एक बड़ा विचार: जोड़ें और घटाएँ

"छायांकित क्षेत्र" वाली समस्याएँ डरावनी लगती हैं, लेकिन इनमें एक ही रणनीति काम आती है: छायांकित क्षेत्रफल को उन सरल टुकड़ों से बनाएँ जिन्हें आप पहले से जानते हैं — वृत्त, त्रिज्यखंड, अर्धवृत्त, वर्ग, आयत और त्रिभुज — और उन्हें जोड़ें या घटाएँ।

छायांकित क्षेत्रफल=(शामिल किए गए क्षेत्रफल)−(हटाए गए क्षेत्रफल).\text{छायांकित क्षेत्रफल} = (\text{शामिल किए गए क्षेत्रफल}) - (\text{हटाए गए क्षेत्रफल}).

पूरा कौशल आकृति को एक संयोजन के रूप में देखने में है। प्रत्येक सरल टुकड़े को नाम दें, उसका क्षेत्रफल लिखें, फिर संयोजित करें।

वर्ग के अंदर वृत्त (और वृत्त के अंदर वर्ग)

भुजा aa वाले वर्ग में सबसे बड़ा वृत्त: वृत्त का व्यास भुजा के बराबर होता है, इसलिए r=a2r = \dfrac{a}{2}। बचा हुआ (कोनों का) क्षेत्रफल है a2−π(a2)2=a2−πa24.a^2 - \pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \dfrac{\pi a^2}{4}.

त्रिज्या rr वाले वृत्त में सबसे बड़ा वर्ग: वर्ग का विकर्ण व्यास 2r2r होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (2r)22=2r2\dfrac{(2r)^2}{2} = 2r^2 है। बचा हुआ (चार वृत्तीय रिक्त स्थान) πr2−2r2\pi r^2 - 2r^2 है।

मुख्य बिंदु: वर्ग में अंतर्निहित वृत्त: व्यास == भुजा। वृत्त में अंतर्निहित वर्ग: विकर्ण == व्यास।

कोनों पर चतुर्थांश वृत्त

एक पसंदीदा डिज़ाइन: भुजा aa वाला वर्ग जिसके चारों कोनों में से प्रत्येक पर एक चतुर्थांश वृत्त बना है, त्रिज्या rr। चारों चतुर्थांश वृत्त मिलकर त्रिज्या rr का एक पूरा वृत्त बनाते हैं। इसलिए छायांकित (चतुर्थांशों के बाहर वर्ग)=a2−πr2,\text{छायांकित (चतुर्थांशों के बाहर वर्ग)} = a^2 - \pi r^2, बशर्ते चतुर्थांश एक-दूसरे पर अतिव्याप्त न हों (r≤a2r \le \tfrac{a}{2})।

इसी प्रकार, वर्ग की भुजाओं पर बने अर्धवृत्त, या अतिव्यापी वृत्तों का कोई डिज़ाइन, यह गिनकर हल किए जाते हैं कि टुकड़े मिलकर कितने पूरे वृत्त/अर्धवृत्त बनाते हैं।

मुख्य बिंदु: समान त्रिज्या के चार चतुर्थांश वृत्त == एक पूरा वृत्त। समान त्रिज्या के दो अर्धवृत्त == एक पूरा वृत्त।

एक वर्ग ABCD जिसके चारों कोनों पर एक-एक चतुर्थांश वृत्त बना है; चारों चतुर्थांश मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं, अतः बीच का छायांकित क्षेत्र वर्ग के क्षेत्रफल में से वृत्त का क्षेत्रफल घटाने के बराबर होता है।

एक कार्य-सूची

किसी भी छायांकित-क्षेत्र वाली समस्या के लिए:

  1. बाहरी सीमा (वर्ग, आयत, वृत्त, त्रिभुज) को पहचानें।
  2. अंदर के वृत्तीय टुकड़ों (पूरे वृत्त, त्रिज्यखंड, अर्धवृत्त, चतुर्थांश) को ढूँढें।
  3. तय करें कि छायांकित भाग पाने के लिए कौन-से क्षेत्रफल जोड़े जाते हैं और कौन-से हटाए जाते हैं।
  4. बताए अनुसार π=227\pi = \tfrac{22}{7} या 3.143.14 रखें, और इकाइयों (सेमी2^2, मी2^2) को एक समान रखें।

मुख्य बिंदु: पहले योजना को शब्दों में लिखें ("बड़ा वर्ग −- वृत्त ++ छोटे त्रिभुज"), फिर गणना करें। अधिकांश गलतियाँ योजना की गलतियाँ होती हैं, अंकगणित की नहीं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: वर्ग में वृत्त

14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग में एक वृत्त अंतर्निहित है। वर्ग और वृत्त के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. वृत्त का व्यास == भुजा =14⇒r=7=14 \Rightarrow r=7; वृत्त का क्षेत्रफल =227×49=154= \dfrac{22}{7}\times 49 = 154 सेमी2^2।
  2. वर्ग का क्षेत्रफल =142=196= 14^2 = 196 सेमी2^2।
  3. छायांकित =196−154=42= 196 - 154 = 42 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: 42 सेमी2^2।

मुख्य बात: अंतर्निहित वृत्त ⇒r=भुजा2\Rightarrow r=\tfrac{\text{भुजा}}{2}।

उदाहरण 2: कोनों पर चतुर्थांश वृत्त

14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 7 सेमी त्रिज्या का एक चतुर्थांश वृत्त हटा दिया जाता है। शेष (छायांकित) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. 7 त्रिज्या के चार चतुर्थांश वृत्त == एक पूरा वृत्त =227×49=154= \dfrac{22}{7}\times 49 = 154 सेमी2^2।
  2. वर्ग =196= 196 सेमी2^2।
  3. छायांकित =196−154=42= 196 - 154 = 42 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: 42 सेमी2^2।

मुख्य बात: चार समान चतुर्थांश वृत्त मिलकर एक वृत्त बनाते हैं।

उदाहरण 3: वृत्त के अंदर वर्ग

7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त और उसमें अंतर्निहित सबसे बड़े वर्ग के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. वर्ग का विकर्ण =2r=14= 2r = 14, इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल =1422=98= \dfrac{14^2}{2} = 98 सेमी2^2।
  2. वृत्त का क्षेत्रफल =154= 154 सेमी2^2।
  3. छायांकित =154−98=56= 154 - 98 = 56 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: 56 सेमी2^2।

मुख्य बात: अंतर्निहित वर्ग का क्षेत्रफल =12d2=2r2= \tfrac12 d^2 = 2r^2।

उदाहरण 4: दो अर्धवृत्तों का डिज़ाइन

एक आयत 14 सेमी गुणा 7 सेमी का है जिसकी दो छोटी भुजाओं में से प्रत्येक पर बाहर की ओर एक अर्धवृत्त (व्यास 7 सेमी) बना है। आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. आयत =14×7=98= 14\times 7 = 98 सेमी2^2।
  2. व्यास 7 (त्रिज्या 3.5) वाले दो अर्धवृत्त एक पूरा वृत्त बनाते हैं: 227×3.52=227×12.25=38.5\dfrac{22}{7}\times 3.5^2 = \dfrac{22}{7}\times 12.25 = 38.5 सेमी2^2।
  3. कुल =98+38.5=136.5= 98 + 38.5 = 136.5 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: 136.5 सेमी2^2।

मुख्य बात: दो समान अर्धवृत्त == एक वृत्त; यहाँ इन्हें आयत में जोड़ा जाता है।