सैद्धांतिक प्रायिकता — मूल विचार

प्रायिकता क्या मापती है?

प्रायिकता एक संख्या है जो यह मापती है कि किसी घटना के घटित होने की कितनी संभावना है। यह 0 (घटना घटित नहीं हो सकती) से 1 (घटना निश्चित है) तक होती है। $\dfrac12$ की प्रायिकता का अर्थ है बराबर की संभावना — घटित होने की उतनी ही संभावना जितनी न घटित होने की।

कक्षा 9 में आपने प्रयोग द्वारा प्रायिकता का आकलन किया था (एक सिक्के को कई बार उछालकर और गिनकर)। यहाँ हम संभावित परिणामों पर तर्क करके यथार्थ, सैद्धांतिक प्रायिकता की गणना करते हैं — किसी प्रयोग की आवश्यकता नहीं।

समसंभावी परिणाम और सूत्र

मुख्य अवधारणा यह है कि संभावित परिणाम समसंभावी हों — किसी एक को दूसरे पर वरीयता न दी गई हो। जब आप एक न्यायसंगत सिक्का उछालते हैं, तो चित और पट समसंभावी होते हैं; जब आप एक न्यायसंगत पासा फेंकते हैं, तो छह फलक $1,2,3,4,5,6$ समसंभावी होते हैं।

किसी घटना $E$ के लिए, सैद्धांतिक प्रायिकता है $$\boxed{P(E) = \dfrac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या, घटना } E}{\text{समसंभावी परिणामों की कुल संख्या}}}$$

इसका उपयोग कैसे करें: (1) सभी समसंभावी परिणामों को सूचीबद्ध या गिनें (प्रतिदर्श समष्टि); (2) गिनें कि इनमें से कितने $E$ के अनुकूल हैं; (3) भाग दें।

मुख्य बिंदु: हर प्रायिकता (अनुकूल)/(कुल) होती है। पूरा अध्याय सावधानीपूर्वक गिनती का है।

प्रारंभिक घटनाएँ

एक प्रारंभिक घटना वह घटना है जिसमें ठीक एक परिणाम होता है — उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर "चित आना", या एक पासा फेंकने पर "3 आना"।

एक सुंदर तथ्य इन्हें आपस में जोड़ता है:

किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

एक पासे के लिए, $P(1)+P(2)+\dots+P(6) = \dfrac16\times 6 = 1$। एक सिक्के के लिए, $P(H)+P(T)=\dfrac12+\dfrac12=1$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] क्योंकि सभी परिणाम मिलकर निश्चित होते हैं, अतः उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए — यह आपकी गिनती जाँचने का एक त्वरित तरीका है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: एक सिक्का

एक न्यायसंगत सिक्का एक बार उछाला जाता है। चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. कुल समसंभावी परिणाम: चित, पट $\Rightarrow 2$।
2. "चित" के अनुकूल: $1$।
3. $P(\text{चित}) = \dfrac12$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac12$।

मुख्य सीख: अनुकूल बटा कुल।

उदाहरण 2: एक पासा

एक न्यायसंगत पासा एक बार फेंका जाता है। (i) 4 आने, (ii) एक सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. कुल परिणाम: $1,2,3,4,5,6 \Rightarrow 6$।
2. (i) 4 के अनुकूल: केवल $\{4\}$, अतः $P = \dfrac16$।
3. (ii) सम संख्याएँ $\{2,4,6\}$: $3$ अनुकूल, अतः $P = \dfrac36 = \dfrac12$।

अंतिम उत्तर: (i) $\dfrac16$; (ii) $\dfrac12$।

मुख्य सीख: अनुकूल परिणामों को सावधानी से गिनें।

उदाहरण 3: 4 से बड़ी एक संख्या

एक पासा फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. 4 से बड़ी संख्याएँ: $\{5,6\}$, अतः $2$ अनुकूल।
2. $P = \dfrac26 = \dfrac13$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac13$।

मुख्य सीख: "4 से बड़ी" में 4 स्वयं शामिल नहीं है।

उदाहरण 4: प्रारंभिक घटनाओं का योग 1

एक पासा फेंका जाता है। सत्यापित कीजिए कि छह प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।

हल:

1. प्रत्येक फलक की प्रायिकता $\dfrac16$ है।
2. योग $= 6\times\dfrac16 = 1$।

अंतिम उत्तर: कुल योग 1 है।

मुख्य सीख: सभी प्रारंभिक घटनाएँ मिलकर निश्चित होती हैं, अतः उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।