बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1 (1 अंक): त्रिज्या $r$ वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: (A) $2\pi r^2$ (B) $3\pi r^2$ (C) $4\pi r^2$ (D) $\tfrac23\pi r^3$। [CBSE] हल: $3\pi r^2$। उत्तर: (B)।

PYQ 2 (1 अंक): एक शंकु और एक बेलन का आधार और ऊँचाई समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात है: (A) 1:1 (B) 1:2 (C) 1:3 (D) 3:1। [CBSE] हल: शंकु एक-तिहाई है। उत्तर: (C)।

PYQ 3 (2 अंक): प्रत्येक 64 सेमी$^3$ आयतन वाले दो घनों को सिरे से सिरे तक जोड़ा जाता है। बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [CBSE] हल: भुजा 4; घनाभ $4\times4\times8$; TSA $=160$ सेमी$^2$। उत्तर: 160 सेमी$^2$।

PYQ 4 (2 अंक): एक दवा का कैप्सूल एक बेलन है जिसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोले हैं। इसकी लंबाई 14 मिमी और व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: $r=2.5$, $h=9$; $2\pi r(h+2r)=2\times\tfrac{22}{7}\times2.5\times14=220$ मिमी$^2$। उत्तर: 220 मिमी$^2$।

PYQ 5 (3 अंक): एक खिलौना समान त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित 3.5 सेमी त्रिज्या के एक शंकु के रूप में है; कुल ऊँचाई 15.5 सेमी। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: शंकु $h=12$, $l=12.5$; TSA $=\pi r(l+2r)=11\times19.5=214.5$ सेमी$^2$। उत्तर: 214.5 सेमी$^2$।

PYQ 6 (3 अंक): एक ठोस बेलन ($h=2.4$ सेमी, व्यास 1.4 सेमी) में से समान ऊँचाई और व्यास का एक शंकु खोखला निकाल दिया जाता है। शेष ठोस का TSA ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: $r=0.7$, $l=2.5$; TSA $=\pi r(2h+l+r)=2.2\times8=17.6$ सेमी$^2$। उत्तर: ~17.6 सेमी$^2$।

PYQ 7 (3 अंक): एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के रूप में है, दोनों की त्रिज्या 1 सेमी है और शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। ठोस का आयतन $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए। [CBSE] हल: $\tfrac13\pi(1)(1)+\tfrac23\pi(1)=\pi$ सेमी$^3$। उत्तर: $\pi$ सेमी$^3$।

PYQ 8 (3 अंक): 4.2 सेमी त्रिज्या वाले एक धात्विक गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या के एक बेलन में पुनः ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। $(\pi\text{ कट जाता है})$ [CBSE] हल: $\tfrac43\pi(4.2)^3=\pi(36)h\Rightarrow h=\dfrac{4\times74.088}{3\times36}=2.744$ सेमी। उत्तर: 2.744 सेमी।

PYQ 9 (3 अंक): 6 सेमी व्यास वाले एक गोले को पानी युक्त 12 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। पानी के स्तर में वृद्धि ज्ञात कीजिए। [CBSE] हल: गोला $=36\pi$; $\pi(36)h=36\pi\Rightarrow h=1$ सेमी। उत्तर: 1 सेमी।

PYQ 10 (3 अंक): $5.5\times10\times3.5$ सेमी का एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 सेमी व्यास और 2 मिमी मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा? $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: घनाभ $=192.5$ सेमी$^3$; सिक्का $=\pi r^2 t=\tfrac{22}{7}\times(0.875)^2\times0.2=0.4813$ सेमी$^3$; संख्या $=192.5/0.4813\approx400$। उत्तर: 400।

PYQ 11 (3 अंक): एक बाल्टी 20 सेमी और 12 सेमी त्रिज्याओं तथा 15 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के रूप में है। इसकी धारिता ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14)$ [CBSE] हल: $V=\tfrac13\times3.14\times15\times(400+144+240)=\tfrac13\times3.14\times15\times784=12308.8$ सेमी$^3\approx12.31$ लीटर। उत्तर: ~12.31 लीटर।

PYQ 12 (3 अंक): एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है और इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [CBSE] हल: $2\pi R=18$, $2\pi r=6$; CSA $=\pi l(R+r)=\tfrac{l}{2}(2\pi R+2\pi r)=\tfrac{4}{2}(18+6)=48$ सेमी$^2$। उत्तर: 48 सेमी$^2$।

PYQ 13 (2 अंक): 7 सेमी भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक पर सबसे बड़ा अर्धगोला आरोपित किया गया है। इसका सबसे बड़ा व्यास और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: व्यास $=7$ सेमी; SA $=6a^2+\pi r^2=294+38.5=332.5$ सेमी$^2$। उत्तर: 7 सेमी; 332.5 सेमी$^2$।

PYQ 14 (3 अंक): 2 सेमी आंतरिक व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से पानी 6 मी/से की चाल से 60 सेमी त्रिज्या वाली एक बेलनाकार टंकी में बहता है। 30 मिनट में पानी के स्तर में वृद्धि ज्ञात कीजिए। $(\pi\text{ कट जाता है})$ [CBSE] हल: 30 मिनट में पानी की लंबाई $=6\times60\times30=10800$ मी $=1080000$ सेमी; पाइप का आयतन $=\pi(1)^2\times1080000$; टंकी $\pi(60)^2 h=\pi\times1080000\Rightarrow h=\dfrac{1080000}{3600}=300$ सेमी $=3$ मी। उत्तर: 3 मी।

PYQ 15 (3 अंक): एक लकड़ी की वस्तु एक बेलन ($h=10$ सेमी, त्रिज्या 3.5 सेमी) है जिसके प्रत्येक सिरे से एक अर्धगोला खुरच कर निकाला गया है। TSA ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ [CBSE] हल: $2\pi r(h+2r)=2\times\tfrac{22}{7}\times3.5\times17=374$ सेमी$^2$। उत्तर: 374 सेमी$^2$।

PYQ 16 (1 अंक): भुजा $a$ वाले एक घन से तराशे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का आयतन है: (A) $\tfrac16\pi a^3$ (B) $\tfrac43\pi a^3$ (C) $\pi a^3$ (D) $\tfrac13\pi a^3$। [CBSE] हल: $r=\tfrac a2$; $\tfrac43\pi(\tfrac a2)^3=\tfrac16\pi a^3$। उत्तर: (A)।

PYQ 17 (2 अंक): 45 सेमी ऊँचे एक शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 28 सेमी और 7 सेमी हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [CBSE] हल: $l=\sqrt{45^2+(28-7)^2}=\sqrt{2025+441}=\sqrt{2466}\approx49.66$ सेमी। उत्तर: ~49.66 सेमी।

PYQ 18 (3 अंक): 3.5 सेमी त्रिज्या और 3 सेमी ऊँचाई वाले 504 शंकुओं को पिघलाकर एक गोला बनाया जाता है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। $(\pi\text{ कट जाता है})$ [CBSE] हल: $504\times\tfrac13\pi(12.25)(3)=\tfrac43\pi R^3\Rightarrow6174\pi=\tfrac43\pi R^3\Rightarrow R^3=4630.5\Rightarrow R\approx16.67$ सेमी। उत्तर: ~16.67 सेमी।

PYQ 19 (3 अंक): 9 सेमी आंतरिक त्रिज्या वाला एक अर्धगोलाकार कटोरा द्रव से भरा है, जिसे 1.5 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई वाली बेलनाकार बोतलों में उँडेला जाता है। कितनी बोतलों की आवश्यकता है? [CBSE] हल: कटोरा $=\tfrac23\pi(729)=486\pi$; बोतल $=\pi(2.25)(4)=9\pi$; संख्या $=54$। उत्तर: 54।

PYQ 20 (4 अंक): एक ठोस एक अर्धगोले (त्रिज्या 60 सेमी) पर एक लंब वृत्तीय शंकु (ऊँचाई 120 सेमी, त्रिज्या 60 सेमी) के रूप में है, जिसे पानी से भरे एक बेलन (त्रिज्या 60 सेमी, ऊँचाई 180 सेमी) में इस प्रकार रखा जाता है कि यह तली को छूता है। शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14)$ [CBSE] हल: बेलन $=\pi(3600)(180)=648000\pi$; ठोस $=\tfrac13\pi(3600)(120)+\tfrac23\pi(216000)=144000\pi+144000\pi=288000\pi$; शेष पानी $=(648000-288000)\pi=360000\pi=1130400$ सेमी$^3$। उत्तर: 1130400 सेमी$^3$ (~1130.4 लीटर)।