वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक

वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक — बहुलक वर्ग

बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। अवर्गीकृत आंकड़ों में आप बस सबसे अधिक बारंबारता वाले मान को पहचान लेते हैं। वर्गीकृत आंकड़ों में आप अलग-अलग मान नहीं देख सकते, इसलिए सबसे पहले बहुलक वर्ग ज्ञात करें — वह वर्ग जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो। बहुलक उसी वर्ग के अंदर का एक मान होता है।

बहुलक का सूत्र

$$\boxed{\text{Mode} = l + \left(\dfrac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right)\times h}$$

जहाँ

• $l$ = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा,
• $f_1$ = बहुलक वर्ग की बारंबारता,
• $f_0$ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता,
• $f_2$ = बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता,
• $h$ = वर्ग माप।

मुख्य बिंदु: सबसे पहले बहुलक वर्ग पहचानें (सबसे अधिक बारंबारता), फिर $l, f_1, f_0, f_2, h$ पढ़ें और सावधानी से प्रतिस्थापित करें — हर $2f_1 - f_0 - f_2$ होता है।

मानों को पढ़ना

सबसे आम गलतियाँ $f_0$ और $f_2$ में होती हैं। याद रखें:

• $f_0$ तालिका में बहुलक वर्ग से ठीक ऊपर वाले वर्ग (पूर्ववर्ती वर्ग) की बारंबारता है,
• $f_2$ इससे ठीक नीचे वाले वर्ग (परवर्ती वर्ग) की बारंबारता है।

यदि बहुलक वर्ग पहला वर्ग है, तो $f_0 = 0$ लें; यदि यह अंतिम है, तो $f_2 = 0$ लें।

मुख्य बिंदु: तीनों बारंबारताओं $f_0, f_1, f_2$ को क्रम से पंक्तिबद्ध करें और सूत्र लगभग अपने आप भर जाता है।

बहुलक बनाम माध्य

बहुलक आपको सबसे प्रारूपी (typical) मान बताता है; माध्य आपको औसत बताता है। ये अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं। अंकों वाले आंकड़ों के लिए, बहुलक 52 है (अधिकांश विद्यार्थियों ने लगभग इतने अंक पाए) जबकि माध्य 62 है (समग्र औसत) — दोनों उपयोगी हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि आप क्या जानना चाहते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] "सबसे अधिक बार / सबसे आम / प्रारूपी" $\Rightarrow$ बहुलक। "औसत / प्रति विद्यार्थी" $\Rightarrow$ माध्य।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अंकों वाले आंकड़ों का बहुलक

बहुलक ज्ञात कीजिए: वर्ग $10\text{-}25,25\text{-}40,40\text{-}55,55\text{-}70,70\text{-}85,85\text{-}100$ जिनकी बारंबारताएँ $2,3,7,6,6,6$ हैं।

हल:

1. सबसे अधिक बारंबारता 7 है $\Rightarrow$ बहुलक वर्ग $40\text{-}55$। अतः $l=40$, $f_1=7$, $f_0=3$, $f_2=6$, $h=15$।
2. बहुलक $= 40 + \dfrac{7-3}{2(7)-3-6}\times 15 = 40 + \dfrac{4}{5}\times 15 = 40 + 12 = 52$।

अंतिम उत्तर: बहुलक $= 52$।

मुख्य बात: हर $=2f_1-f_0-f_2=14-9=5$।

उदाहरण 2: परिवार का आकार

बहुलक ज्ञात कीजिए: परिवार का आकार $1\text{-}3,3\text{-}5,5\text{-}7,7\text{-}9,9\text{-}11$ जिनकी बारंबारताएँ $7,8,2,2,1$ हैं।

हल:

1. सबसे अधिक बारंबारता 8 है $\Rightarrow$ बहुलक वर्ग $3\text{-}5$; $l=3$, $f_1=8$, $f_0=7$, $f_2=2$, $h=2$।
2. बहुलक $= 3 + \dfrac{8-7}{2(8)-7-2}\times 2 = 3 + \dfrac{1}{7}\times 2 = 3 + 0.286 = 3.286$।

अंतिम उत्तर: बहुलक $\approx 3.29$।

मुख्य बात: भले ही $f_0$ का मान $f_1$ के निकट हो, सूत्र का ठीक-ठीक पालन करें।

उदाहरण 3: पहला वर्ग ही बहुलक वर्ग है

बहुलक ज्ञात कीजिए: $0\text{-}10,10\text{-}20,20\text{-}30$ जिनकी बारंबारताएँ $15, 6, 4$ हैं।

हल:

1. बहुलक वर्ग $0\text{-}10$ है (बारंबारता 15)। $l=0$, $f_1=15$, $f_0=0$ (इससे पहले कोई वर्ग नहीं), $f_2=6$, $h=10$।
2. बहुलक $= 0 + \dfrac{15-0}{2(15)-0-6}\times 10 = \dfrac{15}{24}\times 10 = 6.25$।

अंतिम उत्तर: बहुलक $= 6.25$।

मुख्य बात: जब बहुलक वर्ग पहला हो, तो $f_0 = 0$ लें।

उदाहरण 4: केवल बहुलक वर्ग पहचानना

बंटन $30\text{-}40,40\text{-}50,50\text{-}60,60\text{-}70$ जिनकी बारंबारताएँ $5, 12, 20, 9$ हैं, के लिए बहुलक वर्ग तथा $f_0, f_1, f_2$ बताइए।

हल:

1. सबसे अधिक बारंबारता 20 $\Rightarrow$ बहुलक वर्ग $50\text{-}60$।
2. $f_1 = 20$, $f_0 = 12$ (वर्ग $40\text{-}50$), $f_2 = 9$ (वर्ग $60\text{-}70$)।

अंतिम उत्तर: बहुलक वर्ग $50\text{-}60$; $f_0=12, f_1=20, f_2=9$।

मुख्य बात: $f_0$ और $f_2$ को सही करना आधी लड़ाई जीतना है।