वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य — प्रत्यक्ष विधि

कच्चे आंकड़ों से वर्गीकृत आंकड़ों तक

कक्षा 9 में आपने अवर्गीकृत आंकड़ों (संख्याओं की एक साधारण सूची) का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात किया था। परंतु वास्तविक सर्वेक्षण प्रायः $10\text{-}25$, $25\text{-}40$ इत्यादि जैसे वर्ग अंतरालों में वर्गीकृत होकर आते हैं, जिनमें एक बारंबारता यह बताती है कि प्रत्येक वर्ग में कितने प्रेक्षण आते हैं।

वर्गीकृत आंकड़ों के साथ काम करने के लिए हम प्रत्येक वर्ग को एक अकेले प्रतिनिधि मान — उसके वर्ग चिह्न — से बदल देते हैं: $$x_i = \dfrac{\text{lower limit} + \text{upper limit}}{2}.$$

उदाहरण के लिए, वर्ग $40\text{-}55$ का वर्ग चिह्न $\dfrac{40+55}{2} = 47.5$ है।

मुख्य बिंदु: वर्ग चिह्न वर्ग का मध्यबिंदु होता है। हम किसी वर्ग के प्रत्येक मान को इस प्रकार मानते हैं मानो वह उसके वर्ग चिह्न पर स्थित हो।

माध्य के लिए प्रत्यक्ष विधि

एक बार जब प्रत्येक वर्ग का वर्ग चिह्न $x_i$ और बारंबारता $f_i$ मिल जाए, तो वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य $f_i x_i$ के योग को कुल बारंबारता से भाग देने पर प्राप्त होता है: $$\boxed{\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}$$

इसे कैसे तैयार करें: एक सारणी बनाइए जिसमें वर्ग, बारंबारता $f_i$, वर्ग चिह्न $x_i$, और गुणनफल $f_i x_i$ के स्तंभ हों। $f_i$ स्तंभ को जोड़िए (यही $n=\sum f_i$ है) और $f_i x_i$ स्तंभ को जोड़िए, फिर भाग दीजिए।

मुख्य बिंदु: $\sum f_i = n$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है, और $\bar{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{n}$।

एक हल की गई सारणी

30 विद्यार्थियों के अंक:

वर्ग	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$
10-25	2	17.5	35
25-40	3	32.5	97.5
40-55	7	47.5	332.5
55-70	6	62.5	375
70-85	6	77.5	465
85-100	6	92.5	555
कुल	30		1860

$$\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \dfrac{1860}{30} = 62.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] तो माध्य अंक 62 है। हम आगे बहुलक और माध्यिका के लिए इसी सारणी का पुनः उपयोग करेंगे, अतः इसकी संरचना पर ध्यान दीजिए।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: प्रत्यक्ष विधि

बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: वर्ग $0\text{-}10, 10\text{-}20, 20\text{-}30, 30\text{-}40$ जिनकी बारंबारताएँ $4, 6, 8, 2$ हैं।

हल:

1. वर्ग चिह्न: $5, 15, 25, 35$।
2. $f_i x_i$: $20, 90, 200, 70$; $\sum f_i x_i = 380$; $\sum f_i = 20$।
3. $\bar{x} = \dfrac{380}{20} = 19$।

अंतिम उत्तर: माध्य $= 19$।

मुख्य बात: वर्ग चिह्न $=$ मध्यबिंदु; बारंबारता से गुणा कीजिए, जोड़िए, भाग दीजिए।

उदाहरण 2: वर्ग चिह्न

वर्गों $100\text{-}120, 120\text{-}140, 140\text{-}160$ के वर्ग चिह्न लिखिए।

हल:

1. $\dfrac{100+120}{2}=110$, $\dfrac{120+140}{2}=130$, $\dfrac{140+160}{2}=150$।

अंतिम उत्तर: $110, 130, 150$।

मुख्य बात: समान वर्गों के वर्ग चिह्न स्वयं समान अंतराल पर होते हैं (यहाँ 20 के अंतराल पर)।

उदाहरण 3: लुप्त बारंबारता ज्ञात करना

निम्नलिखित का माध्य 18 है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए: वर्ग $11\text{-}13, 13\text{-}15, 15\text{-}17, 17\text{-}19, 19\text{-}21$ जिनकी बारंबारताएँ $3, 6, 9, 13, f$; वर्ग चिह्न $12,14,16,18,20$ हैं।

हल:

1. $\sum f_i = 31 + f$; $\sum f_i x_i = 36 + 84 + 144 + 234 + 20f = 498 + 20f$।
2. $\bar{x}=18 \Rightarrow \dfrac{498 + 20f}{31 + f} = 18 \Rightarrow 498 + 20f = 558 + 18f$।
3. $2f = 60 \Rightarrow f = 30$।

अंतिम उत्तर: $f = 30$।

मुख्य बात: $\dfrac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}=\bar{x}$ रखिए और अज्ञात बारंबारता के लिए हल कीजिए।

उदाहरण 4: दैनिक मजदूरी

माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए: $500\text{-}520, 520\text{-}540, 540\text{-}560, 560\text{-}580, 580\text{-}600$ जिनकी बारंबारताएँ $12, 14, 8, 6, 10$ हैं।

हल:

1. वर्ग चिह्न: $510, 530, 550, 570, 590$।
2. $f_i x_i$: $6120, 7420, 4400, 3420, 5900$; कुल $= 27260$; $\sum f_i = 50$।
3. $\bar{x} = \dfrac{27260}{50} = 545.2$।

अंतिम उत्तर: माध्य दैनिक मजदूरी $=$ रु 545.20।

मुख्य बात: प्रत्यक्ष विधि किसी भी वर्गीकृत आंकड़े के लिए काम करती है — यहाँ केवल अंकगणित बड़ा है।