किसी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या

किसी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ?

हम जानते हैं कि वृत्त पर स्थित किसी बिंदु पर ठीक एक स्पर्श रेखा होती है। लेकिन यदि बिंदु वृत्त पर न हो — यदि वह अंदर हो, या बाहर हो, तो क्या होगा? इसका उत्तर पूरी तरह इस पर निर्भर करता है कि बिंदु कहाँ स्थित है, और केवल तीन ही स्थितियाँ हैं।

एक वृत्त और एक बिंदु $P$ लीजिए, और $P$ से स्पर्श रेखाएँ खींचने का प्रयास कीजिए।

तीन स्थितियाँ

स्थिति 1 — $P$ वृत्त के अंदर: 0 स्पर्श रेखाएँ। वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से होकर खींची गई प्रत्येक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, अतः वह सदैव एक छेदक रेखा होती है। किसी आंतरिक बिंदु से होकर आप कोई स्पर्श रेखा नहीं खींच सकते।

स्थिति 2 — $P$ वृत्त पर: ठीक 1 स्पर्श रेखा। यह पिछले खंड वाली स्थिति है — $P$ पर त्रिज्या के लंबवत एकमात्र स्पर्श रेखा।

स्थिति 3 — $P$ वृत्त के बाहर: ठीक 2 स्पर्श रेखाएँ। किसी बाह्य बिंदु से आप वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं, जो उसे दो भिन्न स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।

बिंदु की स्थिति	स्पर्श रेखाओं की संख्या
वृत्त के अंदर	0
वृत्त पर	1
वृत्त के बाहर	2

मुख्य बिंदु: 0, 1, 2 स्पर्श रेखाएँ ↔ बिंदु अंदर, पर, बाहर। यह छोटी सी तालिका आसान अंक दिलाने योग्य है।

किसी बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई

स्थिति 3 में, मान लीजिए बाह्य बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर स्पर्श करती हैं। $P$ से किसी स्पर्श बिंदु तक का खंड, $PT_1$ (या $PT_2$), $P$ से वृत्त तक की स्पर्श रेखा की लंबाई कहलाता है।

ऐसी दो लंबाइयाँ होती हैं, $PT_1$ और $PT_2$। इन्हें मापिए और आप एक उल्लेखनीय बात देखेंगे — ये सदैव बराबर होती हैं। यह समानता इतनी महत्वपूर्ण है कि हम इसे अगले खंड में एक प्रमेय के रूप में सिद्ध करते हैं।

मुख्य बिंदु: किसी बाह्य बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, और (जैसा कि प्रमेय 10.2 दिखाएगा) दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: स्पर्श रेखाएँ गिनना

किसी वृत्त पर (a) उसके अंदर के किसी बिंदु से, (b) उस पर स्थित किसी बिंदु से, (c) उसके बाहर के किसी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

हल:

1. अंदर: उससे होकर प्रत्येक रेखा एक छेदक रेखा है, अतः 0 स्पर्श रेखाएँ।
2. वृत्त पर: 1 स्पर्श रेखा (वहाँ त्रिज्या के लंबवत)।
3. बाहर: 2 स्पर्श रेखाएँ।

अंतिम उत्तर: (a) 0, (b) 1, (c) 2.

सार: यह संख्या बिंदु की स्थिति से निश्चित होती है।

उदाहरण 2: क्या स्पर्श रेखा संभव है?

एक बिंदु $P$, 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर स्थित है। $P$ से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

हल:

1. दूरी की त्रिज्या से तुलना कीजिए: $4 < 6$, अतः $P$ वृत्त के अंदर है।
2. किसी आंतरिक बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

अंतिम उत्तर: 0 स्पर्श रेखाएँ।

सार: दूरी $d$ की त्रिज्या $r$ से तुलना कीजिए: $d<r$ अंदर (0), $d=r$ पर (1), $d>r$ बाहर (2)।

उदाहरण 3: दो स्पर्श रेखाएँ

किसी बाह्य बिंदु $P$ से दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $PA = 7$ सेमी हो, तो $PB$ क्या है?

हल:

1. एक ही बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2)।
2. अतः $PB = PA = 7$ सेमी.

अंतिम उत्तर: $PB = 7$ सेमी.

सार: किसी बाह्य बिंदु से बराबर स्पर्श रेखाएँ — यह तथ्य लगभग हर परिवृत्त-आकृति समस्या में प्रयोग होता है।