हल किए गए उदाहरण

इस अनुभाग का उपयोग कैसे करें

यह सांख्यिकी के लिए आपका अभ्यास बैंक है। चारों सूत्रों को दृष्टि में रखें: माध्य $\bar{x}=\dfrac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$ (या कल्पित-माध्य / पग-विचलन शॉर्टकट), बहुलक $=l+\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}h$, माध्यिका $=l+\dfrac{\frac{n}{2}-cf}{f}h$, और आनुभविक संबंध $3\,\text{माध्यिका}=\text{बहुलक}+2\,\text{माध्य}$। हमेशा पहले एक साफ-सुथरी तालिका बनाएँ।

Example 1: $50\text{-}60,60\text{-}70,70\text{-}80$ के वर्ग चिह्न। Solution: $55,65,75$।

Example 2: बारंबारताओं $3,5,2$ के साथ अंक-वर्गों $0\text{-}20,20\text{-}40,40\text{-}60$ (वर्ग चिह्न $10,30,50$) का माध्य। Solution: $\dfrac{30+150+100}{10}=\dfrac{280}{10}=28$।

Example 3 (प्रत्यक्ष विधि): माध्य ज्ञात करें: बारंबारताओं $8,12,10,6,4$ के साथ $0\text{-}10,10\text{-}20,20\text{-}30,30\text{-}40,40\text{-}50$। Solution: वर्ग चिह्न $5,15,25,35,45$; $f_ix_i=40,180,250,210,180$; योग $860$; $\sum f=40$; माध्य $=860/40=21.5$। Answer: 21.5.

Example 4 (पग-विचलन): समान आंकड़े, $a=25$, $h=10$। $u_i=-2,-1,0,1,2$; $f_iu_i=-16,-12,0,6,8$; $\sum f_iu_i=-14$; माध्य $=25+10\times\dfrac{-14}{40}=25-3.5=21.5$। Answer: 21.5 (मेल खाता है)।

Example 5 (लुप्त बारंबारता, माध्य): बारंबारताओं $2,3,f,6,2$ के साथ $0\text{-}20,20\text{-}40,40\text{-}60,60\text{-}80,80\text{-}100$ (वर्ग चिह्न $10,30,50,70,90$) का माध्य 50 है। $f$ ज्ञात करें। Solution: $\sum f_ix_i=20+90+50f+420+180=710+50f$; $\sum f=13+f$; $\dfrac{710+50f}{13+f}=50\Rightarrow710+50f=650+50f\Rightarrow710=650$?? तो इसका कोई हल नहीं है — समायोजन करें: माध्य 50 और सममित वर्ग चिह्नों के साथ, खिंचाव संतुलित होना चाहिए। बारंबारताओं $2,3,f,6,2$ का उपयोग करते हुए: $\sum f_i(x_i-50)=0$ रखें: $2(-40)+3(-20)+f(0)+6(20)+2(40)=-80-60+0+120+80=60\ne0$। तो किसी भी $f$ के लिए माध्य 50 नहीं है। संशोधित आंकड़े: बारंबारताएँ $2,3,f,3,2$ संतुलन देती हैं $\Rightarrow$ किसी भी $f$ के लिए माध्य $=50$। मुख्य बात: कल्पित माध्य (यहाँ 50) के बराबर वर्ग चिह्न 0 का योगदान देता है, इसलिए एक सममित तालिका का माध्य स्वतः 50 होता है।

Example 6 (बहुलक): बहुलक ज्ञात करें: बारंबारताओं $6,9,15,9$ के साथ $0\text{-}20,20\text{-}40,40\text{-}60,60\text{-}80$। Solution: बहुलक वर्ग $40\text{-}60$ ($f_1=15$); $l=40,f_0=9,f_2=9,h=20$; बहुलक $=40+\dfrac{15-9}{30-9-9}\times20=40+\dfrac{6}{12}\times20=40+10=50$। Answer: 50.

Example 7 (बहुलक): बारंबारताओं $8,20,12$ के साथ $10\text{-}20,20\text{-}30,30\text{-}40$। बहुलक वर्ग $20\text{-}30$; $40+$? $l=20,f_1=20,f_0=8,f_2=12$; बहुलक $=20+\dfrac{20-8}{40-8-12}\times10=20+\dfrac{12}{20}\times10=20+6=26$। Answer: 26.

Example 8 (माध्यिका): माध्यिका ज्ञात करें: बारंबारताओं $5,8,12,10,5$ के साथ $0\text{-}10,10\text{-}20,20\text{-}30,30\text{-}40,40\text{-}50$। Solution: cf $5,13,25,35,40$; $n=40$, $\tfrac n2=20$; माध्यिका वर्ग $20\text{-}30$ (cf 25); $l=20,cf=13,f=12,h=10$; माध्यिका $=20+\dfrac{20-13}{12}\times10=20+5.83=25.83$। Answer: ~25.83.

Example 9 (माध्यिका): बारंबारताओं $12,14,8,6,10$ के साथ $100\text{-}120,120\text{-}140,140\text{-}160,160\text{-}180,180\text{-}200$। cf $12,26,34,40,50$; $n=50$, $\tfrac n2=25$; माध्यिका वर्ग $120\text{-}140$ (cf 26); $l=120,cf=12,f=14,h=20$; माध्यिका $=120+\dfrac{25-12}{14}\times20=120+18.57=138.57$। Answer: ~138.57.

Example 10 (आनुभविक): माध्य $=53$, माध्यिका $=55$। बहुलक का आकलन करें। $3(55)-2(53)=165-106=59$। Answer: 59.

Example 11 (आनुभविक): बहुलक $=60$, माध्यिका $=66$। माध्य का आकलन करें। $\text{माध्य}=\dfrac{3(66)-60}{2}=\dfrac{198-60}{2}=69$। Answer: 69.

Example 12 (तीनों): अंक आंकड़ों के लिए (बारंबारताएँ $2,3,7,6,6,6$), माध्य, माध्यिका और बहुलक बताएँ। Solution: माध्य $=62$, माध्यिका $=62.5$, बहुलक $=52$ (पिछले अनुभागों से)।

Example 13 (माध्य, कल्पित): बारंबारताओं $10,20,30,40$ के साथ $15\text{-}25,25\text{-}35,35\text{-}45,45\text{-}55$ (वर्ग चिह्न $20,30,40,50$); $a=40$। $d_i=-20,-10,0,10$; $f_id_i=-200,-200,0,400$; $\sum f_id_i=0$; $\sum f=100$; माध्य $=40+0=40$। Answer: 40.

Example 14 (बहुलक): बारंबारताओं $10,8,6$ के साथ $0\text{-}10,10\text{-}20,20\text{-}30$। बहुलक वर्ग $0\text{-}10$; $l=0,f_1=10,f_0=0,f_2=8,h=10$; बहुलक $=\dfrac{10}{20-0-8}\times10=\dfrac{10}{12}\times10=8.33$। Answer: ~8.33.

Example 15 (माध्यिका वर्ग): बारंबारताएँ $3,9,15,30,18,5$ ($n=80$)। cf $3,12,27,57,75,80$; $\tfrac n2=40$; माध्यिका वर्ग वह है जिसकी cf सबसे पहले 40 को पार करती है → cf 57, चौथा वर्ग। Answer: चौथा वर्ग।

Example 16 (तोरण बिंदु): बारंबारताएँ $4,7,18,11,6,5$ (वर्ग 140 से कम, 140-145, …)। से कम cf: $4,11,29,40,46,51$; बिंदु $(140,4),(145,11),(150,29),(155,40),(160,46),(165,51)$।

Example 17 (से अधिक cf): बारंबारताएँ $5,8,12,10,5$ ($n=40$)। से अधिक-या-बराबर cf (प्रत्येक वर्ग के शीर्ष से): $40,35,27,15,5$। बिंदु (निम्न सीमा, cf): $(0,40),(10,35),(20,27),(30,15),(40,5)$।

Example 18 (तोरण से माध्यिका): Example 17 के आंकड़ों के लिए, $\tfrac n2=20$; से कम तोरण पर (cf $5,13,25,35,40$) ऊँचाई 20 वर्ग $20\text{-}30$ में आती है; माध्यिका $=20+\dfrac{20-13}{12}\times10=25.83$। Answer: ~25.83.

Example 19 (माध्य, पग-विचलन, बड़ी संख्याएँ): बारंबारताओं $4,6,10,6,4$ के साथ वर्ग चिह्न $100,300,500,700,900$; $a=500$, $h=200$। $u_i=-2,-1,0,1,2$; $f_iu_i=-8,-6,0,6,8=0$; माध्य $=500$। Answer: 500.

Example 20 (बहुलक): बारंबारताओं $7,31,33,17$ के साथ $25\text{-}35,35\text{-}45,45\text{-}55,55\text{-}65$। बहुलक वर्ग $45\text{-}55$; $l=45,f_1=33,f_0=31,f_2=17,h=10$; बहुलक $=45+\dfrac{33-31}{66-31-17}\times10=45+\dfrac{2}{18}\times10=45+1.11=46.11$। Answer: ~46.11.

Example 21 (माध्यिका): बारंबारताओं $24,40,33,28$ के साथ $1500\text{-}2000,2000\text{-}2500,2500\text{-}3000,3000\text{-}3500$। cf $24,64,97,125$; $n=125$, $\tfrac n2=62.5$; माध्यिका वर्ग $2000\text{-}2500$ (cf 64); $l=2000,cf=24,f=40,h=500$; माध्यिका $=2000+\dfrac{62.5-24}{40}\times500=2000+481.25=2481.25$। Answer: ~2481.25.

Example 22 (आनुभविक): माध्यिका $=28.5$, बहुलक $=27$। माध्य $=\dfrac{3(28.5)-27}{2}=\dfrac{85.5-27}{2}=29.25$। Answer: 29.25.

Example 23 (लुप्त बारंबारता, माध्यिका): $n=60$, माध्यिका $=28.5$, वर्ग $0\text{-}10,\dots,50\text{-}60$ बारंबारताएँ $5,x,20,15,y,5$, माध्यिका वर्ग $20\text{-}30$। $\sum f=60$ से: $x+y=15$। माध्यिका: $28.5=20+\dfrac{30-(5+x)}{20}\times10\Rightarrow8.5=\dfrac{25-x}{2}\Rightarrow x=8$, $y=7$। Answer: $x=8,y=7$.

Example 24 (माध्य): बारंबारताओं $6,8,10,9,7$ के साथ $0\text{-}6,6\text{-}12,12\text{-}18,18\text{-}24,24\text{-}30$ (वर्ग चिह्न $3,9,15,21,27$)। $f_ix_i=18,72,150,189,189$; योग $618$; $\sum f=40$; माध्य $=618/40=15.45$। Answer: 15.45.

Example 25 (बहुलक = माध्यिका स्थिति): तीन समान वर्गों में बारंबारताएँ $12,12,12$ — क्या कोई अद्वितीय बहुलक है? सभी समान बारंबारताओं का अर्थ है कोई एकल बहुलक वर्ग नहीं; आंकड़े बहुबहुलकी हैं / इनका कोई अद्वितीय बहुलक नहीं है। मुख्य बात: बहुलक सूत्र के लिए एकल अधिकतम-बारंबारता वर्ग की आवश्यकता होती है।

Example 26 (माध्यिका): बारंबारताओं $2,5,x,12,6$ और $n=40$ के साथ $0\text{-}100,100\text{-}200,200\text{-}300,300\text{-}400,400\text{-}500$। तब $x=40-25=15$। cf $2,7,22,34,40$; $\tfrac n2=20$; माध्यिका वर्ग $200\text{-}300$ (cf 22); $l=200,cf=7,f=15,h=100$; माध्यिका $=200+\dfrac{20-7}{15}\times100=200+86.67=286.67$। Answer: ~286.67.

Example 27 (माध्य, प्रत्यक्ष): बारंबारताओं $5,10,8,7$ के साथ आयु $0\text{-}15,15\text{-}30,30\text{-}45,45\text{-}60$ (वर्ग चिह्न $7.5,22.5,37.5,52.5$)। $f_ix_i=37.5,225,300,367.5$; योग $930$; $\sum f=30$; माध्य $=31$। Answer: 31.

Example 28 (बहुलक): बारंबारताओं $10,15,5$ के साथ $0\text{-}5,5\text{-}10,10\text{-}15$। बहुलक वर्ग $5\text{-}10$; $l=5,f_1=15,f_0=10,f_2=5,h=5$; बहुलक $=5+\dfrac{15-10}{30-10-5}\times5=5+\dfrac{5}{15}\times5=5+1.67=6.67$। Answer: ~6.67.

Example 29 (आनुभविक, माध्यिका का आकलन): माध्य $=45.5$, बहुलक $=40.6$। माध्यिका $=\dfrac{\text{बहुलक}+2\,\text{माध्य}}{3}=\dfrac{40.6+91}{3}=\dfrac{131.6}{3}=43.87$। Answer: ~43.87.

Example 30 (पूर्ण): बारंबारताओं $5,10,20,7,8$ के लिए (वर्ग $0\text{-}10,\dots,40\text{-}50$):

1. cf $5,15,35,42,50$; $n=50$, $\tfrac n2=25$; माध्यिका वर्ग $20\text{-}30$ (cf 35); माध्यिका $=20+\dfrac{25-15}{20}\times10=25$।
2. बहुलक वर्ग $20\text{-}30$ ($f_1=20$); बहुलक $=20+\dfrac{20-10}{40-10-7}\times10=20+\dfrac{10}{23}\times10=24.35$।
3. माध्य: वर्ग चिह्न $5,15,25,35,45$; $f_ix_i=25,150,500,245,360=1280$; माध्य $=1280/50=25.6$। Final Answer: माध्य $=25.6$, माध्यिका $=25$, बहुलक $\approx24.35$। मुख्य बात: एक तालिका बनाएँ, फिर तीनों मापों को पढ़ें।