सिक्कों और पासों के साथ प्रायिकता

एक और दो सिक्के

एक सिक्के का प्रतिदर्श समष्टि $\{H, T\}$ है — दो समान रूप से संभावित परिणाम।

दो सिक्कों (या एक सिक्के को दो बार उछालने) के चार समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं: $$\{HH,\ HT,\ TH,\ TT\}.$$ इस सूची से आप पढ़ सकते हैं:

• $P(\text{दो चित}) = \dfrac14$ (केवल $HH$),
• $P(\text{ठीक एक चित}) = \dfrac24 = \dfrac12$ ($HT, TH$),
• $P(\text{कम से कम एक चित}) = \dfrac34$ ($TT$ को छोड़कर सभी),
• $P(\text{कोई चित नहीं}) = \dfrac14$ (केवल $TT$)।

मुख्य बिंदु: पहले पूरा प्रतिदर्श समष्टि लिखें; फिर अनुकूल स्थितियों को गिनना आसान है।

एक पासा

एक पासे का प्रतिदर्श समष्टि $\{1,2,3,4,5,6\}$ है। सामान्य घटनाएँ:

• $P(\text{सम}) = P(\text{विषम}) = \dfrac12$,
• $P(\text{अभाज्य}) = \dfrac36 = \dfrac12$ (अभाज्य $2,3,5$),
• $P(\text{3 का गुणज}) = \dfrac26 = \dfrac13$ ($3,6$),
• $P(\text{संख्या} > 4) = \dfrac26 = \dfrac13$ ($5,6$)।

मुख्य बिंदु: एक पासे के लिए कुल हमेशा 6 होता है — केवल अनुकूल गिनती बदलती है।

दो पासे — 36 परिणाम

जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो $a,b\in\{1,\dots,6\}$ के साथ 36 क्रमित युग्मों $(a,b)$ में से प्रत्येक समान रूप से संभावित है — कुल $= 6\times 6 = 36$।

दो पासों का योग 2 से 12 तक होता है, परन्तु ये योग समान रूप से संभावित नहीं हैं। युग्मों की गिनती:

योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
तरीके	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

अतः $P(\text{योग} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$ (सबसे संभावित योग), $P(\text{योग} = 2) = \dfrac1{36}$, इत्यादि।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक युग्मक समान संख्याओं वाला युग्म है $\{(1,1),\dots,(6,6)\}$ — इनकी संख्या 6 है, अतः $P(\text{युग्मक}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$।

दो-पासा ग्रिड को पढ़ना

36 परिणामों को एक $6\times 6$ ग्रिड के रूप में सोचें। कोई भी घटना केवल कोष्ठकों का एक समुच्चय है; इसकी प्रायिकता (घटना के कोष्ठक) $\div$ 36 है। उदाहरण के लिए:

• $P(\text{दोनों पर 6}) = \dfrac1{36}$,
• $P(\text{योग} \le 4) = \dfrac{1+2+3}{36} = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$,
• $P(\text{कुल योग 8}) = \dfrac{5}{36}$।

मुख्य बिंदु: दो पासे $\Rightarrow$ हर में 36। योग तालिका से अनुकूल कोष्ठक गिनें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: दो सिक्के

दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। (i) कम से कम एक चित, (ii) ठीक एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. प्रतिदर्श समष्टि $\{HH,HT,TH,TT\}$, कुल 4।
2. (i) कम से कम एक चित $= \{HH,HT,TH\}$: $\dfrac34$।
3. (ii) ठीक एक पट $= \{HT,TH\}$: $\dfrac24 = \dfrac12$।

अंतिम उत्तर: (i) $\dfrac34$; (ii) $\dfrac12$।

सार: सभी 4 परिणाम सूचीबद्ध करें, फिर गिनें।

उदाहरण 2: दो पासों का योग

दो पासे फेंके जाते हैं। योग के (i) 7, (ii) 10, (iii) 8 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. कुल परिणाम $= 36$।
2. (i) योग 7: $6$ तरीके $\Rightarrow \dfrac{6}{36} = \dfrac16$।
3. (ii) योग 10: $\{(4,6),(5,5),(6,4)\}$, $3$ तरीके $\Rightarrow \dfrac{3}{36} = \dfrac1{12}$।
4. (iii) योग 8: $5$ तरीके $\Rightarrow \dfrac{5}{36}$।

अंतिम उत्तर: (i) $\dfrac16$; (ii) $\dfrac1{12}$; (iii) $\dfrac{5}{36}$।

सार: तरीकों की संख्या के लिए योग तालिका का उपयोग करें।

उदाहरण 3: युग्मक

दो पासे फेंके जाते हैं। एक युग्मक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. युग्मक $\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$: $6$ परिणाम।
2. $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac16$।

सार: युग्मक का अर्थ है "दोनों पासों पर समान संख्या"।

उदाहरण 4: पासों के साथ पूरक

दो पासे फेंके जाते हैं। योग के 7 नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $P(\text{योग} = 7) = \dfrac16$।
2. $P(\text{योग} \ne 7) = 1 - \dfrac16 = \dfrac56$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac56$।

सार: पूरक सभी गैर-7 योगों को गिनने से बचाता है।