 3।
• दोनों चलने के $\sqrt{3 \times \frac{4}{3}} = \sqrt{4}$ = 2 घंटे बाद मिले थे।
• मान लीजिए A की चाल 36 किमी/घंटा है। तब B की चाल 54 किमी/घंटा होगी। A ने पूरा रास्ता 2 + 3 घंटे में तय किया, तो PQ = 36 × (2 + 3) = 180 किमी। B की ओर से भी जाँच लीजिए, $54 \times \left(2 + \frac{4}{3}\right) = 54 \times \frac{10}{3}$ = 180।

क्रम पर ध्यान दीजिए। मिलने के बाद जिसे ज़्यादा समय लगता है, वही धीमा होता है। यहाँ वह A है। इसलिए समयों का अनुपात पहले उलटिए, फिर वर्गमूल लीजिए।

अनुपात विधि से देखने पर यह भी समझ आ जाता है कि सूत्र में वर्ग क्यों है। मिलने से पहले दोनों ने बराबर समय लिया, तो मिलने से पहले की दूरियाँ चालों के अनुपात में हैं, यानी 2 : 3। मिलने के बाद हर एक को दूसरे वाला हिस्सा तय करना है। A को 3 भाग तय करने हैं, चाल 2 से। B को 2 भाग तय करने हैं, चाल 3 से। तो मिलने के बाद के समय $\frac{3}{2} : \frac{2}{3}$ = 9 : 4 में हैं, यानी 3 घंटे और $1\frac{1}{3}$ घंटे। वर्ग यहीं से आता है।

[Tier 2] दूसरी बार मिलना भी पूछा जाता है। मान लीजिए दोनों दूसरे छोर पर पहुँचते ही तुरंत लौट पड़ते हैं। पहली बार मिलने तक दोनों मिलकर PQ की दूरी एक बार तय करते हैं। उसके बाद दोबारा मिलने तक वे यही दूरी दो बार और तय करते हैं। यानी दूसरी बार मिलने तक दोनों का कुल रास्ता PQ का 3 गुना होता है।

जैसे PQ = 150 किमी है और चालें 40 और 50 किमी/घंटा हैं। पहली बार वे 150 ÷ 90 = $1\frac{2}{3}$ घंटे बाद मिलेंगे, और दूसरी बार 450 ÷ 90 = 5 घंटे बाद। इतने में A 200 किमी चलता है। वह पूरे 150 किमी चलकर Q तक पहुँचता है और फिर 50 किमी वापस आता है। तो दूसरी बार वे P से 100 किमी पर मिलते हैं। B 250 किमी चलता है, 150 किमी P तक और फिर 100 किमी वापस। वह भी P से 100 किमी पर ही है।

[SSC टिप] इन प्रश्नों में दो गलतियाँ बहुत होती हैं। पहली, वर्गमूल लेना भूल जाना। तब ऊपर वाले उदाहरण में 2 : 3 की जगह 4 : 9 आ जाता है। दूसरी, अनुपात उलटा लिख देना।

दूरी की बढ़त वाला पीछा: पुलिस और चोर

पीछा करने वाले प्रश्नों में दोनों एक ही दिशा में दौड़ते हैं। इसलिए उनके बीच की दूरी चालों के अंतर की दर से घटती है। भागने वाला शुरू में जितना आगे होता है, उसे उसकी बढ़त (head start) कहते हैं। पकड़ने में लगने वाला समय इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{पकड़ने का समय} = \frac{\text{बढ़त}}{\text{तेज़ चाल} - \text{धीमी चाल}}$$

अब यह प्रश्न देखिए। "एक चोर, एक पुलिसकर्मी से 150 मीटर आगे है। चोर 8 किमी/घंटा की चाल से और पुलिसकर्मी 11 किमी/घंटा की चाल से दौड़ता है। चोर कब पकड़ा जाएगा, और तब तक वह कितनी दूरी दौड़ेगा?"

पहले इकाई ठीक कीजिए। दूरी मीटर में है, तो सापेक्ष चाल भी मीटर/सेकंड में चाहिए। सापेक्ष चाल 11 − 8 = 3 किमी/घंटा है, यानी $3 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{6}$ मीटर/सेकंड। अब बाकी हिसाब सीधा है।

• पकड़ने का समय = 150 ÷ $\frac{5}{6}$ = 180 सेकंड, यानी 3 मिनट।
• चोर की चाल 8 किमी/घंटा = $\frac{20}{9}$ मीटर/सेकंड है। 180 सेकंड में वह $\frac{20}{9} \times 180$ = 400 मीटर दौड़ेगा।
• पुलिसकर्मी 400 + 150 = 550 मीटर दौड़ेगा।

अनुपात से यही हिसाब और छोटा हो जाता है। पीछा जितनी देर चलता है, दोनों उतनी ही देर दौड़ते हैं। तो उनकी दूरियाँ चालों के अनुपात में होंगी, यानी 8 : 11। पुलिसकर्मी 3 भाग ज़्यादा दौड़ता है, और ये 3 भाग 150 मीटर की बढ़त के बराबर हैं। तो 1 भाग = 50 मीटर हुआ। चोर 8 × 50 = 400 मीटर दौड़ा और पुलिसकर्मी 11 × 50 = 550 मीटर। इसे एक पंक्ति में भी लिख सकते हैं।

$$\text{चोर की दूरी} = \text{बढ़त} \times \frac{\text{चोर की चाल}}{\text{चालों का अंतर}} = 150 \times \frac{8}{3} = 400 \text{ मीटर}$$

यहाँ इकाई बदलने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी, क्योंकि केवल चालों का अनुपात लगा।

कुछ देर बाद की दूरी भी पूछी जाती है, जैसे "2 मिनट बाद उनके बीच कितनी दूरी होगी?" 120 सेकंड में दूरी $\frac{5}{6} \times 120$ = 100 मीटर घटी, तो बीच में 50 मीटर बचे। पर यह हिसाब तभी तक चलता है जब तक चोर पकड़ा न गया हो। इसलिए पहले देख लीजिए कि पूछा गया समय 3 मिनट से कम है।

चोर को देर से पता चले, तो एक कदम और जुड़ जाता है। जैसे, "एक पुलिसकर्मी 130 मीटर दूर एक चोर को देखता है और 12 किमी/घंटा की चाल से उसके पीछे दौड़ता है। चोर को 15 सेकंड बाद पता चलता है, और तब वह 9 किमी/घंटा की चाल से भागता है।" यहाँ बीच की दूरी उस क्षण की लीजिए, जब दोनों दौड़ रहे हों। 15 सेकंड में पुलिसकर्मी $\frac{10}{3} \times 15$ = 50 मीटर दौड़ चुका है, तो बीच में 80 मीटर बचे। यह दूरी 3 किमी/घंटा, यानी $\frac{5}{6}$ मीटर/सेकंड की दर से घटती है। तो पकड़ने में 96 सेकंड और लगेंगे।

जाँच कर लीजिए। कुल 111 सेकंड में पुलिसकर्मी $\frac{10}{3} \times 111$ = 370 मीटर दौड़ता है। चोर 130 मीटर आगे था और 96 सेकंड तक 2.5 मीटर/सेकंड से दौड़ा, तो वह भी 130 + 2.5 × 96 = 130 + 240 = 370 मीटर पर है।

[SSC टिप] पीछा करने वाले प्रश्नों में दो गलतियाँ आम हैं। पहली, दूरी मीटर में और चालें किमी/घंटा में ही रखकर हिसाब कर देना। तब उत्तर में 3.6 गुने का फ़र्क आ जाता है। दूसरी, चालें घटाने की जगह जोड़ देना। पीछा हो, तो चालें हमेशा घटानी हैं। साथ ही यह भी पढ़ लीजिए कि दूरी किसकी पूछी गई है, चोर की या पुलिसकर्मी की।

समय की बढ़त वाला पीछा: एक ही जगह से दो

अक्सर भागने वाला बस कुछ समय पहले निकल जाता है। ऐसे में समय की बढ़त को पहले दूरी की बढ़त में बदल लीजिए। फिर बाकी हिसाब ऊपर जैसा ही है। हर व्यक्ति ने कितने घंटे गाड़ी चलाई, यह अलग-अलग गिनिए। गलत विकल्प ज़्यादातर दोनों को बराबर घंटे देकर बनाए जाते हैं।

चोर और मालिक वाला यह प्रश्न देखिए। "एक चोर पूर्वाह्न 10:15 बजे एक कार लेकर 48 किमी/घंटा की चाल से भाग जाता है। मालिक को पूर्वाह्न 11 बजे पता चलता है और वह 64 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। चोर कब और कहाँ पकड़ा जाएगा?"

• चोर को 45 मिनट की बढ़त मिली। 48 किमी/घंटा से 45 मिनट में वह 36 किमी आगे निकल गया।
• यह दूरी 64 − 48 = 16 किमी/घंटा की दर से घटती है, तो पकड़ने में $2\frac{1}{4}$ घंटे लगेंगे। चोर अपराह्न 1:15 बजे पकड़ा जाएगा।
• जगह के लिए मालिक को देखिए। वह $2\frac{1}{4}$ घंटे 64 किमी/घंटा से चला, तो शुरुआत की जगह से 144 किमी दूर पहुँचा। चोर की ओर से भी मिलान कर लीजिए। उसने 3 घंटे 48 किमी/घंटा से गाड़ी चलाई, तो वह भी 144 किमी पर है।

एक ही स्टेशन से दो रेलगाड़ियाँ चलें, तब भी यही तरीका है। एक मालगाड़ी पूर्वाह्न 7 बजे 42 किमी/घंटा की चाल से चलती है। उसी स्टेशन से पूर्वाह्न 9 बजे एक एक्सप्रेस समांतर पटरी पर 70 किमी/घंटा की चाल से चलती है।

• पूर्वाह्न 9 बजे तक मालगाड़ी 84 किमी आगे निकल चुकी है।
• यह दूरी 28 किमी/घंटा की दर से घटती है, तो 3 घंटे लगेंगे। एक्सप्रेस दोपहर 12 बजे स्टेशन से 210 किमी दूर मालगाड़ी से आगे निकलेगी।
• उसके बाद दूरी फिर बढ़ने लगती है। अपराह्न 2 बजे एक्सप्रेस 2 × 28 = 56 किमी आगे होगी। उस समय एक्सप्रेस स्टेशन से 350 किमी पर होगी और मालगाड़ी 294 किमी पर।

पीछा करने वाले की चाल भी पूछी जा सकती है। जैसे, "एक कार 54 किमी/घंटा की चाल से एक कस्बे से चलती है। दूसरी कार 1 घंटे बाद उसी सड़क पर कस्बे से चलती है और चलने के 3 घंटे बाद पहली कार को पकड़ लेती है। दूसरी कार की चाल ज्ञात कीजिए।" जिस क्षण दूसरी कार पहली को पकड़ती है, उस क्षण दोनों एक ही जगह पर होती हैं। पहली कार तब तक 4 घंटे चल चुकी है, यानी 216 किमी। दूसरी ने यही 216 किमी 3 घंटे में तय किए, तो उसकी चाल 72 किमी/घंटा है।

अनुपात से भी देखिए। दूरी एक ही है और समय 4 : 3 में हैं, तो चालें 3 : 4 में होंगी। दूसरी कार की चाल = 54 × $\frac{4}{3}$ = 72 किमी/घंटा।

एक ही जगह से विपरीत दिशाओं में दो गाड़ियाँ अलग-अलग समय पर चलें, तो हर एक की अपनी दूरी अलग निकालिए और जोड़ दीजिए। जैसे एक कार पूर्वाह्न 9 बजे पूर्व की ओर 40 किमी/घंटा से चलती है। दूसरी उसी जगह से पूर्वाह्न 10 बजे पश्चिम की ओर 50 किमी/घंटा से चलती है। अपराह्न 1 बजे तक पहली कार 4 घंटे चल चुकी है और दूसरी 3 घंटे। तो दोनों के बीच की दूरी 160 + 150 = 310 किमी है।

रेलगाड़ी: खंभा, व्यक्ति, प्लेटफ़ॉर्म या पुल पार करना

रेलगाड़ी की अपनी लंबाई होती है, इसलिए यहाँ "पार करना" का मतलब बदल जाता है। रेलगाड़ी किसी चीज़ को तभी पार करती है, जब उसका अंतिम डिब्बा भी उस चीज़ से आगे निकल जाए। तो तय की गई दूरी इस तरह गिनते हैं।

जिस चीज़ की लंबाई न दी हो, उसे एक बिंदु मान लीजिए।

खंभा पार करने में रेलगाड़ी केवल अपनी लंबाई तय करती है। जैसे 240 मीटर लंबी रेलगाड़ी 72 किमी/घंटा, यानी 20 मीटर/सेकंड की चाल से चल रही है। वह खंभे को 240 ÷ 20 = 12 सेकंड में पार करेगी।

प्लेटफ़ॉर्म हो, तो उसकी लंबाई भी जोड़िए। यही रेलगाड़ी 360 मीटर लंबे प्लेटफ़ॉर्म को (240 + 360) ÷ 20 = 30 सेकंड में पार करेगी।

रेलगाड़ी की लंबाई अक्सर दो अलग-अलग चीज़ों को पार करने के समय से निकाली जाती है। जैसे, "एक रेलगाड़ी एक खंभे को 15 सेकंड में और 200 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को 25 सेकंड में पार करती है।" प्लेटफ़ॉर्म पर जो 10 सेकंड ज़्यादा लगे, वे प्लेटफ़ॉर्म के 200 मीटर के लिए लगे। तो चाल 20 मीटर/सेकंड है, और रेलगाड़ी 20 × 15 = 300 मीटर लंबी है।

अनुपात से भी देख सकते हैं। समय 15 : 25 = 3 : 5 में हैं, और यही रेलगाड़ी : (रेलगाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म) का अनुपात है। प्लेटफ़ॉर्म 2 भाग है, यानी 200 मीटर, तो रेलगाड़ी 3 भाग, यानी 300 मीटर है।

दो प्लेटफ़ॉर्म दिए हों, तब भी हिसाब इसी तरह होता है। "एक रेलगाड़ी 150 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को 14 सेकंड में और 275 मीटर लंबे दूसरे प्लेटफ़ॉर्म को 19 सेकंड में पार करती है।" दूसरा प्लेटफ़ॉर्म 125 मीटर ज़्यादा लंबा है और उस पर 5 सेकंड ज़्यादा लगे। तो चाल 25 मीटर/सेकंड, यानी 90 किमी/घंटा है। रेलगाड़ी की लंबाई = 25 × 14 − 150 = 200 मीटर।

पुल की लंबाई भी इसी तरह निकलती है। 230 मीटर की रेलगाड़ी 63 किमी/घंटा, यानी 17.5 मीटर/सेकंड से चलती है और पुल को 32 सेकंड में पार करती है। उसने 17.5 × 32 = 560 मीटर तय किए। इसमें उसकी अपनी लंबाई भी शामिल है, तो पुल 560 − 230 = 330 मीटर लंबा है।

[Tier 2] पूरी रेलगाड़ी सुरंग के अंदर कितनी देर रहती है, यह अलग प्रश्न है। मान लीजिए 200 मीटर की रेलगाड़ी 25 मीटर/सेकंड से 700 मीटर लंबी सुरंग से गुज़रती है। इंजन के अंदर जाने से लेकर अंतिम डिब्बे के बाहर निकलने तक 900 ÷ 25 = 36 सेकंड लगते हैं। पर पूरी रेलगाड़ी सुरंग के अंदर तभी होती है, जब अंतिम डिब्बा अंदर आ चुका हो और इंजन अभी बाहर न निकला हो। अंतिम डिब्बे के अंदर जाने से इंजन के बाहर निकलने तक का समय (700 − 200) ÷ 25 = 20 सेकंड है।

[SSC टिप] ऐसे प्रश्नों के विकल्पों में SSC तीन गलत उत्तर हमेशा रखता है। पहला वह, जो रेलगाड़ी की अपनी लंबाई छोड़कर निकलता है। दूसरा वह, जो प्लेटफ़ॉर्म छोड़कर निकलता है। तीसरा वह, जो किमी/घंटा को बिना बदले निकलता है। इसलिए हिसाब शुरू करने से पहले ही लिख लीजिए, "दूरी = रेलगाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म, चाल मीटर/सेकंड में"।

रेलगाड़ी और चलते लोग, कारें या यात्री

रेलगाड़ी किसी चलती चीज़ को पार करे, तो सापेक्ष चाल लगती है। दूरी फिर भी रेलगाड़ी की लंबाई ही रहती है। हाँ, दूसरी चीज़ की भी लंबाई हो, तो वह भी जोड़नी पड़ती है।

पैदल चलते व्यक्ति से शुरू करते हैं। 180 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 57 किमी/घंटा की चाल से चल रही है, और पटरी के पास एक व्यक्ति पैदल चल रहा है।

• व्यक्ति 3 किमी/घंटा की चाल से उसी दिशा में चल रहा हो, तो सापेक्ष चाल 57 − 3 = 54 किमी/घंटा = 15 मीटर/सेकंड है। रेलगाड़ी उसे 180 ÷ 15 = 12 सेकंड में पार करेगी।
• व्यक्ति 3 किमी/घंटा की चाल से रेलगाड़ी की ओर आ रहा हो, तो सापेक्ष चाल 57 + 3 = 60 किमी/घंटा = $\frac{50}{3}$ मीटर/सेकंड है। तब समय 180 ÷ $\frac{50}{3}$ = 10.8 सेकंड होगा।

रेलगाड़ी की चाल पूछी जाए, तो हिसाब उलटी ओर से कीजिए। जैसे, "150 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी, उसी दिशा में 6 किमी/घंटा की चाल से चल रहे एक व्यक्ति को 10 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।" सापेक्ष चाल = 150 ÷ 10 = 15 मीटर/सेकंड = 54 किमी/घंटा। व्यक्ति उसी दिशा में चल रहा है, तो रेलगाड़ी की चाल 54 + 6 = 60 किमी/घंटा है। विकल्पों में 54 किमी/घंटा भी ज़रूर होगा, पर वह तो सापेक्ष चाल ही है।

पटरी के बगल की सड़क पर कार हो और उसकी लंबाई न दी हो, तो उसे पैदल व्यक्ति जैसा ही मानिए। रेलगाड़ी कार से आगे निकल रही हो, तो यह एक ही दिशा वाली स्थिति है। कार सामने से आ रही हो, तो विपरीत दिशा वाली।

रेलगाड़ी में बैठे यात्री वाला प्रश्न ऐसा होता है। "44 किमी/घंटा की चाल से चल रही रेलगाड़ी में बैठा एक यात्री देखता है कि विपरीत दिशा में जा रही 300 मीटर लंबी एक मालगाड़ी 10 सेकंड में उसके पास से गुज़र जाती है।" यहाँ केवल मालगाड़ी की लंबाई लगेगी, क्योंकि यात्री एक बिंदु है। सापेक्ष चाल = 300 ÷ 10 = 30 मीटर/सेकंड = 108 किमी/घंटा। दोनों विपरीत दिशा में हैं, तो मालगाड़ी की चाल 108 − 44 = 64 किमी/घंटा है। अगर मालगाड़ी उसी दिशा में चलते हुए आगे निकलती, तब सापेक्ष चाल में यात्री वाली रेलगाड़ी की चाल जोड़नी पड़ती।

[Tier 2] पैदल चलते दो व्यक्ति हों, तो दोनों बार की दूरी को बराबर रखकर हल निकालते हैं। जैसे, "एक रेलगाड़ी अपनी ही दिशा में 3 किमी/घंटा की चाल से चल रहे एक व्यक्ति को 9 सेकंड में, और अपनी ओर 3 किमी/घंटा की चाल से आ रहे दूसरे व्यक्ति को 8 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की चाल और लंबाई ज्ञात कीजिए।" दोनों बार रेलगाड़ी की लंबाई एक ही है। रेलगाड़ी की चाल s किमी/घंटा मान लीजिए।

$$(s - 3) \times 9 = (s + 3) \times 8 \Rightarrow 9s - 27 = 8s + 24 \Rightarrow s = 51 \text{ किमी/घंटा}$$

अब लंबाई निकालिए। पहले व्यक्ति के साथ सापेक्ष चाल 48 किमी/घंटा है। इसे मीटर/सेकंड में बदलकर 9 सेकंड से गुणा करें, तो लंबाई $\frac{40}{3} \times 9$ = 120 मीटर आती है। दूसरे व्यक्ति से मिलान कर लीजिए। उसके साथ सापेक्ष चाल 54 किमी/घंटा = 15 मीटर/सेकंड है, और 8 सेकंड में भी दूरी 120 मीटर ही आती है।

यहाँ s को किमी/घंटा में ही रखकर हल करना ठीक है, क्योंकि मीटर/सेकंड में बदलने वाला $\frac{5}{18}$ दोनों पक्षों में आकर कट जाता है।

[SSC टिप] कोई भी चलती चीज़ हो, पहले तय कीजिए कि वह रेलगाड़ी की ही दिशा में है या विपरीत दिशा में। फिर सापेक्ष चाल निकालिए, और उसके बाद इकाई बदलिए। आम चूक यह है कि केवल रेलगाड़ी की चाल ले ली जाती है और पैदल व्यक्ति की चाल छोड़ दी जाती है। व्यक्ति धीरे चल रहा हो, तो यह गलत विकल्प सही विकल्प के बहुत पास होता है।

दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करती हैं

दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को तभी पूरी तरह पार करती हैं, जब दोनों के पिछले सिरे भी एक-दूसरे से आगे निकल जाएँ। इसलिए यहाँ दूरी दोनों लंबाइयों का योग होती है, और चाल सापेक्ष चाल।

$$\text{समय} = \frac{L_1 + L_2}{\text{सापेक्ष चाल}}$$

विपरीत दिशाओं में चल रही रेलगाड़ियाँ लीजिए। 150 मीटर की एक रेलगाड़ी 60 किमी/घंटा से चल रही है और 100 मीटर की दूसरी 30 किमी/घंटा से। सापेक्ष चाल 90 किमी/घंटा = 25 मीटर/सेकंड है, तो वे एक-दूसरे को 250 ÷ 25 = 10 सेकंड में पार करेंगी।

एक ही दिशा में यही रेलगाड़ियाँ चल रही हों, तो तेज़ रेलगाड़ी धीमी से आगे निकलती है। अब सापेक्ष चाल 30 किमी/घंटा = $\frac{25}{3}$ मीटर/सेकंड है, और समय 250 ÷ $\frac{25}{3}$ = 30 सेकंड।

लंबाई पूछी जाए, तो उलटा हिसाब लगाइए। सापेक्ष चाल × समय = $L_1 + L_2$ होता है। जैसे दो रेलगाड़ियाँ 50 किमी/घंटा और 40 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर चलती हैं और 14 सेकंड में एक-दूसरे को पार कर लेती हैं। सापेक्ष चाल 25 मीटर/सेकंड है, तो दोनों की लंबाइयाँ मिलाकर 350 मीटर हुईं। एक रेलगाड़ी 150 मीटर की हो, तो दूसरी 200 मीटर की है।

दो बार पार करने के समय से चालों का अनुपात भी निकलता है। मान लीजिए बराबर लंबाई की दो रेलगाड़ियाँ विपरीत दिशाओं में चलते हुए एक-दूसरे को 12 सेकंड में पार करती हैं, और एक ही दिशा में चलते हुए 60 सेकंड में। दोनों बार दूरी एक ही है, तो सापेक्ष चालें समयों के व्युत्क्रम अनुपात में होंगी।

$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{60}{12} = 5 \Rightarrow a + b = 5a - 5b \Rightarrow 4a = 6b \Rightarrow a : b = 3 : 2$$

व्यक्ति को भी और एक-दूसरे को भी पार करने वाला प्रश्न ऐसा होता है। "विपरीत दिशाओं में चल रही दो रेलगाड़ियाँ प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े एक व्यक्ति को 28 सेकंड और 18 सेकंड में पार करती हैं, और एक-दूसरे को 22 सेकंड में। उनकी चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए।" चालें a और b मान लीजिए। तब लंबाइयाँ 28a और 18b होंगी। एक-दूसरे को पार करने में दोनों लंबाइयाँ लगती हैं, तो $28a + 18b = 22(a + b)$, जिससे $6a = 4b$ आता है।

इसका सामान्य सूत्र भी है। रेलगाड़ियाँ व्यक्ति को t1 और t2 समय में पार करें और एक-दूसरे को t3 समय में, तो चालों का अनुपात यह होगा।

$$a : b = (t_3 - t_2) : (t_1 - t_3) = (22 - 18) : (28 - 22) = 4 : 6 = 2 : 3$$

लंबाइयों का अनुपात निकालना हो, तो याद रखिए कि लंबाई = चाल × खंभा पार करने का समय। जैसे रेलगाड़ी A खंभे को 15 सेकंड में और रेलगाड़ी B 20 सेकंड में पार करती है, और उनकी चालें 3 : 2 में हैं। तो लंबाइयाँ (3 × 15) : (2 × 20) = 45 : 40 = 9 : 8 में हैं।

दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर चलती रेलगाड़ियाँ हों, तो यह वही मिलने वाला प्रश्न है, बस लोगों की जगह रेलगाड़ियाँ हैं। वे कब और कहाँ मिलेंगी, इसमें लंबाई का कोई काम नहीं होता। मिलने के बाद के समयों वाला वर्गमूल नियम भी इन पर लगता है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

दो साइकिल सवार एक-दूसरे से 77 किमी दूर हैं। वे क्रमशः 13 किमी/घंटा और 9 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर साइकिल चलाते हैं। कितने समय बाद वे मिलेंगे? (a) 19 घंटे 15 मिनट (b) 3 घंटे 30 मिनट (c) 7 घंटे (d) 3 घंटे 50 मिनट

उत्तर: दोनों एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं, तो दूरी 13 + 9 = 22 किमी/घंटा की दर से घटती है। समय = 77 ÷ 22 = 3.5 घंटे, यानी (b) 3 घंटे 30 मिनट। 3.5 घंटे में एक सवार 45.5 किमी चलता है और दूसरा 31.5 किमी, और 45.5 + 31.5 = 77, तो हिसाब ठीक है। जल्दी में कुछ लोग 3.5 घंटे को 3 घंटे 50 मिनट समझ लेते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

दो बसें एक ही डिपो से एक ही समय पर चलती हैं और 42 किमी/घंटा तथा 57 किमी/घंटा की चाल से एक ही दिशा में जाती हैं। 2 घंटे 20 मिनट बाद उनके बीच कितनी दूरी होगी? (a) 231 किमी (b) 30 किमी (c) 45 किमी (d) 35 किमी

उत्तर: दोनों एक ही दिशा में जा रही हैं, तो दूरी 57 − 42 = 15 किमी/घंटा की दर से बढ़ती है। 2 घंटे 20 मिनट यानी $2\frac{1}{3}$ घंटे में यह दूरी $15 \times \frac{7}{3}$ = (d) 35 किमी हो जाएगी। उस समय एक बस डिपो से 133 किमी पर होगी और दूसरी 98 किमी पर, और 133 − 98 = 35 ही है।

प्रश्न 3

कस्बे A और B के बीच की दूरी 480 किमी है। एक कार 70 किमी/घंटा की चाल से A से B के लिए चलती है, और उसी समय एक बस 50 किमी/घंटा की चाल से B से A के लिए चलती है। वे A से कितनी दूरी पर मिलेंगे? (a) 280 किमी (b) 200 किमी (c) 240 किमी (d) 300 किमी

उत्तर: दूरी 70 + 50 = 120 किमी/घंटा की दर से घटती है, तो दोनों 480 ÷ 120 = 4 घंटे बाद मिलेंगे। इतने में कार 70 × 4 = (a) 280 किमी चलती है, और यही A से दूरी है। बस B से 200 किमी चलती है, और 280 + 200 = 480। अनुपात से भी देख सकते हैं। चालें 7 : 5 में हैं, तो A वाला हिस्सा 480 का $\frac{7}{12}$ है।

प्रश्न 4

स्टेशन P और Q के बीच की दूरी 381 किमी है। एक रेलगाड़ी पूर्वाह्न 8:30 बजे 54 किमी/घंटा की चाल से P से Q के लिए चलती है। दूसरी रेलगाड़ी पूर्वाह्न 10 बजे 66 किमी/घंटा की चाल से Q से P के लिए चलती है। वे किस समय मिलेंगी? (a) अपराह्न 1:10 बजे (b) दोपहर 12:00 बजे (c) अपराह्न 12:30 बजे (d) अपराह्न 1:30 बजे

उत्तर: पूर्वाह्न 10 बजे तक पहली रेलगाड़ी अकेली $1\frac{1}{2}$ घंटे चलकर 81 किमी तय कर चुकी है। अब बची दूरी 381 − 81 = 300 किमी है। पूर्वाह्न 10 बजे से यह दूरी 54 + 66 = 120 किमी/घंटा की दर से घटती है, तो 300 ÷ 120 = $2\frac{1}{2}$ घंटे लगेंगे। यानी दोनों (c) अपराह्न 12:30 बजे मिलेंगी। दोनों की दूरियाँ जोड़कर देख लेते हैं। पहली रेलगाड़ी 4 घंटे में 216 किमी चली और दूसरी $2\frac{1}{2}$ घंटे में 165 किमी, और 216 + 165 = 381। जल्दबाज़ी में लोग पूरे 381 किमी को 120 से भाग दे देते हैं और लगभग अपराह्न 1:10 बजे लिख देते हैं। वे भूल जाते हैं कि पहली रेलगाड़ी पहले से चल रही थी।

प्रश्न 5

दो रेलगाड़ियाँ दो स्टेशनों से एक ही समय पर चलती हैं और 64 किमी/घंटा तथा 56 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं। जब वे मिलती हैं, तब तक तेज़ रेलगाड़ी, दूसरी से 36 किमी अधिक दूरी तय कर चुकी होती है। दोनों स्टेशनों के बीच की दूरी कितनी है? (a) 540 किमी (b) 480 किमी (c) 576 किमी (d) 600 किमी

उत्तर: तेज़ रेलगाड़ी हर घंटे दूसरी से 64 − 56 = 8 किमी ज़्यादा चलती है। 36 किमी ज़्यादा होने में 36 ÷ 8 = 4.5 घंटे लगे। इतने समय में दोनों मिलकर 120 × 4.5 = (a) 540 किमी चल चुकी हैं, और यही स्टेशनों के बीच की दूरी है। अलग-अलग देखें, तो 64 × 4.5 = 288 किमी और 56 × 4.5 = 252 किमी, और इनका अंतर 36 किमी ही है। अनुपात से भी यही आता है। दूरियाँ 8 : 7 में हैं, तो 1 भाग = 36 किमी, और पूरी दूरी 15 भाग है।

प्रश्न 6

दो कारें एक ही समय पर P और Q से चलती हैं और एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं। मिलने के बाद P वाली कार को Q तक पहुँचने में 4 घंटे 30 मिनट और लगते हैं, तथा Q वाली कार को P तक पहुँचने में 8 घंटे और। यदि P वाली कार की चाल 56 किमी/घंटा है, तो दूसरी कार की चाल कितनी है? (a) $74\frac{2}{3}$ किमी/घंटा (b) 31.5 किमी/घंटा (c) 48 किमी/घंटा (d) 42 किमी/घंटा

उत्तर: यहाँ वर्गमूल नियम लगेगा। मिलने के बाद के समय 4.5 घंटे और 8 घंटे हैं, तो $\frac{\text{P वाली कार की चाल}}{\text{Q वाली कार की चाल}} = \sqrt{\frac{8}{4.5}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$। तो दूसरी कार की चाल = 56 × $\frac{3}{4}$ = (d) 42 किमी/घंटा। पूरी दूरी से मिलान भी हो जाता है। दोनों $\sqrt{4.5 \times 8}$ = 6 घंटे बाद मिले, तो PQ = 56 × 10.5 = 588 किमी, और 42 × 14 भी 588 ही है।

प्रश्न 7

पीछा शुरू होते समय एक चोर, एक पुलिसकर्मी से 180 मीटर आगे है। चोर 11 किमी/घंटा की चाल से और पुलिसकर्मी 14 किमी/घंटा की चाल से दौड़ता है। पकड़े जाने तक चोर कितनी दूरी दौड़ चुका होगा? (a) 840 मीटर (b) 660 मीटर (c) 720 मीटर (d) 600 मीटर

उत्तर: दोनों बराबर समय दौड़ते हैं, तो उनकी दूरियाँ 11 : 14 के अनुपात में होंगी। पुलिसकर्मी 3 भाग ज़्यादा दौड़ता है, और ये 3 भाग 180 मीटर की बढ़त के बराबर हैं। तो 1 भाग = 60 मीटर। चोर 11 × 60 = (b) 660 मीटर दौड़ता है, और पुलिसकर्मी 840 मीटर। सीधे समय निकालकर भी देख लेते हैं। दूरी 3 किमी/घंटा, यानी $\frac{5}{6}$ मीटर/सेकंड की दर से घटती है, तो पीछा 216 सेकंड चलता है। चोर की चाल 11 किमी/घंटा = $\frac{55}{18}$ मीटर/सेकंड है, और 216 सेकंड में वह 660 मीटर ही दौड़ता है।

प्रश्न 8

एक पुलिसकर्मी अपने से 160 मीटर आगे एक चोर को देखता है और उसका पीछा करना शुरू करता है। चोर 7 किमी/घंटा की चाल से और पुलिसकर्मी 13 किमी/घंटा की चाल से दौड़ता है। चोर को पकड़ने में पुलिसकर्मी को कितना समय लगेगा? (a) $26\frac{2}{3}$ सेकंड (b) 2 मिनट (c) 1 मिनट 36 सेकंड (d) 1 मिनट 20 सेकंड

उत्तर: दूरी 13 − 7 = 6 किमी/घंटा की दर से घटती है, यानी $6 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{3}$ मीटर/सेकंड। समय = 160 ÷ $\frac{5}{3}$ = 96 सेकंड, यानी (c) 1 मिनट 36 सेकंड। 96 सेकंड बाद दोनों कहाँ हैं, यह भी देख लेते हैं। पुलिसकर्मी $\frac{65}{18}$ मीटर/सेकंड से 96 सेकंड में $346\frac{2}{3}$ मीटर दौड़ता है। चोर पुलिसकर्मी के शुरुआती बिंदु से 160 + $\frac{35}{18} \times 96$ = $346\frac{2}{3}$ मीटर पर पहुँचता है, यानी दोनों एक ही जगह हैं।

प्रश्न 9

एक चोर अपराह्न 2 बजे एक चोरी की कार लेकर 54 किमी/घंटा की चाल से भाग जाता है। मालिक को अपराह्न 2:40 बजे पता चलता है और वह उसी सड़क पर 72 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। मालिक चोर को किस समय पकड़ लेगा? (a) अपराह्न 4:40 बजे (b) अपराह्न 4:00 बजे (c) अपराह्न 3:20 बजे (d) सायं 5:20 बजे

उत्तर: अपराह्न 2:40 बजे तक चोर 40 मिनट चल चुका है, यानी 54 × $\frac{2}{3}$ = 36 किमी आगे है। मालिक यह दूरी 72 − 54 = 18 किमी/घंटा की दर से घटाता है, तो 2 घंटे लगेंगे। चोर (a) अपराह्न 4:40 बजे पकड़ा जाएगा। तब तक चोर 2 घंटे 40 मिनट में 144 किमी चला और मालिक 2 घंटे में 144 किमी, तो दोनों एक ही जगह हैं। ध्यान रहे, ये 2 घंटे अपराह्न 2:40 बजे से गिने जाते हैं। अपराह्न 2 बजे से गिनने पर अपराह्न 4:00 बजे आता है, जो गलत है।

प्रश्न 10

कार A पूर्वाह्न 8 बजे 48 किमी/घंटा की चाल से एक कस्बे से चलती है। कार B उसी कस्बे से पूर्वाह्न 10:30 बजे उसी सड़क पर चलती है और अपराह्न 3:30 बजे कार A से आगे निकल जाती है। कार B की चाल कितनी है? (a) 60 किमी/घंटा (b) 90 किमी/घंटा (c) 64 किमी/घंटा (d) 72 किमी/घंटा

उत्तर: अपराह्न 3:30 बजे कार B, कार A से आगे निकलती है, तो उस क्षण दोनों एक ही जगह पर हैं। तब तक कार A $7\frac{1}{2}$ घंटे चल चुकी है, यानी 48 × 7.5 = 360 किमी। कार B ने यही 360 किमी 5 घंटे में तय किए, तो उसकी चाल (d) 72 किमी/घंटा है। अनुपात से भी देख लेते हैं। दूरी एक है और समय 7.5 : 5 = 3 : 2, तो चालें 2 : 3 में हैं, और 48 × $\frac{3}{2}$ = 72।

प्रश्न 11

330 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 66 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। एक सिग्नल के खंभे को पार करने में उसे कितना समय लगेगा? (a) 5 सेकंड (b) 18 सेकंड (c) 20 सेकंड (d) 15 सेकंड

उत्तर: सिग्नल के खंभे की कोई लंबाई नहीं होती, तो रेलगाड़ी को केवल अपने 330 मीटर तय करने हैं। चाल $66 \times \frac{5}{18} = \frac{55}{3}$ मीटर/सेकंड है। समय = 330 × $\frac{3}{55}$ = (b) 18 सेकंड।

प्रश्न 12

250 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 90 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। 350 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को पार करने में उसे कितना समय लगेगा? (a) 14 सेकंड (b) 10 सेकंड (c) 24 सेकंड (d) 20 सेकंड

उत्तर: प्लेटफ़ॉर्म पार करने में रेलगाड़ी को अपनी लंबाई और प्लेटफ़ॉर्म, दोनों तय करने हैं, यानी 250 + 350 = 600 मीटर। चाल 90 × $\frac{5}{18}$ = 25 मीटर/सेकंड है। तो समय = 600 ÷ 25 = (c) 24 सेकंड।

प्रश्न 13

एक रेलगाड़ी एक खंभे को 12 सेकंड में और 240 मीटर लंबे एक प्लेटफ़ॉर्म को 28 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की लंबाई कितनी है? (a) 240 मीटर (b) 120 मीटर (c) 200 मीटर (d) 180 मीटर

उत्तर: प्लेटफ़ॉर्म पर 28 − 12 = 16 सेकंड ज़्यादा लगे, और ये प्लेटफ़ॉर्म के 240 मीटर के लिए लगे। तो चाल = 240 ÷ 16 = 15 मीटर/सेकंड। खंभा 12 सेकंड में पार होता है, तो लंबाई = 15 × 12 = (d) 180 मीटर। अनुपात लगाकर भी यही निकलता है। समय 12 : 28 = 3 : 7 के अनुपात में हैं, यानी रेलगाड़ी : (रेलगाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म) = 3 : 7। प्लेटफ़ॉर्म 4 भाग है, यानी 240 मीटर, तो 1 भाग = 60 मीटर, और रेलगाड़ी 3 भाग है।

प्रश्न 14

400 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 76 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। रेलगाड़ी की ही दिशा में 4 किमी/घंटा की चाल से चल रहे एक व्यक्ति को वह कितने सेकंड में पार करेगी? (a) 20 सेकंड (b) 18 सेकंड (c) 19 सेकंड (d) 24 सेकंड

उत्तर: दोनों एक ही दिशा में हैं, तो सापेक्ष चाल 76 − 4 = 72 किमी/घंटा = 20 मीटर/सेकंड है। रेलगाड़ी को अपने 400 मीटर तय करने हैं, तो समय 400 ÷ 20 = (a) 20 सेकंड। जो 76 + 4 = 80 किमी/घंटा ले लेते हैं, उन्हें 18 सेकंड मिलता है। यह तभी ठीक होता, जब व्यक्ति रेलगाड़ी की ओर चल रहा होता।

प्रश्न 15

160 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी, पटरी के बगल की सड़क पर 36 किमी/घंटा की चाल से चल रही एक कार से आगे निकलती है। वह कार को 16 सेकंड में पूरी तरह पार कर लेती है। रेलगाड़ी की चाल कितनी है? (a) 36 किमी/घंटा (b) 46 किमी/घंटा (c) 72 किमी/घंटा (d) 54 किमी/घंटा

उत्तर: कार की लंबाई नहीं दी है, तो कार की तुलना में रेलगाड़ी 16 सेकंड में अपने 160 मीटर आगे बढ़ती है। सापेक्ष चाल = 10 मीटर/सेकंड = 36 किमी/घंटा। मतलब रेलगाड़ी कार से 36 किमी/घंटा तेज़ है, तो उसकी चाल 36 + 36 = (c) 72 किमी/घंटा है।

प्रश्न 16

36 किमी/घंटा की चाल से चल रही एक रेलगाड़ी में बैठा एक यात्री देखता है कि विपरीत दिशा से आ रही 350 मीटर लंबी एक मालगाड़ी 14 सेकंड में उसे पूरी तरह पार कर जाती है। मालगाड़ी की चाल कितनी है? (a) 90 किमी/घंटा (b) 54 किमी/घंटा (c) 126 किमी/घंटा (d) 60 किमी/घंटा

उत्तर: यात्री एक बिंदु है, तो केवल मालगाड़ी के 350 मीटर लगेंगे। सापेक्ष चाल = 350 ÷ 14 = 25 मीटर/सेकंड, और 25 × 3.6 = 90 किमी/घंटा। दोनों रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे की ओर आ रही हैं, तो 90 किमी/घंटा दोनों चालों का योग है। मालगाड़ी की चाल 90 − 36 = (b) 54 किमी/घंटा है। 90 किमी/घंटा वाला विकल्प चुनना गलत होगा, क्योंकि वह तो दोनों की सापेक्ष चाल है।

प्रश्न 17

140 मीटर और 160 मीटर लंबी दो रेलगाड़ियाँ समांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में क्रमशः 63 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। एक-दूसरे को पूरी तरह पार करने में उन्हें कितना समय लगेगा? (a) 60 सेकंड (b) $5\frac{1}{3}$ सेकंड (c) 12 सेकंड (d) 10 सेकंड

उत्तर: विपरीत दिशाएँ हैं, तो सापेक्ष चाल 63 + 45 = 108 किमी/घंटा = 30 मीटर/सेकंड है। पूरी तरह पार करने के लिए दोनों लंबाइयाँ तय करनी हैं, यानी 140 + 160 = 300 मीटर। तो समय = 300 ÷ 30 = (d) 10 सेकंड।

प्रश्न 18

200 मीटर और 175 मीटर लंबी दो रेलगाड़ियाँ एक ही दिशा में क्रमशः 75 किमी/घंटा और 48 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। तेज़ रेलगाड़ी को धीमी रेलगाड़ी को पूरी तरह पार करने में कितना समय लगेगा? (a) 50 सेकंड (b) $26\frac{2}{3}$ सेकंड (c) $23\frac{1}{3}$ सेकंड (d) 45 सेकंड

उत्तर: एक ही दिशा है, तो सापेक्ष चाल 75 − 48 = 27 किमी/घंटा = 7.5 मीटर/सेकंड है। तेज़ रेलगाड़ी को दोनों लंबाइयों जितना, यानी 200 + 175 = 375 मीटर आगे निकलना है। समय = 375 ÷ 7.5 = (a) 50 सेकंड।

प्रश्न 19

दो रेलगाड़ियाँ 64 किमी/घंटा और 44 किमी/घंटा की चाल से विपरीत दिशाओं में चल रही हैं और एक-दूसरे को 12 सेकंड में पूरी तरह पार कर लेती हैं। एक रेलगाड़ी की लंबाई 170 मीटर है। दूसरी रेलगाड़ी की लंबाई कितनी है? (a) 360 मीटर (b) 170 मीटर (c) 190 मीटर (d) 210 मीटर

उत्तर: सापेक्ष चाल = 64 + 44 = 108 किमी/घंटा = 30 मीटर/सेकंड। 12 सेकंड में 30 × 12 = 360 मीटर तय होते हैं, और यही दोनों लंबाइयों का योग है। तो दूसरी रेलगाड़ी = 360 − 170 = (c) 190 मीटर।

प्रश्न 20

बराबर लंबाई की दो रेलगाड़ियाँ विपरीत दिशाओं में चलते हुए एक-दूसरे को 10 सेकंड में और एक ही दिशा में चलते हुए 30 सेकंड में पार करती हैं। उनकी चालों का अनुपात क्या है? (a) 3 : 1 (b) 2 : 1 (c) 3 : 2 (d) 1 : 3

उत्तर: दोनों बार दूरी एक ही है, यानी दोनों लंबाइयों का योग। तो सापेक्ष चालें समयों के व्युत्क्रम अनुपात में होंगी, (a + b) : (a − b) = 30 : 10 = 3 : 1। इससे a + b = 3a − 3b, यानी 2a = 4b, और a : b = (b) 2 : 1। जाँच कर लेते हैं। चालें 2 और 1 हों, तो सापेक्ष चालें 3 और 1 होंगी, और समय 1 : 3 में। 3 : 1 वाला विकल्प समयों का अनुपात है, चालों का नहीं।

प्रश्न 21

[Tier 2] एक रेलगाड़ी अपनी ही दिशा में 2 किमी/घंटा की चाल से चल रहे एक व्यक्ति को 10 सेकंड में, और अपनी ओर 4 किमी/घंटा की चाल से आ रहे दूसरे व्यक्ति को 9 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की चाल कितनी है? (a) 54 किमी/घंटा (b) 60 किमी/घंटा (c) 56 किमी/घंटा (d) 58 किमी/घंटा

उत्तर: दोनों बार रेलगाड़ी की लंबाई एक ही है। रेलगाड़ी की चाल s किमी/घंटा मान लेते हैं। तो (s − 2) × 10 = (s + 4) × 9, यानी 10s − 20 = 9s + 36, और s = (c) 56 किमी/घंटा। यहाँ किमी/घंटा में ही हल करना ठीक है, क्योंकि $\frac{5}{18}$ दोनों पक्षों से कट जाता है। लंबाई निकालकर भी मिलान कर लेते हैं। पहले व्यक्ति के साथ सापेक्ष चाल 54 किमी/घंटा = 15 मीटर/सेकंड है, और 10 सेकंड में 150 मीटर। दूसरे के साथ 60 किमी/घंटा = $\frac{50}{3}$ मीटर/सेकंड है, और 9 सेकंड में यह भी 150 मीटर।