परिचय — वृत्त, छेदक रेखा और स्पर्श रेखा

त्वरित पुनरावृत्ति — और नया क्या है

आप कक्षा 9 से वृत्त को पहले से जानते हैं: यह किसी समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। आपने जीवा (वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड), चाप (वृत्त का एक भाग), वृत्तखंड और त्रिज्यखंड शब्दों से भी परिचय पाया।

तो यहाँ नया क्या है? इस अध्याय में हम ध्यानपूर्वक देखते हैं कि जब एक रेखा और एक वृत्त एक ही समतल में खींचे जाते हैं तो क्या होता है। यही एक प्रश्न हमें ज्यामिति के सबसे उपयोगी विचारों में से एक — स्पर्श रेखा — तक और दो छोटे किंतु शक्तिशाली प्रमेयों तक ले जाता है, जो बोर्ड परीक्षा में लगभग हर वर्ष आते हैं।

मुख्य बिंदु: यह अध्याय छोटा है (केवल दो प्रमेय), किंतु यह बहुत अधिक अंक दिलाने वाला है। दोनों प्रमेयों और स्पर्श रेखा की लंबाई के सूत्र में महारत हासिल कर लें, और अधिकांश प्रश्न शीघ्र हल हो जाते हैं।

किसी रेखा और वृत्त की तीन स्थितियाँ

एक ही समतल में एक वृत्त और एक रेखा $PQ$ लीजिए। ठीक तीन बातें हो सकती हैं — कोई चौथी संभावना नहीं है।

1. अप्रतिच्छेदी रेखा। रेखा और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। रेखा वृत्त से पूरी तरह चूक जाती है।

2. छेदक रेखा। रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। ऐसी रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहते हैं। (जीवा तो छेदक रेखा का वही भाग है जो वृत्त के अंदर होता है।)

3. स्पर्श रेखा। रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु $A$ पर मिलती है। ऐसी रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं, और $A$ स्पर्श बिंदु है।

रेखा की स्थिति	वृत्त के साथ उभयनिष्ठ बिंदु
अप्रतिच्छेदी रेखा	0
छेदक रेखा	2
स्पर्श रेखा	1

tangent शब्द लैटिन tangere से आया है, जिसका अर्थ है "स्पर्श करना।" स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है; छेदक रेखा उसे काटती है।

स्पर्श रेखा एक विशेष छेदक रेखा है

स्पर्श रेखा को देखने का एक सुंदर तरीका यहाँ है। एक ऐसी छेदक रेखा से आरंभ कीजिए जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, और उसे (समांतर रखते हुए) इस प्रकार खिसकाइए कि दोनों बिंदु निकट और निकट आते जाएँ। जिस क्षण दोनों बिंदु एक में मिल जाते हैं, छेदक रेखा स्पर्श रेखा बन जाती है।

मुख्य बिंदु: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की वह सीमांत स्थिति है जब उसकी जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जाते हैं।

दो परिणाम तुरंत निकलते हैं:

• किसी वृत्त के किसी भी दिए गए बिंदु पर ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
• किसी दी गई छेदक रेखा के लिए, उसके समांतर अधिक से अधिक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं (प्रत्येक ओर एक)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य 1-अंक का प्रश्न पूछता है "किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?" — उत्तर है एक।

आपके चारों ओर स्पर्श रेखाएँ — और मुख्य पद

स्पर्श रेखाएँ हर जगह हैं। किसी घिरनी से उतरती रस्सी, या चलती हुई साइकिल के पहिये के नीचे की भूमि, वृत्त की स्पर्श रेखा की तरह व्यवहार करती है। सड़क पर लुढ़कते हुए एक पहिये को देखिए: यह प्रत्येक क्षण सड़क को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है, और — जैसा कि हम अगले खंड में सिद्ध करेंगे — उस बिंदु तक जाने वाला आरा (त्रिज्या) सड़क के समकोण पर खड़ा रहता है।

आइए उन पदों को निश्चित कर लें जिनका प्रयोग हम पूरे अध्याय में करेंगे:

• स्पर्श बिंदु: वह एकमात्र बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
• स्पर्श रेखा की लंबाई (किसी बाह्य बिंदु से): बाह्य बिंदु से स्पर्श बिंदु तक की दूरी।
• अभिलंब: स्पर्श बिंदु से होकर स्पर्श रेखा पर लंब खींची गई रेखा — यह सदैव केंद्र से होकर जाती है।

मुख्य बिंदु: "स्पर्श करती है" = स्पर्श रेखा = एक उभयनिष्ठ बिंदु। "काटती है" = छेदक रेखा = दो उभयनिष्ठ बिंदु। इन शब्दों को स्पष्ट रखिए और आधे सैद्धांतिक प्रश्न स्वयं ही हल हो जाते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: रेखा का नामकरण

एक रेखा किसी वृत्त को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। इस रेखा को क्या कहते हैं, और रेखाखंड $AB$ को क्या कहते हैं?

हल:

1. वृत्त को दो बिंदुओं पर मिलने वाली रेखा एक छेदक रेखा है।
2. छेदक रेखा का वृत्त के अंदर वाला भाग, रेखाखंड $AB$, एक जीवा है।

अंतिम उत्तर: रेखा एक छेदक रेखा है; $AB$ एक जीवा है।

सार: छेदक रेखा = पूरी रेखा (2 बिंदु); जीवा = उनके बीच का रेखाखंड।

उदाहरण 2: कितने उभयनिष्ठ बिंदु?

बताइए कि किसी स्पर्श रेखा के अपने वृत्त के साथ कितने उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं, और किसी अप्रतिच्छेदी रेखा के कितने होते हैं।

हल:

1. स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु (स्पर्श बिंदु) पर स्पर्श करती है।
2. अप्रतिच्छेदी रेखा का वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता।

अंतिम उत्तर: स्पर्श रेखा — 1 बिंदु; अप्रतिच्छेदी रेखा — 0 बिंदु।

सार: 0, 1, 2 उभयनिष्ठ बिंदु ↔ अप्रतिच्छेदी, स्पर्श रेखा, छेदक रेखा।

उदाहरण 3: समांतर स्पर्श रेखाएँ

किसी दी गई छेदक रेखा के समांतर किसी वृत्त की अधिक से अधिक कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

हल:

1. छेदक रेखा को प्रत्येक ओर वृत्त की ओर खिसकाने पर, वह प्रत्येक ओर एक बार स्पर्श रेखा बन जाती है।
2. अतः ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, प्रत्येक ओर एक, और इससे अधिक नहीं।

अंतिम उत्तर: दो।

सार: किसी वृत्त की किसी भी दी गई दिशा के समांतर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं (वे उस दिशा पर लंब व्यास के दोनों सिरों पर होती हैं)।