हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह प्रायिकता के लिए आपका अभ्यास बैंक है। प्रत्येक उत्तर समसंभाव्य परिणामों के साथ (अनुकूल परिणाम)/(कुल परिणाम) है — अतः पूरा कौशल ध्यानपूर्वक गिनती है, साथ ही जब "नहीं / कम से कम / कोई नहीं" आता है तो पूरक $P(\overline{E})=1-P(E)$। मानक कुल तैयार रखें: सिक्का 2, दो सिक्के 4, पासा 6, दो पासे 36, ताश की गड्डी 52।

Example 1: एक पासा फेंका जाता है। $P(\text{विषम})$? विषम $\{1,3,5\}$: $\dfrac36=\dfrac12$।

Example 2: एक सिक्का उछालने पर $P(\text{एक पट})$? $\dfrac12$।

Example 3: दो सिक्के उछाले जाते हैं। $P(\text{कोई चित नहीं})$? केवल $TT$: $\dfrac14$।

Example 4: दो सिक्के उछाले जाते हैं। $P(\text{कम से कम एक पट})$? $\{HT,TH,TT\}$: $\dfrac34$।

Example 5: एक पासा फेंका जाता है। $P(\text{एक संख्या} \le 2)$? $\{1,2\}$: $\dfrac26=\dfrac13$।

Example 6: दो पासे फेंके जाते हैं। $P(\text{योग}=9)$? $\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}$ = 4 तरीके: $\dfrac4{36}=\dfrac19$।

Example 7: दो पासे फेंके जाते हैं। $P(\text{योग एक अभाज्य है})$? अभाज्य योग 2,3,5,7,11 के तरीके $1+2+4+6+2=15$: $\dfrac{15}{36}=\dfrac5{12}$।

Example 8: दो पासे फेंके जाते हैं। $P(\text{दोनों विषम})$? विषम फलक $\{1,3,5\}$: $3\times3=9$ तरीके: $\dfrac9{36}=\dfrac14$।

Example 9: 52 में से एक पत्ता निकाला जाता है। $P(\text{एक पान})$? $\dfrac{13}{52}=\dfrac14$।

Example 10: $P(\text{एक काला पत्ता})$? $\dfrac{26}{52}=\dfrac12$।

Example 11: $P(\text{एक चित्र पत्ता या एक इक्का})$? $12+4=16$: $\dfrac{16}{52}=\dfrac4{13}$।

Example 12: $P(\text{एक पत्ता जो न पान हो न बादशाह})$? पान 13, बादशाह 4, परंतु पान का बादशाह दो बार गिना गया, अतः $13+4-1=16$ हटाए गए; अनुकूल $52-16=36$: $\dfrac{36}{52}=\dfrac9{13}$।

Example 13: सभी लाल पत्ते हटा दिए जाते हैं; शेष 26 में से एक पत्ता निकाला जाता है। $P(\text{एक बादशाह})$? केवल 2 काले बादशाह शेष हैं: $\dfrac{2}{26}=\dfrac1{13}$।

Example 14: एक थैले में 6 लाल, 4 सफेद, 5 नीली गेंदें हैं। $P(\text{लाल})$? कुल 15: $\dfrac{6}{15}=\dfrac25$।

Example 15: उसी थैले के लिए, $P(\text{नीला नहीं})$? $1-\dfrac{5}{15}=\dfrac23$।

Example 16: 1 से 50 तक में से एक संख्या चुनी जाती है। $P(\text{5 का एक गुणज})$? $\{5,10,\dots,50\}=10$: $\dfrac{10}{50}=\dfrac15$।

Example 17: 1 से 30 तक की एक संख्या। $P(\text{3 या 5 का एक गुणज})$? 3 के गुणज: 10; 5 के: 6; 15 के: 2; अतः $10+6-2=14$: $\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}$।

Example 18: एक चक्री में 1–12 तक अंकित 12 समान त्रिज्यखंड हैं। $P(\text{एक संख्या} > 8)$? $\{9,10,11,12\}$: $\dfrac{4}{12}=\dfrac13$।

Example 19: यदि $P(E)=0.05$, तो $P(\overline{E})$ क्या है? $1-0.05=0.95$।

Example 20: एक डिब्बे में 1 से 100 तक अंकित पत्ते हैं। $P(\text{एक पूर्ण वर्ग})$? $1,4,9,\dots,100 = 10$: $\dfrac{10}{100}=\dfrac1{10}$।

Example 21: दो पासे फेंके जाते हैं। $P(\text{गुणनफल 12 है})$? $\{(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)\}=4$: $\dfrac4{36}=\dfrac19$।

Example 22: 52 में से एक पत्ता निकाला जाता है। $P(\text{एक लाल चित्र पत्ता})$? लाल चित्र पत्ते $=6$: $\dfrac{6}{52}=\dfrac3{26}$।

Example 23: एक पासा दो बार फेंका जाता है। $P(\text{सम संख्याओं का एक युग्म})$? $\{(2,2),(4,4),(6,6)\}=3$: $\dfrac3{36}=\dfrac1{12}$।

Example 24: एक थैले में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं। दो और लाल गेंदें जोड़ी जाती हैं। अब $P(\text{लाल})$? लाल $5$, कुल $7$: $\dfrac57$।

Example 25: 1 से 100 तक, $P(\text{4 से विभाज्य एक संख्या})$? $4,8,\dots,100 = 25$: $\dfrac{25}{100}=\dfrac14$।

Example 26: एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। $P(\text{ठीक दो चित})$? प्रतिदर्श समष्टि 8; अनुकूल $\{HHT,HTH,THH\}=3$: $\dfrac38$।

Example 27: दो पासे फेंके जाते हैं। $P(\text{योग} \ge 10)$? योग 10,11,12 के $3+2+1=6$ तरीके: $\dfrac6{36}=\dfrac16$।

Example 28: "PROBABILITY" शब्द में से एक अक्षर चुना जाता है। $P(\text{अक्षर B})$? शब्द में 11 अक्षर हैं, B दो बार आता है: $\dfrac{2}{11}$।

Example 29: एक थैले में 1 से 9 तक अंकित गेंदें हैं। $P(\text{एक विषम संख्या})$? विषम $\{1,3,5,7,9\}=5$: $\dfrac59$।

Example 30: मिश्रित — पूर्ण तर्क

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके (i) एक बेगम, (ii) बेगम नहीं, (iii) एक काली बेगम, (iv) एक बेगम या एक बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution:

1. (i) 4 बेगम: $\dfrac{4}{52}=\dfrac1{13}$।
2. (ii) $1-\dfrac1{13}=\dfrac{12}{13}$।
3. (iii) 2 काली बेगम: $\dfrac{2}{52}=\dfrac1{26}$।
4. (iv) $4+4=8$: $\dfrac{8}{52}=\dfrac2{13}$।

Final Answer: $\dfrac1{13},\ \dfrac{12}{13},\ \dfrac1{26},\ \dfrac2{13}$।

Takeaway: हर 52 रखें; पूरक "नहीं" वाली स्थिति को तुरंत हल कर देता है।