वर्गीकृत आंकड़ों की माध्यिका

माध्यिका और संचयी बारंबारता

माध्यिका मध्य मान है — आधे आंकड़े इससे नीचे और आधे इससे ऊपर होते हैं। वर्गीकृत आंकड़ों में हम किसी एक मध्य प्रेक्षण की ओर संकेत नहीं कर सकते, इसलिए हम एक संचयी बारंबारता (cf) स्तंभ बनाते हैं: प्रत्येक वर्ग के लिए, cf उस वर्ग तक (उसे मिलाकर) की बारंबारताओं का चलता योग होता है।

अंतिम cf कुल बारंबारता $n = \sum f_i$ के बराबर होती है।

माध्यिका वर्ग ज्ञात करना

$\dfrac{n}{2}$ की गणना कीजिए। माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $\dfrac{n}{2}$ से अधिक (और उसके सबसे निकट) हो।

उदाहरण के लिए, यदि $n = 30$ है, तो $\dfrac{n}{2} = 15$; माध्यिका वर्ग वह है जहाँ चलती cf सबसे पहले 15 तक पहुँचती या उसे पार करती है।

मुख्य बिंदु: वर्गीकृत आंकड़ों के लिए $\dfrac{n}{2}$ का उपयोग करें ($\dfrac{n+1}{2}$ का नहीं), और वह वर्ग ज्ञात करें जहाँ cf इसे सबसे पहले पार करती है।

माध्यिका का सूत्र

$$\boxed{\text{Median} = l + \left(\dfrac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right)\times h}$$

जहाँ

• $l$ = माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा,
• $n$ = कुल बारंबारता $\sum f_i$,
• $cf$ = माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता,
• $f$ = माध्यिका वर्ग की बारंबारता,
• $h$ = वर्ग माप।

मुख्य बिंदु: $cf$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है — न कि स्वयं माध्यिका वर्ग की।

एक हल की गई माध्यिका

अंकों वाले आंकड़ों (बारंबारताएँ $2,3,7,6,6,6$) के लिए, संचयी बारंबारताएँ $2, 5, 12, 18, 24, 30$ हैं। यहाँ $n=30$, अतः $\dfrac{n}{2}=15$।

cf सबसे पहले 15 को वर्ग $55\text{-}70$ में पार करती है (cf $=18$), अतः यही माध्यिका वर्ग है: $l=55$, $cf=12$, $f=6$, $h=15$। $$\text{Median} = 55 + \dfrac{15-12}{6}\times 15 = 55 + \dfrac{3}{6}\times 15 = 55 + 7.5 = 62.5.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] अतः इन आंकड़ों के लिए: माध्य $=62$, माध्यिका $=62.5$, बहुलक $=52$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अंकों वाले आंकड़ों की माध्यिका

माध्यिका ज्ञात कीजिए: वर्गों $10\text{-}25,\dots,85\text{-}100$ के लिए बारंबारताएँ $2,3,7,6,6,6$।

हल:

1. cf: $2,5,12,18,24,30$; $n=30$, $\dfrac{n}{2}=15$।
2. माध्यिका वर्ग $55\text{-}70$ (cf 18): $l=55$, $cf=12$, $f=6$, $h=15$।
3. माध्यिका $= 55 + \dfrac{15-12}{6}\times 15 = 62.5$।

अंतिम उत्तर: माध्यिका $= 62.5$।

मुख्य बात: cf बनाएँ, $\tfrac n2$ ज्ञात करें, फिर प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: माध्यिका ऊँचाई

ऊँचाइयाँ (संचयी, 'से कम'): 140 से कम → 4, 140-145 → 7, 145-150 → 18, 150-155 → 11, 155-160 → 6, 160-165 → 5 (कुल 51)।

हल:

1. cf: $4, 11, 29, 40, 46, 51$; $n=51$, $\dfrac{n}{2}=25.5$।
2. cf सबसे पहले 25.5 को $145\text{-}150$ में पार करती है (cf 29): $l=145$, $cf=11$, $f=18$, $h=5$।
3. माध्यिका $= 145 + \dfrac{25.5-11}{18}\times 5 = 145 + \dfrac{72.5}{18} = 149.03$ cm।

अंतिम उत्तर: माध्यिका ऊँचाई $\approx 149.03$ cm।

मुख्य बात: 'से कम' आंकड़ों के लिए, संचयी गणनाओं के अंतर वर्ग बारंबारताएँ देते हैं।

उदाहरण 3: माध्यिका से एक लुप्त बारंबारता

एक बंटन की माध्यिका 28.5 है जहाँ $n = 60$। वर्ग $0\text{-}10,10\text{-}20,20\text{-}30,30\text{-}40,40\text{-}50,50\text{-}60$ हैं जिनकी बारंबारताएँ $5, x, 20, 15, y, 5$ हैं। दिया है कि माध्यिका वर्ग $20\text{-}30$ है और $\sum f = 60$, तथा माध्यिका सूत्र लागू होता है, हम इस व्यवस्था को समझाते हैं।

हल:

1. $5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 \Rightarrow x + y = 15$।
2. $\dfrac{n}{2}=30$; माध्यिका वर्ग $20\text{-}30$: $l=20$, $cf=5+x$, $f=20$, $h=10$।
3. $28.5 = 20 + \dfrac{30-(5+x)}{20}\times 10 \Rightarrow 8.5 = \dfrac{25-x}{2} \Rightarrow 17 = 25 - x \Rightarrow x = 8$, अतः $y = 7$।

अंतिम उत्तर: $x = 8$, $y = 7$।

मुख्य बात: दो अज्ञात राशियाँ ज्ञात करने के लिए कुल-बारंबारता समीकरण को माध्यिका समीकरण के साथ मिलाएँ।

उदाहरण 4: माध्यिका वर्ग का पता लगाना

बारंबारताओं $5, 8, 12, 10, 5$ (वर्ग $0\text{-}5,5\text{-}10,10\text{-}15,15\text{-}20,20\text{-}25$) के लिए, माध्यिका वर्ग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. cf: $5, 13, 25, 35, 40$; $n=40$, $\dfrac{n}{2}=20$।
2. cf सबसे पहले 20 को $10\text{-}15$ में पार करती है (cf 25)।

अंतिम उत्तर: माध्यिका वर्ग $= 10\text{-}15$।

मुख्य बात: माध्यिका वर्ग वह है जहाँ चलती cf सबसे पहले $\tfrac n2$ तक पहुँचती या उसे पार करती है।