हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के लिए आपका अभ्यास भंडार है। मुख्य सूत्रों को अपने सामने रखें: वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$, परिधि $2\pi r$, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\tfrac{\theta}{360}\pi r^2$, चाप $\tfrac{\theta}{360}\,2\pi r$, और वृत्तखंड $=$ त्रिज्यखंड $-$ त्रिभुज। जब तक कोई प्रश्न $3.14$ न कहे, तब तक $\pi=\tfrac{22}{7}$ लें।

उदाहरण 1: 28 सेमी व्यास वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें। हल: $r=14$; $A=\tfrac{22}{7}\times196=616$ सेमी$^2$। उत्तर: 616 सेमी$^2$।

उदाहरण 2: 154 सेमी$^2$ क्षेत्रफल वाले एक वृत्त की परिधि ज्ञात करें। हल: $r^2=\tfrac{154\times7}{22}=49\Rightarrow r=7$; $C=2\times\tfrac{22}{7}\times7=44$ सेमी। उत्तर: 44 सेमी।

उदाहरण 3: एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 10.5 सेमी और कोण $60^\circ$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac16\times\tfrac{22}{7}\times10.5^2=\tfrac16\times\tfrac{22}{7}\times110.25=57.75$ सेमी$^2$। उत्तर: 57.75 सेमी$^2$।

उदाहरण 4: 14 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की उस चाप की लंबाई ज्ञात करें जो $90^\circ$ अंतरित करती है। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac14\times2\times\tfrac{22}{7}\times14=\tfrac14\times88=22$ सेमी। उत्तर: 22 सेमी।

उदाहरण 5: 14 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल है: $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac14\times\tfrac{22}{7}\times196=154$ सेमी$^2$। उत्तर: 154 सेमी$^2$।

उदाहरण 6: 7 सेमी त्रिज्या और $60^\circ$ कोण वाले एक त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: चाप $=\tfrac16\times2\times\tfrac{22}{7}\times7=\tfrac{44}{6}=7.33$; परिमाप $=7.33+14=21.33$ सेमी। उत्तर: ~21.33 सेमी।

उदाहरण 7: 14 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र पर एक जीवा $90^\circ$ अंतरित करती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: त्रिज्यखंड $=\tfrac14\times\tfrac{22}{7}\times196=154$; त्रिभुज $=\tfrac12\times14\times14=98$; वृत्तखंड $=154-98=56$ सेमी$^2$। उत्तर: 56 सेमी$^2$।

उदाहरण 8: दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें जब लघु त्रिज्यखंड (त्रिज्या 7, $\pi=\tfrac{22}{7}$) का कोण $60^\circ$ है। हल: लघु $=\tfrac16\times\tfrac{22}{7}\times49=\tfrac{25.67}{1}\approx25.67$; पूरा $=154$; दीर्घ $=154-25.67=128.33$ सेमी$^2$। उत्तर: ~128.33 सेमी$^2$।

उदाहरण 9: एक घड़ी की मिनट वाली सुई 12 सेमी लंबी है। 35 मिनट में बुहारा गया क्षेत्रफल। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $35$ मिनट $=35\times6=210^\circ$; क्षेत्रफल $=\tfrac{210}{360}\times\tfrac{22}{7}\times144=\tfrac{7}{12}\times\tfrac{22}{7}\times144=264$ सेमी$^2$। उत्तर: 264 सेमी$^2$।

उदाहरण 10: एक वर्गाकार मैदान के कोने पर 21 मी लंबी रस्सी से बँधा एक घोड़ा जितने क्षेत्र में चर सकता है: $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac14\times\tfrac{22}{7}\times441=346.5$ मी$^2$। उत्तर: 346.5 मी$^2$।

उदाहरण 11: 21 सेमी लंबा एक वाइपर ब्लेड $90^\circ$ बुहारता है। साफ किया गया क्षेत्रफल। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac14\times\tfrac{22}{7}\times441=346.5$ सेमी$^2$। उत्तर: 346.5 सेमी$^2$।

उदाहरण 12: 7 मी त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी 3.5 मी चौड़े रास्ते से घिरी है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $R=10.5$, $r=7$; $\pi(R^2-r^2)=\tfrac{22}{7}(110.25-49)=\tfrac{22}{7}\times61.25=192.5$ मी$^2$। उत्तर: 192.5 मी$^2$।

उदाहरण 13: 7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त और उसमें अंतर्निहित सबसे बड़े वर्ग के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: वर्ग $=2r^2=98$; वृत्त $=154$; बीच में $=56$ सेमी$^2$। उत्तर: 56 सेमी$^2$।

उदाहरण 14: 84 सेमी व्यास वाला एक पहिया 500 चक्कर लगाता है। तय की गई दूरी? $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: परिधि $=\tfrac{22}{7}\times84=264$ सेमी; दूरी $=500\times264=132000$ सेमी $=1320$ मी। उत्तर: 1320 मी।

उदाहरण 15: 12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा $120^\circ$ अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल। $(\pi=3.14,\sqrt3=1.73)$ हल: त्रिज्यखंड $=\tfrac13\times3.14\times144=150.72$; त्रिभुज $=\tfrac{\sqrt3}{4}\times144=62.28$; वृत्तखंड $=150.72-62.28=88.44$ सेमी$^2$। उत्तर: 88.44 सेमी$^2$।

उदाहरण 16: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसका क्षेत्रफल इनके क्षेत्रफलों के योग के बराबर हो। हल: $\pi R^2=\pi(64+36)=100\pi\Rightarrow R=10$ सेमी। उत्तर: 10 सेमी।

उदाहरण 17: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 24 सेमी और 7 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसकी परिधि इनकी परिधियों के योग के बराबर हो। हल: $2\pi R=2\pi(24+7)\Rightarrow R=31$ सेमी। उत्तर: 31 सेमी।

उदाहरण 18: एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\tfrac{77}{2}$ सेमी$^2$ है और उसकी त्रिज्या 7 सेमी है। इसका कोण ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac{\theta}{360}\times\tfrac{22}{7}\times49=38.5\Rightarrow\tfrac{\theta}{360}\times154=38.5\Rightarrow\tfrac{\theta}{360}=\tfrac14\Rightarrow\theta=90^\circ$। उत्तर: $90^\circ$।

उदाहरण 19: 28 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में $45^\circ$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac{45}{360}\times\tfrac{22}{7}\times784=\tfrac18\times2464=308$ सेमी$^2$। उत्तर: 308 सेमी$^2$।

उदाहरण 20: 4 सेमी भुजा वाले एक वर्ग में एक कोने पर केंद्र लेकर 4 सेमी त्रिज्या का एक चतुर्थांश वृत्त बनाया गया है। वर्ग के अंदर परंतु चतुर्थांश वृत्त के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=3.14)$ हल: वर्ग $=16$; चतुर्थांश $=\tfrac14\times3.14\times16=12.56$; क्षेत्र $=16-12.56=3.44$ सेमी$^2$। उत्तर: 3.44 सेमी$^2$।

उदाहरण 21: एक घड़ी की मिनट वाली सुई की लंबाई 14 सेमी है। सुबह 9:00 और सुबह 9:35 के बीच बुहारा गया क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: 35 मिनट $=210^\circ$; क्षेत्रफल $=\tfrac{210}{360}\times\tfrac{22}{7}\times196=\tfrac{7}{12}\times616=359.33$ सेमी$^2$। उत्तर: ~359.33 सेमी$^2$।

उदाहरण 22: एक वृत्त एक समबाहु त्रिभुज में अंतर्निहित है… (त्रिकोणमिति छोड़ें) इसके बजाय: 14 सेमी व्यास वाले एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $r=7$; $\tfrac12\times\tfrac{22}{7}\times49=77$ सेमी$^2$। उत्तर: 77 सेमी$^2$।

उदाहरण 23: 7 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार चाँदे का परिमाप (व्यास सहित)। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: वक्र $=\pi r=22$; और व्यास $14$; कुल $=36$ सेमी। उत्तर: 36 सेमी।

उदाहरण 24: 14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग से, कोनों पर चार चतुर्थांश वृत्त (त्रिज्या 7) और केंद्र पर एक वृत्त (त्रिज्या 7)… सरल रूप में: 14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग से 7 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त हटा दिया जाता है। बचा हुआ क्षेत्रफल? $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $196-154=42$ सेमी$^2$। उत्तर: 42 सेमी$^2$।

उदाहरण 25: उस वृत्त का व्यास ज्ञात करें जिसका क्षेत्रफल 10 सेमी और 24 सेमी व्यास वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर हो। हल: त्रिज्याएँ 5, 12; $R^2=25+144=169\Rightarrow R=13$, इसलिए व्यास $=26$ सेमी। उत्तर: 26 सेमी।

उदाहरण 26: 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड की चाप-लंबाई 22 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें। हल: क्षेत्रफल $=\tfrac12\ell r=\tfrac12\times22\times21=231$ सेमी$^2$। उत्तर: 231 सेमी$^2$।

उदाहरण 27: 42 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र पर एक चाप $30^\circ$ अंतरित करती है। चाप की लंबाई ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: $\tfrac{30}{360}\times2\times\tfrac{22}{7}\times42=\tfrac{1}{12}\times264=22$ सेमी। उत्तर: 22 सेमी।

उदाहरण 28: एक साइकिल के पहियों का व्यास 70 सेमी है। 11 किमी की यात्रा करने के लिए कितने चक्कर लगेंगे? $(\pi=\tfrac{22}{7})$ हल: परिधि $=\tfrac{22}{7}\times70=220$ सेमी $=2.2$ मी; चक्कर $=\tfrac{11000}{2.2}=5000$। उत्तर: 5000।

उदाहरण 29: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा $90^\circ$ अंतरित करती है। दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=3.14)$ हल: लघु वृत्तखंड $=28.5$; पूरा $=3.14\times100=314$; दीर्घ $=314-28.5=285.5$ सेमी$^2$। उत्तर: 285.5 सेमी$^2$।

उदाहरण 30: 28 सेमी त्रिज्या वाले एक गोल मेज़पोश पर छह समान वृत्तखंड-आकार के डिज़ाइन हैं (प्रत्येक $60^\circ$ अंतरित करता है)। डिज़ाइनों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें। $(\pi=\tfrac{22}{7},\ \sqrt3=1.73)$ हल:

1. प्रत्येक डिज़ाइन $\theta=60^\circ$ वाला एक वृत्तखंड है: त्रिज्यखंड $=\tfrac16\times\tfrac{22}{7}\times784=410.67$; त्रिभुज (समबाहु) $=\tfrac{\sqrt3}{4}\times784=339.08$।
2. एक डिज़ाइन $=410.67-339.08=71.59$ सेमी$^2$।
3. छह डिज़ाइन $=6\times71.59\approx429.5$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $\approx 429.5$ सेमी$^2$।

मुख्य बात: एक वृत्त के चारों ओर $n$ समान डिज़ाइन $\Rightarrow$ प्रत्येक $\tfrac{360^\circ}{n}$ अंतरित करता है; कुल $=n\times(\text{एक वृत्तखंड})$।