बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न

ये वे प्रश्न-प्रकार हैं जो बोर्ड वृत्त पर पूछते हैं। प्रत्येक को हल करें; हल तुरंत नीचे दिया गया है।

PYQ 1 (1 marks): किसी बिंदु $Q$ से किसी वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है और $Q$ की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। त्रिज्या है: (A) 7 सेमी (B) 12 सेमी (C) 15 सेमी (D) 24.5 सेमी। [CBSE]

हल: $r=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7$ सेमी। उत्तर: (A)।

PYQ 2 (1 marks): यदि $TP,TQ$ केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle POQ = 110^\circ$, तो $\angle PTQ$ है: (A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°। [CBSE]

हल: $\angle PTQ = 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$। उत्तर: (B)।

PYQ 3 (1 marks): यदि केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त पर बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ $PA,PB$ परस्पर $80^\circ$ पर झुकी हैं, तो $\angle POA$ बराबर है: (A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°। [CBSE]

हल: $\angle AOB=100^\circ$; $OP$ इसे समद्विभाजित करता है, $\angle POA=50^\circ$। उत्तर: (A)।

PYQ 4 (1 marks): किसी वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या है: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) अनंत। [CBSE]

हल: ठीक एक। उत्तर: (B)।

PYQ 5 (1 marks): 5 सेमी त्रिज्या वाले किसी वृत्त के एक बिंदु पर स्पर्श रेखा, केंद्र $O$ से जाने वाली एक रेखा से $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $OQ = 12$ सेमी। लंबाई $PQ$ है: (A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D) $\sqrt{119}$ सेमी। [CBSE]

हल: $PQ=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}$ सेमी। उत्तर: (D)।

PYQ 6 (2 marks): किसी वृत्त के केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर स्थित बिंदु $A$ से स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [CBSE]

हल: $r=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$ सेमी। उत्तर: 3 सेमी।

PYQ 7 (2 marks): दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। [CBSE]

हल: $2\sqrt{5^2-3^2}=2\sqrt{16}=8$ सेमी। उत्तर: 8 सेमी।

PYQ 8 (2 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं। [CBSE]

हल: प्रत्येक स्पर्श रेखा अपने सिरे पर त्रिज्या के लंबवत है; दोनों त्रिज्याएँ व्यास के अनुदिश स्थित हैं, अतः दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा के लंबवत हैं और इसलिए समांतर हैं। $\blacksquare$

PYQ 9 (2 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर खींचा गया लंब केंद्र से होकर जाता है। [CBSE]

हल: स्पर्श बिंदु तक की त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत है (प्रमेय 10.1); स्पर्श बिंदु से होकर स्पर्श रेखा पर केवल एक ही लंब होता है, अतः वही त्रिज्या रेखा है, जो केंद्र से होकर जाती है। $\blacksquare$

PYQ 10 (3 marks): एक चतुर्भुज $ABCD$ इस प्रकार खींचा गया है कि यह किसी वृत्त के परिगत है। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$। [CBSE]

हल: प्रत्येक शीर्ष से बराबर स्पर्श रेखाओं ($AP=AS$, $BP=BQ$, $CR=CQ$, $DR=DS$) का उपयोग करते हुए, जोड़ने पर: $AB+CD = (AP+BP)+(CR+DR) = (AS+BQ)+(CQ+DS) = (AS+DS)+(BQ+CQ) = AD+BC$। $\blacksquare$

PYQ 11 (3 marks): किसी बाह्य बिंदु $T$ से केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$। [CBSE]

हल: माना $\angle PTQ=\theta$। चूँकि $TP=TQ$, अतः $\angle TPQ=90^\circ-\tfrac{\theta}{2}$। चूँकि $\angle OPT=90^\circ$, अतः $\angle OPQ = 90^\circ-(90^\circ-\tfrac{\theta}{2})=\tfrac{\theta}{2}$, इसलिए $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$। $\blacksquare$

PYQ 12 (3 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। [CBSE]

हल: स्पर्श रेखाओं $PQ,PR$ और केंद्र $O$ के साथ: $\angle OQP=\angle ORP=90^\circ$, $OQ=OR$ (त्रिज्याएँ), $OP$ उभयनिष्ठ $\Rightarrow \triangle OQP\cong\triangle ORP$ (RHS) $\Rightarrow PQ=PR$ (CPCT)। $\blacksquare$

PYQ 13 (3 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है। [CBSE]

हल: परिगत चतुर्भुज के लिए $AB+CD=AD+BC$; $AB=CD$, $AD=BC$ के साथ इससे $AB=BC$ प्राप्त होता है, अतः सभी भुजाएँ बराबर हैं — एक समचतुर्भुज। $\blacksquare$

PYQ 14 (3 marks): एक त्रिभुज $ABC$ इस प्रकार खींचा गया है कि वह 4 सेमी त्रिज्या वाले किसी वृत्त के परिगत है, जिसमें $BD = 8$ सेमी और $DC = 6$ सेमी ($D$ = $BC$ पर स्पर्श बिंदु)। $AB$ और $AC$ ज्ञात कीजिए। [CBSE]

हल: $AF=AE=x$ के साथ: $s=14+x$, क्षेत्रफल $=4(14+x)=\sqrt{(14+x)\,x\cdot8\cdot6}$; वर्ग करने पर $x=7$ प्राप्त होता है। अतः $AB=15$ सेमी, $AC=13$ सेमी। उत्तर: $AB=15$ सेमी, $AC=13$ सेमी।

PYQ 15 (3 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है। [CBSE]

हल: चतुर्भुज $OQPR$ में, $\angle OQP=\angle ORP=90^\circ$, अतः $\angle QPR+\angle QOR = 360^\circ-180^\circ = 180^\circ$ — ये संपूरक हैं। $\blacksquare$

PYQ 16 (3 marks): आकृति में, $XY$ और $X'Y'$ केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा स्पर्श बिंदु $C$ वाली एक अन्य स्पर्श रेखा $AB$ इन्हें $A$ और $B$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB = 90^\circ$। [CBSE]

हल: $OA$ और $OB$ सह-अंतःकोणों $\angle XAB$ और $\angle X'BA$ को समद्विभाजित करते हैं जिनका योग $180^\circ$ है; अतः $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$ और $\angle AOB=90^\circ$। $\blacksquare$

PYQ 17 (2 marks): किसी बाह्य बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $PA = 12$ सेमी है, तो $PB$ ज्ञात कीजिए। [CBSE]

हल: बराबर स्पर्श रेखाएँ: $PB = PA = 12$ सेमी।

PYQ 18 (4 marks): सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं। [CBSE]

हल: केंद्र को चारों स्पर्श बिंदुओं से मिलाने पर प्रत्येक शीर्ष पर सर्वांगसम त्रिभुजों के युग्म बनते हैं (बराबर स्पर्श रेखाएँ + उभयनिष्ठ त्रिज्या)। $O$ पर बने आठ कोणों को $360^\circ$ में जोड़कर तथा उन्हें युग्मित करने पर यह दर्शाया जाता है कि $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$ और $\angle BOC+\angle DOA=180^\circ$। $\blacksquare$

PYQ 19 (2 marks): 13 सेमी और 5 सेमी त्रिज्याओं वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। [CBSE]

हल: $2\sqrt{13^2-5^2}=2\sqrt{144}=24$ सेमी।

PYQ 20 (1 marks): 5 सेमी त्रिज्या वाले किसी वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर स्थित किसी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई है: (A) 8 (B) 12 (C) 18 (D) $\sqrt{194}$ सेमी। [CBSE]

हल: $\sqrt{13^2-5^2}=12$ सेमी। उत्तर: (B)।