प्रायिकता का परिसर और पूरक घटनाएँ

प्रायिकता कभी 0 से 1 का परिसर नहीं छोड़ती

चूँकि अनुकूल परिणामों की संख्या कम से कम 0 और अधिक से अधिक कुल के बराबर हो सकती है, अतः प्रत्येक प्रायिकता संतुष्ट करती है $$0 \le P(E) \le 1.$$

• $P(E) = 0$ का अर्थ है $E$ घटित नहीं हो सकती।
• $P(E) = 1$ का अर्थ है $E$ निश्चित है।
• इनके बीच का मान आंशिक संभावना मापता है ($\dfrac12$ बराबर की संभावना है)।

मुख्य बिंदु: कोई प्रायिकता न तो कभी ऋणात्मक हो सकती है और न ही कभी 1 से अधिक। यदि आपका उत्तर $-\dfrac13$ या $\dfrac{7}{6}$ है, तो आपने गलत गिनती की है।

निश्चित घटनाएँ और असंभव घटनाएँ

• एक निश्चित (सुनिश्चित) घटना सदैव घटित होती है — प्रत्येक परिणाम अनुकूल होता है — अतः $P = \dfrac{\text{कुल}}{\text{कुल}} = 1$। उदाहरण: एक पासा फेंकने पर "1 से 6 तक कोई संख्या आना"।
• एक असंभव घटना कभी घटित नहीं होती — कोई भी परिणाम अनुकूल नहीं होता — अतः $P = \dfrac{0}{\text{कुल}} = 0$। उदाहरण: एक साधारण पासे पर "8 आना"।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] "निश्चित / सुनिश्चित" $\Rightarrow P=1$; "असंभव / घटित नहीं हो सकती" $\Rightarrow P=0$।

पूरक घटनाएँ

किसी भी घटना $E$ के लिए, "$E$ घटित नहीं होती" घटना उसकी पूरक घटना है, जिसे $\overline{E}$ (या "$E$ नहीं") लिखा जाता है। ये दोनों मिलकर हर परिणाम को समेट लेती हैं, अतः इनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है: $$\boxed{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$

यह अध्याय के सबसे उपयोगी शॉर्टकट में से एक है: यदि आप जिस घटना को चाहते हैं उसे गिनना कठिन हो, तो इसके स्थान पर उसकी पूरक घटना गिनें और 1 में से घटा दें।

मुख्य बिंदु: $P(E) + P(\overline{E}) = 1$। "कम से कम एक", "नहीं", "कोई नहीं" वाली समस्याएँ प्रायः पूरक द्वारा सबसे आसान होती हैं।

पूरक का उपयोग

ऐसे शब्दों पर ध्यान दें जो पूरक की माँग करते हैं:

• "प्रायिकता कि यह बादशाह नहीं है" $= 1 - P(\text{बादशाह})$,
• "कम से कम एक चित आने की प्रायिकता" $= 1 - P(\text{कोई चित नहीं})$।

पूरक को गिनना प्रायः हर अनुकूल स्थिति को सूचीबद्ध करने की तुलना में कहीं अधिक तेज़ होता है।

मुख्य बिंदु: जब "नहीं / कम से कम / कोई नहीं" आए, तो पूछें: क्या $P(\overline{E})$ ज्ञात करना आसान है? फिर $P(E)=1-P(\overline{E})$ का उपयोग करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: पासे पर पूरक

एक पासा फेंका जाता है। 6 नहीं आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $P(6) = \dfrac16$।
2. $P(\text{नहीं }6) = 1 - \dfrac16 = \dfrac56$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac56$।

मुख्य सीख: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$।

उदाहरण 2: असंभव और निश्चित घटनाएँ

एक पासा फेंका जाता है। (i) 8 आने, (ii) 7 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

1. (i) कोई फलक 8 नहीं दर्शाता $\Rightarrow$ असंभव $\Rightarrow P = 0$।
2. (ii) प्रत्येक फलक ($1$–$6$) 7 से छोटा है $\Rightarrow$ निश्चित $\Rightarrow P = 1$।

अंतिम उत्तर: (i) $0$; (ii) $1$।

मुख्य सीख: असंभव $\to 0$, निश्चित $\to 1$।

उदाहरण 3: पूरक की प्रायिकता ज्ञात करना

कल वर्षा होने की प्रायिकता $0.85$ है। वर्षा न होने की प्रायिकता क्या है?

हल:

1. $P(\text{वर्षा नहीं}) = 1 - 0.85 = 0.15$।

अंतिम उत्तर: $0.15$।

मुख्य सीख: पूरक प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

उदाहरण 4: क्या यह एक मान्य प्रायिकता है?

क्या किसी घटना की प्रायिकता $1.4$ हो सकती है? और $-0.2$ के बारे में क्या?

हल:

1. प्रायिकताओं को $0 \le P \le 1$ संतुष्ट करना चाहिए।
2. $1.4$ और $-0.2$ दोनों $[0,1]$ के बाहर हैं, अतः कोई भी प्रायिकता नहीं हो सकता।

अंतिम उत्तर: नहीं — कोई प्रायिकता न तो 1 से अधिक हो सकती है और न ही ऋणात्मक।

मुख्य सीख: सदैव जाँचें कि आपका उत्तर 0 और 1 के बीच है।