शंकु का छिन्नक

शंकु का छिन्नक क्या है?

एक शंकु लें और उसके नुकीले शीर्ष को आधार के समांतर एक कटान से काट दें। नीचे बचा हुआ भाग — जिसका शीर्ष हटा दिया गया शंकु — एक शंकु का छिन्नक है। एक बाल्टी, एक पीने का गिलास, एक लैंपशेड और एक गमला रोज़मर्रा के छिन्नक हैं।

एक छिन्नक में दो वृत्ताकार फलक होते हैं: त्रिज्या $R$ का एक बड़ा आधार और त्रिज्या $r$ का एक छोटा शीर्ष, जो एक ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ और एक तिर्यक भुजा $l$ द्वारा अलग होते हैं।

तिर्यक ऊँचाई

छिन्नक की तिर्यक भुजा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ ऊँचाई $h$ और त्रिज्याओं का अंतर $(R-r)$ हैं: $$\boxed{l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}}$$

मुख्य बिंदु: तिर्यक-ऊँचाई सूत्र में $(R-r)$, अर्थात् त्रिज्याओं का अंतर — $R+r$ नहीं — प्रयोग करें। यदि प्रश्न में $h$, $R$, $r$ दिए हों तो पहले $l$ ज्ञात करें।

छिन्नक के पृष्ठीय क्षेत्रफल

• वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल: $\text{CSA} = \pi l (R + r)$।
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: दोनों वृत्ताकार फलकों को जोड़ें: $$\text{TSA} = \pi l(R+r) + \pi R^2 + \pi r^2.$$

एक खुली बाल्टी के लिए कोई ऊपरी फलक नहीं होता, इसलिए उसका पृष्ठ (प्रयुक्त धातु) $= \pi l(R+r) + \pi r^2$ (वक्र भुजा $+$ छोटा बंद आधार)।

मुख्य बिंदु: CSA में $(R+r)$ का प्रयोग होता है; दोनों समतल फलक $\pi R^2$ और $\pi r^2$ हैं। पढ़ें कि वस्तु खुली है या बंद।

छिन्नक का आयतन

$$\boxed{V = \dfrac13\pi h\left(R^2 + r^2 + Rr\right)}$$

यह सुंदर रूप से $r = 0$ होने पर एक पूर्ण शंकु ($V = \tfrac13\pi h R^2$) और $R = r$ होने पर एक बेलन ($V = \pi h R^2$) में सिमट जाता है — इसे याद रखने का एक अच्छा तरीका।

[Board Important] एक बाल्टी की धारिता $= \dfrac13\pi h(R^2 + r^2 + Rr)$; यदि पूछा जाए तो उत्तर लीटर में दें ($1\text{ लीटर} = 1000\text{ सेमी}^3$)।

हल किए गए उदाहरण

Example 1: तिर्यक ऊँचाई और CSA

एक छिन्नक की त्रिज्याएँ $R = 20$ सेमी और $r = 8$ सेमी तथा ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = 16$ सेमी हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

Solution:

1. $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ सेमी।
2. CSA $= \pi l(R+r) = 3.14\times 20\times 28 = 1758.4$ सेमी$^2$।

Final Answer: $l = 20$ सेमी; CSA $= 1758.4$ सेमी$^2$।

Takeaway: $(R-r)=12$ और $h=16$ से $12,16,20$ त्रिक बनता है।

Example 2: बाल्टी का आयतन

एक बाल्टी एक छिन्नक है जिसमें $R = 20$ सेमी, $r = 8$ सेमी और ऊँचाई $h = 16$ सेमी है। इसकी धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

Solution:

1. $V = \dfrac13\pi h(R^2 + r^2 + Rr) = \dfrac13\times 3.14\times 16\times(400 + 64 + 160)$।
2. $= \dfrac13\times 3.14\times 16\times 624 = 10449.92$ सेमी$^3$।
3. लीटर में $= \dfrac{10449.92}{1000} \approx 10.45$ लीटर।

Final Answer: $\approx 10.45$ लीटर।

Takeaway: $V = \tfrac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$; लीटर के लिए 1000 से भाग दें।

Example 3: खुली बाल्टी में धातु

Example 1 की खुली बाल्टी ($R=20$, $r=8$, $l=20$ सेमी) बनाने में प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

Solution:

1. खुली बाल्टी $=$ वक्र भुजा $+$ छोटा आधार $= \pi l(R+r) + \pi r^2$।
2. $= 3.14\times 20\times 28 + 3.14\times 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36$ सेमी$^2$।

Final Answer: $1959.36$ सेमी$^2$।

Takeaway: खुली बाल्टी में ऊपरी फलक नहीं होता — केवल छोटा आधार जोड़ें।

Example 4: छिन्नक गिलास

एक गिलास एक छिन्नक है जिसकी ऊपरी त्रिज्या 3 सेमी, निचली त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। इसकी धारिता ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

Solution:

1. यहाँ $R = 3$, $r = 2$, $h = 6$।
2. $V = \dfrac13\times 3.14\times 6\times(9 + 4 + 6) = \dfrac13\times 3.14\times 6\times 19 = 119.32$ सेमी$^3$।

Final Answer: $\approx 119.32$ सेमी$^3$।

Takeaway: आयतन सूत्र में आप किस सिरे को $R$ या $r$ कहते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता — $R^2+r^2+Rr$ सममित है।