किसी बाह्य बिंदु से बराबर स्पर्श रेखाएँ (प्रमेय 10.2)

प्रमेय 10.2 — कथन

हमने देखा कि किसी बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, और वे दिखने में बराबर होती हैं। अब हम इसे सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 10.2: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

यदि $P$ एक बाह्य बिंदु है और $PQ$, $PR$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं (जो वृत्त को $Q$ और $R$ पर स्पर्श करती हैं), तो $$PQ = PR.$$

प्रमेय 10.2 की उपपत्ति

दिया है: केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $P$, और दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ तथा $PR$ (स्पर्श बिंदु $Q$ और $R$)। सिद्ध करना है: $PQ = PR$.

रचना: $OP$, $OQ$ और $OR$ को मिलाइए।

उपपत्ति। प्रमेय 10.1 के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है, अतः $$\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ.$$

अब समकोण त्रिभुजों $OQP$ और $ORP$ की तुलना कीजिए:

• $OQ = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),
• $OP = OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण),
• $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$.

RHS सर्वांगसमता नियम के अनुसार, $\triangle OQP \cong \triangle ORP$.

अतः, CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) के अनुसार, $$PQ = PR. \qquad \blacksquare$$

एक दूसरी उपपत्ति, और कोण-समद्विभाजक गुण

पाइथागोरस रूप। समकोण त्रिभुजों में, $PQ^2 = OP^2 - OQ^2$ और $PR^2 = OP^2 - OR^2$. क्योंकि $OQ = OR$, हमें $PQ^2 = PR^2$ मिलता है, अतः $PQ = PR$.

कोण-समद्विभाजक गुण। वही सर्वांगसमता $\triangle OQP \cong \triangle ORP$ यह भी देती है कि $$\angle OPQ = \angle OPR \quad\text{और}\quad \angle QOP = \angle ROP.$$

अतः $OP$, दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण $\angle QPR$ को समद्विभाजित करता है, और केंद्र पर बने कोण $\angle QOR$ को भी समद्विभाजित करता है।

मुख्य बिंदु: बाह्य बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा, स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण और स्पर्श बिंदुओं तक की त्रिज्याओं के बीच के कोण, दोनों को समद्विभाजित करती है।

एक अत्यंत उपयोगी कोण-संबंध

चतुर्भुज $OQPR$ को देखिए (केंद्र $O$, स्पर्श बिंदु $Q$, $R$, बाह्य बिंदु $P$)। $Q$ और $R$ पर इसके कोण प्रत्येक $90^\circ$ हैं। क्योंकि किसी चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है, $$\angle QOR + \angle QPR = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ.$$

परिणाम: किसी बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण संपूरक होते हैं: $$\angle QPR + \angle QOR = 180^\circ.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] अतः यदि $\angle POQ = 110^\circ$ हो, तो $\angle PTQ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$; यदि स्पर्श रेखाएँ $80^\circ$ पर मिलती हैं, तो केंद्र पर $\angle = 100^\circ$, और प्रत्येक $\angle OPA = \tfrac{1}{2}(180^\circ - 80^\circ) = 50^\circ$.

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण

केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर किसी बाह्य बिंदु $T$ से दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ खींची गई हैं, और $\angle POQ = 110^\circ$. $\angle PTQ$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\angle PTQ$ और $\angle POQ$ संपूरक हैं: $\angle PTQ + \angle POQ = 180^\circ$.
2. $\angle PTQ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

अंतिम उत्तर: $\angle PTQ = 70^\circ$.

सार: स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $+$ केंद्र पर कोण $= 180^\circ$.

उदाहरण 2: केंद्र पर कोण ज्ञात करना

केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर किसी बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ एक-दूसरे से $80^\circ$ पर झुकी हुई हैं। $\angle POA$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\angle AOB = 180^\circ - \angle APB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
2. $OP$, $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है, अतः $\angle POA = \tfrac{1}{2}(100^\circ) = 50^\circ$.

अंतिम उत्तर: $\angle POA = 50^\circ$.

सार: $OP$ केंद्रीय कोण को समद्विभाजित करता है; $(180^\circ - \text{स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण})$ का आधा।

उदाहरण 3: समद्विबाहु व्यवस्था

किसी बाह्य बिंदु $T$ से स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ वृत्त को $P$ और $Q$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $\angle PTQ = 60^\circ$ हो, तो $\angle TPQ$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $TP = TQ$ (बराबर स्पर्श रेखाएँ), अतः त्रिभुज $TPQ$ समद्विबाहु है जिसमें $\angle TPQ = \angle TQP$.
2. कोण योग: $\angle TPQ + \angle TQP + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\angle TPQ = 120^\circ$.
3. $\angle TPQ = 60^\circ$.

अंतिम उत्तर: $\angle TPQ = 60^\circ$ (वास्तव में यह त्रिभुज समबाहु है)।

सार: बराबर स्पर्श रेखाएँ त्रिभुज $TPQ$ को समद्विबाहु बनाती हैं — आधार कोणों का उपयोग कीजिए।