अनुप्रयोग — वृत्त को परिगत आकृतियाँ और कोण संबंध

जीवाएँ और संकेंद्रीय वृत्त

संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र एक ही होता है। एक प्रसिद्ध परिणाम:

दो संकेंद्रीय वृत्तों में से बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

क्यों? मान लीजिए बड़े वृत्त की जीवा $AB$ छोटे वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है। तब $AB$ छोटे वृत्त की $P$ पर स्पर्श रेखा है, अतः $OP \perp AB$ (प्रमेय 10.1)। परंतु केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः $AP = BP$।

यदि त्रिज्याएँ $R$ (बड़ी) और $r$ (छोटी) हों, तो जीवा का प्रत्येक आधा भाग $\sqrt{R^2 - r^2}$ होता है, अतः पूरी जीवा की लंबाई है $$AB = 2\sqrt{R^2 - r^2}.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] त्रिज्याओं 5 सेमी और 3 सेमी के लिए, जीवा $= 2\sqrt{5^2-3^2} = 2\sqrt{16} = 8$ सेमी।

संबंध $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$

एक बाह्य बिंदु $T$ से, स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$ केंद्र $O$ वाले वृत्त को स्पर्श करती हैं। तब $$\angle PTQ = 2\,\angle OPQ.$$

क्यों? मान लीजिए $\angle PTQ = \theta$। चूँकि $TP = TQ$, त्रिभुज $TPQ$ समद्विबाहु है, अतः $\angle TPQ = \tfrac{1}{2}(180^\circ - \theta) = 90^\circ - \tfrac{\theta}{2}$। साथ ही $\angle OPT = 90^\circ$ (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा)। अतः $$\angle OPQ = \angle OPT - \angle TPQ = 90^\circ - \left(90^\circ - \tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\theta}{2} = \tfrac{1}{2}\angle PTQ.$$

अतः $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$। यह प्रायः 3-अंकों वाली उपपत्ति के रूप में आता है।

एक वृत्त को परिगत चतुर्भुज: $AB + CD = AD + BC$

एक चतुर्भुज $ABCD$ इस प्रकार खींचा गया है कि इसकी चारों भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं (वृत्त इसमें अंतर्निहित है)। मान लीजिए वृत्त $AB, BC, CD, DA$ को क्रमशः $P, Q, R, S$ पर स्पर्श करता है।

प्रत्येक शीर्ष से बराबर स्पर्श रेखाओं का उपयोग करते हुए: $$AP = AS,\quad BP = BQ,\quad CR = CQ,\quad DR = DS.$$

इन्हें चतुराई से जोड़िए: $$AB + CD = (AP+PB) + (CR+RD) = (AS+BQ) + (CQ+DS) = (BQ+CQ)+(AS+DS) = BC + AD.$$

परिणाम: किसी वृत्त को परिगत किसी भी चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $$AB + CD = AD + BC.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक वृत्त को परिगत समांतर चतुर्भुज अनिवार्यतः समचतुर्भुज होता है: समांतर चतुर्भुज में $AB=CD$ और $AD=BC$ होता है, और यह परिणाम $2\,AB = 2\,BC$ को बाध्य करता है, अर्थात् सभी भुजाएँ बराबर।

एक वृत्त को परिगत त्रिभुज (अंतःवृत्त)

जब एक वृत्त त्रिभुज $ABC$ में अंतर्निहित होता है (इसका अंतःवृत्त), तो प्रत्येक शीर्ष वृत्त पर दो बराबर स्पर्श रेखाएँ भेजता है। यदि अंतःवृत्त $BC, CA, AB$ को क्रमशः $D, E, F$ पर स्पर्श करता है, तो $$BD = BF,\quad CD = CE,\quad AE = AF.$$

ये बराबर स्पर्श रेखा लंबाइयाँ आपको अज्ञात भुजाएँ ज्ञात करने देती हैं। क्षेत्रफल संबंध क्षेत्रफल $= r \times s$ (जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या और $s$ अर्धपरिमाप है) के साथ मिलाकर, त्रिभुज-अंतःवृत्त की समस्याएँ पूर्णतः हल की जा सकती हैं।

मुख्य बिंदु: प्रत्येक शीर्ष से, अंतःवृत्त तक की दो स्पर्श रेखा रेखाखंड बराबर होते हैं — उन्हें नामांकित कीजिए और समीकरण बनाइए।

व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ

किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

क्यों? मान लीजिए $AB$ एक व्यास है। $A$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $OA$ पर लंब है, अर्थात् रेखा $AB$ पर; $B$ पर स्पर्श रेखा $OB$ पर लंब है, अर्थात् उसी रेखा $AB$ पर। एक ही रेखा पर लंब दो रेखाएँ समांतर होती हैं।

एक अन्य मानक परिणाम: यदि $XY$ और $X'Y'$ दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और एक तीसरी स्पर्श रेखा $AB$ वृत्त को $C$ पर स्पर्श करती हुई उन्हें $A$ और $B$ पर मिलती है, तो $\angle AOB = 90^\circ$ ($A$ और $B$ पर कोण-समद्विभाजक गुण का उपयोग करते हुए)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: संकेंद्रीय वृत्तों की जीवा

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

हल:

1. जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, अतः केंद्र से डाला गया लंब (त्रिज्या 3) इसे समद्विभाजित करता है।
2. अर्ध-जीवा $= \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ सेमी।
3. पूरी जीवा $= 2 \times 4 = 8$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 8 सेमी।

मुख्य बात: संकेंद्रीय त्रिज्याओं $R>r$ के लिए जीवा $= 2\sqrt{R^2 - r^2}$।

उदाहरण 2: एक वृत्त को परिगत चतुर्भुज

एक चतुर्भुज $ABCD$ एक वृत्त को परिगत करता है। यदि $AB = 6$ सेमी, $BC = 7$ सेमी और $CD = 4$ सेमी हो, तो $AD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $AB + CD = AD + BC$।
2. $6 + 4 = AD + 7 \Rightarrow AD = 10 - 7 = 3$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AD = 3$ सेमी।

मुख्य बात: किसी भी परिगत चतुर्भुज के लिए $AB + CD = AD + BC$।

उदाहरण 3: एक वृत्त को परिगत त्रिभुज

एक त्रिभुज $ABC$ को 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को परिगत करते हुए खींचा गया है, और स्पर्श बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $BD = 8$ सेमी और $DC = 6$ सेमी में विभाजित करता है। $AB$ और $AC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. बराबर स्पर्श रेखाएँ: $BF = BD = 8$, $CE = CD = 6$, और मान लीजिए $AF = AE = x$।
2. भुजाएँ: $BC = 14$, $AB = 8 + x$, $AC = 6 + x$; अर्धपरिमाप $s = 14 + x$।
3. क्षेत्रफल $= r s = 4(14 + x)$। साथ ही क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(14+x)\,x\cdot 8\cdot 6}$।
4. वर्ग करने पर: $16(14+x)^2 = 48x(14+x) \Rightarrow 16(14+x) = 48x \Rightarrow 14 + x = 3x \Rightarrow x = 7$।
5. $AB = 8 + 7 = 15$ सेमी, $AC = 6 + 7 = 13$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AB = 15$ सेमी, $AC = 13$ सेमी।

मुख्य बात: बराबर स्पर्श रेखाएँ + क्षेत्रफल $= rs$ अंतःवृत्त की समस्याओं को हल कर देते हैं।

उदाहरण 4: एक वृत्त को परिगत समांतर चतुर्भुज

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त को परिगत करने वाला समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।

हल:

1. एक परिगत चतुर्भुज $ABCD$ के लिए: $AB + CD = AD + BC$।
2. समांतर चतुर्भुज में $AB = CD$ और $AD = BC$। प्रतिस्थापित करने पर: $2AB = 2BC$, अतः $AB = BC$।
3. समांतर चतुर्भुज में आसन्न भुजाएँ बराबर $\Rightarrow$ सभी भुजाएँ बराबर $\Rightarrow$ समचतुर्भुज।

अंतिम उत्तर: यह अनिवार्यतः एक समचतुर्भुज है।

मुख्य बात: परिगत + समांतर चतुर्भुज सभी भुजाओं को बराबर होने के लिए बाध्य करता है।

उदाहरण 5: व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरों पर स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हल:

1. मान लीजिए $AB$ एक व्यास है। $A$ पर स्पर्श रेखा $\perp OA$ है; $B$ पर स्पर्श रेखा $\perp OB$ है।
2. परंतु $OA$ और $OB$ एक ही रेखा $AB$ पर स्थित हैं।
3. दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा $AB$ पर लंब हैं, अतः वे समांतर हैं।

अंतिम उत्तर: दोनों स्पर्श रेखाएँ समांतर हैं।

मुख्य बात: एक ही रेखा पर लंब समांतर होते हैं।