सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय एक नज़र में

वर्गीकृत आँकड़ों के लिए आप केंद्रीय प्रवृत्ति की तीन मापें ज्ञात करते हैं। पहले एक स्वच्छ सारणी बनाइए (वर्ग, बारंबारता, वर्ग चिह्न या संचयी बारंबारता), फिर सही सूत्र लगाइए। पहचानिए कि प्रश्न क्या चाहता है — औसत (माध्य), प्रारूपिक मान (बहुलक), या मध्य मान (माध्यिका)।

माध्य — तीन विधियाँ

• प्रत्यक्ष: $\bar{x}=\dfrac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$, वर्ग चिह्न $x_i=\dfrac{\text{निम्न}+\text{उपरि}}{2}$।
• कल्पित-माध्य: $\bar{x}=a+\dfrac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$, जहाँ $d_i=x_i-a$।
• पग-विचलन: $\bar{x}=a+h\dfrac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}$, जहाँ $u_i=\dfrac{x_i-a}{h}$।

तीनों एक ही उत्तर देती हैं; संक्षिप्त विधियाँ केवल गणना को कम करती हैं।

बहुलक, माध्यिका और तोरण

• बहुलक: बहुलक वर्ग $=$ सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग; $\text{बहुलक}=l+\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\times h$ ($f_1$ बहुलक वर्ग की, $f_0$ पहले वाली, $f_2$ बाद वाली)।
• माध्यिका: माध्यिका वर्ग $=$ जहाँ संचयी बारंबारता सबसे पहले $\dfrac{n}{2}$ को पार करती है; $\text{माध्यिका}=l+\dfrac{\frac{n}{2}-cf}{f}\times h$ ($cf$ = पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता)।
• तोरण: से कम वक्र में उपरि सीमाएँ प्रयोग होती हैं (बढ़ता हुआ); से अधिक वक्र में निम्न सीमाएँ प्रयोग होती हैं (घटता हुआ)। दोनों तोरण माध्यिका पर प्रतिच्छेद करते हैं; समतुल्य रूप से, जहाँ से कम तोरण ऊँचाई $\dfrac{n}{2}$ तक पहुँचता है वहाँ माध्यिका पढ़िए।
• आनुभविक संबंध: $3\,\text{माध्यिका}=\text{बहुलक}+2\,\text{माध्य}$ (सन्निकट)।

जिन सामान्य भूलों से बचें

• वर्ग चिह्न मध्यबिंदु $\dfrac{\text{निम्न}+\text{उपरि}}{2}$ होता है, चौड़ाई नहीं।
• बहुलक सूत्र में हर $2f_1-f_0-f_2$ है; $f_0$ (पहले) और $f_2$ (बाद) को सही स्थानों पर रखिए; यदि कोई पड़ोसी वर्ग अनुपस्थित हो तो 0 प्रयोग कीजिए।
• माध्यिका सूत्र में, $cf$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है, और $f$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता है।
• वर्गीकृत आँकड़ों के लिए $\dfrac{n}{2}$ प्रयोग कीजिए ($\dfrac{n+1}{2}$ नहीं)।
• से कम तोरण $\to$ उपरि सीमाएँ; से अधिक तोरण $\to$ निम्न सीमाएँ।
• आनुभविक संबंध सन्निकट है — केवल तीसरी माप के आकलन के लिए।

अंतिम सुझाव: एक साफ-सुथरी सारणी (वर्ग, $f$, $x$ या $cf$) प्रायः तीनों प्रश्नों का उत्तर दे देती है — माध्य, माध्यिका और बहुलक।