वृत्तखंड क्या है?

एक वृत्त में एक जीवा ABAB खींचिए। जीवा वृत्तीय क्षेत्र को दो भागों में बाँट देती है, जिनमें से प्रत्येक को वृत्तखंड कहते हैं। छोटा भाग (जीवा द्वारा केंद्र से दूर काटा गया) लघु वृत्तखंड है; बड़ा भाग दीर्घ वृत्तखंड है। त्रिज्यखंडों की तरह ही, जब तक अन्यथा न कहा जाए, "वृत्तखंड" का अर्थ लघु वृत्तखंड होता है।

अंतर पर ध्यान दीजिए: एक त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है; एक वृत्तखंड एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड −- त्रिभुज

यह मुख्य विचार है। लघु वृत्तखंड APBAPB और त्रिभुज OABOAB मिलकर त्रिज्यखंड OAPBOAPB बनाते हैं। इसलिए वृत्तखंड वह है जो त्रिज्यखंड में से त्रिभुज हटाने पर बचता है: वृत्तखंड का क्षेत्रफल=त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल−त्रिभुज का क्षेत्रफल OAB\boxed{\text{वृत्तखंड का क्षेत्रफल} = \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल } OAB} =θ360πr2−(क्षेत्रफल △OAB).= \frac{\theta}{360}\pi r^2 - (\text{क्षेत्रफल }\triangle OAB).

त्रिभुज OABOAB की दो भुजाएँ त्रिज्या rr के बराबर हैं और उनके बीच कोण θ\theta है, इसलिए इसके क्षेत्रफल का एक संक्षिप्त सूत्र है क्षेत्रफल △OAB=12r2sin⁡θ.\text{क्षेत्रफल }\triangle OAB = \frac{1}{2}r^2\sin\theta.

मुख्य बिंदु: वृत्तखंड == त्रिज्यखंड −- त्रिभुज। त्रिज्यखंड θ360πr2\dfrac{\theta}{360}\pi r^2 से और त्रिभुज 12r2sin⁡θ\dfrac12 r^2\sin\theta से प्राप्त कीजिए (या OO से ABAB पर लंब डालकर)।

एक जीवा AB वाला वृत्त; जीवा और लघु चाप के बीच का छायांकित भाग लघु वृत्तखंड है, और त्रिभुज OAB दिखाया गया है, यह दर्शाते हुए कि वृत्तखंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने के बराबर होता है।

तीन मानक कोण

अधिकांश बोर्ड प्रश्नों में θ=90∘\theta = 90^\circ, 60∘60^\circ या 120∘120^\circ आते हैं। इन आकृतियों को सीखिए:

  • θ=90∘\theta = 90^\circ: त्रिभुज समकोण होता है, क्षेत्रफल =12r2=\tfrac12 r^2। वृत्तखंड =πr24−r22=r2 ⁣(π4−12)= \dfrac{\pi r^2}{4} - \dfrac{r^2}{2} = r^2\!\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12\right)।
  • θ=60∘\theta = 60^\circ: त्रिभुज समबाहु होता है, क्षेत्रफल =34r2=\dfrac{\sqrt3}{4}r^2। वृत्तखंड =r2 ⁣(π6−34)= r^2\!\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)।
  • θ=120∘\theta = 120^\circ: त्रिभुज का क्षेत्रफल =12r2sin⁡120∘=34r2=\dfrac12 r^2\sin120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{4}r^2। वृत्तखंड =r2 ⁣(π3−34)= r^2\!\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)।

दीर्घ वृत्तखंड (और दीर्घ त्रिज्यखंड)

दीर्घ भाग के लिए आपको शायद ही किसी नए सूत्र की आवश्यकता होती है — बस पूरे वृत्त में से लघु भाग घटा दीजिए: दीर्घ वृत्तखंड=πr2−लघु वृत्तखंड,दीर्घ त्रिज्यखंड=πr2−लघु त्रिज्यखंड.\text{दीर्घ वृत्तखंड} = \pi r^2 - \text{लघु वृत्तखंड}, \qquad \text{दीर्घ त्रिज्यखंड} = \pi r^2 - \text{लघु त्रिज्यखंड}.

मुख्य बिंदु: पूरा वृत्त −- लघु भाग == दीर्घ भाग। यह प्रतिवर्ती कोण के साथ पुनः गणना करने से तेज़ और सुरक्षित है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 90∘90^\circ पर वृत्तखंड

10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=3.14)\left(\pi=3.14\right)

हल:

  1. त्रिज्यखंड =90360πr2=14×3.14×100=78.5= \dfrac{90}{360}\pi r^2 = \dfrac14\times 3.14\times 100 = 78.5 सेमी2^2।
  2. त्रिभुज OABOAB (समकोण) =12×10×10=50= \dfrac12\times 10\times 10 = 50 सेमी2^2।
  3. वृत्तखंड =78.5−50=28.5= 78.5 - 50 = 28.5 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: 28.5 सेमी2^2।

सारांश: 90∘90^\circ पर त्रिभुज एक साधारण समकोण त्रिभुज होता है, क्षेत्रफल 12r2\tfrac12 r^2।

उदाहरण 2: 120∘120^\circ पर वृत्तखंड

21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120∘120^\circ का कोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=227, 3=1.73)\left(\pi=\dfrac{22}{7},\ \sqrt3 = 1.73\right)

हल:

  1. त्रिज्यखंड =120360×227×441=13×227×441=462= \dfrac{120}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 441 = \dfrac13\times\dfrac{22}{7}\times 441 = 462 सेमी2^2।
  2. त्रिभुज =12r2sin⁡120∘=12×441×32=441×1.734≈190.7= \dfrac12 r^2\sin120^\circ = \dfrac12\times 441\times\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{441\times 1.73}{4} \approx 190.7 सेमी2^2।
  3. वृत्तखंड =462−190.7=271.3= 462 - 190.7 = 271.3 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: ≈271.3\approx 271.3 सेमी2^2।

सारांश: त्रिभुज का क्षेत्रफल =12r2sin⁡θ=\tfrac12 r^2\sin\theta किसी भी कोण के लिए काम करता है।

उदाहरण 3: 60∘60^\circ पर लघु और दीर्घ वृत्तखंड

15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60∘60^\circ अंतरित करती है। लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=3.14, 3=1.73)\left(\pi=3.14,\ \sqrt3=1.73\right)

हल:

  1. त्रिज्यखंड =60360×3.14×225=16×706.5=117.75= \dfrac{60}{360}\times 3.14\times 225 = \dfrac16\times 706.5 = 117.75 सेमी2^2।
  2. त्रिभुज (समबाहु) =34×225=1.73×2254≈97.31= \dfrac{\sqrt3}{4}\times 225 = \dfrac{1.73\times 225}{4} \approx 97.31 सेमी2^2।
  3. लघु वृत्तखंड =117.75−97.31=20.44= 117.75 - 97.31 = 20.44 सेमी2^2।
  4. दीर्घ वृत्तखंड =πr2−20.44=706.5−20.44=686.06= \pi r^2 - 20.44 = 706.5 - 20.44 = 686.06 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: लघु ≈20.44\approx 20.44 सेमी2^2, दीर्घ ≈686.06\approx 686.06 सेमी2^2।

सारांश: दीर्घ वृत्तखंड == पूरा वृत्त −- लघु वृत्तखंड।

उदाहरण 4: कौन बड़ा है?

पूरी गणना किए बिना बताइए कि जब θ=90∘\theta = 90^\circ और r=10r=10 सेमी है, तो लघु वृत्तखंड बड़ा है या त्रिभुज OABOAB।

हल:

  1. त्रिभुज =50= 50 सेमी2^2; लघु वृत्तखंड =28.5= 28.5 सेमी2^2 (उदाहरण 1 से)।
  2. अतः त्रिभुज बड़ा है।

अंतिम उत्तर: त्रिभुज OABOAB (50 सेमी2^2) लघु वृत्तखंड (28.5 सेमी2^2) से बड़ा है।

सारांश: θ<180∘\theta<180^\circ के लिए लघु वृत्तखंड सदैव अपने त्रिभुज से छोटा होता है… सदैव त्रिज्यखंड−-त्रिभुज विभाजन से जाँच कीजिए।