चाल, दूरी, समय और इकाइयाँ

  • मूल सूत्र है चाल=दूरीसमय\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}। इसी से दूरी = चाल × समय और समय = दूरी ÷ चाल भी मिल जाते हैं।
  • किमी/घंटा को मीटर/सेकंड में बदलना हो, तो 518\frac{5}{18} से गुणा कीजिए, और मीटर/सेकंड को किमी/घंटा में बदलना हो, तो 185\frac{18}{5} से। जैसे 108 किमी/घंटा = 30 मीटर/सेकंड और 12 मीटर/सेकंड = 43.2 किमी/घंटा।
  • 1 मीटर/सेकंड = 3.6 किमी/घंटा होता है। इसलिए एक ही चाल को मीटर/सेकंड में लिखें, तो संख्या हमेशा छोटी आती है।
  • भाग देने से पहले मिनट को घंटे में बदल लीजिए। 2 घंटे 15 मिनट = 2.25 घंटे होते हैं, 2.15 घंटे नहीं।
  • सबसे ज़्यादा गलती तब होती है जब एक ही हिसाब में मीटर और किमी/घंटा दोनों आ जाते हैं। इसलिए शुरू में ही एक इकाई चुन लीजिए और अंत तक उसी में काम कीजिए।

समान दूरी: चाल और समय के अनुपात

  • दूरी बराबर हो, तो समय, चाल के व्युत्क्रम अनुपात में होता है। चालें 3 : 4 में हों, तो समय 4 : 3 में होंगे।
  • चाल सामान्य चाल की ab\frac{a}{b} हो जाए, तो समय सामान्य समय का ba\frac{b}{a} हो जाता है। जैसे कोई सामान्य चाल के 34\frac{3}{4} से चलकर 20 मिनट देर से पहुँचे, तो उसे सामान्य समय का 13\frac{1}{3} ज़्यादा लगा है, और यही 20 मिनट है। यानी सामान्य समय 60 मिनट है।
  • समय बराबर हो, तो दूरियाँ चालों के अनुपात में ही होती हैं।
  • चाल 25% बढ़े, तो समय 20% घटता है, 25% नहीं। इसी तरह चाल 20% घटे, तो समय 25% बढ़ता है।
  • सबसे पहले देखिए कि प्रश्न में सामान्य समय पूछा गया है या नया समय। गलती अक्सर यहीं होती है।

औसत चाल

  • औसत चाल (average speed) हमेशा कुल दूरी ÷ कुल समय होती है। बिना सोचे-समझे चालों का सीधा औसत कभी न लीजिए।
  • दूरियाँ बराबर हों और चालें x और y हों, तो औसत चाल 2xyx+y\frac{2xy}{x + y} होती है। जैसे 30 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा पर यह 2×30×4575\frac{2 \times 30 \times 45}{75} = 36 किमी/घंटा आती है, 37.5 नहीं।
  • तीन बराबर दूरियाँ x, y और z चालों से तय हों, तो औसत चाल 3xyzxy+yz+zx\frac{3xyz}{xy + yz + zx} होती है।
  • समय बराबर हो और चालें x और y हों, तो सीधा औसत x+y2\frac{x + y}{2} ही औसत चाल होती है।
  • दूरी के हिस्से भिन्नों में दिए हों, तो कुल दूरी हरों का ल.स. मान लीजिए। फिर हर हिस्से का समय निकालकर सबको जोड़ दीजिए।
  • बराबर दूरियों पर औसत चाल हमेशा सीधे औसत से कम आती है। आपका उत्तर सीधे औसत के बराबर या उससे ज़्यादा आए, तो कहीं गलती हुई है।

देर से और जल्दी पहुँचना

  • कोई x चाल से चलने पर m मिनट देर से और y चाल से चलने पर n मिनट जल्दी पहुँचे, तो dx−dy\frac{d}{x} - \frac{d}{y} = (m + n) मिनट होता है। दोनों बार देर से पहुँचे, या दोनों बार जल्दी, तो (m + n) की जगह m − n रखिए।
  • जैसे 5 किमी/घंटा से चलने पर कोई 7 मिनट देर से पहुँचता है और 6 किमी/घंटा से चलने पर 5 मिनट जल्दी। दोनों समयों में 12 मिनट का अंतर है, तो d30=1260\frac{d}{30} = \frac{12}{60} से d = 6 किमी आता है।
  • D किमी की यात्रा में सामान्य चाल v से k किमी/घंटा तेज़ चलने पर t घंटे बचते हों, तो Dv−Dv+k=t\frac{D}{v} - \frac{D}{v + k} = t लिखिए। इससे v(v + k) = Dkt\frac{Dk}{t} आता है। पर परीक्षा में विकल्प रखकर जाँच लेना सबसे जल्दी होता है।
  • यहाँ ज़्यादातर छात्र मिनट को घंटे में बदलना ही भूल जाते हैं।

ठहराव और दो साधन

  • ठहराव (stoppage) वाले प्रश्न में ठहराव रहित चाल x किमी/घंटा और ठहराव सहित चाल y किमी/घंटा हो, तो प्रति घंटे रुकने का समय x−yx×60\frac{x - y}{x} \times 60 मिनट होता है। जैसे 50 और 40 किमी/घंटा पर यह 12 मिनट आता है।
  • एक ओर पैदल जाने और वापस सवारी से आने में T1T_1 समय लगे, और दोनों ओर पैदल जाने-आने में T2T_2, तो दोनों ओर सवारी से जाने-आने में 2T1−T22T_1 - T_2 लगेगा।
  • दूरी का कुछ भाग एक चाल से और बाकी दूसरी चाल से तय हो, और कुल समय दिया हो, तो एक भाग x मान लीजिए। फिर कुल समय का एक समीकरण बनाइए, उसी से x निकल आएगा।
  • ठहराव वाले प्रश्न में भाग हमेशा ठहराव रहित चाल से दीजिए, ठहराव सहित चाल से कभी नहीं।

सापेक्ष चाल और मिलना

  • दोनों एक ही दिशा में चल रहे हों, तो सापेक्ष चाल (relative speed) उनकी चालों का अंतर होती है। विपरीत दिशा में चल रहे हों, तो चालों का योग।
  • दो व्यक्तियों के बीच D दूरी हो और वे a और b की चाल से एक-दूसरे की ओर चलें, तो वे Da+b\frac{D}{a + b} समय बाद मिलते हैं। तब तक पहला व्यक्ति D का aa+b\frac{a}{a + b} भाग तय कर चुका होता है। जैसे दोनों 260 किमी दूर हों और 30 और 35 किमी/घंटा से चलें, तो वे 4 घंटे बाद मिलेंगे, और मिलन बिंदु पहले व्यक्ति के चलने की जगह से 120 किमी पर होगा।
  • एक व्यक्ति बाद में चले, तो पहले चलने वाले को उतना आगे मान लीजिए जितना वह अकेले चल चुका है। फिर बचा हुआ फ़ासला दोनों मिलकर तय करेंगे।
  • आगे निकलने में लगा समय = बढ़त ÷ चालों का अंतर।
  • कोई बाद में चले, तो घड़ी में मिलने का समय भी उसी हिसाब से बदल जाता है। इसलिए घंटे सही क्षण से गिनना शुरू कीजिए।

मिलने के बाद का नियम

  • दो व्यक्ति एक ही समय पर एक-दूसरे की ओर चलें, और मिलने के बाद अपनी यात्रा पूरी करने में उन्हें क्रमशः t1t_1 और t2t_2 समय और लगे, तो उनकी चालों का अनुपात S1S2=t2t1\frac{S_1}{S_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}} होता है।
  • वे चलने के t1t2\sqrt{t_1 t_2} समय बाद मिलते हैं।
  • जैसे मिलने के बाद 16 घंटे और 9 घंटे लगें, तो चालें 9:16\sqrt{9} : \sqrt{16} = 3 : 4 में होंगी, और वे चलने के 144\sqrt{144} = 12 घंटे बाद मिले थे।
  • मिलने के बाद जिसे ज़्यादा समय लगता है, वही धीमा है। इसी से अनुपात का क्रम जाँच लीजिए।
  • यहाँ दो गलतियाँ बहुत होती हैं। कोई वर्गमूल लेना भूल जाता है, तो कोई समयों को उलटे बिना उसी क्रम में रख देता है जिसमें चालें हैं।

पुलिस और चोर

  • पुलिस और चोर के बीच का फ़ासला चालों के अंतर की दर से घटता है। तो पकड़ने का समय = बढ़त ÷ (पुलिस की चाल − चोर की चाल)।
  • बढ़त समय में दी हो, तो दूरी की बढ़त = चोर की चाल × बढ़त का समय।
  • पकड़ने तक पुलिसकर्मी जितना दौड़ता है, वह बढ़त और चोर की दौड़ी दूरी का जोड़ होता है।
  • जैसे चोर 250 मीटर आगे है और 6 किमी/घंटा से भाग रहा है, और पुलिसकर्मी 8 किमी/घंटा से पीछा कर रहा है। फ़ासला 0.25 किमी है और हर घंटे 2 किमी घटता है, तो पकड़ने में 0.25 ÷ 2 = 18\frac{1}{8} घंटा, यानी 7.5 मिनट लगेंगे। इतने में पुलिसकर्मी 1 किमी दौड़ लेगा।
  • कदमों वाले प्रश्नों में चाल निकालनी हो, तो किसी तय समय में चले गए कदमों की संख्या को एक कदम की लंबाई से गुणा कीजिए।
  • बढ़त मीटर में हो और चालें किमी/घंटा में, तो पहले इकाई बदलिए। कई छात्र बिना बदले ही हिसाब लगा देते हैं।

रेलगाड़ियाँ

  • रेलगाड़ी किसी खंभे, सिग्नल के खंभे या खड़े व्यक्ति को पार करे, तो उसे केवल अपनी लंबाई जितनी दूरी तय करनी होती है।
  • प्लेटफ़ॉर्म, पुल या सुरंग पार करने में दूरी = रेलगाड़ी की लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई। जैसे 195 मीटर की रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा यानी 15 मीटर/सेकंड से चल रही है और प्लेटफ़ॉर्म 330 मीटर का है, तो उसे 525 ÷ 15 = 35 सेकंड लगेंगे।
  • चलते व्यक्ति या कार को पार करना हो, तो सापेक्ष चाल लीजिए। एक ही दिशा में चालें घटाइए और विपरीत दिशा में जोड़िए।
  • रेलगाड़ी प्लेटफ़ॉर्म को T1T_1 सेकंड में और किसी व्यक्ति को T2T_2 सेकंड में पार करे, तो चाल = प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई ÷ (T1−T2)(T_1 - T_2)।
  • जल्दबाज़ी में अक्सर रेलगाड़ी की अपनी लंबाई छूट जाती है, या 518\frac{5}{18} से गुणा करना रह जाता है।

दो रेलगाड़ियाँ

  • दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पूरी तरह पार करें, तो दूरी दोनों की लंबाइयों का योग होती है।
  • विपरीत दिशा में चल रही हों, तो चालें जोड़िए, और एक ही दिशा में हों, तो घटाइए।
  • जैसे 130 मीटर और 170 मीटर लंबी रेलगाड़ियाँ 55 और 35 किमी/घंटा से चल रही हैं। विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल 90 किमी/घंटा यानी 25 मीटर/सेकंड होगी, तो 300 ÷ 25 = 12 सेकंड लगेंगे। एक ही दिशा में सापेक्ष चाल 20 किमी/घंटा यानी 509\frac{50}{9} मीटर/सेकंड होगी, तो 54 सेकंड लगेंगे।
  • दोनों रेलगाड़ियाँ किसी खड़े व्यक्ति को t1t_1 और t2t_2 समय में पार करें, और एक-दूसरे को t3t_3 में, तो उनकी चालों का अनुपात (t3−t2):(t1−t3)(t_3 - t_2) : (t_1 - t_3) होता है।
  • प्रश्न में "पूरी तरह" लिखा हो, तब भी कुछ छात्र केवल एक रेलगाड़ी की लंबाई लेकर हिसाब कर देते हैं। दोनों लंबाइयाँ जोड़िए।

नाव और धारा

  • अनुप्रवाह (downstream) में चाल b + s होती है और ऊर्ध्वप्रवाह (upstream) में b − s।
  • इन दोनों चालों के योग का आधा शांत जल में नाव की चाल b होती है, और अंतर का आधा धारा की चाल s।
  • आने-जाने की यात्रा का समय db+s+db−s\frac{d}{b + s} + \frac{d}{b - s} होता है। जैसे शांत जल में नाव की चाल 12 किमी/घंटा, धारा की चाल 2 किमी/घंटा और हर ओर की दूरी 70 किमी हो, तो 5 + 7 = 12 घंटे लगते हैं।
  • ऊर्ध्वप्रवाह में अनुप्रवाह से k गुना समय लगे, तो b+sb−s=k\frac{b + s}{b - s} = k होता है।
  • आने-जाने की औसत चाल (b+s)(b−s)b\frac{(b + s)(b - s)}{b} होती है, जो हमेशा b से कम रहती है।
  • योग का आधा नाव की चाल है और अंतर का आधा धारा की चाल। जल्दी में बहुत-से छात्र इन्हें उलट देते हैं।

दौड़

  • L मीटर की दौड़ में A, B को x मीटर से हराए, तो उनकी चालों का अनुपात A : B = L : (L − x) होता है।
  • A, B को x मीटर या t सेकंड से हराए, तो B की चाल xt\frac{x}{t} होती है।
  • B को x मीटर की बढ़त मिले और दोनों एक साथ पहुँचें, तो इसे बराबरी पर समाप्त दौड़ (dead heat) कहते हैं। इसमें जितने समय में A, L मीटर दौड़ता है, उतने में B, L − x मीटर दौड़ता है।
  • तीन धावक हों, तो अनुपातों का गुणा कीजिए, बढ़तें कभी न जोड़िए। जैसे 560 मीटर की दौड़ में A, B को 35 मीटर से और B, C को 16 मीटर से हराता है। A के दौड़ पूरी करने तक B 525 मीटर दौड़ता है और C केवल 525 × 544560\frac{544}{560} = 510 मीटर दौड़ पाता है, तो A, C को 50 मीटर से हराता है, 51 से नहीं।
  • सेकंड की बढ़त और मीटर की बढ़त अलग-अलग चीज़ें हैं। इन्हें आपस में न मिलाइए।

वृत्ताकार पथ

  • मान लीजिए L लंबाई के पथ पर दो धावक एक ही बिंदु से दौड़ना शुरू करते हैं और उनकी चालें a और b हैं। एक ही दिशा में वे पहली बार La−b\frac{L}{a - b} समय बाद मिलते हैं, और विपरीत दिशा में La+b\frac{L}{a + b} समय बाद।
  • आरंभ बिंदु पर पहली बार मिलने का समय दोनों के एक-एक चक्कर के समयों का ल.स. होता है।
  • पूछा जाए कि तीन धावक पथ पर कहीं भी एक साथ कब मिलेंगे, तो हर जोड़ी के मिलने के समयों का ल.स. लीजिए।
  • चालों का अनुपात सरलतम रूप में a : b हो, तो पथ पर अलग-अलग मिलन बिंदु एक ही दिशा में a − b होते हैं और विपरीत दिशा में a + b।
  • जैसे 500 मीटर के पथ पर दो धावक 7 और 3 मीटर/सेकंड से दौड़ें, तो एक ही दिशा में वे पहली बार 125 सेकंड बाद मिलेंगे और विपरीत दिशा में 50 सेकंड बाद। मिलन बिंदु एक ही दिशा में 4 होंगे और विपरीत दिशा में 10।
  • कहीं भी मिलना और आरंभ बिंदु पर मिलना दो अलग बातें हैं। प्रश्न ध्यान से पढ़िए।