हमें सरल विधियों की आवश्यकता क्यों है

प्रत्यक्ष विधि छोटी संख्याओं के लिए ठीक है, परंतु यदि वर्ग चिह्न बड़े हों (जैसे 510,530,550,…510, 530, 550, \dots) तो गुणनफल fixif_i x_i बहुत बड़े और त्रुटि-प्रवण हो जाते हैं। दो सरल विधियाँ अंकगणित को बहुत हल्का बना देती हैं — कल्पित माध्य विधि और पग-विचलन विधि। दोनों प्रत्यक्ष विधि के बिल्कुल समान उत्तर देती हैं।

कल्पित माध्य विधि

किसी भी सुविधाजनक वर्ग चिह्न को कल्पित माध्य aa के रूप में चुनिए (प्रायः कोई मध्य वाला)। प्रत्येक वर्ग चिह्न का उससे विचलन मापिए: di=xi−a.d_i = x_i - a. तब वास्तविक माध्य, औसत विचलन द्वारा संशोधित किया गया aa होता है: xˉ=a+∑fidi∑fi\boxed{\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}}

विचलन did_i छोटी संख्याएँ होती हैं (प्रायः मिश्रित चिह्नों वाली), अतः ∑fidi\sum f_i d_i की गणना सरल होती है।

मुख्य बिंदु: अंतिम माध्य इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आप कौन सा aa चुनते हैं — ऐसा चुनिए जिससे did_i छोटे बनें।

पग-विचलन विधि

जब सभी वर्गों की चौड़ाई समान hh हो और विचलन did_i सभी hh के गुणज हों, तो एक पग और आगे बढ़िए। मान लीजिए ui=xi−ah.u_i = \dfrac{x_i - a}{h}. uiu_i छोटी पूर्ण संख्याएँ होती हैं जैसे −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2। तब xˉ=a+h(∑fiui∑fi)\boxed{\bar{x} = a + h\left(\dfrac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right)}

मुख्य बिंदु: पग-विचलन विधि hh से अतिरिक्त भाग सहित कल्पित माध्य विधि ही है — इसका प्रयोग तब कीजिए जब वर्ग चिह्न बड़े और समान अंतराल पर हों। यह सबसे छोटी, सबसे सरल संख्याएँ देती है।

कौन सी विधि कब?

  • प्रत्यक्ष विधि: छोटे वर्ग चिह्न और बारंबारताएँ।
  • कल्पित माध्य विधि: बड़ी संख्याएँ, परंतु आप hh से भाग नहीं देना चाहते।
  • पग-विचलन विधि: बड़े, समान अंतराल वाले वर्ग चिह्न (समान वर्ग चौड़ाई hh) — सबसे हल्का अंकगणित।

तीनों बीजगणितीय रूप से समरूप हैं; उत्तर समान होता है। सरल विधियाँ केवल उन संख्याओं का आकार घटाती हैं जिन्हें आप संभालते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] पग-विचलन विधि में, uiu_i के औसत को hh से गुणा करना और फिर aa जोड़ना न भूलिए।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: कल्पित माध्य विधि

a=62.5a=62.5 का प्रयोग करके अंकों की सारणी (वर्ग चिह्न 17.5,32.5,47.5,62.5,77.5,92.517.5,32.5,47.5,62.5,77.5,92.5; बारंबारताएँ 2,3,7,6,6,62,3,7,6,6,6) का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. di=xi−62.5=−45,−30,−15,0,15,30d_i = x_i - 62.5 = -45,-30,-15,0,15,30।
  2. fidi=−90,−90,−105,0,90,180f_i d_i = -90,-90,-105,0,90,180; ∑fidi=−15\sum f_i d_i = -15; ∑fi=30\sum f_i = 30।
  3. xˉ=62.5+−1530=62.5−0.5=62\bar{x} = 62.5 + \dfrac{-15}{30} = 62.5 - 0.5 = 62।

अंतिम उत्तर: माध्य =62= 62 (प्रत्यक्ष विधि के समान)।

मुख्य बात: aa को कोई मध्य वर्ग चिह्न चुनने से did_i छोटे रहते हैं।

उदाहरण 2: पग-विचलन विधि

वही सारणी, a=62.5a=62.5 और h=15h=15 के साथ।

हल:

  1. ui=xi−62.515=−3,−2,−1,0,1,2u_i = \dfrac{x_i-62.5}{15} = -3,-2,-1,0,1,2।
  2. fiui=−6,−6,−7,0,6,12f_i u_i = -6,-6,-7,0,6,12; ∑fiui=−1\sum f_i u_i = -1; ∑fi=30\sum f_i = 30।
  3. xˉ=62.5+15×−130=62.5−0.5=62\bar{x} = 62.5 + 15\times\dfrac{-1}{30} = 62.5 - 0.5 = 62।

अंतिम उत्तर: माध्य =62= 62।

मुख्य बात: uiu_i सबसे छोटी संख्याएँ हैं — यहाँ पग-विचलन सबसे तेज़ है।

उदाहरण 3: कल्पित माध्य चुनना

उसी सारणी के लिए a=47.5a = 47.5 का प्रयोग करके पुष्टि कीजिए कि माध्य अब भी 62 है।

हल:

  1. di=−30,−15,0,15,30,45d_i = -30,-15,0,15,30,45।
  2. fidi=−60,−45,0,90,180,270f_id_i = -60,-45,0,90,180,270; ∑fidi=435\sum f_id_i = 435; ∑fi=30\sum f_i=30।
  3. xˉ=47.5+43530=47.5+14.5=62\bar{x} = 47.5 + \dfrac{435}{30} = 47.5 + 14.5 = 62।

अंतिम उत्तर: माध्य =62= 62।

मुख्य बात: कोई भी कल्पित माध्य समान परिणाम देता है — यह विधि स्वतः-संशोधित है।

उदाहरण 4: बड़ी संख्याएँ

पग-विचलन द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए: वर्ग चिह्न 150,250,350,450,550150,250,350,450,550; बारंबारताएँ 2,3,5,6,42,3,5,6,4; लीजिए a=350a=350, h=100h=100।

हल:

  1. ui=−2,−1,0,1,2u_i = -2,-1,0,1,2।
  2. fiui=−4,−3,0,6,8f_iu_i = -4,-3,0,6,8; ∑fiui=7\sum f_iu_i = 7; ∑fi=20\sum f_i = 20।
  3. xˉ=350+100×720=350+35=385\bar{x} = 350 + 100\times\dfrac{7}{20} = 350 + 35 = 385।

अंतिम उत्तर: माध्य =385= 385।

मुख्य बात: बड़े, समान अंतराल वाले वर्ग चिह्नों के साथ, पग-विचलन काम को छोटी पूर्ण संख्याओं में बदल देती है।