तोरण और आनुभविक संबंध

संचयी बारंबारता बंटन के दो प्रकार

एक संचयी बारंबारता बंटन दो तरीकों से लिखा जा सकता है:

• से कम प्रकार: प्रत्येक वर्ग के लिए, कितने प्रेक्षण उसकी उच्च सीमा से कम हैं। संचयी गणनाएँ तालिका में नीचे की ओर बढ़ती हैं।
• से अधिक प्रकार: प्रत्येक वर्ग के लिए, कितने प्रेक्षण उसकी निम्न सीमा से अधिक या बराबर हैं। ये गणनाएँ तालिका में नीचे की ओर घटती हैं।

दोनों समान आंकड़ों का वर्णन करते हैं — बस विपरीत सिरों से संचित।

तोरण खींचना

एक तोरण (संचयी बारंबारता वक्र) एक संचयी बारंबारता बंटन का ग्राफ है — एक चिकना मुक्त-हस्त वक्र, सीधी रेखा वाले दंड नहीं।

• से कम तोरण: बिंदुओं (उच्च वर्ग सीमा, संचयी बारंबारता) को आलेखित करें और उन्हें एक चिकने बढ़ते वक्र से जोड़ें।
• से अधिक तोरण: बिंदुओं (निम्न वर्ग सीमा, संचयी बारंबारता) को आलेखित करें और उन्हें एक चिकने घटते वक्र से जोड़ें।

मुख्य बिंदु: से कम $\to$ उच्च सीमाएँ, बढ़ता वक्र। से अधिक $\to$ निम्न सीमाएँ, घटता वक्र।

तोरण से माध्यिका ज्ञात करना

माध्यिका को पढ़ने के दो आलेखीय तरीके हैं:

1. एक तोरण से। संचयी-बारंबारता (ऊर्ध्वाधर) अक्ष पर $\dfrac{n}{2}$ अंकित करें, से कम तोरण तक एक क्षैतिज रेखा खींचें, फिर क्षैतिज अक्ष तक एक ऊर्ध्वाधर रेखा गिराएँ — वह x-मान माध्यिका है।

2. दोनों तोरणों से। से कम और से अधिक तोरणों को एक ही अक्षों पर खींचें। वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं; उस प्रतिच्छेदन का x-निर्देशांक माध्यिका है।

मुख्य बिंदु: दोनों तोरण माध्यिका पर प्रतिच्छेद करते हैं; समतुल्य रूप से, से कम तोरण ऊँचाई $\dfrac{n}{2}$ पर माध्यिका तक पहुँचता है।

आनुभविक संबंध

एक मध्यम रूप से (बहुत अधिक नहीं) विषम बंटन के लिए, तीनों माप एक आनुभविक संबंध द्वारा जुड़े होते हैं: $$\boxed{3\,\text{माध्यिका} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}}$$

पुनर्व्यवस्थित करने पर, यह आपको अन्य दो से किसी एक का आकलन करने देता है: $$\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}, \qquad \text{माध्य} = \dfrac{3\,\text{माध्यिका} - \text{बहुलक}}{2}, \qquad \text{माध्यिका} = \dfrac{\text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}}{3}.$$

[Board Important] यह सन्निकट है — इसका उपयोग केवल तब करें जब प्रश्न आपसे अन्य दो से तीसरे माप का आकलन करने को कहे।

हल किए गए उदाहरण

Example 1: आनुभविक संबंध — बहुलक ज्ञात करें

एक बंटन का माध्य 45 है और इसकी माध्यिका 48 है। बहुलक का आकलन करें।

Solution:

1. बहुलक $= 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य} = 3(48) - 2(45) = 144 - 90 = 54$।

Final Answer: बहुलक $\approx 54$।

मुख्य बात: $\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$।

Example 2: आनुभविक संबंध — माध्यिका ज्ञात करें

एक बंटन का बहुलक 25 है और इसका माध्य 28 है। माध्यिका का आकलन करें।

Solution:

1. $\text{माध्यिका} = \dfrac{\text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}}{3} = \dfrac{25 + 56}{3} = \dfrac{81}{3} = 27$।

Final Answer: माध्यिका $\approx 27$।

मुख्य बात: $3\,\text{माध्यिका}=\text{बहुलक}+2\,\text{माध्य}$ को पुनर्व्यवस्थित करें।

Example 3: 'से कम' बिंदु बनाना

बारंबारताओं $5, 8, 12, 10, 5$ (वर्ग $0\text{-}10,\dots,40\text{-}50$) से, से कम तोरण के लिए बिंदुओं की सूची बनाएँ।

Solution:

1. cf: $5, 13, 25, 35, 40$।
2. से कम बिंदु (उच्च सीमा, cf): $(10,5), (20,13), (30,25), (40,35), (50,40)$।

Final Answer: $(10,5),(20,13),(30,25),(40,35),(50,40)$।

मुख्य बात: संचयी बारंबारता को उच्च सीमाओं के सापेक्ष आलेखित करें और चिकनाई से जोड़ें।

Example 4: तोरण पर $\tfrac n2$ से माध्यिका

Example 3 के आंकड़ों के लिए ($n=40$), आप से कम तोरण पर माध्यिका कहाँ पढ़ेंगे?

Solution:

1. $\dfrac{n}{2} = 20$। cf-अक्ष पर 20 से वक्र तक एक क्षैतिज रेखा खींचें और x-अक्ष तक गिराएँ।
2. $(20,13)$ और $(30,25)$ के बीच वक्र cf $20$ तक पहुँचता है; माध्यिका सूत्र से यह $10 + \dfrac{20-13}{12}\times 10 = 15.83$ है।

Final Answer: माध्यिका $\approx 15.83$ (जहाँ तोरण ऊँचाई 20 पर है वहाँ पढ़ें)।

मुख्य बात: तोरण पठन और माध्यिका सूत्र सहमत हैं।