वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल

वृत्त — परिधि और क्षेत्रफल

त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त की दो मूल मापें होती हैं जिन्हें आप पिछली कक्षाओं से प्रयोग करते आ रहे हैं।

• परिधि (एक बार चारों ओर की दूरी): $C = 2\pi r = \pi d$, जहाँ $d = 2r$ व्यास है।
• क्षेत्रफल (घिरा हुआ क्षेत्र): $A = \pi r^2$।

यहाँ $\pi$ (पाई) किसी भी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अचर अनुपात है। गणना के लिए हम $\pi = \dfrac{22}{7}$ का उपयोग करते हैं (या जब प्रश्न में माँगा जाए तो $3.14$)।

मुख्य बिंदु: $C = 2\pi r$ में त्रिज्या एक बार प्रयोग होती है; $A = \pi r^2$ में यह वर्ग के रूप में प्रयोग होती है। इन्हें आपस में मिला देना पूरे अध्याय की सबसे आम गलती है।

व्यास से, और वापस

अक्सर प्रश्न में व्यास या परिधि दी जाती है, त्रिज्या नहीं। पहले परिवर्तित करें:

• $d$ दिया हो: $r = \dfrac{d}{2}$ का उपयोग करें।
• $C$ दिया हो: $r = \dfrac{C}{2\pi}$ का उपयोग करें।

हल किया गया विचार

यदि परिधि $44$ सेमी है, तो $2\pi r = 44 \Rightarrow r = \dfrac{44}{2\pi} = \dfrac{44 \times 7}{2 \times 22} = 7$ सेमी, अतः क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \dfrac{22}{7}\times 49 = 154$ सेमी$^2$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब दो वृत्तों की तुलना की जाती है, तो याद रखें: परिधियों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है, परंतु क्षेत्रफलों का अनुपात त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

वृत्ताकार वलय (Annulus) का क्षेत्रफल

एक वलय (या annulus) दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच का क्षेत्र है — इसे एक वाशर, एक वृत्ताकार ट्रैक, या किसी पाइप के अनुप्रस्थ काट के रूप में सोचें। यदि बाहरी त्रिज्या $R$ और भीतरी त्रिज्या $r$ हो, तो वलय का क्षेत्रफल बड़े वृत्त में से छोटे वृत्त को घटाकर प्राप्त होता है: $$\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right).$$

मुख्य बिंदु: $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$ — गुणनखंडन करने से अक्सर अंकगणित बहुत आसान हो जाता है।

एक लुढ़कता पहिया

जब कोई पहिया बिना फिसले लुढ़कता है, तो एक पूरे चक्कर में वह अपनी परिधि के बराबर दूरी तय करता है। अतः $n$ चक्करों में वह तय करता है $$\text{दूरी} = n \times 2\pi r.$$

उलटकर: चक्करों की संख्या $= \dfrac{\text{दूरी}}{2\pi r}$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] "त्रिज्या $r$ का एक पहिया $D$ मीटर तय करने के लिए कितने चक्कर लगाता है?" यह केवल $\dfrac{D}{2\pi r}$ है — इकाइयों का ध्यान रखें (पहले सब कुछ एक ही इकाई में बदलें)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: त्रिज्या से क्षेत्रफल

7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $C = 2\pi r = 2\times\dfrac{22}{7}\times 7 = 44$ सेमी।
2. $A = \pi r^2 = \dfrac{22}{7}\times 7^2 = 22\times 7 = 154$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $C = 44$ सेमी, $A = 154$ सेमी$^2$।

सार: $r=7$ (या 7 के गुणज) के साथ, $\pi=\tfrac{22}{7}$ अच्छे से कट जाता है।

उदाहरण 2: परिधि से त्रिज्या

एक वृत्त की परिधि 88 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $2\pi r = 88 \Rightarrow r = \dfrac{88\times 7}{2\times 22} = 14$ सेमी।
2. $A = \dfrac{22}{7}\times 14^2 = \dfrac{22}{7}\times 196 = 616$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: 616 सेमी$^2$।

सार: पहले $r$ ज्ञात करें, फिर क्षेत्रफल के लिए उसका वर्ग करें।

उदाहरण 3: वलय का क्षेत्रफल

एक वृत्ताकार पथ 7 मी चौड़ा है और उसकी भीतरी त्रिज्या 21 मी है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. भीतरी $r = 21$ मी, बाहरी $R = 21+7 = 28$ मी।
2. क्षेत्रफल $= \pi(R^2 - r^2) = \dfrac{22}{7}(28^2 - 21^2) = \dfrac{22}{7}(784-441) = \dfrac{22}{7}\times 343 = 1078$ मी$^2$।

अंतिम उत्तर: 1078 मी$^2$।

सार: पथ/वलय/ट्रैक का क्षेत्रफल $= \pi(R^2-r^2)$; बाहरी त्रिज्या $=$ भीतरी $+$ चौड़ाई।

उदाहरण 4: लुढ़कता पहिया

35 सेमी त्रिज्या का एक पहिया 20 चक्कर लगाता है। यह कितनी दूरी तय करता है? $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. एक चक्कर $= 2\pi r = 2\times\dfrac{22}{7}\times 35 = 220$ सेमी।
2. दूरी $= 20 \times 220 = 4400$ सेमी $= 44$ मी।

अंतिम उत्तर: 44 मी।

सार: दूरी $= (\text{चक्करों की संख्या}) \times$ परिधि।