ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

मुख्य विचार — केवल खुले पृष्ठ जोड़ें

जब दो ठोस जोड़े जाते हैं, तो प्रत्येक का कुछ पृष्ठ जोड़ के अंदर छिप जाता है और लुप्त हो जाता है। इसलिए संयोजित ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों के पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग नहीं होता — यह केवल खुले पृष्ठों का योग होता है।

मुख्य बिंदु: संयोजन का TSA $=$ भागों के दृश्य (आमतौर पर वक्र) पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग। जहाँ वे आपस में चिपके होते हैं वे सपाट फलक नहीं गिने जाते।

एक खिलौने के बारे में सोचें $=$ एक अर्धगोले पर लगा एक शंकु। बाहर से आप केवल शंकु का वक्र पृष्ठ और अर्धगोले का वक्र पृष्ठ देखते हैं — दोनों सपाट वृत्तीय फलक जोड़ में लुप्त हो जाते हैं।

अर्धगोले पर शंकु (एक खिलौना / लट्टू)

समान त्रिज्या $r$ वाले एक अर्धगोले पर आरोपित शंकु वाले खिलौने के लिए: $$\text{TSA} = \underbrace{\pi r l}_{\text{शंकु CSA}} + \underbrace{2\pi r^2}_{\text{अर्धगोला CSA}}.$$

ऊँचाइयों पर ध्यान दें: यदि पूरा खिलौना $H$ ऊँचा है और अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है, तो शंकु की ऊँचाई $h = H - r$ है, और फिर $l = \sqrt{r^2 + h^2}$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] "खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल" (शंकु का TSA) $+$ (अर्धगोले का TSA) नहीं होता — इससे आप छिपे हुए वृत्तों को दो बार गिन लेंगे।

अर्धगोलाकार / शंक्वाकार सिरों वाला बेलन

• कैप्सूल (बेलन $+$ प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला, समान त्रिज्या $r$): $\text{TSA} = 2\pi r h + 2\times 2\pi r^2 = 2\pi r h + 4\pi r^2$, जहाँ $h$ बेलनाकार भाग की लंबाई है। ध्यान दें पूर्ण लंबाई $= h + 2r$।
• तंबू (शंकु से आरोपित बेलन): कैनवास का क्षेत्रफल $= \text{बेलन का CSA} + \text{शंकु का CSA} = 2\pi r h + \pi r l$ (आधार खुला है, इसलिए कोई आधार क्षेत्रफल नहीं)।
• ऊपर अर्धगोले सहित घन (त्रिज्या $r$): $\text{TSA} = 6a^2 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = 6a^2 + \pi r^2$ (अर्धगोले द्वारा ढके वृत्त को हटाएँ, इसका वक्र पृष्ठ जोड़ें)।

खोखले भाग और निकाले गए ठोस

जब किसी आकृति को दूसरी में से खोखला किया जाता है, तो छिपा हुआ सपाट फलक नए भीतरी वक्र पृष्ठ से बदल जाता है:

• शंकु निकाला गया बेलन (समान $r$, समान $h$): $\text{TSA} = 2\pi r h + \pi r l + \pi r^2$ (बेलन का CSA $+$ शंकु का CSA $+$ एक वृत्तीय आधार)।
• अर्धगोलाकार गड्ढे सहित घन (व्यास $=$ कोर): $\text{TSA} = 6a^2 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = 6a^2 + \pi r^2$।
• प्रत्येक सिरे से अर्धगोला निकाला गया बेलन: $\text{TSA} = 2\pi r h + 2\times 2\pi r^2$ (दोनों सपाट सिरे दो भीतरी अर्धगोलाकार पृष्ठों से बदल जाते हैं)।

मुख्य बिंदु: एक उभार जोड़ना या एक गड्ढा काटना दोनों एक सपाट वृत्त ($\pi r^2$) को एक वक्र अर्धगोले ($2\pi r^2$) से बदल देते हैं — कुल परिवर्तन $+\pi r^2$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: खिलौना (अर्धगोले पर शंकु)

एक खेलने का लट्टू अर्धगोले पर आरोपित एक शंकु है। पूरा लट्टू 5 सेमी ऊँचा है और इसका व्यास 3.5 सेमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $r = \dfrac{3.5}{2} = 1.75$ सेमी। शंकु की ऊँचाई $h = 5 - 1.75 = 3.25$ सेमी।
2. $l = \sqrt{1.75^2 + 3.25^2} = \sqrt{3.0625 + 10.5625} \approx 3.7$ सेमी।
3. TSA $= \pi r l + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r) = \dfrac{22}{7}\times 1.75\times(3.7 + 3.5) = 5.5\times 7.2 \approx 39.6$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $\approx 39.6$ सेमी$^2$।

मुख्य बात: शंकु की ऊँचाई $=$ कुल ऊँचाई $-$ अर्धगोले की त्रिज्या।

उदाहरण 2: अर्धगोले सहित घन

एक सजावटी ब्लॉक 5 सेमी कोर वाला एक घन है जिसके ऊपर 4.2 सेमी व्यास वाला एक अर्धगोला लगा है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. घन का TSA $= 6a^2 = 6\times 25 = 150$ सेमी$^2$।
2. $r = \dfrac{4.2}{2} = 2.1$ सेमी; अर्धगोला जोड़ने से क्षेत्रफल $+\pi r^2$ से बदल जाता है।
3. TSA $= 150 + \pi r^2 = 150 + \dfrac{22}{7}\times 2.1^2 = 150 + 13.86 = 163.86$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $163.86$ सेमी$^2$।

मुख्य बात: सपाट फलक पर एक अर्धगोला $\pi r^2$ जोड़ता है (वक्र $2\pi r^2$ में से ढका हुआ वृत्त $\pi r^2$ घटाकर)।

उदाहरण 3: कैप्सूल

एक दवा का कैप्सूल एक बेलन है जिसके प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला है। पूरा कैप्सूल 14 मिमी लंबा और 5 मिमी व्यास वाला है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $r = 2.5$ मिमी; बेलन की लंबाई $h = 14 - 2r = 14 - 5 = 9$ मिमी।
2. पृष्ठ $= 2\pi r h + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r) = 2\times\dfrac{22}{7}\times 2.5\times(9 + 5)$।
3. $= \dfrac{110}{7}\times 14 = 220$ मिमी$^2$।

अंतिम उत्तर: $220$ मिमी$^2$।

मुख्य बात: पूर्ण लंबाई $= h + 2r$, इसलिए बेलनाकार भाग $h = \text{लंबाई} - 2r$।

उदाहरण 4: तंबू (कैनवास क्षेत्रफल)

एक तंबू एक बेलन (ऊँचाई 2.1 मी, व्यास 4 मी) है जिस पर 2.8 मी तिर्यक ऊँचाई वाला एक शंकु आरोपित है। उपयोग किए गए कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आधार खुला है)। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. $r = 2$ मी। कैनवास $=$ बेलन का CSA $+$ शंकु का CSA $= 2\pi r h + \pi r l = \pi r(2h + l)$।
2. $= \dfrac{22}{7}\times 2\times(2\times 2.1 + 2.8) = \dfrac{44}{7}\times 7 = 44$ मी$^2$।

अंतिम उत्तर: $44$ मी$^2$।

मुख्य बात: तंबू के लिए, कोई आधार क्षेत्रफल नहीं — केवल दो वक्र पृष्ठ।