हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह वृत्त के लिए आपका अभ्यास शक्तिकेंद्र है। नीचे दी गई समस्याएँ एक-चरणीय अभ्यास से लेकर पूर्ण बोर्ड उपपत्तियों तक जाती हैं। लगभग प्रत्येक समस्या केवल तीन तथ्यों में से किसी एक का उपयोग करती है: (1) स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या, (2) स्पर्श रेखा की लंबाई $=\sqrt{d^2-r^2}$, (3) किसी बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। इन्हें ध्यान में रखिए और प्रत्येक हल को कलम से कीजिए।

उदाहरण 1: स्पर्श रेखा की लंबाई

एक बिंदु 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 17 सेमी दूर है। बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: $\sqrt{d^2-r^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 15 सेमी।

उदाहरण 2: त्रिज्या ज्ञात कीजिए

किसी वृत्त के केंद्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई 6 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल: $r=\sqrt{d^2-\text{स्पर्श रेखा}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 8 सेमी।

उदाहरण 3: केंद्र से दूरी

एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और एक बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है। $OP$ ज्ञात कीजिए।

हल: $OP=\sqrt{r^2+\text{स्पर्श रेखा}^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 25 सेमी।

उदाहरण 4: त्रिज्या के साथ कोण

एक स्पर्श रेखा वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या $OP$ के बीच का कोण क्या है?

हल: प्रमेय 10.1 के अनुसार यह $90^\circ$ है।

अंतिम उत्तर: $90^\circ$।

उदाहरण 5: स्पर्श रेखाओं के बीच कोण

$T$ से स्पर्श रेखाएँ $TP$, $TQ$ केंद्र $O$ वाले वृत्त को स्पर्श करती हैं जहाँ $\angle POQ = 130^\circ$। $\angle PTQ$ ज्ञात कीजिए।

हल: $\angle PTQ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$।

अंतिम उत्तर: $50^\circ$।

उदाहरण 6: स्पर्श रेखा कोण से केंद्रीय कोण

$P$ से दो स्पर्श रेखाएँ $60^\circ$ पर झुकी हुई हैं। वे केंद्र पर जो कोण अंतरित करती हैं, ज्ञात कीजिए।

हल: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

अंतिम उत्तर: $120^\circ$।

उदाहरण 7: केंद्र पर अर्ध-कोण

$P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त तक स्पर्श रेखाएँ $PA,PB$, $80^\circ$ पर झुकी हुई हैं। $\angle POA$ ज्ञात कीजिए।

हल: $\angle AOB = 180^\circ-80^\circ=100^\circ$; $OP$ इसे समद्विभाजित करता है, अतः $\angle POA = 50^\circ$।

अंतिम उत्तर: $50^\circ$।

उदाहरण 8: बराबर स्पर्श रेखाएँ

एक बाह्य बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $PA = 3x-2$ और $PB = x+6$ (सेमी में), तो $PA$ ज्ञात कीजिए।

हल: बराबर स्पर्श रेखाएँ: $3x-2 = x+6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$। अतः $PA = 3(4)-2 = 10$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $PA = 10$ सेमी।

उदाहरण 9: संकेंद्रीय जीवा

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 25 सेमी और 24 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे को स्पर्श करती है।

हल: $2\sqrt{25^2-24^2}=2\sqrt{625-576}=2\sqrt{49}=2\times7=14$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 14 सेमी।

उदाहरण 10: वृत्त को परिगत चतुर्भुज

$ABCD$ एक वृत्त को परिगत करता है जहाँ $AB=5$, $BC=8$, $CD=9$। $AD$ ज्ञात कीजिए।

हल: $AB+CD=AD+BC \Rightarrow 5+9=AD+8 \Rightarrow AD=6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 6 सेमी।

उदाहरण 11: बहुविकल्पीय — Q से स्पर्श रेखा

एक बिंदु $Q$ से, वृत्त की स्पर्श रेखा 24 सेमी है और $OQ = 25$ सेमी। त्रिज्या है: (A) 7 (B) 12 (C) 15 (D) 24.5 सेमी।

हल: $r=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7$ सेमी।

अंतिम उत्तर: (A) 7 सेमी।

उदाहरण 12: बहुविकल्पीय — कोण POQ = 110°

$TP,TQ$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जहाँ $\angle POQ = 110^\circ$। तब $\angle PTQ$ है: (A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°।

हल: $\angle PTQ = 180^\circ-110^\circ = 70^\circ$।

अंतिम उत्तर: (B) 70°।

उदाहरण 13: बहुविकल्पीय — 80° पर झुकी स्पर्श रेखाएँ

$P$ (केंद्र $O$) से स्पर्श रेखाएँ $PA,PB$, $80^\circ$ पर झुकी हुई हैं। तब $\angle POA$ है: (A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°।

हल: $\angle AOB = 100^\circ$, समद्विभाजित: $\angle POA = 50^\circ$।

अंतिम उत्तर: (A) 50°।

उदाहरण 14: लंब केंद्र से होकर जाता है

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु पर खींचा गया लंब केंद्र से होकर जाता है।

हल:

1. मान लीजिए स्पर्श रेखा वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है; प्रमेय 10.1 के अनुसार, त्रिज्या $OP \perp$ स्पर्श रेखा।
2. $P$ से होकर स्पर्श रेखा पर केवल एक ही लंब रेखा है, और वह $OP$ है।
3. अतः $P$ पर लंब रेखा $OP$ है, जो केंद्र $O$ से होकर जाती है। $\blacksquare$

उदाहरण 15: स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित जीवा

सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

हल:

1. जीवा $AB$ भीतरी वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है, अतः $OP \perp AB$ (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)।
2. केंद्र से जीवा पर लंब उसे समद्विभाजित करता है, अतः $AP = BP$। $\blacksquare$

उदाहरण 16: $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$

एक बाह्य बिंदु $T$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ $TP,TQ$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए $\angle PTQ = 2\,\angle OPQ$।

हल:

1. मान लीजिए $\angle PTQ = \theta$। चूँकि $TP=TQ$, त्रिभुज $TPQ$ समद्विबाहु है: $\angle TPQ = 90^\circ - \tfrac{\theta}{2}$।
2. $\angle OPT = 90^\circ$ (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा)।
3. $\angle OPQ = \angle OPT - \angle TPQ = 90^\circ-(90^\circ-\tfrac{\theta}{2}) = \tfrac{\theta}{2}$।
4. अतः $\angle PTQ = \theta = 2\,\angle OPQ$। $\blacksquare$

उदाहरण 17: जीवा + दो स्पर्श रेखाएँ (लंबाई TP)

$PQ$, 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की 8 सेमी लंबाई की एक जीवा है। $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ $T$ पर मिलती हैं। $TP$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $OT \perp PQ$ और इसे समद्विभाजित करता है, अतः $PR = 4$ सेमी (पाद $R$)। $OR = \sqrt{5^2-4^2}=3$ सेमी।
2. $\triangle TRP \sim \triangle PRO$ (AA): $\dfrac{TP}{PO} = \dfrac{RP}{RO} \Rightarrow \dfrac{TP}{5} = \dfrac{4}{3}$।
3. $TP = \dfrac{20}{3}$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $TP = \dfrac{20}{3}$ सेमी।

उदाहरण 18: व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं

इसे सिद्ध कीजिए।

हल: प्रत्येक सिरे पर स्पर्श रेखा वहाँ की त्रिज्या पर लंब है, और दोनों त्रिज्याएँ व्यास के अनुदिश स्थित हैं। एक ही रेखा (व्यास) पर लंब दो रेखाएँ समांतर होती हैं। $\blacksquare$

उदाहरण 19: तिर्यक स्पर्श रेखा के लिए $\angle AOB = 90^\circ$

$XY$ और $X'Y'$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं; एक स्पर्श रेखा $AB$ (स्पर्श $C$) उन्हें $A$ और $B$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए $\angle AOB = 90^\circ$।

हल:

1. $OA$, $\angle XAB$ को समद्विभाजित करता है और $OB$, $\angle X'BA$ को समद्विभाजित करता है ($A$ से, तथा $B$ से स्पर्श रेखाएँ)।
2. $\angle XAB + \angle X'BA = 180^\circ$ (अंतःकोण, समांतर रेखाएँ)।
3. अतः $\angle OAB + \angle OBA = \tfrac12(180^\circ) = 90^\circ$, जिससे $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$। $\blacksquare$

उदाहरण 20: समचतुर्भुज

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त को परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।

हल: $AB+CD=AD+BC$; $AB=CD$, $AD=BC$ के साथ यह $AB=BC$ देता है, अतः सभी भुजाएँ बराबर — एक समचतुर्भुज। $\blacksquare$

उदाहरण 21: अंतःवृत्त — भुजाएँ ज्ञात कीजिए

एक त्रिभुज $ABC$, 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को परिगत करता है; $BC$ पर स्पर्श बिंदु से $BD=8$, $DC=6$ मिलता है। $AB, AC$ ज्ञात कीजिए।

हल: $AF=AE=x$ के साथ: भुजाएँ $14, 8+x, 6+x$, $s=14+x$। क्षेत्रफल $=4(14+x)=\sqrt{(14+x)x\cdot48}$। वर्ग करने पर: $16(14+x)=48x \Rightarrow x=7$। अतः $AB=15$ सेमी, $AC=13$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AB=15$ सेमी, $AC=13$ सेमी।

उदाहरण 22: स्पर्श रेखा और जीवा के बीच कोण की व्यवस्था

$T$ से दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $P,Q$ पर स्पर्श करती हैं और $\angle PTQ = 50^\circ$। $\angle OPQ$ ज्ञात कीजिए।

हल: $\angle OPQ = \tfrac12\angle PTQ = 25^\circ$।

अंतिम उत्तर: $25^\circ$।

उदाहरण 23: संपूरक कोण

एक बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर $70^\circ$ अंतरित करती हैं। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हल: $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$।

अंतिम उत्तर: $110^\circ$।

उदाहरण 24: दो वृत्त, उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्श रेखा (संख्यात्मक)

एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। एक बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा की लंबाई 12 सेमी है। $P$ की वृत्त के निकटतम बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $OP=\sqrt{5^2+12^2}=13$ सेमी। वृत्त का निकटतम बिंदु $OP-r = 13-5 = 8$ सेमी की दूरी पर है।

अंतिम उत्तर: 8 सेमी।

उदाहरण 25: चतुर्भुज — सम्मुख भुजाओं के योग

$ABCD$ एक वृत्त को परिगत करता है जहाँ $AB=7$, $CD=4$। $AD+BC-AB-CD$ ज्ञात कीजिए… अर्थात् $AD+BC$ ज्ञात कीजिए।

हल: $AD+BC = AB+CD = 7+4 = 11$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AD+BC = 11$ सेमी।

उदाहरण 26: व्यास और स्पर्श रेखा

6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक स्पर्श रेखा केंद्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु से खींची गई है। स्पर्श रेखा कितनी लंबी है?

हल: $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 8 सेमी।

उदाहरण 27: दो स्पर्श रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं

$T$ से, स्पर्श रेखाएँ $TP,TQ$ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं। यदि $\angle PTQ = 60^\circ$, तो दर्शाइए कि $\triangle TPQ$ समबाहु है।

हल: $TP=TQ$ अतः आधार कोण बराबर, प्रत्येक $=\tfrac12(180^\circ-60^\circ)=60^\circ$। तीनों कोण $60^\circ$ $\Rightarrow$ समबाहु। $\blacksquare$

उदाहरण 28: अंतःत्रिज्या-निरपेक्ष भुजा ज्ञात कीजिए

$ABCD$ एक वृत्त को परिगत करता है। $AB=12$, $BC=10$, $CD=8$। $DA$ ज्ञात कीजिए।

हल: $DA = AB+CD-BC = 12+8-10 = 10$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 10 सेमी।

उदाहरण 29: सम्मुख भुजाएँ संपूरक कोण अंतरित करती हैं

एक वृत्त को परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के बारे में परिणाम बताइए (केंद्र पर कोण)।

हल: सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं: $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$ और $\angle BOC + \angle DOA = 180^\circ$।

अंतिम उत्तर: सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

उदाहरण 30: मिश्रित — पूर्ण तर्क

एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$, त्रिज्या 5 सेमी वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं, जहाँ $OP = 13$ सेमी। ज्ञात कीजिए (i) $PA$, (ii) $\angle APB$ यदि $\angle AOB = 120^\circ$।

हल: (i) $PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ सेमी। (ii) $\angle APB = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।

अंतिम उत्तर: $PA = 12$ सेमी; $\angle APB = 60^\circ$।

मुख्य बात: एक आकृति, दो उपकरण — लंबाइयों के लिए पाइथागोरस, कोणों के लिए संपूरक संबंध।