घड़ी की सुइयाँ — प्रति मिनट कोण

घड़ी की सुई एक घूमती हुई त्रिज्या है, इसलिए यह जो क्षेत्र घुमाती है वह एक त्रिज्यखंड है। केवल एक नया कौशल यह है कि वह जितना कोण घूमती है उसे ज्ञात करना।

  • मिनट की सुई 60 मिनट में पूरा चक्कर (360∘360^\circ) लगाती है, इसलिए यह प्रति मिनट 360∘60=6∘\dfrac{360^\circ}{60} = 6^\circ घूमती है।
  • घंटे की सुई 12 घंटे =720=720 मिनट में पूरा चक्कर (360∘360^\circ) लगाती है, इसलिए यह प्रति मिनट 0.5∘0.5^\circ (या प्रति घंटा 30∘30^\circ) घूमती है।

rr लंबाई वाली सुई द्वारा tt मिनट में घुमाया गया क्षेत्रफल =θ360πr2= \dfrac{\theta}{360}\pi r^2, जहाँ मिनट की सुई के लिए θ=6t\theta = 6t।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] मिनट की सुई 5 मिनट में →30∘\to 30^\circ; 10 मिनट में →60∘\to 60^\circ; 15 मिनट में →90∘\to 90^\circ (एक चतुर्थांश)।

एक घड़ी का मुख जिसमें सुई 12 की स्थिति से एक कोण घूमकर बाद की स्थिति तक जाती है; छायांकित त्रिज्यखंड घूमा गया क्षेत्रफल है, यह दर्शाते हुए कि घड़ी की सुई एक वृत्त का त्रिज्यखंड घेरती है।

वाइपर और पंखे

rr लंबाई वाला एक विंडस्क्रीन वाइपर ब्लेड जो θ\theta कोण से घूमता है, θ360πr2\dfrac{\theta}{360}\pi r^2 क्षेत्रफल का एक त्रिज्यखंड साफ करता है। यदि दो वाइपर हों जो अतिव्यापन (ओवरलैप) न करें, तो इसे दोगुना कर दीजिए।

यही त्रिज्यखंड का विचार एक पंखे या किसी कोण से घूमते किसी भी ब्लेड पर लागू होता है।

मुख्य बिंदु: "घूमते ब्लेड द्वारा साफ किया गया/ढका गया क्षेत्रफल" == ऐसे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसकी त्रिज्या == ब्लेड की लंबाई और कोण == घुमाव कोण। "दो ब्लेड" (2 से गुणा) या "अतिव्यापन" (साझा भाग घटाएँ) पर ध्यान दीजिए।

रस्सी से बँधे चरने वाले जानवर

एक मैदान के कोने पर खूंटी से rr लंबाई की रस्सी से बँधा जानवर एक त्रिज्यखंड के आकार का क्षेत्र चरता है। एक वर्गाकार मैदान के कोने पर अंदरूनी कोण 90∘90^\circ होता है, इसलिए चरने का क्षेत्र एक चौथाई वृत्त होता है: चरने का क्षेत्रफल=14πr2(यदि रस्सी भुजा से अधिक न हो).\text{चरने का क्षेत्रफल} = \dfrac14\pi r^2 \quad(\text{यदि रस्सी भुजा से अधिक न हो}).

यदि रस्सी को लंबा किया जाए, तो चरने के क्षेत्रफल में वृद्धि दो चौथाई वृत्तों का अंतर है: 14π(r22−r12)\dfrac14\pi(r_2^2 - r_1^2)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] समबाहु-त्रिभुज मैदान के कोने पर कोण 60∘60^\circ होता है (षष्ठांश 16\tfrac16 वृत्त); एक समषट्भुज के कोने पर यह 120∘120^\circ होता है। सदैव कोने पर आंतरिक कोण का उपयोग कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मिनट की सुई का घुमाव

एक घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। यह 5 मिनट में जितना क्षेत्रफल घुमाती है वह ज्ञात कीजिए। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. 5 मिनट में सुई θ=6×5=30∘\theta = 6\times 5 = 30^\circ घूमती है।
  2. क्षेत्रफल =30360×227×142=112×227×196=22×19684≈51.33= \dfrac{30}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 14^2 = \dfrac{1}{12}\times\dfrac{22}{7}\times 196 = \dfrac{22\times 196}{84} \approx 51.33 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: ≈51.33\approx 51.33 सेमी2^2।

सारांश: मिनट की सुई का कोण =6∘×= 6^\circ\times (मिनट)।

उदाहरण 2: विंडस्क्रीन वाइपर

एक कार में दो वाइपर हैं जो अतिव्यापन नहीं करते। प्रत्येक ब्लेड 25 सेमी लंबा है और 115∘115^\circ से घूमता है। प्रति घुमाव साफ किया गया कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. एक वाइपर 115360×227×252=115360×227×625≈627.48\dfrac{115}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 25^2 = \dfrac{115}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 625 \approx 627.48 सेमी2^2 साफ करता है।
  2. दो वाइपर: 2×627.48=1254.962\times 627.48 = 1254.96 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: ≈1254.96\approx 1254.96 सेमी2^2।

सारांश: दो अ-अतिव्यापी ब्लेड ⇒\Rightarrow एक त्रिज्यखंड को 2 से गुणा कीजिए।

उदाहरण 3: चरता हुआ घोड़ा

एक घोड़ा 15 मी भुजा वाले वर्गाकार मैदान के कोने पर एक खूंटी से 5 मी रस्सी से बँधा है। ज्ञात कीजिए (i) चरने का क्षेत्रफल, और (ii) यदि रस्सी 10 मी हो तो वृद्धि। (π=3.14)\left(\pi=3.14\right)

हल:

  1. वर्ग का कोना ⇒\Rightarrow चौथाई वृत्त। r=5r=5 के साथ: क्षेत्रफल =14×3.14×25=19.625= \dfrac14\times 3.14\times 25 = 19.625 मी2^2।
  2. r=10r=10 के साथ: क्षेत्रफल =14×3.14×100=78.5= \dfrac14\times 3.14\times 100 = 78.5 मी2^2।
  3. वृद्धि =78.5−19.625=58.875= 78.5 - 19.625 = 58.875 मी2^2।

अंतिम उत्तर: (i) 19.625 मी2^2; (ii) वृद्धि 58.875 मी2^2।

सारांश: वर्गाकार मैदान का कोना ⇒14πr2\Rightarrow \tfrac14\pi r^2 (दोनों रस्सी की लंबाई भुजा से ≤\le हैं)।

उदाहरण 4: प्रकाश स्तंभ की किरण

एक प्रकाश स्तंभ 80∘80^\circ कोण के एक त्रिज्यखंड में 16.5 किमी की दूरी तक लाल प्रकाश फैलाता है। चेतावनी दिया गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=3.14)\left(\pi=3.14\right)

हल:

  1. क्षेत्रफल =80360×3.14×16.52=29×3.14×272.25= \dfrac{80}{360}\times 3.14\times 16.5^2 = \dfrac{2}{9}\times 3.14\times 272.25।
  2. =29×854.865≈189.97= \dfrac{2}{9}\times 854.865 \approx 189.97 किमी2^2।

अंतिम उत्तर: ≈189.97\approx 189.97 किमी2^2।

सारांश: किरण एक त्रिज्यखंड है जिसकी त्रिज्या == परास और कोण == फैलाव।

उदाहरण 5: छाते की तीलियाँ

एक छाते में 8 समान दूरी पर तीलियाँ हैं, जिसे 45 सेमी त्रिज्या वाले एक सपाट वृत्त के रूप में निरूपित किया गया है। दो लगातार तीलियों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π=227)\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)

हल:

  1. 8 समान त्रिज्यखंड ⇒\Rightarrow प्रत्येक कोण =360∘8=45∘= \dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ।
  2. क्षेत्रफल =45360×227×452=18×227×2025=22×202556≈795.54= \dfrac{45}{360}\times\dfrac{22}{7}\times 45^2 = \dfrac18\times\dfrac{22}{7}\times 2025 = \dfrac{22\times 2025}{56} \approx 795.54 सेमी2^2।

अंतिम उत्तर: ≈795.54\approx 795.54 सेमी2^2।

सारांश: nn समान तीलियाँ/त्रिज्यखंड ⇒\Rightarrow प्रत्येक कोण =360∘n= \dfrac{360^\circ}{n}।