कंचों, चक्रियों और संख्याओं के साथ प्रायिकता

थैले से गेंदें या कंचे निकालना

यदि किसी थैले में रंगीन गेंदें हों, तो प्रत्येक गेंद के निकलने की संभावना समान होती है। किसी रंग की प्रायिकता है $$P(\text{रंग}) = \dfrac{\text{उस रंग की गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}}.$$

एक थैले में $r$ लाल और $b$ नीली गेंदों के लिए (कुल $r+b$): $P(\text{लाल}) = \dfrac{r}{r+b}$, और $P(\text{नीला}) = \dfrac{b}{r+b}$; इनका योग 1 होता है।

मुख्य बिंदु: कुल $=$ सभी गेंदें, केवल एक रंग की नहीं। रंगों की गिनती अंश में होती है।

चक्रियाँ

समान त्रिज्यखंडों में विभाजित एक चक्री उतने ही फलकों वाले पासे के समान होती है जितने त्रिज्यखंड हैं। यदि किसी चक्री में $n$ समान त्रिज्यखंड हों, तो प्रत्येक की संभावना समान होती है, और $$P(\text{एक विशेष त्रिज्यखंड या रंग}) = \dfrac{\text{अनुकूल त्रिज्यखंडों की संख्या}}{n}.$$

यदि त्रिज्यखंड समान नहीं हैं, तो परिणाम समसंभाव्य नहीं होते और यह सरल सूत्र सीधे लागू नहीं होता।

मुख्य बिंदु: समान त्रिज्यखंड $\Rightarrow$ समसंभाव्य। अनुकूल त्रिज्यखंडों को कुल त्रिज्यखंडों से भाग दें।

एक संख्या चुनना

जब $1$ से $n$ तक में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है, तो प्रत्येक की संभावना समान होती है। तब, उदाहरण के लिए:

• $P(\text{सम})$, $P(\text{अभाज्य})$, $P(\text{एक पूर्ण वर्ग})$, $P(\text{5 का एक गुणज})$ प्रत्येक (ऐसी कितनी संख्याएँ) $\div\ n$ होते हैं।

अनुकूल संख्याओं को ध्यानपूर्वक गिनें — उदाहरण के लिए, 1 से 100 तक के पूर्ण वर्ग $1,4,9,\dots,100$ हैं (दस संख्याएँ), अतः $P(\text{पूर्ण वर्ग}) = \dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10}$।

मुख्य बिंदु: दिए गए परास में अनुकूल संख्याओं को सूचीबद्ध करें या गिनें, फिर कुल संख्याओं की गिनती से भाग दें।

खराब वस्तुएँ और वास्तविक जीवन की गिनती

रोज़मर्रा की समस्याएँ ("बहुत से बल्ब, कुछ खराब", "एक डिब्बे में टिकट") एक ही विचार हैं: $$P = \dfrac{\text{अनुकूल गिनती}}{\text{कुल गिनती}}.$$ 12 बल्बों में से जिनमें 3 खराब हैं, $P(\text{खराब}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac14$ और $P(\text{सही}) = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$।

मुख्य बिंदु: शब्दों से कुल और अनुकूल गिनती की पहचान करें — सूत्र कभी नहीं बदलता।

हल किए गए उदाहरण

Example 1: रंगीन गेंदें

एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। $P(\text{लाल})$ और $P(\text{नीला})$ ज्ञात कीजिए।

Solution:

1. कुल $= 5+3 = 8$।
2. $P(\text{लाल}) = \dfrac58$, $P(\text{नीला}) = \dfrac38$।

Final Answer: $\dfrac58$ और $\dfrac38$ (इनका योग 1 है)।

Takeaway: कुल गिनती पर रंग की गिनती।

Example 2: कोई विशेष रंग नहीं

एक थैले में 4 लाल, 5 हरी और 6 नीली गेंदें हैं। निकाली गई गेंद के हरी न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution:

1. कुल $= 4+5+6 = 15$; हरी $= 5$।
2. $P(\text{हरा नहीं}) = 1 - \dfrac{5}{15} = 1 - \dfrac13 = \dfrac23$।

Final Answer: $\dfrac23$।

Takeaway: पूरक, या $4+6=10$ गैर-हरी गेंदों को सीधे गिनें।

Example 3: एक संख्या चुनना

1 से 20 तक में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है। इसके 3 का गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution:

1. 1 से 20 तक 3 के गुणज: $3,6,9,12,15,18$ — छह संख्याएँ।
2. $P = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$।

Final Answer: $\dfrac{3}{10}$।

Takeaway: परास में अनुकूल संख्याओं को गिनें।

Example 4: खराब बल्ब

एक कार्टन में 20 बल्ब हैं, जिनमें से 4 खराब हैं। एक बल्ब निकाला जाता है। इसके (i) खराब, (ii) सही होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution:

1. (i) $P(\text{खराब}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac15$।
2. (ii) $P(\text{सही}) = 1 - \dfrac15 = \dfrac45$ (या $\dfrac{16}{20}$)।

Final Answer: (i) $\dfrac15$; (ii) $\dfrac45$।

Takeaway: सही $+$ खराब $=$ सभी, अतः इनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।