सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय एक नज़र में

संपूर्ण वृत्त अध्याय तीन तथ्यों पर टिका है। इन्हें स्मृति में बैठा लें और आप बाकी सब कुछ पुनः बना सकते हैं।

1. स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या (प्रमेय 10.1)।
2. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2)।
3. स्पर्श रेखा की लंबाई $= \sqrt{d^2 - r^2}$ ($d$ = बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी, $r$ = त्रिज्या)।

परिभाषाएँ और किसी रेखा की स्थितियाँ

• छेदक रेखा: वह रेखा जो वृत्त को 2 बिंदुओं पर मिलती है।
• स्पर्श रेखा: वह रेखा जो वृत्त को ठीक 1 बिंदु (स्पर्श बिंदु) पर मिलती है; यह सीमांत छेदक रेखा है।
• अप्रतिच्छेदी रेखा: 0 उभयनिष्ठ बिंदु।

किसी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या: अंदर → 0, पर → 1, बाहर → 2।

मुख्य सूत्र और परिणाम (अवश्य याद करें)

• स्पर्श रेखा की लंबाई: $PT = \sqrt{d^2 - r^2}$, जहाँ $d=OP$ (बाह्य बिंदु से केंद्र तक)।
• समकोण त्रिभुज: त्रिज्या और स्पर्श रेखा भुजाएँ हैं; केंद्र-से-बिंदु दूरी कर्ण है, अतः $d^2 = r^2 + (\text{स्पर्श रेखा})^2$।
• आंतरिक वृत्त को स्पर्श करने वाली संकेंद्रीय वृत्तों की जीवा (त्रिज्याएँ $R>r$): लंबाई $= 2\sqrt{R^2 - r^2}$।
• वृत्त के परिगत चतुर्भुज: $AB + CD = AD + BC$।
• वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
• कोण संबंध: दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $+$ केंद्र पर कोण $= 180^\circ$; और $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$।
• $OP$ समद्विभाजित करता है स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण और केंद्रीय कोण दोनों को।
• व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
• त्रिभुज का अंतर्वृत्त: प्रत्येक शीर्ष से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं; क्षेत्रफल $= r \times s$ (अंतर्त्रिज्या $\times$ अर्धपरिमाप)।

बचने योग्य सामान्य भ्रांतियाँ

• स्पर्श रेखा को कर्ण मत बनाइए — केंद्र तक की दूरी कर्ण है। अतः स्पर्श रेखा की लंबाई सदैव $d$ से कम होती है।
• स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्रीय कोण संपूरक होते हैं (योग $180^\circ$), बराबर नहीं।
• वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती (0 स्पर्श रेखाएँ), और वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से केवल एक।
• "जीवा छोटे संकेंद्रीय वृत्त को स्पर्श करती है" में, पूरी जीवा के लिए $\sqrt{R^2-r^2}$ को दुगुना करना याद रखें।
• किसी परिगत चतुर्भुज के लिए सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं ($AB+CD=AD+BC$), आसन्न भुजाओं के नहीं।

अंतिम सुझाव: लगभग हर उपपत्ति की शुरुआत स्पर्श बिंदुओं तक त्रिज्याएँ खींचकर और प्रत्येक पर "$90^\circ$" लिखकर होती है — पहले यही कीजिए और बाकी सब स्वतः अनुसरण करेगा।