त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और परिमाप

त्रिज्यखंड क्या है?

एक वृत्ताकार पिज़्ज़ा को केंद्र से दो सीधी कटाई (दो त्रिज्याओं) से काटिए — जो टुकड़ा मिलता है वह एक त्रिज्यखंड है। औपचारिक रूप से, दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है, और दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण, $\theta$, त्रिज्यखंड का कोण है।

दोनों त्रिज्याएँ वृत्त को एक छोटे लघु त्रिज्यखंड और एक बड़े दीर्घ त्रिज्यखंड में बाँटती हैं। जब तक प्रश्न में अन्यथा न कहा गया हो, "त्रिज्यखंड" का अर्थ लघु त्रिज्यखंड होता है। दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $360^\circ - \theta$ होता है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल — ऐकिक विचार

एक पूरा वृत्त $360^\circ$ कोण वाला त्रिज्यखंड है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है। अतः एक त्रिज्यखंड वृत्त का केवल एक भिन्न है — भिन्न $\dfrac{\theta}{360}$। इसलिए $$\boxed{\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360}\times \pi r^2}$$ जहाँ $\theta$ त्रिज्यखंड का कोण डिग्री में है और $r$ त्रिज्या है।

मुख्य बिंदु: एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का भिन्न $\dfrac{\theta}{360}$ होता है। एक चतुर्थांश ($\theta=90^\circ$) $\tfrac14\pi r^2$ होता है; एक अर्धवृत्त ($\theta=180^\circ$) $\tfrac12\pi r^2$ होता है।

चाप की लंबाई

ठीक इसी तर्क से, त्रिज्यखंड का चाप पूरी परिधि $2\pi r$ का भिन्न $\dfrac{\theta}{360}$ होता है: $$\boxed{\text{चाप की लंबाई} = \ell = \frac{\theta}{360}\times 2\pi r}$$

एक सुंदर परिणाम दोनों बॉक्स किए गए सूत्रों को जोड़ता है: $$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\,\ell\, r,$$ अर्थात् चाप की लंबाई का आधा गुणा त्रिज्या — जब चाप की लंबाई पहले से ज्ञात हो तो यह उपयोगी है।

त्रिज्यखंड का परिमाप

चाप को परिमाप के साथ मत मिलाइए। एक त्रिज्यखंड का परिमाप (सीमा) चाप और दो त्रिज्याओं को जोड़कर होता है: $$\text{त्रिज्यखंड का परिमाप} = \ell + 2r = \frac{\theta}{360}\times 2\pi r + 2r.$$

मुख्य बिंदु: क्षेत्रफल में $\pi r^2$ प्रयोग होता है; चाप की लंबाई में $2\pi r$; त्रिज्यखंड के परिमाप में चाप के साथ दो सीधी त्रिज्याएँ ($+2r$) जोड़ी जाती हैं। ध्यान से पढ़िए कि कौन-सा पूछा गया है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण $60^\circ$ है। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. क्षेत्रफल $= \dfrac{\theta}{360}\pi r^2 = \dfrac{60}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 36$।
2. $= \dfrac{1}{6}\times\dfrac{22}{7}\times 36 = \dfrac{22\times 6}{7} = \dfrac{132}{7} \approx 18.86$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{132}{7}\approx 18.86$ सेमी$^2$।

सार: $\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ — पहले भिन्न को सरल कीजिए।

उदाहरण 2: चाप की लंबाई

21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में, एक चाप केंद्र पर $60^\circ$ का कोण अंतरित करता है। चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $\ell = \dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r = \dfrac{60}{360}\times 2\times\dfrac{22}{7}\times 21$।
2. $= \dfrac16\times 132 = 22$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 22 सेमी।

सार: चाप की लंबाई में $2\pi r$ प्रयोग होता है, $\pi r^2$ नहीं।

उदाहरण 3: परिधि से चतुर्थांश

एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $2\pi r = 22 \Rightarrow r = \dfrac{22\times 7}{2\times 22} = \dfrac{7}{2}$ सेमी।
2. चतुर्थांश $\theta=90^\circ$ होता है: क्षेत्रफल $= \dfrac14\pi r^2 = \dfrac14\times\dfrac{22}{7}\times\dfrac{49}{4} = \dfrac{77}{8} = 9.625$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{77}{8} = 9.625$ सेमी$^2$।

सार: चतुर्थांश $=$ वृत्त का $\tfrac14$।

उदाहरण 4: त्रिज्यखंड का परिमाप

7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का कोण $90^\circ$ है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. चाप $\ell = \dfrac{90}{360}\times 2\times\dfrac{22}{7}\times 7 = \dfrac14\times 44 = 11$ सेमी।
2. परिमाप $= \ell + 2r = 11 + 14 = 25$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 25 सेमी।

सार: त्रिज्यखंड का परिमाप $=$ चाप $+ 2r$ — दो त्रिज्याओं को मत भूलिए।